Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

- они могут использоваться только в рамках определенных ог-

раничений, связанных с характеристиками конкретных систем и

особенностями нелинейных характеристик;

- применимы только для ограниченной области изменения пе-

ременных;

- замена нелинейных зависимостей линейными всегда сопро-

вождается искажениями результатов;

- принципиально не могут использоваться для исследования

особых свойств систем, обусловленных нелинейными характери-

стиками.

Статическая линеаризация

При линеаризации касательными нелинейная характеристика в

окрестности рабочей точки заменяется касательной. Такая замена

возможна при условии, что характеристика дифференцируема и не

обладает большой кривизной, а отклонения координат системы от

состояния равновесия малы.

Рассмотрим элемент (рис. 2.2, а), статическая характеристика

которого является функцией двух переменных:

).,( fxFy



На рис. 2.2, б показана эта характеристика для различных зна-

чений .,,

321

ffff  Примером такого элемента может служить

объект регулирования с двумя входами х и f и одним выходом y.

Применим разложение нелинейной функции F в ряд Тейлора и ог-

раничившись только первыми членами ряда, получим

 

fxFy 































 (2.37)

В выражении (2.37) индекс «0» указывает, что значения пере-

менных соответствуют точке установившегося состояния (рабочей

точке).

При исследовании процессов в линеаризованной системе режим,

соответствующий установившемуся состоянию, для упрощения

обычно исключают из рассмотрения. Для малых отклонений пере-

менных от установившегося состояния уравнение статической ха-

рактеристики элемента принимает вид









,,,

2100

fkxkfxFfxFy











где .;

































Коэффициенты k

и k

могут быть найдены также графически

по соотношениям





















.constпри

;constпри

Коэффициенты

линеаризованного уравнения зависят

от координат рабочей точки. Запись уравнения в отклонениях эк-

вивалентна переносу начала координат в точку установившегося

состояния. В этом случае зависимости отклонений выходной вели-

чины элемента от входных воздействий имеют вид, показанный на

рис. 2.2, в и г.

















Рис. 2.2. Линеаризация нелинейной характеристики касательными

Линеаризованные статические характеристики элемента дают

возможность составить для исследования динамики линейное диф-

ференциальное уравнение:

....

...











































(2.38)

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения

(2.38) и, опустив с целью упрощения формы записи символ «»,

получим уравнение динамики в виде

),()()()()()()()()( sHsFsMsHsXsNsHsYsD

fxy

 (2.39)

где Y(s), X(s) и F(s) – изображения по Лапласу выходной величины

и входных воздействий элемента;

D(s), N(s) и M(s) – полиномы;

....)(

;...)(

cscscscsM

bsbsbsbsN

asasasasD





Полиномы )(sH

, )(sH

и )(sH

определяются начальными

условиями при t=0+, 0. Например





 

,)0(...)0()0(

...)0()0()0()(

)2(

)1(

yayaya

syayasyasH









где y(0), y

(1)

и т.д. - начальные значения (при t=0+ε, ε0) выход-

ной координаты и ее производных.

Полиномы )(sH

и )(sH

определяются аналогично. При ну-

левых начальных условиях )(sH

, )(sH

и )(sH

обращаются в

нуль.

Решение уравнения (2.39) относительно Y(s) при нулевых на-

чальных условиях дает выражение

),()()()()( sFsHsXsHsY





где )(sH и )(sH

- передаточные функции;

)(





при

Таким образом, линеаризация касательными дает возможность

исследовать поведение нелинейной системы в окрестности рабочей

точки можно исследовать методами линейной теории. Недостаток

состоит в том, что приближенный характер метода налагает огра-

ничения на область изменения сигналов. Ошибка линеаризации



(рис. 2.2, б) может быть выражена через третий член разло-

жения нелинейной функции





fxF , в ряд Тейлора. При Δf = 0, на-

пример, имеем:

.)(

yy 





Следовательно, ошибка, обусловленная линеаризацией каса-

тельными, тем меньше, чем меньше отклонение входных перемен-

ных от рабочей точки и чем меньше кривизна нелинейной характе-

ристики .



При реализации нелинейных систем касательными важным во-

просом является определение координат рабочей точки. Для этого

необходимо провести анализ установившегося режима нелинейной

системы. В качестве примера рассмотрим определение координат

рабочей точки для нелинейной системы, функциональная схема ко-

торой показана на рис. 2.3. Уравнения для установившегося режима

линейной части системы имеют вид



















Рис. 2.3. Структурная схема нелинейной системы

);0()0()0(

02100

HfHHzy







(2.40)

.)0(

0300

yHx









(2.41)

Уравнение нелинейного элемента









В результате объединения уравнений (2.40) и (2.41) имеем с

учетом уравнения нелинейного элемента систему

















).(

;

)0()0()0(

)0()0(

321

32000



HHH

HHfx

(2.42)

Решение системы (2.42) можно выполнить аналитически, чис-

ленными методами, либо графически. На рис. 2.4 показан пример

графического решения системы уравнений (2.42). Координаты ра-

бочей точки А соответствуют значениям (

, z



) в точке пересечения

характеристики нелинейного элемента F(ε) с графиком линейной

части системы.

