Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

системы. Это дает возможность применять такие модели для иссле-

дования систем с помощью ЭВМ, главным образом, имитационно-

го моделирования.

Для сложных систем качественное объяснение процессов явля-

ется не второстепенным, а напротив, основополагающим по отно-

шению к их количественному описанию. Во многих приложениях,

главным образом, в биологии, социологии, экологии и др., матема-

тическая модель в первую очередь должна отражать качественную

сторону; значение количественных оценок определяется получением

выводов относительно качественного описания системы. Иными

словами, при построении моделей явлений и процессов наряду с

математической строгостью важнейшее значение приобретает фи-

зическая строгость.

Третью группу подходов к построению моделей составляют

многочисленные методы идентификации, т.е. определения матема-

тического описания систем по экспериментальным данным. Трудно

переоценить значение этих методов для современной теории и прак-

тики управления. Но при исследовании сложных систем необходи-

мо учитывать роль, возможности и место экспериментальных ме-

тодов.

С одной стороны, именно результаты наблюдений, статисти-

ческие данные и количественные оценки, получаемые в результате

наблюдений и экспериментов, являются основой для исследования

новых свойств объектов. Только эксперимент может служить спосо-

бом проверки достоверности теоретических выводов. Но, с другой

стороны, современные методы идентификации основаны на опреде-

лении математического описания объекта в классе традиционных

моделей, например, в виде статических или динамических характе-

ристик, всегда содержащих рациональные для практики упрощения

и часто основанных на грубых аппроксимациях зависимостей. При

этом обычно предполагается воспроизводимость результатов при

многократных экспериментах.

Таким образом, экспериментально-статистические методы по-

зволяют исследовать свойства и выявлять особенности сложных

систем, получать количественные оценки характеристик и прове-

рять теоретические результаты, но они не разработаны в настоящее

время для построения аналитических моделей, адекватно отра-

жающих физическое содержание объекта. В первую очередь это от-

носится к системам с изменяющимися характеристиками в резуль-

тате эволюции и самоорганизации. Следует отметить также, что для

многих сложных систем эксперименты невозможны.

Четвертая группа подходов к моделированию сложных систем,

названная аналитической, основана на построении моделей с ис-

пользованием известных законов природы, математически пред-

ставленных в виде различных соотношений между переменными.

Преимущественное использование в настоящее время получили мо-

дели в виде линейных и нелинейных алгебраических и дифферен-

циальных уравнений. Теория дифференциальных уравнений пред-

ставляет собой математический фундамент современной теории ав-

томатического управления. По мере усложнения решаемых задач и

расширения классов исследуемых динамических объектов возника-

ет необходимость дальнейшего развития и совершенствования ма-

тематических методов моделирования.

В настоящее время развиваются методы моделирования и ис-

следования сложных систем, основанные на описании их динамики

в многомерном фазовом пространстве множеством точек, анало-

гичным ансамблю Гиббса. Такой подход позволяет адекватно отра-

зить внутреннюю недетерминированность, свойственную сложным

системам. Процессы в системах при таком подходе описываются с

использованием аппарата преобразований в многомерных про-

странствах. Причем успех моделирования в значительной мере оп-

ределяется выбором конкретного преобразования и типа простран-

ства. Традиционное представление пространства-времени: мир - это

аффинное четырехмерное пространство А, в котором не зафиксиро-

вано начало координат, а время - это линейное отображение ли-

нейного пространства параллельных переносов мира на веществен-

ную ось t: R

 R, часто не позволяет решать задачи, связанные с

моделированием сложных систем. Представляется перспективным

подход, когда пространство-время рассматривается как единая

многомерная структура. В результате динамика сложной системы

соотносится не с «метками» времени, а с оператором времени, что

позволяет адекватно описать процессы эволюции и самоорганиза-

ции сложных систем.

1.5. Основные положения синтеза и анализа моделей

систем управления

Для исследования и моделирования автоматических систем

используются как аналитические, так и вычислительные методы.

Рассмотрим основные положения и этапы моделирования про-

цессов управления в системах.

Определение целей и задач моделирования. Формализованная

цель моделирования определяет его содержание и методологию.

При моделировании автоматических систем основными целями

являются:

- исследование закономерностей функционирования систем;

- изучение статических и динамических характеристик объек-

тов управления;

- синтез алгоритмов управления.

