Лекции - Моделирование систем
Подождите немного. Документ загружается.
Имитационное моделирование
131
Пусть в некоторый начальный момент времени t
0
агрегат находится в
состоянии z
0
и пусть в моменты t'
1
и t'
2
поступают входные сигналы x'
1
и x'
2
,
а в момент t"
1
- управляющий сигнал g"
1
и для определенности t'
1
< t"
1
< t'
2
.
Рассмотрим сначала полуинтервал (t
0
, t'
n
]. Состояния агрегата z(t) из-
меняется с течением времени по закону
z(t) = U{t, t
0
, z(t
0
), g(t
0
), β}. (4.21)
Предположим, что в момент t
*
1
такой, что t
0
< t
*
1
< t'
1
, состояние z(t
*
1
)
достигает множества Z
Y
(g
0
,β). Тогда в момент t
*
1
выдается выходной сиг-
нал
y
(1)
=G"{t
*
1
, z(t
*
1
), g
0
, β}.
Если состояние z(t) опять достигает множества Z
Y
(g
0
,β) в момент t
*
2
такой, что t
*
1
< t
*
2
< t'
1
, то в момент t
*
2
выдается выходной сигнал
y
(2)
=G"{t
*
2
, z(t
*
2
), g
0
, β}. (4.22)
и т.д. Здесь z(t
*
1
) и z(t
*
2
) определяется из (4.21).
В момент t'
1
в агрегат поступает входной сигнал x'
1
. Состояние агрега-
та
z(t'
1
+0) = V'{t'
1
, z(t'
1
), g
0
, x'
1
, β}.
Здесь также z(t'
1
) определяется из (4.21).
В полуинтервале (t'
1
, t"
1
] функционирование агрегата можно описать
по аналогии с полуинтервалом (t
0
, t'
1
]. Состояние z(t) определяется как
z(t) = U{t, t'
1
, z(t'
1
+0), g
0
, β}. (4.23)
Если в моменты t
*
k
, такие, что t'
1
< t
*
k
< t"
1
, состояния z(t
*
k
) достигают
множества Z
Y
(g
0
,β), в каждый из моментов t
*
k
выдается выходной сигнал
y
(k)
=G"{t
*
k
, z(t
*
k
), g
0
, β},
где z(t
*
k
) определяется из (4.23).
В момент t"
1
в агрегат поступает управляющий сигнал g"
1
и тогда со-
стояния агрегата описывается оператором V'':
z(t"
1
+0)=V"{t"
1
, z(t"
1
), g"
1
, β}. (4.24)
Здесь z(t"
1
) также определяется из (4.23).
Далее, в полуинтервале (t"
1
, t'
2
] состояние агрегата изменяется по за-
кону
z(t) = U{t, t"
1
, z(t"
1
+0), g"
1
, β}. (4.25)
Если в моменты t
*
k+r
, такие, что t"
1
< t
*
k+r
< t'
2
, r≥1, состояние z(t
*
k+r
)
достигает множества Z
Y
(g''
1
,β), в каждый из моментов t
*
k+r
выдается вы-
ходной сигнал
y
(k+r)
=G"{t
*
k+r
, z(t
*
k+r
), g"
1
, β}.
Когда в момент t'
2
в агрегат поступает входной сигнал x'
2
, то состоя-
ние агрегата принимает значение
z(t'
2
+0)=V'{t'
2
, z(t'
2
), g"
1
, x'
2
, β},
где z(t'
2
) определяется из (4.25).
Имитационное моделирование
132
Затем состояние агрегата в полуинтервале (t'
2
,t**] где t** - очередной
момент поступления входного или управляющего сигнала, изменяется по
закону
z(t) = U{t, t'
2
, z(t'
2
+0), g"
1
, β}
и так далее.
В [9,10] приведены простые примеры, иллюстрирующие формирова-
ние агрегата. Рассмотрим один из них.
Пример 4.17. Строится имитационная модель одноканальной системы
массового обслуживания. В моменты времени t
j
, образующие случайный
поток однородных событий, в систему поступают заявки. Заявка, посту-
пившая в момент времени t
j
, характеризуется случайным параметром α
j
.
Если заявка застала обслуживающий канал свободным, она немедленно
принимается к обслуживанию. В противном случае заявка направляется в
очередь и находится там не более чем γ
j
=φ(α
j
,β), где β – параметр системы.
