Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

щих время движения частиц между столкновениями, и в областях,

геометрические размеры которых превышают



. В этом случае в

локальных областях объекта устанавливаются равновесные состоя-

ния, которые характеризуются средними значениями плотности,

скорости движения частиц и др.

Температура

определяет среднюю кинетическую энергию

частиц

 ,

где

- масса частицы;

- средняя скорость хаотического движения;

- постоянная Больцмана,

10380662,1



k Дж/К.

Внутренняя энергия вещества определяется через температуру

с помощью величины удельной теплоемкости

 





Tс







, ,







Tс



где









- внутренняя энергия единицы массы.

Математическая модель теплопередачи

получается на основе

молекулярно-кинетической теории

. Потоком теплоты (или тепловой

энергии)

в данной точке называется количество тепла, перено-

симое в единицу времени через единичную поверхность, помещенную

в данную точку вещества. Поток теплоты — векторная величина, по-

скольку она в общем случае зависит от ориентации единичной по-

верхности в пространстве.

Связь между потоком теплоты и температурой

выражается законом

Фурье

TW grad







где



- коэффициент теплопроводности, зависящий в общем случае

от плотности и температуры вещества:



 ,

с – теплоемкость вещества.

Теплоемкость с и длина свободного пробега молекул зависят от

давления р и температуры Т. В частности, в газе, находящемся в

обычных условиях, тепло переносится молекулами, т.е. имеет место

молекулярная теплопроводность. В этом случае





, Tv ~ , сле-

довательно, T~ (теплоемкость считается постоянной).

Таким образом, согласно закону Фурье поток тепла пропорцио-

нален градиенту температуры. Поэтому «поток» температуры про-

порционален градиенту самой температуры. Аналогичным свойст-

вом обладает процесс диффузии вещества.

Уравнение баланса теплоты получается на основе закона со-

хранения энергии. При допущении, что внутренняя энергия вещест-

ва изменяется лишь благодаря механизму теплопроводности, т.е.

все другие виды энергии несущественны (например, отсутствует из-

менение внутренней энергии за счет химических реакций или за счет

работы сил давления, сжимающих некоторый объем газа, и т.д.),

общее уравнение, описывающее распространение теплоты, имеет вид:

 

C graddiv 



, (2.20)

или

в развернутой форме































































C ,

где cC





- теплоемкость объекта.

Уравнение (2.20) — нестационарное, трехмерное (функция Т за-

висит от времени t и трех пространственных переменных х, у, z)

уравнение параболического типа. Оно неоднородное, так как теп-

лоемкость, коэффициент теплопроводности и плотность различаются

в разных точках вещества, и нелинейное, поскольку функции с и х в

общем случае зависят от температуры Т.

При дополнительных предположениях о характере процесса теп-

лопередачи уравнение (2.20) может упрощаться. Так, если процесс

стационарный, т.е. температура не зависит от времени, то оно преоб-

разуется в уравнение эллиптического типа

0 



























































а если функции с, х не зависят от температуры, то (2.20) становится

линейным параболическим уравнением, которое в случае однород-

ной среды (





не зависят от х, у, z) принимает вид

C 



где





- коэффициент температуропроводности.

В одномерном случае (температура зависит только от

)

из (2.20) следует























C . (2.21)

При допущении, что 0



; 0





уравнение (2.21) сводится

к уравнению нелинейной теплопроводности

 



















. (2.22)

Если





;



, где const





; const



C , то выраже-

ние (2.22) представляет собой простейшее уравнение параболиче-

ского типа – уравнение теплопроводности







Особый интерес при моделировании тепловых процессов име-

ют случаи неизотропной среды. Неизотропность, например, при

электронной теплопроводности, может вызываться достаточно

сильным магнитным полем, затрудняющим движение переносчиков

тепла поперек силовых линий поля, а выделение энергии может

быть связано с идущими в веществе химическими реакциями или

протеканием электрического тока.

Для неизотропной среды (т.е. когда коэффициенты теплопро-

водности имеют разные значения по разным направлениям) с энер-

говыделением уравнение баланса теплоты имеет вид:

 

Ttzyxf

zyx

,,,, 































































где



- коэффициенты в уравнении закона Фурье, равные

составляющим теплопроводности по осям х, у, z, а функция f —

мощность выделения (или поглощения) энергии.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Математическая модель электродинамической системы была