2. Составление концептуальной модели системы. При реше-

нии большинства прикладных задач исследования и моделирова-

ния систем на основе традиционных методов теории управления

возникает объективное противоречие между подробностями описа-

ния системы и возможностями его использования для анализа сис-

темы и синтеза регуляторов. Как правило, это противоречие разре-

шается путем использования упрощенных моделей, отражающих

лишь существенные стороны систем. В результате такого подхода в

теории управления активно используется ограниченный набор

стандартных моделей, в первую очередь, линейных. Использование

простых моделей дает возможность применения для решения раз-

личных задач мощных математических методов. Однако адекват-

ность получаемых при этом результатов оказывается низкой из-за

принимаемых упрощений.

В этих условиях построение концептуальных моделей систем,

раскрывающих физическое содержание процессов управления, име-

ет первостепенное значение. Особенность этого этапа состоит в том,

что его формализация в настоящее время практически невозможна.

Построение концептуальной модели системы - творческий процесс,

опирающийся не только на достижения науки, но также на опыт и

интуицию исследователя.

Основные требования к концептуальной модели сложной сис-

темы - максимальный учет ее специфических особенностей и воз-

можность формализации с помощью соответствующих математиче-

ских объектов.

3. Математическая формализация задачи. Основными состав-

ляющими этого этапа являются:

- выбор подхода к построению модели; здесь возможно приме-

нение аналитического, алгоритмического, феноменологического или

идентификационного подходов;

- определение соответствующих математических объектов для

адекватного описания исследуемой системы;

- выделение и анализ совокупности независимых и зависимых

переменных, характеризующих систему. В результате этого форми-

руется набор

{t, x, y, u, u

,…, u

, u

,…},

где t – время; х, y - пространственные (независимые) переменные; u

- зависимая переменная;

- выявление существенных сторон рассматриваемого объекта и

рациональное упрощение математического описания. При этом

возможно формирование нескольких моделей, эффективных для

решения конкретных вопросов. Для сложных систем особое место

отводится описанию нелинейностей, поскольку именно их специ-

фика играет ключевую роль в управлении;

- определение методов аналитического исследования модели.

Выбор метода определяется, во-первых, используемыми математи-

ческими объектами и, во-вторых, содержанием решаемой задачи.

4. Исследование математической модели. Для сложных систем

основные вопросы исследования следующие:

- анализ возможностей введения внешних управлений;

- синтез управляющих воздействий для системы.

5. Имитационное моделирование. Для многих систем имитаци-

онное моделирование является основным инструментом познания

изучаемого явления. Оно обеспечивает:

- простой способ решения задачи при сложном математиче-

ском описании объекта;

- наблюдение за поведением объекта в течение заданного ин-

тервала времени;

- проверку принципов и алгоритмов управления в системе.

6. Проверка правильности модели. Любая модель неизбежно

содержит упрощения, поэтому при определении соответствия моде-

ли изучаемому объекту возможно лишь определение степени адек-

ватности. Верификация модели (ее проверка опытным путем) может

быть выполнена различными способами.

Неадекватность модели может быть обусловлена следующими

причинами:

- ошибками в концептуальной модели;

- некорректностью математической формализации;

- упрощениями, допущенными в математической модели при

агрегировании, редукции, линеаризации и т.д.;

- погрешностями, допущенными при определении параметров

экспериментальными методами.

Специфические особенности большинства систем не позволяют

предложить единый универсальный способ проверки правильности

моделей. В этих условиях возрастает роль субъективного фактора в

разработке и исследовании моделей. Можно указать следующие ос-

новные направления, обеспечивающие повышение достоверности

математического описания систем:

- реализация моделирования, обеспечивающего не только ис-

пользование гуманитарных, технических и математических средств,

но и разработку схем поиска, включающих человека в качестве ли-

ца, принимающего решения;

- получение и сопоставление нескольких математических моде-

лей для одной системы;

- использование методов идентификации в сочетании с форма-

лизованными методами построения математических моделей.

7. Синтез управлений в системе. Этот этап моделирования

включает:

- определение возможности и целесообразности введения

внешних управлений;

- концептуальный синтез подсистемы управления;

- аналитическое определение параметров управляющей подсис-

темы;

- анализ и проверка решения.

