Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

входящими в ее базовый набор. Реальный прогноз делается

по

предиктору, отобранному после анализа работы этих

четырех моделей на ретроспективных данных.

Результаты испытаний этих моделей при х — 1 и т = 2

сведены в табл. 5.4 и 5.5. Там же для сравнения приведены

данные по моделям Брауна. Прямоугольником выделен

наилучший результат по строке, а наилучший результат,

полученный методом эволюции, выделен жирным шрифтом.

При

т = 1 незначительное преимущество имеют модели

Брауна..При

%~2 это преимущество утрачивается и оба

метода

дают

примерно равную точность. При этом с вычис-

лительной точки зрения метод эволюции предпочтительнее

метода Брауна, при котором требуется процедура опти-

мизации

параметра а.

Сделаем некоторые выводы. В

главах

4 и 5 рассмотрены

попытки

эмпирического совершенствования адаптивных

моделей с помощью автоматической регулировки параметра

сглаживания, предложена простая схема адаптации струк-

туры

модели методом селекции или путем симбиоза несколь-

ких предикторов. Показана- эффективность ряда моделей

при

краткосрочном прогнозировании. В силу простоты

этих моделей нельзя ожидать

от

них большой точности. Ви-

димо,

почти в каждом

случае

можно отыскать способ по-

лучения более точных

прогнозов.

Однако надо иметь в

виду,

что основное назначение этих моделей — автоматическая

обработка большого количества рядов. Поэтому решалась

не

столько задача поиска оптимальных систем, сколько

проблема создания универсальных предикторов, пригодных

Для практической обработки рядов с различной динамикой.

Предлагаемые методы

могут

быть также рекомендованы для

случаев, когда нельзя раз и навсегда выбрать какую-либо

одну определенную

структуру

модели. Именно поэтому они

могут

найти применение в ряде исследований.

Применение

моделей с адаптивной структурой вызывает

множество вопросов, ответить на которые пока трудно, это

прежде всего вопросы, касающиеся выбора исходных пре-

дикторов для формирования базового набора и регулиро-

вания

инерционности переключения с модели на модель.

Однако это направление, на наш взгляд, перспективно для

Дальнейших исследований.

131

Сравнение

метода

Брауна с

методом

эволюции

по средним

квадратам

ошибок ретроспективных прогнозов,

сделанных

на один шаг

вперед

(т=1)

Таблица 5.4

Выборка нз ряда

Курс

акций

фирмы

ИВМ,

дол.

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Цена

на золото, дол. за унцию

Цена

на золото (часть 1)

Цена

на золото (часть 2)

Цена

на золото (часть 3)

Цена

на золото (часть 4)

Цена

на золото (часть 5)

Число

точ

144

360

Метод

Брауна

№

модели

средний

Квадрат

ошибки

41,427 |

32,956 |

46,294 |

43,419 |

0,50123^]

10,08265]

10,104801

10,028841

[0,145211

J0,84637 (

Метод

»волюции

средний

квадрат

ошибки

модель

№

43,419

37,565

46,445

53,252

0,51263

0,09869

0,10958

0,02913

0,16726

0,96741

модель

№

64,315

47,913

72,234

58,787

0,64924

0,09877

0Д4941

0,02902

0,18879

0,93089

модель

№

80,240

73,710

79,970

68,305

0,76728

0,14866

0,27336

0,03089

0,30078

0,98194

комбини-

рованная

44,728

34,863

49.30&

49 ,-516

0,65877

0,0971»

0,13601

0,03224'

0,1472fr

0,94999-

Цена

на золото (часть 6)

Поставка минеральных

удобрений сельскому

хозяйству,

тыс. т усл. ед.

Производство электроэнер-

гии, млрд.

кВт-ч

Производство гидроэлектро-

энергии,

млрд.

кВт-ч

Сумма вкладов населения

в сберкассы, млн. руб

Численность городского

населения, млн. чел.

