Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

Авторами метода предлагается и другое, более простое

решение данной проблемы. Перед подсчетом спектральных

оценок

начало 36-точечного отрезка преобразуется путем

замены

t —

1,...,

6, на x'

= x

sin ^"^""^.

Сравнение

спектральной модели

моделью Тригга—Лича

Для сравнения рассмотренной адаптивной процедуры

методом Тригга—Лича авторами было промоделировано

несколько

рядов с различными типами изменений.

Рис.

4.5. Сравнение спектрального метода с методом

Тригга—Лича при ступенчатом изменении уровня ряда

Первый

ряд был сконструирован для проверки реакции

спектрального метода на ступенчатое изменение. Ряд был

образован из независимых наблюдений *i, ..., х

таких»

что x

..., #

были распределены нормально со средним

значением

10 и а

= 1, в то время как х

..., х

были

распределены

нормально

со средним значением 13 и с

— 1.

Реакция

спектральной модели и модели, использую-

щей

контрольный сигнал Тригга, для этого случая показа-

на

на рис. 4.5. Видно, что ни тот, ни другой метод не отра-

жает первого скачка. Причиной является то, что величина

скачка

не превышает пределов

За

стохастических колебаний

относительно первоначального уровня и скачок восприни-

мается моделями как случайное отклонение. В следующей

точке, однако, спектральная модель

следует

за рядом к его

новому среднему уровню, в то время как модель Тригга—

Лича слегка отстает. Спектральный метод в-данном

случае

дает

меньшее среднеквадратическое отклонение.

Далее исследовалась реакция на острый пик. Пример

такого пика показан на рис. 4.6 в точке 46. Спектральная

Рис.

4.6. Сравнение спектрального метода с методом

Тригга—Лича при импульсном изменении структуры

ряда

модель почти идеально отслеживает пик, а реакция модели

контрольным сигналом отражает лишь половину высоты

пика;

затем, как видно на рисунке, потребовалось 6 точек

на

возвращение назад.

Рао

и Шапиро указывают, что спектральный метод

данном

случае

отражает значение ряда с меньшей ошиб«

кой,

чем метод Тригга—Лича. Но на рис. 4.6, взятом из ра-

боты Рао и Шапиро, эффект запаздывания прогноза спект-

ральной

модели

по

отношению

к реальным

изменениям

не

от-

ражен (т = 0). Однако спектральная модель, как и любая

адаптивная модель рассматриваемого класса, характери-

зуется запаздыванием реакции на изменения в реальном

процессе по крайней мере на один шаг. Значит, в точке 45

нет информации для прогнозирования скачка в точке 46.

В точке 46 составляется прогноз на следующий момент

времени.

Спектральная модель при этом уже в полной мере

112

учитывает изменения в точке 46, несмотря на то, что этот

скачок

имеет характер помехи. Поэтому прогноз по спект-

ральной

модели на момент времени 47

будет

иметь большую

погрешность, чем прогноз модели Тригга и Лича, хотя

дальнейшем она быстрее приспособится к фактическому

уровню. Вообще сильная реакция на пик едва ли является

положительным свойством модели прогнозирования.

На

рис. 4.7 показан третий тип нарушения стационар-

ности

—

линейный

рост уровня ряда. Для этого случая

точность обоих методов приблизительно одинакова.

Рис.

4.7. Сравнение спектрального метода

методом

Тригга—Лича при линейном изменении уровня ряда

Авторы спектральной модели видят ограниченность

своего метода и считают, что он найдет применение, веро-

ятнее всего, для небольшого числа

рядов.

Они

рекомендуют

этот метод только для весьма колеблющихся процессов.

Однако для таких рядов эффект запаздывания реакции

модели

будет

особенно сказываться на точности прогнози-

рования.

По-видимому, в подобном

случае

предпочтитель-

нее использовать

«наивную»

модель *т (0 = x

Рао

и Шапиро считают, что особенно эффективно при-

менение

спектральной модели для определения типа пере-

мен

структуре

ряда. Пусть ÄAv означает

частоту,

при

которой

ki =

|6{ь|.

Эксперименты показывают, что когда

перемены в структура ряда имеют ступенчатый характер,

то k принимает малые значения, т. е. максимальные изме-

нения

спектра имеют место в низких частотах.

Когда перемены имеют форму пика, значение k соот-

ветствует

высоким частотам. Линейный рост вызывает мак-

симальные отклонения в середине частотного диапазона.

