Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

На

рис. 4.2 показан ряд с линейной тенденцией роста,

на

который наложены те же случайные данные, что и на

рис.

4.1.

В этом примере среднеквадратическое отклонение

шума взято пропорциональным среднему уровню ряда.

Реакция,

соответствующая прогнозу на один шаг вперед

обычной модели линейного роста с эквивалентной постоян-

Рис.

4.2. Сравнение реакций на линейное изменение

Уровня ряда полиномиальных моделей первого порядка

Брауна и Тригга—Лача,

=0,9,

т=1

ной

(1 — ß

) ==

о,

отмечена кружками. Прогнозы ана-

логичной модели, но с К = | Kt | показаны пунктиром.

На

рис. 4.3 линия, обозначенная крестиками, пока-

зывает те же случайные

данные,

но с синусоидальным коле-

банием с периодом 52 (52 недели в

году).

Через 15 интервалов возникает ступенчатое изменение и

отмеченная кружками линия показывает реакцию модели

при

(1— ß

) =0,1, т = 1.

Пунктирная

линия обозначает реакцию той же модели,

когда

hx^lKtl-

Практическое моделирование дало результаты, похожие

на

представленные на рис.

4.1—4.3,

т. е. приравнивание К

модулю

следящего контрольного сигнала

дает

значительно

101

большую

скорость приспособления к новому

характеру

ряда.

Ясно,

что не во

всех

реально возникающих ситуациях

модели с адаптивным параметром а

дают

лучшие прогнозы

по

сравнению с обычными адаптивными системами. На

рис.

4.4 показаны сравнительные реакции этих моделей

на

большой одиночный импульс. Система с адаптивной

JCKO-

ростью испытывает большее возмущение от этой случайной

помехи. М. Л. Шоун [99] предлагает решать проблему чрез-

Рис.

4.3. Сравнение

моделей

Брауна

Тригга—Лича,

rt=4;

=0,9,

t=l

мерной

реакции на большой одиночный импульс

путем

за-

держки использования контрольного сигнала на' один шаг.

Если

взять в качестве первого элемента вектора h для дан-

ного момента t

модуль

контрольного сигнала, подсчитанный

предыдущий момент t — 1, то отмеченный недостаток

преодолевается. Реакция на ступеньку или на линейный

тренд станет при этом медленнее.

Метод приравнивания h

— | Кt\ прост и эффективен.

Особенно

он

удобен

там, где прогнозы делаются на ЭВМ

для большого числа рядов. Если динамика ряда не изме-

няется,

то шум фильтруется столь же эффективно, как и

обычным методом с постоянным параметром а. Когда такие

возмущения все же случаются, адаптация происходит более

быстро.

Этот метод особенно ценен для моделирования .рядов

короткой историей или на первоначальном этапе построе-

ния

модели. Чтобы им воспользоваться, достаточно про-

вести

грубую

оценку коэффициентов прогнозирующей мо-

!02

дели. Если ошибки прогнозов по этой модели велики, то

у контрольного сигнала проявляется тенденция к быстро-

му абсолютному

росту

и система приспосабливается с соот-

ветствующей скоростью. Этот метод позволяет обойти про-

блему

определения оптимального значения а. Однако воз-

никает

задача выбора наилучшего значения у для подсчета

контрольного сигнала.

Рис.

4.4.

Сравнение реакций простейших моделей

Брауна

Тригга—Лича

(п=1) на

единичный

им-

пульс, т=

В приведенных выше примерах моделирования величина

V = 0,1. Если необходима большая осторожность по отно-

шению

к скорости процесса адаптации, величину у можно

уменьшить и взять Y = 0,05. После того как у задана, мо-

дель

работает автоматически. Иногда все же необходимо

вмешательство человека для корректировки прогнозов,

даваемых системой с адаптивной скоростью реакции, так-

как

нельзя ожидать, что система справится с любыми из-

менениями

структуре

ряда. Кроме того, исследователь

может располагать ценной дополнительной информацией.