Протяженность нефте- и

нефтепродуктопроводов,

тыс. км

Грузооборот

нефте- и нефте-

продуктопроводов, ткм

Урожайность зерна,

ц.

с га

Урожайность картофеля,

цс га

Урожайность овощей,

с га

Производство яиц,

млрд. шт.

1,6928

128,148-105

26,593

27,456 1

10,92X101

10,32741)

1,4529

168,73 |

2,2653 |

170,716

78,732 |

1,9412

1,4022 f

201,978-105

1888,7

54,920

307,6-

10S

28,067

13,872

2757,0

3,2946

162,68 |

121,31

9,2810

1,9341

41,999-10

22,829

37,274"

19,04-105

0,56278

1,6304

322,11

3,1126

186,43

90,85

2,2714

2,6717

30,898-10S

31,063

38,893

J9,872-105|

0,81668

1,4723

296,64

3,0164

202,33

100,58

2,2063

1.540Г

32,579-10

21,722 |

32,424

И.вб-Ю

0,43933

1,5126

298,66

3,2191

198,12

117,68

1,7782

Сравнение

метода

Брауна с

методом

эволюции по средним

квадратам

ошибок

ретроспективных прогнозов,

сделанных

на два

шага

вперед

(т=2)

Таблица 5.5

Выборка

из ряда

Курс

акций

фирмы

ИБМ,

дол.

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Курс

акций

фирмы

ИБМ

(часть

Цена

на золото, дол. за унцию

Цена

на золото (часть 1)

Цена

на золото (часть 2)

Цена

на золото (часть 3)

Цена

на золото (часть 4)

Цена

на золото (часть 5)

Цена

на золото (часть 6)

Поставка

минеральных

удоб-

рений

сельскому хозяйству,

тыс. т усл. ед.

Число точ

144

360

Метод Брауна

№

модели

-1

средний

квадрат

ошибки

) 80,153 I

60,628

89,277

80,414

0,86646 |

0,12906 |

0,21768 |

0,03570

0,26517 |

1,2007

2,0442

96,117-10

Метод

эволюции

средний

квадрат ошибки

модель №

81,478

66,315

87,494 |

103,062

0,89830

0,18163

0,24762

0,037352

0,32079

1,77632

1,9197 |

684,509-10

модель №

96,944

67,956

119,665

79,826 1

1,10362

0,19527

0,35511

0,033487 |

0,31179

1,32608

3,1570

98,276-

модель №

144,213

109,710

117,536

110,895

1,28570

0,21458

0,40347

0,037917

0,48198

1,32086

3,8169

]89,329-10б

комбиниро-

ванная

85,298

58,396 |

95,678

85,628

1,03500

0,15003

0,25994

0,040031

0,36845

1,63410

2,0578

99,061-10&

Продолжение

14т

Выборка

из

ряда

Производство электроэнер-

гии,

млрд.

кВт-ч

Производство гидроэлектро-

энергии,

млрд.

кВт-ч

Сумма

вкладов

населения

в сберкассы, млн. руб

Численность

городского

населения, млн. чел.

Протяженность нефте- и

нефтепродуктопроводов,

тыс. км

Грузооборот

нефте- и нефте-

продуктопроводов,

ткм

Урожайность

зерна,

ц с га

Урожайность

картофеля,

цс га

Урожайность

овощей,

ц с га

Производство

яиц,

млрд.

шт.

