Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

У истоков адаптивного направления лежит простейшая

модель экспоненциального сглаживания. Модификации и

обобщения

этой модели привели к появлению целого се-

мейства адаптивных моделей с различными свойствами.

Остановимся на основных особенностях предлагаемых

вниманию

читателя методов адаптивного моделирования.

Прежде всего отметим, что все рассматриваемые модели

имеют жесткий алгоритм поведения. Однако, как известно,

система может быть механистической по своей природе

об-

наруживать тем не менее адаптивные свойства. Адаптация

данных моделях слагается из небольших дискретных сдви-

гов. В основе процедуры адаптации лежит метод проб

оши-

бок,

который совершенно справедливо считается универ-

сальным путем выработки нового поведения. Такой процесс

необходим, ибо только он позволяет извлечь нужную ин-

формацию,

без которой успешная адаптация невозможна.

Последовательность процесса адаптации в основном вы-

глядит следующим образом. Пусть модель находится в не-

котором исходном состоянии (т. е. определены текущие зна-

чения

ее

коэффициентов)

и по ней делается прогноз. Выжи-

даем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирова-

ния),

и анализируем, насколько далек результат, получен-

ный

по

модели,

от

фактического

значения

ряда.

Ошибка

прог-

нозирования

через обратную связь поступает на

вход

си-

стемы и используется моделью в соответствии с ее логикой

для перехода из одного состояния в

другое

с целью*боль-

шего согласования своего поведения с динамикой ряда.

На

изменения ряда модель должна отвечать «компенсирую-

щими» изменениями. Затем делается прогноз на следую-

щий

момент времени, и весь процесс повторяется.

Таким

образом, адаптация осуществляется итеративно

получением каждой новой фактической точки ряда. Одна-

ко

каковы должны быть правила перехода системы от од-

ного состояния к

другому?

Другими словами, какова долж-

на

быть «логика механизма» адаптации? В сущности, этот

вопрос решается каждым исследователем интуитивно. «Ло-

гика

механизма» адаптации задается априорно, а затем

проверяется эмпирически. При

построении,

модели

"мы

не-

избежно наделяем ее «врожденными» свойствами и вместе

тем для большей гибкости должны позаботиться о

меха-

низмах

«условных

рефлексов», усваиваемых или утрачи-

ваемых с определенной инерционностью. Их совокупность

составляет «логику механизма» адаптации.

Быстроту реакции модели на изменения в динамике про-

цесса характеризует так называемый параметр адаптации.

Процесс

«обучения»

мрдели состоит, в выборе наилучшего

параметра адаптации на основе проб на ретроспективном

материале. Например, воздействие мощного

«раздражителя»

виде процесса

«белого

шума»

с большой дисперсией вызы-

вает у модели адекватную «оборонительную» реакцию. Мо-

дель не адаптируется к

«белому

шуму»,

а, наоборот, инерт-

на

по отношению к нему, отфильтровывает его. При наличии

тенденции в стохастическом процессе наилучшей реакцией

модели является определенный компромисс

между

двумя

крайними

ситуациями, обеспечивающий отражение тен-

денции

и одновременно фильтрацию случайных отклоне-

ний

от нее. По

тому,

насколько хорошо модель поддается

«обучению»,

можно

судить

о ее способности адекватно отра-

жать закономерности данного временного ряда. После вы-

бора параметра адаптации самообучение модели происходит

процессе переработки новых статистических данных.

В силу простоты каждой отдельно взятой модели и ог-

раниченности исходной (входной) информации,

зачастую

представленной единственным рядом, нельзя ожидать, что

какая-либо

одна адаптивная модель годится для прогно-

зирования

любого ряда,

любых

вариаций поведения.

Адап-

тивные модели достаточно гибки, однако на их универсаль-

ность рассчитывать не приходится. Поэтому при построении

объяснении конкретных моделей необходимо учитывать

наиболее вероятные закономерности развития реального

процесса, динамические свойства ряда соотносить с воз-

можностями модели. Исследователь должен закладывать

модель те адаптивные свойства, которых, по его мнению,

хватит

для слежения модели за реальным процессом с'задан-

ной

точностью. Вместе с тем нельзя надеяться на успешную

самоадаптацию модели, более общей по отношению к той,

которая необходима для отражения данного процесса, ибо

увеличение числа параметров придает системе излишнюю

чувствительность, приводит к ее

«раскачке»

ухудшению

получаемых по ней прогнозов.