Моделирование реакции простейшей модели на ступен-

чатые

изменения

показало, что

хотя

модель довольно быстро

устанавливается на новом среднем уровне, контрольный

сигнал еще некоторое время остается большим. Это мешает

системе отфильтровывать случайный шум, что особенно

проявляется,

когда константа у, использованная для полу-

103

чения

сглаженной ошибки и среднего абсолютного откло-

нения,

мала, скажем, 0,05. Большая величина v увели-

чивает дисперсию

экспоненциальной

средней

ошибки,

до не-

которой степени

ухудшая

возможности достижения цели,

ради- которой используется адаптивная скорость реакции.

Заметим, что функции, распределения контрольного

сигнала, указанные в табл.

2.3—2.4,

не

могут

быть исполь-

зованы для анализа системы с адаптивной скоростью реак-

ции.

Примеры

Рассмотрим некоторые примеры. Для того чтобы выяс-

нить,

насколько полезна модификация Тригга и Лича,

временному ряду курса акций фирмы ИБМ из 150 точек

к ряду цен на золото из 370 точек мы применили модели

Брауна, Тригга—Лича (ТЛ), Тригга—Лича—Шоуна

ТЛШ).

Полученные результаты сведены в табл. 4.1 и 4.2.

Таблица

4.1

Средние

квадраты

ошибок

прогнозирования

курса

акций

фирмы

ИБМ

по

адаптивным

моделям

=0,9

^ч.

Срок

х,.

прогноза х

Полиноииаль-^N.

иая модель \^

Брауна порядка 0

порядка 1

порядка 2

ТЛ порядка 0

7=0,3

порядка 1

порядка 2

ТЛШ порядка 0

?=0,3

порядка 1

порядка 2

248

180

182

297

217

221

102

100

349

255

263

130

128

131

134

132

138

402

297

320

167

166

195

169

167

197

458

343

388

206

208

297

205

297

518

388

436

249

253

361

248

247

352

579

435

471

297

296

373

303

299

373

643

477

493

355

338

311

362

345

318

707

512

613

417

366

422

421

369

400

772

559

716

474

405

584

474

403

525

Сравнение этих результатов свидетельствует о преиму-

ществах моделей Тригга—Лича перед соответствующими

моделями Брауна. Задержка при использовании контроль-

ного

сигнала для обновления параметра сглаживания, пред-

ложенная

Шоуном,

для ряда курса

акций

ИБМ

практически

104

Таблица

4.2

Средние

квадраты

ошибок

прогнозирования

цен на

золото

по

адаптивным

моделям

=0,9

ничего не меняет,

для ряда цен на золото

дает

некоторое

повышение

точности.

Из

таблиц также видно,

что

полиномиальные модели

ТЛШ

нулевого,

первого

второго

порядков

имеют

примерно

одинаковые дисперсии ошибок для небольших

т.

Графики

(мы

их

не приводим) для моделей ТЛШ при % — 1,

2, 3

подтверждают,

что

специфика полиномиальных моделей

нулевого, первого

второго порядков здесь теряется

прогнозы

этих предикторов располагаются весьма близко.

Это же относится

моделям ТЛ. Такой результат объяс-

няется

тем, что корректировка прогнозов обеспечивается

основном

за

счет корректировки первого коэффициента

полиномиальных моделей.

РЕГУЛИРОВАНИЕ

ПАРАМЕТРА

АДАПТАЦИИ

ПО

ИЗМЕНЕНИЯМ

СПЕКТРАЛЬНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК

Модель

Рао и

Шапиро

(спектральная

модель)

Изменения

структуре

рядов (острый пик или

ступенчатое изменение)

будут

обнаруживаться

их спект-

ральных характеристиках. Основная идея метода 1Ш зак-

лючается

том, чтобы использовать изменения

спектре

105

^ч Срок

прогноза

Полнномналь-

Л.

