Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

Ю.П.

ЛУКАШИН

АДАПТИВНЫЕ

МЕТОДЫ

КРАТКОСРОЧНОГО

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ВРЕМЕННЫХ

РЯДОВ

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением

по

образованию

области статистики

качестве учебного

пособия

для

студентов

высших

учебных

заведений,

обучающихся

по

специальности 161700 "Статистика"

другим

экономическим

специальностям

МОСКВА

"ФИНАНСЫ

И СТАТИСТИКА"

2003

УДК

338.27.015(075.8)

ББК

65.23я73

Л84

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

кафедра статистики

эконометрики

Московского государственного университета

экономики,

статистики и информатики — МЭСИ

(заведующий кафедрой доктор экономических наук,

профессор B.C. Мхитарян);

Е.М. Четыркин,

доктор экономических наук, профессор

Лукашин Ю.П.

Л84 Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования

временных рядов:

Учеб.

пособие.

М.: Финансы и статисти-

ка,

2003.-416

с: ил.

ISBN

5-279-02740-5

Посвящено построению статистических моделей

переменными

параметрами

для

прогнозирования нестационарных временных рядов.

Рассмотрены адаптивные модели полиномиальных

стохастических

трендов, сезонных

циклических колебаний, гистограмм, модели

се-

мейства ARIMA, ARCH. Приводятся примеры прогнозирования курсов

акций,

валют,

цен на

золото. Материалы пособия апробированы

на

занятиях

МЭСИ,

МИРБИС

других

вузах.

Для студентов, аспирантов, преподавателей экономических вузов,

менеджеров

финансовых аналитиков.

1602090000-149

УДК

338.27.016(075.8)

010(01)-2003

2003

ББК65.23я73

ISBN

5-279-02740-5

ю.П. Лукашин,

2003

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие посвящено одному из совре-

менных направлений статистического анализа

прогнозирова-

ния

временных рядов. Важность этого направления не вызывает

сомнения,

так как необходимость решения соответствующих за-

дач

помощью адаптивных методов возникает сравнительно час-

то. Адаптивные методы

могут

применяться для прогнозирования

показателей фондового рынка, денежных потоков, изменений ежед-

невных остатков на складах,

инструментальных кладовых, ма-

газинах. С помощью этих же методов удается описать эволюцию

изменения

технико-экономических характеристик изделий и пере-

менных параметров химических процессов, изучить поведение по-

казателя частоты отказов оборудования в зависимости от его воз-

раста. Наконец, названные методы полезны при анализе сезонных

явлений.

В ряде случаев эти методы

могут

с успехом применяться

для прогнозирования макропоказателей. Методы адаптивного про-

гнозирования применяются там, где основной информацией для

прогноза являются временные ряды.

Инструментом прогноза при адаптивном методе служит мо-

дель. Первоначальная оценка параметров этой модели основы-

вается на данных базового (исходного) временного ряда. На ос-

нове новых данных, получаемых

на

каждом следующем шаге,

происходит корректировка параметров модели

во

времени,

их

адаптация

новым, непрерывно изменяющимся условиям

развития явления. Таким образом, модель постоянно «впитыва-

ет» новую информацию и приспосабливается

ней.

Адаптивные модели изолированных рядов при всей

их

про-

стоте

могут

давать более надежные результаты, чем сложные

эконометрические системы уравнений. Так, при существенной

перестройке некоторой экономической структуры (например, под

влиянием научно-технического прогресса, изменений социально-

политических условий и т.п.) эконометрическая модель

посто-

янными

параметрами

будет

экстраполировать существенно ус-

таревшие зависимости. Адаптивная модель в таких же условиях

перманентно приспосабливается

учитывает эти изменения.

Здесь уместно сослаться на эксперимент Ч. Нельсона (1972 г.), в

котором сравнивалась точность прогнозов, полученных на осно-

ве эконометрической модели, состоящей из нескольких уравне-

ний,

и достаточно простых адаптивных моделей, применявшихся

для прогнозирования нескольких временных рядов. Оказалось,

что для периода, использованного при оценивании параметров

эконометрической

модели, последняя показала лучшее прибли-

жение к данным наблюдения, чем адаптивные модели. Однако

за пределом периода наблюдения с помощью эконометрической

модели (с экзогенными реальными данными) полученные резуль-

таты

хуже,

чем с помощью адаптивных моделей.

Рассматриваемые в данном пособии методы обладают сле-

дующими свойствами:

• они применимы для широкого круга задач;

• адаптивное прогнозирование не

требует

большого объема

информации,

оно базируется на интенсивном анализе

инфор-

мации,

содержащейся в отдельных временных рядах;

• модель, описывающая

структуру

показателя и его дина-

мику, как правило, отличается ясностью и простотой матема-

тической формулировки;

• неоднородность временных рядов и их связей находит от-

ражение в адаптивной эволюции параметров или

даже

струк-

туры

моделей.