Таким

образом, при построении адаптивной модели при-

ходится выбирать

между

общей и частной моделью

•

и,

«Велым

шумом"»

называется последовательность независимых

случайных величин ... е*_

, et~i, е* ..., имеющих фиксированное

распределение, которое обычно предполагается нормальным, с ну-

левым математическим ожиданием и дисперсией о|.

взвешивая их достоинства и недостатки, отдавать предпо-

чтение той, от которой можно ожидать наименьшей ошиб-

ки

прогнозирования. Только при этом условии можно на-

деяться, что последовательность проб и ошибок постепен-

но

приведет к наиболее эффективному предиктору. Поэто-

му исследователь должен иметь определенный запас спе-

циализированных моделей, разнообразных по

структуре

функциональным свойствам.

Для сравнения возможных альтернатив необходим кри-

терий полезности модели. Несмотря на то что в общем слу-

чае такой критерий является предметом спора, в

случае

краткосрочного прогнозирования признанным критерием

обычно является средний квадрат ошибки прогнозирования.

О качестве модели

судят

также по наличию автокорреляции

ошибках. В более развитых системах процесс проб и оши-

бок

осуществляется в

результате

анализа как последова-

тельных во времени, так и параллельных (конкурирую-

щих) модификаций модели. Здесь используется принцип

конкуренции

или автоматического отбора (селекции) пре-

диктора по заданному критерию.

Предлагаемая книга начинается с изучения простейших

адаптивных моделей. Показаны пути усовершенствования

их

структуры

и повышения адаптивных свойств, позволяю-

щие более гибко учитывать особенности динамического ряда.

Проведено эмпирическое сопоставление адаптивных ме-

тодов. В заключение рассмотрены принципы построения

адаптивных моделей многомерных временных рядов.

Глава 1

ПРОСТЕЙШИЕ

АДАПТИВНЫЕ МОДЕЛИ

И ИХ СВОЙСТВА

главе

вводятся некоторые общие понятия и изу-

чаются свойства простейшей адаптивной модели,

основе

которой лежит экспоненциальная средняя.

§ 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Временной ряд

—

это множество наблюдений,

получаемых

последовательно

во

времени. Если время

из-

меняется дискретно, временной ряд называется дискретным.

Мы

будем

рассматривать только дискретные временные ряды,

которых наблюдения делаются через фиксированный ин-

тервал времени, принимаемый

за

единицу

счета.

Переход

от момента одного наблюдения

моменту

следующего

на-

блюдения

будем

называть шагом.

Если значения членов временного ряда точно определены

какой-либо математической функцией,

то

временной

ряд

называется детерминированным. Если

эти

значения

могут

быть описаны только

помощью распределения вероятно-

стей, временной

ряд

называется случайным.

Явление, развивающееся

во

времени согласно законам

теории вероятностей, называется стохастическим процес-

сом.

дальнейшем

будем

называть его просто процессом.

Анализируемый отрезок временного ряда может рассматри-

ваться как одна частная реализация (выборка) изучаемого

стохастического процесса, генерируемого скрытым вероят-

ностным механизмом.

Среди. стохастических процессов выделяют класс

про-

цессов, называемых стационарными. Обозначим член

вре-

менного ряда, наблюденный

момент

через

Стохасти-

ческий

процесс называется

стационарным,

если его свойства

не

изменяются во времени. В частности, он имеет постоян-

ное

математическое ожидание

"к

— М (x

) (т. е. среднее зна-

чение,

относительно которого он варьирует), постоянную

дисперсию D (х) — М [(x

— х)Ч =

а%,

определяющую раз-

мах его колебаний относительно среднего значения, а так-

же постоянную автоковариацию и коэффициенты автокор-

реляции

Ковариация

между

значениями x

t+ht

от-

деленными интервалом в k единиц времени, называется

автоковариацией с лагом (задержкой) k и определяется как

Для стационарных процессов автоковариация зависит толь-

ко

от лага k и R

(0) =

а%.

Автокорреляция с лагом k

является лишь нормированной автоковариацией и равна:

так

как для стационарного процесса

а%

— const. Таким

образом, &-й коэффициент автокорреляции p

= ^ У .

Он

обладает тем свойством, что — 1 ^ р* < 1.