ная модель ^\

Брауна порядка 0

порядка 1

порядка 2

ТЛ порядка 0

Y=0,3

порядка 1

порядка 2

ТЛШ

порядка 0

7=0,3

порядка 1

порядка 2

2,16

1,48

1,64

0,68

0,69

0,72

0,57

0,60

0,62

2,57

1,75

1,96

1,13

1,14

0,95

0,96

2,98

2,01

2,27

1,45

1,42

1,41

1,26

1,21

1,22

3,40

2,28

2,59

1,70

1,64

1,61

1,52

1,42

1,43

3,85

2,56

2,94

1,97

1,87

1,81

1,79

1,62

1,63

4,32

2,86

3,31

2,22

2,07

1,98

2,09

1,85

4,81

3,18

3,71

2,55

2,35

2,23

2,46

2,15

2,14

5,32

3,50

4,12

2,89

2,63

2,45

2,86

2,47

2,42

5,84

3,83

4,56

3,18

2,85

2,61

3,22

2,75

2,67

6,38

4,17

5,01

3,47

3,07

2,79

3,51

2,94

2,84

для управления величиной а в процедуре подсчета

экспо-

ненциальной

средней. Спектр оценивается сначала для

отрезка временного ряда, образуемого членами 1, 2, ..., N,

затем для отрезка с членами ряда 2, 3, ..., N + 1 и т. д.

Ряд

рассматривается как бы через движущееся вдоль оси

времени окно постоянной ширины N. Таким образом,

спектр последовательно оценивается для частично пере-

крывающихся отрезков временного ряда постоянной дли-

ны.

Длина этих отрезков N должна быть достаточно ве-

лика, чтобы получать устойчивые оценки некоторого числа

компонент спектра, но не слишком большой, иначе случай

фундаментального изменения ряда

будет

потерян при ус-

реднении.

Спектральная плотность случайного процесса характе-

ризует

распределение всей энергии стационарного ряда как

функцию

частоты. Математически этоможет быть выражено

виде преобразования Фурье автоков'ариационной функции

ряда.

Оценки

спектральной плотности как функции частоты

получают,

подсчитывая

где т — максимальная величина

лага,

для которого под-

считывается автоковариационная функция;

— длина временного отрезка.

Первичные спектральные оценки затем выравниваются.

Это предлагается

делать

методом Тьюки—Хеннинга:

* Если

от

не простое число, то возможно быстрое преобразование

УРье, экономное с вычислительной точки зрения (см. [13, вып. 2,

с 681).

106

для

h = 1, 2, .... т — 1;

В экспериментах была выбрана длина временного отрез-

ка

N = 36

точек,

при т — б, т. е.

всего семь компонент

спектра. Таким образом, сначала оценивался спектр отрез-

ка

от

точки

до

точки

зв

затем отрезка

от лг

до #

т.

д.

Эти спектры

могут

быть отражены

табл.

4.3.

Таблица

4.3

Последовательные спектры

Отрезок

ряда

Хх, . . ., Xat

#2,

• . ., #37

До

Спектральные

характеристики

*-,

... й

= б

Fih~ln?ih

здесь означает натуральный логарифм оценки

спектральной плотности

для k-й

гармоники

на i-ы

отрезке

ряда. Ясно,

что

изменения

структуре

ряда

будут

пред-

ставлены изменениями

последовательных спектрах,

т. е.

векторами

Для сравнения этих изменений нужны элементы

которые перед подсчетом разностей желательно выравни-

вать.

Для

выравнивания использовалась скользящая сред-

няя

для-

трех

значений

F и

отклонения

от

этой скользящей

средней подсчитывались следующим образом:

Обозначим через

максимальное

по

модулю

изменение

спектра, выравненного

за три

периода:

107

Если величина Я,- мала по сравнению со стандартным

отклонением,

то это означает, что никаких значительных

перемен в

структуре

временного ряда не произошло. Таким

образом, а

следует

оставлять малой. Когда Я* велико, ве-

личину а

следует

повышать вплоть до максимума, т. е.

до I.

Для определения величины а значения %t

могут

быть

использованы различными путями. Считалось, что новое

значение а должно зависеть от

(Я*)

чтобы сделать модель

более чувствительной к изменениям в

структуре

рядов.

Вводилась величина

где а — стандартное отклонение 8

;

b и с — соответствующим образом выбранные константы,

рассматриваемые ниже.

Величина а определялась по формуле

=тах[0,1; min(expdj—1; 1)].

Константы

бис

могут

быть определены из условий:

где г

—то значение -^, при котором а достигает значения

а = 0,95;

h — то значение -*, ниже которого а остается равным

0,1.