Метод Брауна

средний

квадрат

ошибки

113,153

59,887

54,069-10

1,46924

3,3538

829,8

2,2758

166,539

[ 76,065

6,1755

Метод

эволюции

средний

квадрат ошибки

модель

№

6937,3

158,68

1014,2.10

86,821

44,1430

8836,7

3,4959

188,17

173,23

26,318

модель

№

82,446

60,268

80,8Ы05

0,95485 |

2,2234

1051,5

3,3335

215,31

93,43

3,2831

модель №

51,701 |

51,062 |

44,59-Ю

. |

1,28914

1,7879

599,1 |

3,9829

250,76

110,26

4,1259

комбиниро-

ванная

95,061

51,592

48,83-Ю

1,27009

2,0119

702,2

4,1992

225,86

133,86

4,9086

Глава 6

БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД

КРАТКОСРОЧНОМУ ПРОГНОЗИРОВАНИЮ

В основе

подхода,

рассматриваемого в этой гла-

ве, лежит гипотеза о том, что исследуемый временной ряд

генерируется не одной, а несколькими простейшими веро-

ятностными моделями поочередно, т. е. речь идет, как и

предыдущей главе, о построении модели с множеством

состоянии.

Причем переключение

одного состояния

на

дру-

гое является вероятностным процессом и

соответствует

то

появлению увеличенных случайных возмущений, то сту-

пенчатым изменениям уровня ряда, то скачкам в динамике

их роста. При таком

подходе

события, имеющие случай-

ный

характер,

получают

ясное отражение в модели, а по-

следовательно поступающие данные используются для под-

счета апостериорных вероятностей и анализа ситуаций.

§ 1. МОДЕЛЬ С МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ

Если ввести обозначения: x

— текущее зна-

чение ряда; a

lt t

— текущий уровень после исключения

сезонных колебаний; а

, t — текущее значение коэффици-

ента линейного роста; f

— текущее значение коэффициента

сезонности, то обычно принимается гипотеза, что ряд гене-

рируется следующим образом:

(6.1)

где е* — шум;

щ — возмущение уровня;

— возмущение коэффициента линейного роста.

Случайные компоненты ё, и, v предполагаются незави*

симо и нормально распределенными с нулевыми средними

известными дисперсиями D

, £>

, D

Этот тип модели, в котором как уровень, так и параметр

линейного роста подвержены непрерывным случайным воз-

мущениям, часто оказывается полезным в прогнозировании

практических временных рядов. Харрисоном было показа-

но

[67], что при генерировании ряда моделью типа (6.1)

с постоянными дисперсиями

£>

#ц» ^о и без эффекта се-

зонности

оптимальный предиктор (в смысле минимума квад-

ратов ошибок) в точности эквивалентен модели

Хольта:

где постоянные сглаживания а

и а

теоретически являются

функциями

отношений

дисперсий

DjD

Широкое

применение этой модели для краткосрочного

прогнозирования,

как

линейной

модели Брауна

(см.

гл» 1),

основанной

на экспоненциально взвешенной регрессии и

являющейся частным

случаем

модели

Хольта,

фактически

свидетельствует

о приемлемости гипотезы (6.1) для многих

временнйх рядов.

Как

уже отмечалось, важной проблемой при построении

таких прогностических

систем

является выбор параметров %

, который определяет ее чувствительность. Чувстви-

тельная система быстро

реагирует

на реальные изменения,

а нечувствительная не

реагирует

на шум и случайные от-

клонения.

Оба свойства полезны, но находятся в противо-

речии, и вследствие

того,

что фильтрация шума и случайных

возмущений

требуется

чаще, чем адаптация к новому уров-

ню или скорости роста, обычно на практике

делают

эту

систему малочувствительной. Однако, когда такая система

встречается с серьезными изменениями в динамике ряда,

она

не сигнализирует

их

появлении,

а лишь медленно дви-

гается к новому уровню. В итоге в течение определенного

периода ошибки прогнозов

могут

достигать значительной

величины.

В гл. 4 были рассмотрены попытки сконструировать

адаптивные системы, которые одновременно сигнализируют

появлении необычных ситуаций и повышают чувстви-

137

тельность модели так, что необходимость вмешательства

человека значительно уменьшается. В частности, Тригг и

Лич предложили систему, адаптивную к

изменениям

в уров-

не,

но не

обладающую

такими свойствами по отношению

резким скачкам в

коэффициенте

роста. К

тому

же их сис-

тема характеризуется нежелательной реакцией на импульс-

ные

возмущения. В данной

главе

рассматривается попытка

преодолеть эти трудности с помощью байесовского под*

хода,

использованного П. Харрисоном и К. Стевенсом 166]

при

разработке модели с множеством состояний.