предложена Д.К. Максвеллом. Согласно уравнениям, получившим

его имя, все физические величины, связанные с электродинамиче-

ской системой, определяются через ее электромагнитное поле, изме-

нение во времени которого им же определяется. Поэтому электро-

магнитное поле S является состоянием, и изменение его во времени

описывается уравнением вида

).(SF



Электромагнитное поле S можно определить двумя векторными

полями: напряженностью электрического поля Е и полем магнитной

индукции В. Так что в любой момент времени t состояние электро-

динамической системы определяется совокупностью двух вектор-

ных полей





tzyxE ,,, и





tzyxB ,,, . Физическое описание электро-

динамической системы помимо полей напряженности электриче-

ского поля и магнитной индукции включает в себя поля электриче-

ской индукции





tzyxD ,,, и напряженности





tzyxH ,,, , плотность

токов проводимости





tzyxj ,,, , объемную плотность свободных

зарядов





tzyx ,,,



. Эти величины связаны между собой уравнения-

ми

,;; FjMBED









где ε, μ - диэлектрическая и магнитная проницаемости; σ - удельная

электропроводность, а также двумя дифференциальными соотноше-

ниями

;



div

(2.23)

.4div





D (2.24)

Уравнение (2.23) отражает факт отсутствия свободных магнит-

ных зарядов, а уравнение (2.24) закон Гаусса для электрического

поля.

Уравнения, определяющие изменение состояния во времени,

имеют вид

,rot4 Hcj





(2.25)

,rot4 Ecj





(2.26)

Уравнение (2.25) выражает связь полного тока с магнитным по-

лем, а уравнение (2.26) - закон электромагнитной индукции.

Уравнения (2.23) - (2.26) позволяют по известным начальным

значениям полей Е и В найти их значения в любой последующий

момент времени, а также определить другие поля D, Н, j и .

Уравнения Лагранжа-Максвелла для электромеханических

систем

Важной особенностью уравнений Максвелла является то, что

они могут быть представлены в лагранжевой форме. Это позволяет

использовать их для моделирования электромеханических систем.

Такие обобщенные уравнения Лагранжа-Максвелла имеют вид

,,...,1,

;,...,1,

niQ

mku

iii

kkk





















































где

емпк

WWWWL





- функция Лагранжа;

W - энергия магнитного поля;

W - энергия электрического поля;

e и



- обобщенный электрический заряд и обобщенный ток;

D - диссипативная функция электромеханической системы,

равная сумме электрической )(

ке



и механической ),(

qqD



функций,

);,()(

qqDeDD



мке





u - сторонние ЭДС.

Соотношения баланса

Выделим некоторый элемент объема и запишем соотношение

баланса для какой-нибудь физической величины (например, для

массы одного из компонентов в смеси веществ). Пусть скорость по-

ступления рассматриваемой величины в выделенной элемент объе-

ма есть Р, скорость ее возникновения R, а ее общее количество в

данном объеме М. Тогда Р, R и М являются функциями времени,

связанными между собой соотношениями

RР 

В случае сплошной среды величины Р, R и М мы должны опре-

делить через некоторые плотности. Вектором р обозначим плот-

ность потока, определенную таким образом, что поток через элемент

с поверхностью dS в направлении нормали к ней n равен р·ndS.

Аналогичным образом скорость возникновения величины r рассчи-

тывается на единицу объема, так что в элементе объема dV скорость

возникновения оказывается равной r·dV. Наконец, величина М опи-

сывается концентрацией m. Пусть теперь  - произвольная область

сплошной среды с кусочно-гладкой поверхностью  (внешнюю

нормаль к этой поверхности обозначим через n). Тогда имеет место

соотношение

  

  



 mdV

rdVрndS . (2.27)

Используя формулу Грина и перенося все члены равенства

(2.27) в одну сторону (область  фиксирована, и поэтому можно

поменять порядок интегрирования и дифференцирования), мы по-

лучаем

.0div 





















dVrh

В силу произвольности области  должно выполняться соот-

ношение

.div





Уравнения балансов могут быть также записаны для движуще-

гося элемента объема.

Таким образом, использование основных законов природы при

математическом описании системы дает возможность получить

уравнение

,0,...),,,,(





uuyxt (2.28)

где t - время, x и y - пространственные переменные, u - зависимая

переменная.

В уравнения (2.28) входит совокупность независимых и зави-

симых переменных, характеризующих выделенный исследователем

объект. Это означает, что на данном этапе построения и исследова-

ния моделей ведущая роль принадлежит поставщику задачи, спе-

циалисту. Следовательно, важнейшим условием успешного решения

задачи моделирования является наличие глубоких знаний теории в

конкретной области, а также опыта постановки и анализа результа-

тов экспериментов, лежащих в основе математической модели.

В зависимости от объекта математическая модель может быть

представлена в виде обыкновенных дифференциальных уравнений,

уравнений в частных производных, одномерных или многомерных

интегральных и интегродифференциальных уравнений.

В связи с возрастанием сложности исследуемых динамиче-

ских систем и, следовательно, усложнением их моделей особое зна-

чение приобретают методы преобразований уравнений. Преобразо-

вания могут быть эквивалентными, т.е. не изменяющими решений,

а также неэквивалентными, основанными на упрощениях матема-

тического описания.