из

Эти

особенности

дают

возможность использовать изме-

нения

в спектре для введения существенных изменений

структуру

модели, а не только для регулирования па-

раметра сглаживания. Мы же попытаемся решить эту

проблему в следующей

главе

более простым способом.

§ 3.

АДАПТАЦИЯ

ПАРАМЕТРА

МЕТОДОМ

ЭВОЛЮЦИИ

Другой

способ модификации однопараметри-

ческой

экспоненциальной модели с коррекцией

коэффици-

ента

линейного

тренда предложен У. Чоу [50]. Он также от-

казывается от поиска какого-либо одного оптимального

значения

параметра сглаживания и предлагает

процедуру,

обеспечивающую адаптацию самого этого параметра к из:

менениям

в динамике ряда. Метод комбинирует экспонен-

циальное сглаживание

методом

эволюционного

планирова-

ния

143, 26].

Предполагается, что используются три оценки

следую-

щего члена ряда, получаемые с помощью

трех

различных

значений

параметра а: высокого, нормального, низкого.

Эти

значения первоначально выбираются произвольно, а

затем модифицируются по мере продвижения модели во вре-

мени.

Оценка, сделанная при нормальном значении пара-

метра, считается прогнозом, остальные две оценки являют-

ся

контрольными. По получении

новой,

фактической точки

можно сделать вывод о том, какое из

трех

значений пара-

метра привело к меньшей ошибке и оказалось наилучшим.

Теперь это значение параметра рассматривается уже как

нормальное.

Прогноз на следующий

период

делается именно

на

основе данного наилучшего значения. Одновременно

рассчитываются контрольные оценки

будущего

наблюде-

ния

по более высокому и более низкому (по сравнению

нормальным) значениям параметра.

В своих экспериментах Чоу использовал значения па-

раметров

где Л=0,05 — шаг изменения (эволюции) параметра;

а — нормальное значение параметра;

(a—h)

— низкое значение параметра;

(a-j-h) — высокое значение параметра.

114

В качестве начального значения он брал а = 0,1, как

наиболее широко употребляемое на практике.

Всего

было

проанализировано 60 рядов месячных данных о

сделках-

на

различные виды продукции. Здесь были ряды

данными

перчатках, смазочных материалах, сальниках, подшип-

никах и т. д. Данные представляли собой разнообразные

образцы' поведения экономических временных рядов, вклю-

чая циклическое движение. В 59

случаях

предлагаемый

метод показал преимущества перед стандартной процеду-

рой и в одном

случае

результаты

были почти одинаковы.

Обобщая

результаты

исследований, Чоу

делает

вывод

том,

что точность его схемы (если

судить

по относительной

ошибке прогноза) более чем на 10% выше, чем у стандарт-

ного метода; ее преимущества становятся особенно явными

при

моделировании нестационарных рядов с изменяющими-

ся

автокорреляционными свойствами.

Идея

Чоу получила дальнейшее развитие в работе

С.

Ро-

бертса и Р. Рида [97], в которой рассмотрены также

двух-

трехпараметрические модели. Адаптационная оптимизация

модели и в этом

случае

проводится методом эволюционного

планирования.

В данной

схеме

реализуются все возможные

опыты (пробы) при различных сочетаниях значений пара-

метров сглаживания, заданных из расчета по три значения

на

каждый"параметр. Эти опыты

образуют

так называемый

полный

факторный эксперимент с добавлением центральной

точки.

Всего

при k управляемых параметрах в каждый

момент времени подсчитывается 2

+ 1 оценок

будущего

наблюдения, и одна из них, соответствующая центральной

точке плана, считается прогнозом.

После получения фактической точки анализируется

точность пробных оценок (анализируются ошибки, являю-

щиеся функциями рассматриваемых параметров). В ре-

зультате

может быть принято решение о переносе цент-

ральной точки в точку с минимальной ошибкой. Прогноз

на

следующий момент времени осуществляется при значе-

ниях параметров сглаживания, определяемых центральной

точкой.

Вследствие

переноса центральной точки изменяется

набор высоких и низких уровней рассматриваемых пара-

метров. При этом для стабильности прогностической сис-

темы накладывают ограничение, чтобы значения параметров

были

^в

пределах

0,05—0,95.

„

Можно провести аналогию этой схемы с биологической

эволюцией. Небольшие изменения независимых параметров

•И5

можно уподобить мутациям. Отбор лучших значений пара-

метров аналогичен процессу естественного отбора. Отсюда

название метода — эволюционное планирование.

В качестве базовой модели авторы схемы взяли трехпара-

метрическую модель Уинтерса, рассмотренную в гл. 2, § 2.