Для описания временных рядов используются матема-

тические модели. Представим, что временной ряд x

, ге-

нерируемый некоторой моделью, можно представить в виде

двух

компонент

где величина s

генерируется случайным неавтокоррелиро-

ванным

процессом с нулевым математическим ожиданием

конечной (не обязательно постоянной) дисперсией, а ве-

личина

It может быть генерирована либо детерминирован-

ной

функцией, либо случайным процессом, либо какой-

нибудь их комбинацией. Величины e

и I* различаются ха-

рактером воздействия на значения последующих членов

ряда. Переменная е

{

влияет только на значение синхрон-

ного ей члена ряда, в то время как величина l

в известной

степени определяет значение нескольких или

всех

после-

дующих

членов ряда. Через величину l

осуществляется

Такие процессы называют стационарными процессами второго

порядка, но,

так как

другие классы стационарных процессов рас-

сматриваться

не

будут,

мы

называем

их

просто стационарными.

взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содер-

жится информация, необходимая для получения прогно-

зов.

Назовем величину %

уровнем ряда в момент /, а закон!

эволюции уровня во времени — трендом. Таким образом,

тренд может быть выражен как детерминированной, так

случайной функциями, либо их комбинацией. Стохасти-

ческие тренды имеют, например, ряды со случайным уров-

нем

или случайным скачкообразным характером роста.

Приведем пример детерминированного тренда:

где а

, а

— постоянные коэффициенты;

t — время.

Пример

случайного тренда:

где

1о

— некоторое начальное значение;

щ — случайная переменная.

Пример

тренда смешанного типа:

«1 + 0-

t + щ + qu

+ b sin at,

где a

, q, b, to — постоянные коэффициенты;

— случайная переменная.

Известно

множество определений уровня и тренда ряда

(см.

[34, с. 161), отличных от принятых нами. Существую-

щие понятия тренда противоречивы и имеют условный ха-

рактер .^ Каждое из этих определений скорее указывает на

частный способ оценки

трендау

а не на его сущность. Очень

часто под трендом понимают детерминированную состав-

ляющую процесса, что значительно обедняет содержание

термина и препятствует его применению для анализа вре-

менных рядов в общем

случае.

Компоненты

временного ряда l

и e

ненаблюдаемы.

Они

являются теоретическими величинами. Их выделение

составляет предмет анализа временного ряда в

задаче

прогнозирования.

Оценку

будущих

членов ряда обычно

делают

по прогнозной модели. Прогнозная модель —- это

модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оцен-

ки

будущих

уровней ряда, а последовательность прогнозов

для различных периодов упреждения т = 1, 2, .... k со-

ставляет оценку тренда.

При

построении прогнозной модели выдвигается гипо-

теза о динамике величины %, т. е. о характере тренда.

•Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе

всегда

относительна, рассматриваемые нами модели наделяются

адаптивными свойствами, способностью к корректировке

исходной гипотезы или

даже

к замене ее

другой,

более адек-

ватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей

поведение, реального ряда.

Простейшая адаптивная модель основывается на вы-

числении так называемой

экспоненциальной

средней, к изу-

чению которой мы переходим.

§ 2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ

Предположим, что исследуется временной рядя*.

Выявление и анализ тенденции динамического ряда часто

производится с помощью его выравнивания или сглажива-

ния.

Экспоненциальное сглаживание — один из простейших

распространенных приемов выравнивания ряда. В его

основе лежит расчет экспоненциальных средних.

Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется

по

рекуррентной формуле

(1Л)

где S

— значение экспоненциальной средней в момент t;

а — параметр сглаживания, а — const,

<С

•<

ß =

— а.

Выражение (1.1) можно переписать следующим образом:

(1.2)

Экспоненциальная

средняя на момент t здесь выражена

как.экспоненциальная

средняя предшествующего момента

плюс доля а разницы текущего наблюдения и экспоненци-

альной средней прошлого момента.

Если последовательно использовать рекуррентное со-

отношение (1.1), то экспоненциальную среднюю S

можно

выразить через значения временного ряда х\

где N — количество членов ряда;

— некоторая величина, характеризующая началь-

ные

условия для первого применения формулы

(1.1) при *= 1.

Так

как ß < 1, то при N

->-

оо ß

-> 0, а сумма

коэф-

фициентов

Таким

образом, величина S

оказывается взвешенной

суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспонен-

циально

в зависимости от давности

(«возраста»)

наблюде-

ния.

Это и объясняет, почему величина S

названа

экспо-

ненциальной

средней. Если, например, а = 0,3, то теку-

щее наблюдение

будет

иметь вес 0,3, а веса предшествую-

щих данных составят- соответственно 0,21;

0,147;

0,1029

т. д.

Рассмотрим,

ряд, генерированный моделью

аг

+ е„

где ai — const;

— случайные неавтокоррелированные отклонения,

или

шум,

со средним

значением

дисперсией

Применим

к нему процедуру экспоненциального сгла-

живания

(1.1). Тогда

Найдем

математическое ожидание

дисперсию

(1.4)

Так

как 0 < а < 1, D (S

) < D (x

) к» о

Таким

образом, экспоненциальная средняя S

имеет то

же математическое ожидание, что и ряд

х,

но

меньшую дис-

персию.