1.6. Моделирование - метод научного исследования

Созданная исследователем модель содержит отображение ос-

новных свойств объекта и, следовательно, позволяет изучать его не

непосредственно, а с помощью модели. Метод исследования, со-

стоящий в изучении объекта с помощью его модели, называют мо-

делированием. Основные цели моделирования можно сформулиро-

вать следующим образом.

1. Получение новых знаний об объекте.

2. Проверка идей, гипотез, научных заключений, в том числе

и самих моделей, а также технических решений.

3. Сокращение сроков исследований и испытаний, а также

затрат на их проведение при проектировании различных систем.

4. Сравнительный анализ различных вариантов и оптимиза-

ция технических решений.

5. Исследование объектов и ситуаций, непосредственное

изучение которых в реальных условиях затруднительно или невоз-

можно (аварии, катастрофы и др.).

6. Прогнозирование.

7. Обучение и подготовка специалистов.

В зависимости от вида используемой модели различают натур-

ное, аналогичное, аналитическое и имитационное моделирование.

Натурное моделирование представляет собой изучение объекта

или его части путем исследования реальной системы, имеющей об-

щую физическую природу с изучаемым объектом, но в общем слу-

чае отличающуюся от него масштабом.

Общим критерием выбора полного натурного моделирования,

т.е. исследования реального объекта, является минимум затрат и

сроков на получение информации при заданных ограничениях на ее

точность и достоверность. Применение такого моделирования огра-

ничивается системами, высокие требования к точности и достовер-

ности результатов исследования которых не позволяет применять

упрощенные приближенные модели, а также случаями, в которых

исследование реальной системы оказывается более дешевым и бы-

стрым, чем создание и исследование аналитической модели.

При изучении сложных систем широкое распространение полу-

чило гибридное, или полунатурное, моделирование, при котором

часть системы представляет собой модель другого вида, например,

управляющую ЭВМ.

Натурное моделирование отличается полной адекватностью

изучаемой системы. Благодаря этому обеспечиваются высокая точ-

ность и достоверность получаемых результатов. Однако для кор-

ректной интерпретации этих результатов необходимо учитывать их

вероятностный характер, обусловленный случайным выбором кон-

кретного образца для исследования. Для получения достоверных

результатов обычно проводят группу экспериментов с последующей

статистической обработкой данных.

При исследовании сложных систем, для которых затруднено

или невозможно точное математическое описание, а реальные об-

разцы отсутствуют, либо эксперименты с ними невозможны, ис-

пользуется масштабное моделирование, т.е. изучение модели той же

физической природы, что и изучаемая система, но отличающейся от

натурного образца масштабами.

Теоретической основой масштабного моделирования является

теория подобия, которая предусматривает соблюдение геометриче-

ского подобия оригинала и модели и соответствующих масштабов

для параметров. Для этого натурные значения параметров умножа-

ются на постоянную величину, называемую масштабом моделиро-

вания или коэффициентом подобия. Условия подобия выполняются

при равенстве критериев подобия – безразмерных величин, являю-

щихся комбинацией физических параметров модели и исследуемой

системы.

Масштабное моделирование широко применяется для изучения

аэродинамических процессов, гидротехнических сооружений, меха-

нических конструкций и др.

Аналоговое моделирование отличается от натурного тем, что

объект изучается с помощью модели-аналога другой физической

природы. Необходимым условием такого моделирования является

выполнение физического подобия, под которым понимается одно-

значное соответствие между параметрами объекта и его модели, вы-

ражающееся в тождественности безразмерных математических опи-

саний протекающих в них процессов. Процессы в оригинале и мо-

дели в этом случае различаются только масштабами.

Аналоговое моделирование отличается от натурного более вы-

соким уровнем абстракции, т.к. для его реализации требуется мате-

матическое описание системы, т.е. наличие математической модели.

В качестве процессов-аналогов используются механические,

гидравлические, пневматические, а чаще всего электрические ана-

логовые модели. В электрических моделирующих установках ток,

напряжение и мощность служат аналогами физических величин

другой природы. Аналоговые модели отличаются гибкостью и

сравнительно простой адаптацией к изменению количественных

значений параметров моделируемого объекта. Безразличие аналого-

вой модели к физической сущности моделируемого процесса позво-

ляет создавать структурные аналоговые модели на основе типовых

универсальных блоков.