Это модель с аддитивным коэффициентом роста и мульти-

пликативной

сезонностью; более простые модели были

получены путем наложения на нее соответствующих огра-

ничений.

Рассматривались три случая: 1. Один параметр а.

Отсут-

ствие тенденции роста и сезонности. 2. а) два параметра

«!, а

. Наличие тенденции роста и отсутствие сезонности;

б) два параметра a

. Наличие

сезонности и отсутствие тенденции

роста. 3. Три параметра а

, а

Наличие

и сезонности, и тенденции

?ак

4имГ

?л7с

и°с: Р

™"

ПоЛНая

°Д

елЬ

Унтер«.

темы с одним парамет- Однопар а м е т р и ч еская

ром система. Оценки

будущего

члена временного ряда получают

по

трем значениям единственного параметра а, как это

показано

на рис. 4.8. Точка 1

соответствует

нормальному

значению а,

точка

2 — высокому, точка 3 — низкому зна-

чению а.

В гл. 5, § 3 приведены результаты, полученные нами

при

эмпирических испытаниях однопараметрических пре-

дикторов с регулированием параметра адаптации методом

эволюции.

Проведено их сравнение с однотипными моде-

лями

Брауна с оптимальными значениями а, определенными

при

помощи итеративной процедуры поиска.

Двухпарэметрическая система. Рас-

смотрим случаи 2а. Результаты в

случае

26 аналогичны.

Система имеет два параметра а

. Оценку

будущего

члена

ряда получают в соответствии с планом факторного экспе-

римента: по два значения на каждый параметр плюс цент-

ральная точка (см. рис. 4.9).

Трехпараметрическая система. Сис-

тема имеет параметры а

, а

, для которых план фактор-

ного эксперимента, представленный на рис. 4.10, строится

аналогичным образом.

Всего

точек плана 2

-f 1.

На

основе статистических критериев нельзя установить

существенное преимущество рассмотренной схемы перед

обычной моделью Уинтерса. Однако для рядов, характери-

116

зующихся высокой автокорреляцией, предложенная мо-

дель

дает

более точные прогнозы, чем модель Уинтерса.

учетом того, что в экономических рядах часто присутст-

вует

автокорреляция, эта модель во многих случаях ока-

жется полезной. Кроме того, реакция на стандартные

вход-

ные потоки — единичный импульс, ступенчатое изменение

уровня, линейно-нарастающая функция— у данной схемы

лучше (с точки зрения точности прогнозов), чем у модели

Рис.

4.9. План факторного Рис. 4.10. План факторного

эксперимента для системы эксперимента для системы

с двумя параметрами с тремя параметрами

Уинтерса, и ее применение предпочтительно, когда о струк-

туре

исследуемого ряда имеется недостаточно полное пред-

ставление.

Другой прием адаптационной оптимизации — симплекс-

планирование ~ предложен У. Спиндлеем, Дж. Хецтом

Ф. Химсуорсом [101] и использован в адаптивных моде-

лях прогнозирования Д. Монтгомери [80]. Этот метод

дает

возможность заранее определить четкие правила принятия

решений о том, куда и когда двигаться из данной точки па-

раметрического пространства. В отличие от метода эво-

люционного планирования, требующего в каждой точке

рассчитывать 2* + 1 пробу (k — количество управляе-

мых параметров), метод симплекс-планирования

требует

каждой точке делать один-единственный прогноз. В этом

методе используются линейные симплекс-планы (см., на-

пример,

1251).

Симплекс

—простейшая фигура. На плоско-

сти—это треугольник, в трехмерном пространстве —

тетраэдр и т. д.

Существо симплекспланирования состоит в ««wauHOHHO*

оптимизации путем последовательного перехода от одного симплек

Рассмотрим правильный симплекс

вершинами

, ..., d

h + 1

центром с

На

каждой грани симплекса

можно построить новый симплекс

Sj с

центром

Cj и k

вершинами

..., dj„

i + 1

, ..., d

k + 1

принадлежа-

щими

множеству

одной новой вершиной

dj,

являю-

щейся

зеркальным отобра-

жением точки

относи-

тельно грани, общей

для

обоих симплексов.

На

рис.

4.11

выполнено

построение симплекса

из

симплекса

для слу-

чая

k — 2.

Чтобы найти

ту

или

'иную координату

точки

d},

нужно взять

уд-

Рис.

4.11.