Возвратимся к гипотезе (6.1). Генерирующая модель

содержит

случайную

компоненту &

, которая оказывает

воздействие

только

на текущее'наблюдение

не

отражается

на

будущих

значениях а

и а

а также возмущения щ и v

значения

которых влияют на последующее движение сис-

темы. Например, необычно большое значение щ означало

бы ступенчатый

переход

на

новый

уровень, а

необычно

боль-

шое значение v

вызвало бы скачок в

коэффициенте

линей-

ного роста; в то же время чрезмерно большое значение e

выражалось бы в появлении случайного импульсного от-

клонения,

не оказывающего, однако, никакого влияния

на

будущее

поведение ряда. Такие чрезмерно большие зна-

чения

случайных компонент

могут

встречаться в реальных

данных,

хотя

вероятность их появления обычно мала.

Может быть выдвинуто предположение, что для каждой

из

случайных величин щ,

Щ>

t имеется

не

одно,

а некоторое

число

альтернативных

распределений,

в соответствии с

кото-

рыми

генерируются их текущие

значения.

Формально

этом

случае

генерирующая модель имеет следующий вид.

Пусть k — число состояний,

Prj — вероятность наступления /-го состояния,

/ =

.-, к.

Тогда, если в момент t система находится в /-м состоя-

нии,

случайные компоненты в*, u

> v

генерируются про-

цессами:

(6.2)

Таким

образом, система имеет параметры:

138

В дальнейшем

будем

различать четыре состояния

про-

цесса, иллюстрируемые рис. 6.1,

именно: «отсутствие из-

менений», «ступенчатое изменение», «изменение

коэффи-

Рис.

6.1. Основные состояния процесса, генерирую-

щего временной ряд

циенте линейного роста», «случайное импульсное отклоне-

ние». Качественная характеристика дисперсий, необхо-

димых для описания этих состояний, приведена

табл.

ьл.

Таблица 6.1

Характеристика дисперсий генерирующего процесса

с четырьмя состояниями

139

Состояние

Отсутствие

изменений

Ступенчатое изменение

Изменение коэффициента ли-

нейного роста

Случайное импульсное от-

клонение

———————

Нормальная

Большая

Ноль

Большая

Ноль

Большая

Ноль

§ 2. БАЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД

Совершенно очевидно, что действительные зна-

чения

i и а

, t

нашем генерирующем процессе остаются

неизвестными, более того, они подвержены непрерывным

возмущениям. В этой ситуации естественно говорить о за-

конах распределения значений a

1>t

и а

и изучать моди-

фикацию

этих распределений по'поступающим новым на-

блюденным членам ряда x

t + 1

, ... Будем рассматривать

двумерные нормальные распределения р

(их,

) и введем

следующие обозначения первого и второго моментов, опу-

ская

при этом индекс t:

(6.3)

где, например, М (а

) —

^ciipjfli,

а^дщйа^.

Введем

также вектор моментов Ф = {öi, a

, m (a

), т (а

, а

т (а

, а

)}.

Индексы

при

будем

понимать как относящиеся ко всем

его

компонентам,

т. е.

Запись

(а

, а

) ~ N (Ф)

будет

означать, что пара величин

(«1,

) имеет совместное двумерное нормальное распреде-

ление с параметрами Ф.

Для обозначения смеси k двумерных нормально распре-

деленных совокупностей с параметрами Ф<'\ i — 1, ..., к,

будем

использовать запись

Эта запись указывает, что значения

двух

случайных ве-

личин

могут

с вероятностью v<*> принадлежать совокуп-

ности с i-u распределением.

Следует

обратить внимание на то, что распределение

(

i.t»

«2,<) — это байесовское апостериорное (по отноше-

140