Вышеизложенное, однако, не означает, что адаптивные мето-

ды и модели

могут

заменить любые

другие

виды моделей. Эти

методы пригодны лишь для обработки рядов с умеренными из-

менениями

во времени. Они оказываются весьма грубыми при

прогнозировании

на большое число шагов вперед. Тем не менее

следует

отметить, что в последние годы они получили значитель-

ное

развитие, в том числе и благодаря усилиям автора книги.

Начало развития методов адаптивного прогнозирования, по-

видимому, положено работой Ч.

Хольта,

появившейся в 1957 г.

В ней рассматривалась проблема экспоненциального сглажи-

вания.

Наиболее полно этот вопрос был изучен Р.Г. Брауном и

автором данного учебного пособия. В настоящее время имеется

обширная

литература, в которой предлагаются различные ме-

тоды и модели, относящиеся к адаптивному прогнозированию.

Цель

настоящего издания - обобщить материал, представ-

ленный

в многочисленных монографиях и статьях, как отече-

ственных, так

зарубежных. При этом автор выявляет их силь-

ные

и слабые стороны, сопоставляет их свойства, базируясь на

экспериментальных расчетах.

Безусловный интерес вызывают предложенные автором не-

которые новые подходы: адаптивные измерители корреляции

(гл. 9); комбинирование одновременно нескольких моделей с

различными структурами и переключение с одной на

другую

зависимости от текущих свойств ряда (гл. 5); критерии и мето-

ды оптимизации адаптивной гистограммы (гл.11); применение

принципа

адаптивной фильтрации для построения адаптивных

авторегрессионных и многомерных моделей (гл. 3, 8 и 14).

Рассмотрены современные представления о детерминирован-

ном

и стохастическом характере тренда и методы статистичес-

кой

идентификации типа тренда (критерии Дикки—Фуллера (гл.

12)); понятия интегрированности и коинтегрированности пере-

менных (гл. 13), используемые при спецификации регрессион-

ных уравнений модели. Большое внимание

уделено

моделям ав-

торегрессии-скользящего среднего, разработанным Дж. Боксом

Г. Дженкинсом (гл. 7), современным методам их оценивания

(гл. 12), их использованию для моделирования локальных коле-

баний

дисперсии остаточного члена уравнения или ошибок про-

гнозов (модели семейства ARCH, GARCH и др. - гл. 14).

Положительным моментом является введение в

учебное

по-

собие примеров практического применения рассматриваемых

подходов

для прогнозирования реальных экономических пока-

зателей: курсов акций, цены на золото, курсов

валют

(гл.

1,2,5,

7 и 16), кассовых остатков в банковском учреждении (гл. 11),

некоторых макроэкономических показателей (гл. 8). Этому спо-

собствовало сочетание автором научной и практической рабо-

ты и, в частности, сотрудничество с Центральным банком Рос-

сийской

Федерации, Внешэкономбанком, Центральной расчетной

палатой, Московской межбанковской валютной биржей.

В учебном пособии нашли отражение научные разработки ав-

тора разных лет (последнее десятилетие представлено в гл.

9-16),

апробированные на международных и российских конференциях,

в процессе преподавания таких дисциплин, как «Эконометрика»,

«Статистические методы прогнозирования», «Прогнозирование

социальных и экономических процессов», «Финансовая матема-

тика», в

МЭСИ,

МИРБИС

других

вузах

Москвы.

Это

учебное

пособие поможет

студенту

освоить современ-

ные методы статистического прогнозирования, аспиранту и

практику

—

найти наиболее эффективный

метод

прогнозирова-

ния,

теоретику и разработчику моделей позволит сократить

период ознакомления с достижениями данного направления.

Профессор ЕМ.

Четыркин

ВВЕДЕНИЕ

Экономическое прогнозирование характеризу-

ет

будущее

развитие, исходя из гипотезы, что основные

факторы и тенденции прошлого периода сохранятся на

период прогноза или что можно обосновать и

учесть

на-

правление их изменений в рассматриваемой перспективе.

Надежды здесь возлагаются на инерционность экономиче-

ских систем.

Между

тем в большинстве

случаев

подвиж-

ность экономических явлений возрастает.

Наибольшей инерционностью

обладают

макроэконо-

мические характеристики. Для параметров, описывающих

процессы, происходящие на уровне отраслей, предприятий,

цехов, характерна большая зависимость от местных усло-

вий.