Построение симплекса

из

симплекса

задаче

с дву-

мя независимыми параметрами

военное среднее

из

соот-

ветствующих координат

точекd

...,rf

/ö!

i+1

..-,

h + 1

вычесть

из

него соответствующую координату точки

dj. В

вектор-

ном

обозначении это запишется

так:

Допустим теперь,

что

каждая точка

симплекса харак-

теризует значения параметров сглаживания

каждой точке

после

накопления

результатов (в каждый момент времени де-

лается лишь один прогноз

—

одна проба) поставлена

в со-

ответствие абсолютная ошибка прогноза

Отсюда

следует,

что до

начала итеративной процедуры необходим

« + 1

шаг

для

получения первых прогнозов

определения

са

другому,

смежному,

по

направлению

крутого

снижения. Начи-

нается процедура

вычисления

вершинах исходного симплекса

значении целевой функции,

на

основании которых по установленно-

му правилу принимается четкое решение о том,

куда

и когда двигать-

°™ичие от

симплекс-планирования симплекс-метод

линей-

ном программировании

предлагает

правила

перехода

от

одной

вер-

пп

л~„

СИМплекс

МН0Г0Г

анника

Условий, определяемого

/t-мерном

«S

aHCTBe

наложенными линейными ограничениями,

соседней

иой

фо

мь

Шг

симплекса

> обеспечивающей возрастание линей-

поста

К ВИДИМ<

эти два мет

°Д

решают задачи, различающиеся'по

118

их ошибок в вершинах исходного симплекса. Предположим

далее, что | е

| — ошибка в точке d

— наибольшее значение

среди k + 1 значений, полученных для симплекса S

Тогда

ясно,

что надо двигаться в направлении точки d

Можно доказать,

что

движение

из

центра симплекса за грань,

находящуюся против точки d

будет

совпадать с направ-

лением крутого снижения, рассчитанным по

результатам

наблюдений в вершинах правильного симплекса.

Стратегия симплекс-планирования, в соответствии с ко-

торой осуществляется эволюция параметров сглаживания,

формулируется в

трех

простых правилах:

1. Отобрать наибольшее значение \е

\ из значений

il>

1^21> —» kft

il» замеренных в точках, образующих

симплекс S

. Перейти к новому симплексу S

, заменив

симплексе 5

точку d

соответствующую

| е

|, точкой

dp. Подсчитать прогноз на следующий момент времени,

используя значения параметров, определяемые точкой

2. Если применение первого правила приводит к

тому,

что одна i-я точка (вершина) сохранилась в k + 1 последо-

вательных симплексах, то

следует

прекратить применение

этого правила и рассчитать прогноз на следующий момент

времени, используя значения параметров, определяемые

точкой

di>

Затем применять правило первое.

3. Если значение | е

| было наибольшим в предыдущем

симплексе, а значение \е

\ оказалось.наибольшим в после-

дующем

симплексе, то, не возвращаясь к

предыдущему

симплексу,

следует

двигаться из последнего симплекса,

отбросив (заменив ее на зеркальную) точку, которой соот-

ветствует

значение ошибки, ближайшее к наибольшему.

Таким

образом, в этом

методе

четко указано, когда и

куда

двигаться. Это позволяет полностью возложить на

ЭВМ процесс управления параметрами.

Д. Монтгомери экспериментировал с двухпараметри-

ческой моделью, учитывающей линейный тренд, и

трех-

параметрической моделью, аналогичной модели Уинтерса.

Исходный симплекс с произвольной ориентацией и дли-

ной

ребра обычно

задают

матрицей

строки которой опре-

деляют вершины симплекса. Матрица D может быть

скон-

струирована из последних k столбцов матрицы Yk+1

•

Н,

где Н-. любая ортогональная матрица размерности

-f I)

•

(k -f 1), элементы первого столбца которой равны.

119

В двухпараметрической модели, произвольно полагая

= 0,100 и а

0,075,

Монтгомери использовал матри-

цу:

Длина ребра в этом конкретном

случае

/ =

[(dj — ф)'(ф — uj)\

= 0,07. Верхний и нижний

пределы изменения параметров здесь также были установ-

лены

равными 0,95 и 0,05 соответственно.

В трехпараметрической модели, полагая щ. —

0,100,

0,075,

0,100,

в качестве исходного он исполь-

зовал симплекс, определяемый матрицей:

Здесь также / = 0,07, 0,95 > a

, а

^ 0,05.

Рассмотренный

метод является альтернативным

методу

Робертса и Рида. Его преимущество в том, что он намного

экономичнее

с вычислительной точки зрения. К сожале-

нию,

сопоставление точности этих методов проведено не

было.