Аналоговые вычислительные машины (АВМ) – это специали-

зированные установки для моделирования различных физических

процессов с помощью их электрических, электромеханических или

других аналогов. При решении различных задач используют уни-

версальные АВМ, позволяющие воспроизводить процессы в системе

на основе структурной схемы, и специализированные, например,

модели со сплошной средой (проводящие пластины или бумага,

электролитические ванны, сеточные модели и др.).

Основные достоинства аналогового моделирования – простота,

низкая стоимость применяемых технических средств, возможность

решения задач как в реальном, так и масштабном времени. К недос-

таткам следует отнести низкую точность.

Аналитическое моделирование – это исследование математиче-

ской модели объекта с помощью формальных процедур. Важнейшей

особенностью такого метода является возможность получения зави-

симостей для искомых величин в общем виде. Однако в большинст-

ве случаев сложность математического описания не позволяет полу-

чить аналитические решения. В этих случаях используются два ос-

новных подхода:

- упрощение моделей и применение приближенных аналитиче-

ских методов;

- использование вычислительных методов для получения реше-

ний.

Возможности аналитического моделирования определяются

наличием адекватного математического описания систем и соответ-

ствующих математических методов и, следовательно, ограничены.

Однако аналитическое моделирование имеет преимущество в отно-

шении использования мощных дедуктивных методов, а также выяв-

ления закономерностей, присущих изучаемым объектам.

Имитационное моделирование представляет собой вычисли-

тельный метод проведения на ЭВМ экспериментов с математиче-

скими моделями, описывающими поведение объекта в течение за-

данного или формируемого периода времени. Поведение объекта

при имитационном моделировании обычно описывается набором

алгоритмов, реализуемых на каком-либо языке моделирования. Все

эти описания представляют собой программную имитационную

модель, которую требуется вначале отладить и испытать, а затем

использовать для постановки эксперимента на ЭВМ. Наибольшую

эффективность имитационное моделирование имеет в следующих

случаях.

1. При отсутствии законченной постановки задачи исследова-

ния и изучении объекта моделирования.

2. Для получения новых знаний об объектах и явлениях.

3. При высокой сложности математических моделей, для ана-

литического исследования которых отсутствуют адекватные мето-

ды.

4. При отсутствии возможности изучения процессов и явлений

в реальных ситуациях, например, при исследовании аварий и ката-

строф.

5. При необходимости исследования объекта в течение задан-

ного интервала времени.

6. При проверке адекватности аналитических моделей.

7. При обучении специалистов, например, с помощью трена-

жеров.

Важнейшими достоинствами имитационного моделирования

являются возможность описания поведения объекта на высоком

уровне детализации, отсутствие ограничений на вид зависимостей

между параметрами имитационной модели и состоянием внешней

среды, возможность исследования динамики взаимодействия ком-

понент во времени и пространстве параметров системы. Вследствие

этого имитационное моделирование в настоящее время является од-

ним из наиболее эффективных и перспективных методов при ана-

лизе и синтезе различных систем.

При исследовании систем методом моделирования необходимо

учитывать, что любая модель всегда представляет упрощенное опи-

сание и, следовательно, отличается от объекта. Реализация любого

из рассмотренных методов моделирования сопряжена также с по-

грешностями, основные из которых показаны на диаграмме, приве-

денной на рис. 1.7. Затемнение элементов диаграммы отражает «за-

грязнение» информации об объекте при моделировании и накопле-

ние погрешностей.

Рис. 1.7. Основные источники погрешностей при моделировании

ОбъектМодель

Отображение существенных сторон

Модельный

объект

Имитационное моделирование

Аналоговое моделирование

Натурное

моделирование

Аналогичный

физический

объект

Аналитическое моделирование

Имитационная

модель

Математическая

модель

Погрешности, обусловленные

упрощением

Погрешности, обусловленные

случайным выбором объекта

Погрешности

масштабирования

Погрешности

измерений

Погрешности, обусловленные

неполной аналогией

Погрешности моделирующей

установки

Погрешности ЭВМ

Погрешности приближенных

аналитических методов

Погрешности вычислительных

методов