2.2. Эквивалентные преобразования моделей

Эквивалентные преобразования формул и уравнений представ-

ляют собой фундаментальный метод получения теоретических и

практических результатов в математическом моделировании сис-

тем. Методологической основой применения эквивалентных преоб-

разований математического описания систем является фундамен-

тальное свойство природных, технических и многих других объек-

тов — симметрия (от греческого слова



, означающего

«соразмерность»). Наличие какого-либо вида симметрии у изучае-

мого явления означает большую простоту объекта в сравнении с его

менее симметричным аналогом. На этом основываются широко

применяемые методы упрощения математических моделей и, следо-

вательно, методы упрощения их анализа. Они состоят в понижении

порядка системы уравнений, образующих модель, в уменьшении

числа переменных, от которых зависят искомые величины, или чис-

ла постоянных параметров, определяющих процесс, и т.д. Это дает

основание для поиска рационального представления математиче-

ских моделей.

Выражения ),...,,(

211 n

xxxФ и ),...,,(

212 n

xxxФ эквивалентны от-

носительно областей определения

X ,

,...,



, переменных

x ,

,...,



, если равенство

),...,,(

211 n



= ),...,,(

212 n



выполняется для всех последовательностей ),...,,(

421



, элементы

которых



niX

,...,1,





. Уравнения ),...,,(

211 n

xxxФ = 0 и

),...,,(

212 n

xxxФ = 0 относительно переменных

,...,



, принадле-

жащих одной и той же области изменения, эквивалентны над этой

областью, если совпадают множества их решений.

Таким образом, если некоторое преобразование переводит

уравнение А с множеством решений

L в уравнение В с множест-

вом решений

L , то оно будет эквивалентным лишь при выполне-

нии равенства

L .

Случай



соответствует неэквивалентному преобразо-

ванию. Он имеет важное значение при определении при-ближенных

решений.

Особое значение имеет переход от дифференциальных уравне-

ний, традиционно используемых при моделировании систем, к эк-

вивалентным уравнениям, свойства которых во многих случаях

оказываются полезными как при качественном исследовании, так и

вычислительных процедурах.

Эквивалентные преобразования имеют непосредственную связь

с методами теории подобия. Теория подобия и анализ размерностей

являются основой создания методов и аппаратных средств исследо-

вания динамических систем. С помощью критериев подобия (π-

переменных) решаются важные задачи установления подобия раз-

личных объектов, поиска сходных явлений, построения моделей.

Согласно теории подобия две системы, поведение которых осу-

ществляется векторами обобщенных координат ),...,(

1 n

xxx



),...,(

1 n

xxx







, являются соответственными (подобными), если для

любых сходственных моментов времени

t и



выполняется соот-

ношение пропорциональности

)()(

mxm

txqtx





, (2.29)

где .const



Важнейшим практическим приложением теории симметрии яв-

ляется анализ размерности величин, входящих в математическое

описание.

Величины, численное значение которых зависит от принятых

масштабов, т.е. от системы единиц измерения, называются размер-

ными или именованными величинами. Величины, численное значе-

ние которых не зависит от принятой системы единиц измерения,

называются безразмерными или отвлеченными величинами.

Подразделение величин на размерные и безразмерные до неко-

торой степени является условным. Например, угол можно измерять

в различных единицах: радианах, градусах, долях прямого угла.

Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора еди-

ницы измерения. Таким образом, угол можно рассматривать как

величину размерную и безразмерную. Если для длины ввести еди-

ную фиксированную единицу измерения во всех системах единиц

измерения, то после этого можно длину считать безразмерной вели-

чиной. Однако для геометрически подобных фигур соответствую-

щие углы одинаковые, а соответствующие длины – разные. Поэтому

фиксирование единиц измерения для углов удобно, а для длин –

нет.

Различные физические величины связаны между собой опреде-

ленными соотношениями. Поэтому если некоторые из них принять

за основные и установить для них единицы измерения, то для всех

остальных величин единицы измерения будут определенным обра-

зом выражаться через единицы измерения основных величин. При-

нятые для основных величин единицы измерения называют основ-

ными или первичными, а все остальные – производными или вто-

ричными.

Выражение производной единицы измерения через основные

единицы измерения называется размерностью. Размерность запи-

сывается символически в виде формулы, в которой символы единиц

длины, массы и времени обозначаются буквами соответственно

Для обозначения размерности какой-либо величины

используют введенный Максвеллом символ





a . Например, за-

пись для размерности силы имеет вид

 

F  .

При изучении механических явлений достаточно ввести только

три независимые единицы измерения – длины, массы и времени.

Эти единицы могут быть также использованы для тепловых и элек-

трических величин, размерности которых могут быть выражены

через

. Однако на практике принято выбирать единицы

измерения для количества теплоты и температуры независимо от

единицы измерения для механических величин.