Придя к заключению, что ^, —-, ..., •— можно

считать случайными величинами, асимптотически распре-

деленными как

с одной степенью свободы

, авторы метода

предлагают

следующую

интерпретацию г

и г

Величина, являющаяся суммой квадратов

независимых стан"

дартизованных нормально распределенных переменных, как извест"

но,

имеет

распределение с / степенями свободы (см., например,

[31], с. 49). Так как б^ по предположению распределены асимпто-

тически нормально, то 2Ё

будут

распределены как

с одной сте-

пенью свободы. Таблицы стандартных распределений можно найти

в учебниках по статистике и справочниках по математике.

108

Для того чтобы найти такое значение Л, при котором

Р (А* < Л) = 0,99, необходимо, чтобы п • Р (| &

| > Л) =

0,01, где /г — количество частот в разложении, т. е.

нашем

случае

п = 7. Отсюда Р (| 8

| > Л) =

0,0014,

или

Но

асимптотически распределено как %* с одной

степенью свободы. Отсюда ^ = 10,2, или -^- = 3,1.

Следовательно, г

— 3,1 означает, что щ приравнива-

ется 0,95, когда

принимает такое значение, вероятность

превышения

которого при условии, что коренных изменений

ряд не претерпел, равна 0,01,' т. е. получение столь боль-

ших

при отсутствии изменений в динамике ряда малове-

роятно.

Поэтому есть основание полагать, что ряд претерпел

существенные изменения и нужно обеспечить

быструю

адаптацию модели.

Интерпретацию г

можно получить аналогичным образом

(Р

(ki > А) — 0,99 и т. д.). Остается определить стандарт-

ное

отклонение а, необходимое для вычисления di.

Авторы

рассматриваемого метода получили

следующую

приближенную оценку дисперсии:

где

/С

— константа, зависящая от специфического исполь-

зуемого фильтра;

__ f 1, если k — 0,

™ "~ \ 0 —- в

других

случаях;

Rp — когерентность (сохранено обозначение, принятое

[96]).

Когерентность на частоте /?Av является показателем

корреляции

между

соответствующими частотными состав-

ляющими

двух

отрезков ряда {xj X/+N-I} И {хи

•••»

Xi+jsr-i)

no N членов в каждом.

Для стационарных процессов когерентность практи-

чески не зависит от частоты, а от / и / зависит только через

разность р = |/ — /|. Для R

авторы вывели

следующее

простое соотношение:

109

Для рассматриваемого ими примера N = 36, т = б,

К = 0,75, р = 1. Отсюда

Таким

образом, алгоритм вычислений полностью опре-

делен. .

Однако применение . спектральной модели сопря-

жено еще с одной трудностью, которую можно проил-

люстрировать следующим примером. Пусть х

, ..., х

1О

будет

временной ряд продаж. Предположим, что этот ряд

характеризуется. положительным ступенчатым скачком

от х

б0

до х

, т. е. М

{X])

= ... = М (х

) < М (.%,)' =

... — М (х

), и что оценка спектра S

подсчитывается

для последовательных отрезков ряда

{Si, конечно, функция частоты). Никаких значительных

изменений

в спектре S

, ..., S

не должно быть. Однако

^49 и

"5БО

должны различаться существенно, так как пер-

вая,

величина не включает ступенчатое изменение, а вто-

рая

включает. Некоторые различия

могут

также иметь место

для нескольких следующих значений спектра. Далее спектр

практически

не меняется. Однако

между

и S

опять

будет

значительная разница, так как 5

включает сту-

пенчатый скачок, ä 5

8Б

не включает. Таким образом, ве-

личина-

буде?

большой,

даже

если структура ряда

точке 85 не изменилась.

Может показаться, что наипростейший способ

устра-

нения

указанного недостатка состоит в том, чтобы в про-

грамме предусмотреть автоматическое установление а

0,1

через 36 точек (в данном примере) после того, как отмечено

изменение

структуры ряда, Однако этот путь может быть

опасен.

Во-первых, в данной точке может произойти дей-

ствительное изменение и оно

будет

пропущено. Во-вторых,

может иметь место целая серия промежуточных скачков

уровне продаж

между

первой и 36 точками.

Эта проблема- была- решена оценкой

двух

спектров:

для 36-точечных и 18-точечных отрезков временного ряда.

Для каждого из этих спектров определялось соответст-

вующее а

(

. Меньшее из них' использовалось в качестве

текущего значения сглаживающего коэффициента.

ПО