Как видно из (1.4), при высоком значении а дис-

персия

экспоненциальной средней незначительно отличает- '

ся

от дисперсии ряда х. Чем меньше а, тем в большей сте-

пени

сокращается дисперсия экспоненциальной средней.

Следовательно,

экспоненциальное

сглаживание

можно

пред-

ставить как фильтр, на

вход

которого в виде потока после-

довательно поступают члены исходного ряда, а на

выходе

формируются текущие

значения

экспоненциальной

средней.

чем меньше а, тем в большей степени фильтруются, по-

давляются колебания исходного ряда.

После

появления работ Р. Брауна [47, 48] экспонен-

циальная

средняя часто используется для краткосрочного

прогнозирования.

В этом

случае

предполагается, что ряд

генерируется моделью

где . a

lt t

— варьирующий

во

времени

средний

уровень ряда;

— случайные неавтокоррелированные отклоне-

ния

с нулевым математическим ожиданием

дисперсией а

Прогнозная

модель имеет вид

где

х%

(t)

— прогноз, сделанный в момент t на т единиц

времени (шагов) вперед;

lt t

— оценка a

t t

(знак

Д над величиной здесь

Йудет означать оценку).

Средством оценки единственного параметра модели слу-

жит экспоненциальная средняя а

1( t

= S

. Таким образом,

все свойства экспоненциальной средней распространяются

на

прогнозную модель. В частности, если S

рассма-

тривать как прогноз на 1 шаг вперед, то в выражении (1.2)

величина (x

— S

) есть погрешность этого прогноза,

а новый прогноз S

получается в

результате

корректировки

предыдущего прогноза с

учетом

его ошибки. В этом.и со-

стоит существо адаптации.

При

краткосрочном прогнозировании желательно как

можно быстрее отразить

•изменения

и в то же время как

можно

лучше

«очистить»

ряд от случайных колебаний.

Таким образом, с одной стороны,

следует

увеличивать

вес

более

свежих

наблюдений, что может быть

достигнуто

повышением а (см. (1.3)), с

другой

стороны, для сглажива-

ния

случайных отклонений величину а нужно уменьшить.

Как

видим, эти два требования находятся в противоречии.

Поиск

компромиссного значения а составляет

задачу

оп-

тимизации модели.

Для уяснения процедуры расчета экспоненциальной

средней и ее свойств рассмотрим числовой пример сглажи-

вания ряда курса акций фирмы ИБМ

(см. табл. 1.1).

Таблица

1.1

Экспоненциальные

средние*

ены

ряда**

510

497

504

510

509

503

500

495

494

499

502

509

525

506,4

505,5

505,3

505,8

506,!

505,8

505,2

504,7

504,2

503,3

502,4

502,0

502,7

505,0

0,5

508,0

502,5

503,2

506,6

507,8

505,4

502,7

501,4

500,7

497,8

495,9

497,5

499,7

504,4

514,7

от

509,6

498,3

503,4

509,3

509,0"

503,6

500,4

500,0

495,5

494,2

498,5

501,2

508,3

523,3

Р~

Р*

ены

ряда**

512

510

506

515

522

523

527

523

528

529

538

539

541

543

541

*•«

505,7

506,1

507,0

508,5

509,9

511,6

512,8

514,3

515,8

518,0

520,1

522,2

524,3

525,9

1Л

513,3

511,7

508,8

511,9

517,0

520,0

523,5

523,2

525,6

527,3

532,7-

525,8

538,4

540,7

540,9

о>

513,1

510,3

506,4

514,1

621,2

522,8

526,6

523,4

527,5

528,9

537,1

538,8

540,8

542,8

541,2

Во всех случаях начальное

значение

экспоненциальной

средней было

принято

"равным

~Т~ ^

См.

приложение

Л» 4.

Свойства

сглаживания

особенно

наглядно

проявляются

при

значительной

колеблемости

исходных

данных.

связи

этим

для

иллюстрации

взят один из показателей, отражающий

конъюнк-

УР"Ь1е

колебания

американской

экономики,

- курс

акций

фирмы

ИБМ,

производящей

электронно-вычислительные

машины.

Этот

вре-

менной

ряд уже

использовался

для

испытания

некоторых

адаптив-

ных

моделей Р.Г.

Брауном,

из работы

которого

[47]

он

и взят.