Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение системы и укажите ее отличи-

тельные свойства.

2. Как оценивается эффективность системы?

3. Приведите классификацию систем и примеры.

4. Какие системы называют автоматическими?

5. Что понимают под управлением в технических системах?

6. Укажите основные функциональные элементы автоматиче-

ских систем.

7. Объясните принцип работы и особенности параметрических

систем автоматического регулирования.

8. Что понимают под законом регулирования? Приведите при-

меры типовых законов регулирования в автоматических системах.

9. В каких случаях применяются одно- и многоконтурные ав-

томатические системы?

10. Дайте сравнительную характеристику систем с подчинен-

ным регулированием координат и с параллельным включением об-

ратных связей.

11. Какими свойствами характеризуется модель системы?

12. Что такое «язык модели»? Какие языки используются для

представления модели?

13. Дайте сравнительную характеристику методов моделирова-

ния.

14. Объясните сущность и области использования имитацион-

ного моделирования.

15. Укажите основные источники погрешностей при моделиро-

вании систем.

16. Какие технические средства используются при моделирова-

нии различных систем?

17. В чем состоят особенности и значение моделирования как

метода научного исследования?

18. На рис. 1.8 показана принципиальная схема параметриче-

ского стабилизатора напряжения. Составьте структурную схему

этой системы, укажите функции всех элементов.

19. На рис. 1.9 показана принципиальная схема простейшего



вых

2VT

1VT

Рис. 1.8. Принципиальная

схема параметрического

стабилизатора напряжения

Рис. 1.9. Принципиальная схема

компенсационного стабилизатора

напряжения

компенсационного стабилизатора напряжения. Составьте струк-

турную схему этой системы, укажите функции всех элементов.

20. Составьте структурную схему генератора колебаний на не-

оновой лампе, упрощенная схема которого показана на рис. 1.10, а.

Статическая характеристика неоновой лампы приведена на рис.

1.10, б, где обозначено:

u - напряжение включения;

u - напряже-

ние отключения.

Рис. 1.10. Принципиальная схема генератора колебаний (а)

и статическая характеристика неоновой лампы (б)

21. В 1750 г. А. Майклом был разработан «зюйд-вестовый»

привод для поворота башни ветряной мельницы по ветру, эскиз ко-

торого показан на рис. 1.11. При помощи вспомогательного ветряка,

ось которого расположена под прямым углом к оси основного вет-

ряка, отклонение в направлении основной башни преобразуется в

механическое движение, которое передается с помощью редуктора к

башне. Башня вращается до тех пор, пока ось вспомогательного

ветряка не окажется расположенной под прямым углом к направле-

нию ветра.

Составьте структурную схему системы и укажите функции всех

элементов.

22. Упрощенная схема системы регулирования угловой скоро-

сти вращения вала паровой машины с помощью регулятора Уатта

показана на рис. 1.12. Изменение момента

M нагрузки приводит к

изменению угловой скорости



вращения вала машины и оси цен-

тробежного регулятора, соединенного с валом при помощи шесте-

ренчатого редуктора. При изменении скорости вращения расходятся

или опускаются шары центробежного регулятора, поднимая или

опуская муфту, которая с помощью механической передачи связана

с дроссельной заслонкой паропровода. Увеличение угловой скоро-

сти приводит к опусканию дроссельной заслонки и уменьшению

подачи пара Q , уменьшение угловой скорости вызывает подъем

дроссельной заслонки и увеличение подачи пара.

Составьте структурную схему системы и укажите функции всех

элементов.

Рис. 1.11. «Зюйд-вестовый»

привод поворота башни

ветряной мельницы

Рис. 1.12. Регулятор скорости

паровой машины

23. На рис. 1.13 показана упрощенная схема автоматической

системы регулирования скорости вращения судового двигателя. На

схеме обозначено: 1 – сервопривод изменения топливоподачи; 2 -

регулирующее устройство; 3 – задатчик скорости вращения; 4 – та-

хогенератор; 5 – шкив, соединяющий вал гребного винта 6 с тахо-

генератором; 7 – двигатель.

Составьте структурную схему системы и укажите функции

всех элементов.

24. На рис. 1.14 показана функциональная схема системы регу-

лирования топливосжигания в паровом котле. Давление пара в ба-

рабане 4 котла поддерживается постоянным системой регулирова-

ния давления, состоящей из регулятора с измерителем 3 и клапана

1, регулирующего подачу топлива к форсунке 5. Подача воздуха к

форсунке котла осуществляется шибером 8 по управляющему сиг-

налу регулятора соотношения 7, на входах которого действуют за-

дающий сигнал (от датчика расхода топлива 2) и сигнал обратной

связи (от датчика расхода воздуха 6). В системе регулируется и

взаимно согласовывается соотношение между количествами пода-

ваемых к форсунке топлива и воздуха.