В современных условиях исследователь часто имеет

дело

с новыми экономическими явлениями с короткими

статистическими рядами или со старыми явлениями,

претерпевающими коренные изменения, поэтому при ис-

пользовании информации для построения моделей

встает

вопрос о преемственности данных. Устаревшие данные при

моделировании часто оказываются бесполезными и

даже

вредными. К

тому

же статистическое описание процесса

редко может удовлетворить, потому что необходимо знать,

не

как развивается процесс в среднем, а как

будет

разви-

ваться его тенденция, существующая в данный момент.

Значит, надо строить модели, опираясь в основном на ма-

лое количество самых свежих данных. В этом

случае

аль-

тернативой статистическому обоснованию модели может

быть наделение ее адаптивными свойствами.

Направленное развитие экономической системы прокла-

дывает

себе

путь

через единичные явления в условиях

столкновения противоборствующих сил и поэтому обычно

предполагается стохастическим процессом. Для прогно-

зирования

стационарных процессов

математический аппа-

Процессы

неизменными

основными характеристиками, таки-

ми,

как математическое ожидание, дисперсия, автокорреляцион-

ная

функция.

рат разработан довольно хорошо. Но экономические про-

цессы, как правило, являются нестационарными. Чем боль-

ше период прогноза (упреждения), тем больше возможностей

для изменения тенденций экономического развития, особен-

но

в современных условиях. Кроме того, в исследуемом

периоде

могут

произойти вообще непредвиденные, непред-

сказуемые события, существенно деформирующие изучае-

мый процесс. К непредсказуемым событиям относятся та-

кие,

для предвидения которых в момент составления прог-

ноза нет необходимых данных, или такие, природа которых

неопределенна.

В. Н.

Тутубалин

в работе 132] совершенно справедливо

отмечает широко распространенное заблуждение, согласно

которому если некоторая величина не является детерми-

нированной

(т. е. предопределенной), то она может рас-

сматриваться как случайная. Это совершенно неверно,

потому что случайность

требует

статистической устойчиво-

сти. Таким образом,

кроме

детерминированных и случайных

величин бывают еще неопределенные.

Между

тем.матема-

тическая модель может содержать либо детерминированные,

либо случайные величины, либо те и

другие

вместе, но

при

нынешнем состоянии науки не может содержать неоп-

ределенных. Следовательно, искусство построения мате-

матической модели состоит в том, чтобы неопределенные ве-

личины,

с которыми приходится иметь

дело

на практике,

приближенно представить через детерминированные и слу-

чайные. Это значительно затрудняет экономическое прог-

нозирование.

В ряде

случаев

экономико-математические модели прог-

нозирования

могут

быть полезным инструментом исследо-

вания.

При этом, конечно, для увеличения точности прог-

нозов экономического развития

изменяющихся условиях,

условиях неопределенности или неполной информации

необходима работа по совершенствованию моделей. Важ-

ную роль в этом должны сыграть адаптивные методы про-

гнозирования.

Отличие адаптивных моделей от

других

прог-

•

ностических моделей состоит в том," что они отражают те-

кущие свойства ряда и

способны

непрерывно

учитывать

эво-

люцию динамических характеристик изучаемых процессов.

Цель адаптивных методов заключается в построении само-

корректирующихся (самонастраивающихся) экономико-ма-

тематических моделей, которые способны отражать изме-

няющиеся

во времени условия, учитывать информацион-

ную ценность различных членов временной последова-

тельности и давать достаточно точные оценки

будущих

членов данного ряда. Именно поэтому такие модели пред-

назначаются прежде всего для краткосрочного прогно-

зирования.

Отметим различие понятия краткосрочного прогноза

экономике и статистике. В экономике под краткосрочным

прогнозом обычно пойимают прогноз с периодом упрежде-

ния

до одного

года.

В статистике информацию о процессе

обычно получают в виде записей значений, наблюденных

через равные промежутки времени. Соответственно под

краткосрочным прогнозом, как правило, подразумевается

прогноз на один интервал времени (в крайнем

случае

на

несколько).

Сам же интервал может быть любым. Статис-

тика интересует не величина временного интервала, а объем

выборки, ее однородность и т. п. Именно в этом статисти-

ческом смысле нужно понимать название предлагаемой

книги.

Основным средством анализа и прогноза временного ряда

будет

модель. Понятие модель используется в

двух

значе-

ниях:

как модель временного ряда, выражающая закон

генерирования членов ряда, и как прогнозная модель, или

предиктор. Главное отличие этих

двух

типов моделей в том,

что на

выходе

модели временного ряда фактические члены

ряда, а на

выходе

прогнозной модели — оценки

будущих

членов ряда. Теоретически свойства предиктора

исследуют-

ся

в предположении, что он применен для получения прог-

нозов

некоего процесса, генерируемого моделью, заданной

аналитически.