Необходимо отметить, что система (2.42) может иметь два и

более решений. На рис. 2.4 пунктиром показана нелинейная харак-

теристика









F , при которой в системе имеются две рабочие точ-

ки

и С.

Динамика системы в окрестности рабочей точки описывается в

приращениях



, y



, f



в соответствии с уравнениями (см. рис.

2.3):













fsHzsHsHy



221





;





ysHx











(0)(0))(

(0))(

HHH

HHfx

3200



(0)(0)(0)

(0)(0)ε

321

32000

HHH

HHfx





(0)(0)

3200

HHfx



)ε(F



Рис. 2.4. Определение рабочей точки А на характеристике нелинейного

элемента

К этим уравнениям можно применить справедливый для ли-

нейных систем принцип суперпозиции для приращений



, y







. Однако для уравнения нелинейного элемента этого

делать нельзя:



















Fzz .

2.5. Примеры составления и преобразования моделей

динамических систем

В настоящем параграфе рассмотрены некоторые примеры со-

ставления аналитического описания непрерывных динамических

систем на основе использования известных физических законов.

Пример 2.5. Физический маятник. Устройство представляет

собой однородный диск массой m и радиусом r, жестко прикреп-

ленный своим краем к концу А стержня длиной l. Другой конец

стержня является точкой подвеса 0 (рис. 2.5, а). Массой стержня

можно пренебречь.

Система имеет одну степень свободы. За обобщенную коорди-

нату примем угол





q . Координаты центра тяжести диска

x и

y равны

)(2

rlr

rlg





sin



Рис. 2.5. Схема (а) и математическая модель (б) физического маятника

.sin)(;cos)(













rlyrlx

Кинетическая энергия определяется по формуле

,)(





zW 

где





rlmJJ

 - момент инерции маятника относительно

точки подвеса.

Момент инерции диска относительно его центра равен

 .

Потенциальная энергия маятника относительно положения





равна











cos1

mglW . Лагранжиан системы имеет вид









 

.cos12

222

пк

 mglrlr

WWL



(2.37)

Так как система находится в поле потенциальных сил, то

обобщенная сила .0



Q Потери в системе примем равными 0. Сле-

довательно, D = 0.

Подстановка (2.37) в уравнение (2.2) дает выражение











sin)(

rlmgJ



или

.0sin

)(2

222











rlr

rlg

(2.45)

Структурная схема системы, соответствующая дифференци-

альному уравнению (2.45), показана на рис. 2.5, б.

Пример 2.6. Центробежный регулятор. Схема устройства по-

казана на рис. 2.6, а. Точечные грузы М1 и М2 имеют равные массы

m. Масса муфты А равна М. Массами стержней, длина которых

равна l, можно пренебречь. Угловая скорость вращения регулятора

постоянна и равна Ω. Трением можно пренебречь.

Система состоит из трех тел: грузов М1, М2 и муфты А. Число

степеней свободы равно единице. За обобщенную координату при-

мем угол φ. В неподвижной системе координат 0xyz координаты

точек М1, М2 и муфты А равны соответственно

;cos





);cos(sin











tly );sin(sin











tlz

;cos





);cos(sin













tly );sin(sin













tlz

;cos2





y ,0

z

где



- угол, образованный плоскостью регулятора с неподвижной

плоскостью xy в начальный момент времени. Скорости точек М1 и

М2 и муфты А определяются соотношениями:

;sin

222222

 llzyxv 





;sin

222222

 llzyxv 







2222

sin4



lv  .

Кинетическая энергия равна

.sin)sin2(

222222

 mlMmlW 



Производные от кинетической энергии по обобщенной скорости

и обобщенной координате равны соответственно

.cossin2cossin4

;)sin2(2

2222













mlMl

Mml



Виртуальная работа равна

,)sin2sinsin(





Mglmglmgl

xMgxmgxmgA





следовательно,

.sin)(2



MmglQ







Составим уравнение Лагранжа

.sin)(cossin

cossin2)sin2(





MMm







(2.46)

Регулятор будет находиться в положении относительного рав-

новесия, если 0;0







. Это возможно при .

)(

cos





gMm 



Для анализа малых колебаний центробежного регулятора около

состояния относительного равновесия (рабочей точки) введем в рас-

смотрение новую координату ψ, определяемую равенством









В этом случае для малых ψ имеем:

.000

000

sincos)cos(

;cossin)sin(





















Подставив эти выражения в уравнение движения (2.46) и со-

хранив только линейные члены относительно ψ, получим линеари-

зованное уравнение

sin2

sin





 









, (2.47)

где .

)(

1sin





















gMm

Структурная схема, соответствующая линеаризованной модели

регулятора (2.47), показана на рис. 2.6, б.

Рис. 2.6. Схема (а) и линеаризованная математическая модель (б)

центробежного регулятора

Пример 2.7. Двухмассовая механическая система с упругой

связью. Расчетная схема механической системы показана на рис.

2.7, где обозначено:

J ,

J - моменты инерции вращающихся масс;

М - вращающийся механический момент;

M ,

M - моменты со-

противления нагрузки, приложенные к массам;

c - жесткость уп-

ругой связи.

Рис. 2.7. Кинематическая схема двухмассовой механической системы

В двухмассовой системе обобщенными координатами являются

угловые перемещения масс





q ,





q . Им соответствуют уг-

ловые скорости