Рис. 1.13. Автоматическая система

регулирования скорости судового

двигателя

Рис. 1.14. Система регулирова-

ния топливосжигания

в паровом котле

Составьте структурную схему системы и укажите функции всех

элементов.

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2.1. Построение математических моделей непрерывных

динамических систем

Построение математических моделей аналитическими метода-

ми основывается на использовании известных законов природы,

формализованных в виде уравнений Ньютона, Лагранжа, Кирхго-

фа, Максвелла, законов сохранения массы, энергии и импульса, за-

конов перераспределения количества тепла и энтропии. Применение

этих уравнений для конкретного объекта и преобразования позво-

ляют получить аналитическую модель в виде обыкновенных диф-

ференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в част-

ных производных, разностных уравнений и др. Традиционная ана-

литическая модель представляет собой соотношения между «сила-

ми» (интенсивные переменные) и «потоками» (экстенсивные пере-

менные). Основные виды таких соотношений приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Основные соотношения между переменными

в динамических системах

Функции «Силы» «Потоки»

Функции

времени

Разность температур

Разность концентраций

Разность потенциалов

Поток теплоты

Поток массы

Электрический ток

Функции

времени и

координат

Градиент температуры

Градиент концентрации

Градиент потенциала

Вектор плотности потока теплоты

Вектор плотности потока массы

Вектор плотности электри-

ческого тока

Уравнения Ньютона движения механической системы

Для механической системы, состоящей из

материальных то-

чек, при действии каких-либо сил в соответствии со вторым зако-

ном Ньютона движение описывается системой уравнений





,...,



, (2.1)

где

m - масса

-й материальной точки;



- радиус-вектор

-й точки;















rtFF





,, - результирующая всех сил, действующих на

точку;



- множество координат всех точек системы;

- время,



Система уравнений (2.1), записанная в координатной форме,

состоит из

уравнений второго порядка относительно

неиз-

вестных координат













,...,



. Если известны на-

чальные условия, т.е. координаты точек





x ,





y ,





z ,

,...,



и их скорости



















в момент времени



, то система

(2.1) позволяет определить координаты всех точек и их скорости

при любых



, т.е. решить основную задачу классической меха-

ники.

Уравнения движения механической системы в форме (2.1)

справедливы для инерциальной или галилеевой системы отсчета,

для которой выполняется первый закон Ньютона. В такой системе

координат материальная точка, не испытывающая каких-либо воз-

действий, движется равномерно и прямолинейно. Любая другая

система отсчета, покоящаяся или движущаяся равномерно или пря-

молинейно с постоянной скоростью по отношению к исходной сис-

теме отсчета, также является инерциальной. Для множества таких

систем, порождаемых системой отсчета tzyx ,,, , справедливы

следующие преобразования координат и времени:

axx







; byy







;

czz







;





;





; yy





;





;

dtt







;



sincos yxx







;



cossin yxy









;





;





;

tvxx







; tvyy







; tvzz







;





, (2.2)

где

zyx

vvvcba ,,,,, - произвольные постоянные;



- угол поворота системы отсчета относительно одной из осей

координат, например,

Принцип относительности Галилея утверждает равноправие

всех инерциальных систем отсчета. Этот принцип отражает одно-

родность пространства и времени и изотропность пространства (от-

сутствие в нем выделенных направлений). Последнее преобразова-

ние в (2.2) – переход к системе отсчета, движущейся с постоянной

скоростью относительно исходной, называется преобразованием

Галилея.

В неинерциальных системах отсчета второй закон Ньютона в

форме (2.1) не выполняется. Однако при модификации уравнений

(2.1) путем добавления к действующим на систему силам «фиктив-

ных» внешних сил инерции, величина которых определяется из ха-

рактера движения неинерциальной системы отсчета по отношению

к выбранной инерциальной системе, корректность уравнений меха-

ники в форме Ньютона сохраняется.

Уравнения движения механической системы называются инва-

риантными по отношению к заданному преобразованию координат,

если при переходе к новой системе отсчета не изменяется их струк-

тура и не изменяется вид функций от координат, скоростей и уско-

рений, входящих в уравнения. Если при переходе к новой системе

отсчета изменяется структура уравнений движения, но не изменя-

ется вид функций от координат, скоростей и ускорений, то такая

форма записи уравнений движения механической системы называ-

ется ковариантной по отношению к заданному преобразованию ко-

ординат.