На

временной ряд воздействуют в разное время различ-

ные факторы. Одни из них по тем или иным причинам ос-

лабляют свое влияние,

другие

воздействуют активнее. Та-

ким

образом, реальный процесс протекает в изменяющихся

условиях, составляющих его внешнюю

среду,

к которой

он

приспосабливается, адаптируется. А модель, в свою оче-

редь, адаптируется к

ряду,

представляющему этот процесс.

Поскольку мы рассматриваем варьирующие, нестационар-

ные ряды, т. е. ряды, у которых уровень, скорость линей-

ного роста и прочие характеристики не остаются постоян-

ными

во времени, модель

будет

всегда

находиться в дви-

жении.

Образно говоря, процесс адаптации модели к ряду

можно было бы назвать «гонкой за лидером»,

По-видимому,

трудно

провести

четкую

грань, отделяю-

щую адаптивные методы прогнозирования от неадаптив-

ных. Уже прогнозирование методом

экстраполяции

обычных

регрессионных кривых содержит некоторый элемент адап-

тации,

когда с каждым новым получением фактических

данных параметры регрессионных кривых пересчитываются,

уточняются. Через достаточно

большой

промежуток

времени

может быть заменен

даже

тип кривой. Однако здесь степень

адаптации весьма незначительна; к

тому

же с течением вре-

мени

она падает вместе

увеличением общего количества на-

блюденных точек и соответственно с уменьшением в вы-

борке

удельного

веса каждой новой точки.

Модификацией

этого метода является метод кусочно-

линейной

аппроксимации, использование которого

ведет

уменьшению

«памяти»

модели, к

«забыванию»

старых

данных и построению линий регрессии на искусственно

ограниченном количестве информации. Этот метод

лучше

учитывает

новые тенденции, быстрее приспосабливается

изменившимся характеристикам процесса, но зато силь-

нее

реагирует

на помехи, случайные отклонения и искаже-

ния

в связи с уменьшением доли «наследственности». Со-

отношение

между

«изменчивостью» и «наследственностью»

кусочно-линейном варианте регрессионного анализа

определяется субъективным выбором интервалов аппрок-

симации.

Недостатком является также то, что ценность

информации

в пределах интервала аппроксимации считается

одинаковой независимо от возраста, а вне его пределов

скачком падает до нуля,-

Ценность

информации в зависимости от возраста можно

учесть

с помощью геометрически убывающих весовых ко-

эффициентов

(взвешенная регрессия).

Введем

веса для квадратов ошибок. Совокупность ве*

совых коэффициентов представляет собой функцию цен-

ности

информации

от времени. Тогда параметры регрессион-

ных кривых

будут

отыскиваться из условия

где Т — текущий момент времени;

Хт—1

— фактическое значение процесса в мо-

мент Т — i\

Ут~{(

•••>

) —значение подбираемой функции в мо-

мент Т — i.

Веса

ошибок для более ранних моментов времени

уменьшаются по закону убывающей геометрической про-

грессии. Минимум этого выражения достигается

при

равен-

стве

нулю

частных производных функционала по а

}

• В данном

случае

функция ценности информации

будет

иметь

экспоненциальную форму в отличие от прямоугольной

случае

простого или кусочно-линейного метода построе-

ния

регрессионных кривых. Такое взвешивание ошибок

обеспечивает лучший подгон

регрессионной кривой к бо-

лее свежим данным.

Выбор величины ß зави-

сит прежде всего от харак-

тера моделируемого процес-

са, от его динамических

свойств и статистических ха-

рактеристик. Во многом вы-

бор ß зависит от опыта ис-

Рис.

Сравнение

моделей: следователя. Наилучшее ее

а)

обычная линейная регрессия;

Значение

МОЖНО

уСТЭНОВИТЬ

б)

8КСПОН

но^вешенная

ли-

ЭКСПврИМвНТаЛЬНО

МетОДОМ

в) обычная параболическая регрес- проб.

Положительным свойст-

вом такой модели является ее

способность

лучше

приспосабливаться к динамике про-

цесса.

Следует

подчеркнуть, что если при выборе типа кри-

вой регрессии была допущена ошибка, то в данной модели

она

обычно частично компенсируется. Это иллюстрирует

рис.

Вместо параболы ошибочно была взята прямая. В слу-

чае обычной регрессионной модели процесс характеризо-

вался бы прямой (а), в

случае

экспоненциально-взвешенной

регрессии —

прямой.

(б).

Как видим, прогноз по прямой

(б)

будет

точнее. Однако такой

подход

обладает

рядом не-

достатков, главными из которых являются субъективность

выбора

структуры

модели, ее чрезмерная жесткость и в си-

лу этого автокоррелйрованность остатков. Громоздкий

пересчет параметров регрессионных кривых с получением

каждой

новой

точки

требует

повторного вовлечения в вычис-

лительную процедуру всего объема

информации.

Адаптив-

ное моделирование позволяет в известной мере избавить-

ся

от этих недостатков,