Покоординатная форма записи уравнений (2.1) определяет их

ковариантность относительно преобразований (2.2). Однако при

более сложных преобразованиях, например, при переходе к сфери-

ческим или цилиндрическим координатам, ковариантность уравне-

ний движения в форме Ньютона утрачивается.

Уравнения Лагранжа

Для механических систем, представляющих собой множество

взаимодействующих материальных точек (частиц), характерным

свойством которых является их масса, общую форму задания со-

стояния и записи уравнений сформулировал Ж. Луи Лагранж.

Согласно Лагранжу состояние S механической системы описы-

вается обобщенными координатами



, i = 1,...,n, и обобщенными

скоростями



, i = 1,..., n.

Число n независимых обобщенных координат равно числу

степеней свободы системы. На частицы действуют обобщенные си-

лы

Q ,

i = 1,...,n, а также диссипативные силы, зависящие от скоро-

стей частиц. Уравнения движения в этом случае имеют вид

iii



























, i = 1,..., n, (2.3)

где L - функция Лагранжа или лагранжиан, равный разности кине-

тической

W и потенциальной

W энергий системы:

пк

WWL





;

D - диссипативная функция Рэлея,





qkD



k - коэффициент пропорциональности между скоростью i-й

частицы и диссипативной силой.

Преимущество уравнений Лагранжа (2.3) перед уравнениями

Ньютона заключается в том, что они сохраняют форму при перехо-

де к другой системе координат, т.е. являются ковариантными по

отношению к широкому классу преобразований систем отсчета.

Они позволяют получить относительно простое математическое

описание сложных механических систем в произвольных системах

отсчета, в том числе и неинерциальных, без введения дополнитель-

ных сил инерции.

Особое значение при изучении динамических систем имеет

следующее представление. Введем в рассмотрение систему коорди-

нат в воображаемом n-мерном пространстве. Такое пространство

называют конфигурационным или q-пространством. По осям этой

координатной системы будем откладывать значения координат





. Тогда для каждого момента времени t состоянию системы в

обычном пространстве будет соответствовать точка в конфигураци-

онном пространстве. Движению системы в реальном трехмерном

пространстве будет соответствовать движение точки в воображае-

мом n-мерном пространстве. При этом траектория изображающей

точки зависит как от начальных значений координат, так и от зна-

чений начальных скоростей. Поэтому через каждую точку конфигу-

рационного пространства будет проходить бесконечное число тра-

екторий.

Уравнения Гамильтона

При формальном исследовании общих свойств механического

движения часто используется запись уравнений механики в виде

уравнений Гамильтона. Эти уравнения получаются в результате

перехода в уравнениях Лагранжа от одного набора независимых

переменных к другому с помощью преобразования Лежандра. Га-

мильтон получил уравнения движения, в которых независимыми

переменными являются обобщенные координаты

и обобщенные

импульсы

p . Уравнения Гамильтона или канонические уравнения,

в отличие от уравнений Лагранжа являются дифференциальными

уравнениями первого порядка. При описании системы с n степеня-

ми свободы число этих уравнений равно 2n.

В качестве функции, характеризующей механическую систему,

Гамильтон использовал энергию, выраженную через переменные

q и

p :

   

tqqLqptpqH

iiii

,,,,









Функцию Н называют функцией Гамильтона или гамильтониа-

ном системы. Физический смысл функции

заключается в сле-

дующем. Если преобразования исходной системы стационарны, т.е.

явно не зависят от времени, то в любой момент времени гамильто-

ниан численно равен полной энергии системы

EWWH







пк

Обобщенный импульс

определяется выражением





 ,

,...,



Уравнения Гамильтона имеют вид







;







;

,...,



Полная производная от функции

по времени имеет вид



















Подставив в полученную формулу выражения для



из

уравнений Гамильтона, получим



 . (2.4)

Таким образом, если функция

явно не зависит от времени,

то согласно (2.4) она является интегралом движения.

Пространство размерностью 2n с координатами, соответст-

вующими обобщенным координатам и обобщенным импульсам

системы, носит название фазового пространства. При движении

системы в физическом пространстве со временем изменяется поло-

жение изображающей точки в фазовом пространстве. При этом тра-

ектория в фазовом пространстве однозначно определяется началь-

ной точкой. Следовательно, через каждую точку фазового простран-

ства проходит только одна траектория.

Принцип наименьшего действия

Этот принцип сформулирован в 1834 г. Гамильтоном и до на-

стоящего времени считается одним из основных принципов физики.

Действием S за интервал времени от

t до

t называют интеграл