Если до момента времени t
j
+γ
j
j-я заявка не будет принята к обслужива-
нию, то она покидает систему. В момент окончания обслуживания (осво-
бождения канала) к обслуживанию принимается следующая заявка в по-
рядке очереди. Длительность обслуживания (занятости канала) η
j
=ψ(α
j
,β).
Решение 4.17. Представим данную систему в виде агрегата. Состояния
системы опишем следующими координатами: z
1
(t) – время, оставшееся до
окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании; z
2
(t) –
число заявок в системе (в очереди на обслуживание).
Если z
2
(t) =0 (в системе нет заявок), будем считать, что z
1
(t)=0 для
всех t от момента окончания обслуживания до момента появления новой
заявки. Когда z
2
(t)>1, заявки имеются как на обслуживании, так и в очере-
ди. В этом случае требуются дополнительные координаты состояния
z
1+2k
(t)=α’
k
, k = 1,2,…, z
2
(t)-1, где α’
k
– параметр k-й заявки в очереди;
z
2+2k
(t) – оставшееся время ожидания в очереди для k-й заявки.
Входные сигналы (заявки на обслуживание) поступают в агрегат в
моменты t
j
и принимают значения x
j
=α
j
. Управляющий сигнал имеет фик-
сированной значение (множество состоит из одного элемента).
Рассмотрим операторы переходов и выходов агрегата, описывающего
данную систему массового обслуживания.
Пусть в момент t
j
поступает новая заявка. Если в этот момент канал
занят (z
2
(t
j
)>0) – данная заявка поступает в очередь; при этом z
1
(t) не изме-
няется, z
2
(t) – увеличивается на единицу, z
1+2k
(t) и z
2+2k
(t) – не изменяются;
кроме того, возникают новые координаты
jj)
j
t(
2
Z21
)t(z
α
=
+
и
),()t(z
jj)
j
t(
2
Z22
β
α
ϕ
=
+
и характеризующие поступившую заявку. Если же
Имитационное моделирование
133
в момент t
j
канал свободен и заявок в очереди нет (в этом случае z
2
(t
j
)=0 и
координаты z
1+2k
(t) и z
2+2k
(t) не определяются), поступившая заявка прини-
мается к обслуживанию. Тогда z
1
(t
j
)= ψ(α
j
,β) и z
2
(t
j
)=1, остальные коорди-
наты не определяются.
Исходя из этого, можно следующим образом записать оператор V’:
.0)t(z
ся,определяют не
)0t(Z
),0t(Z
,1)0t(Z
),,()0t(Z
(4.26)
,0)t(Z
),,()0t(Z
,)0t(Z
),t(zk
),t(z)0t(Z
),t(z)0t(Z
,1)t(z)0t(Z
),t(z)0t(Z
j2
jk22
jk21
j2
jj1
j2
jj)
j
t(
2
Z22
jj)
j
t(
2
Z21
j2
jk22jk22
jk21jk21
j2j2
j1j1
=
+
+
=+
βαψ=+
>
βαϕ=+
α=+
<
=+
=+
+=+
=+
+
+
+
+
++
++
Поскольку управляющий сигнал имеет фиксированное значение, опе-
ратор V” не определяется.
Перейдем к рассмотрению изменения координат состояния в интерва-
лах между моментами поступления входных сигналов.
Для момента t
j
+0 координаты состояния определяются в соответствии
с (4.26). Некоторое время после t
j
состояния z
1
(t) и z
2+2k
(t) убывают с еди-
ничной скоростью, а z
2
(t) остается постоянной. Координата z
1
(t), убывая с
единичной скоростью, обращается в нуль в момент t’
j
окончания обслужи-
вания очередной заявки, в этот момент заявка покидает систему и прини-
мается к обслуживанию следующая (i+1)-я заявка из очереди, если
z
2
(t’
j
)>0; поэтому z
1
(t) от нуля скачком возрастает до η
i+1
=ψ(z
3
,β) и далее
убывает с единичной скоростью. В этот же момент координата z
2
(t)
уменьшается на единицу. Если же заявок в очереди нет, z
1
(t) остается рав-
ным нулю до поступления новой заявки и принятия ее к обслуживанию.
Координаты z
2+2k
(t), убывая с единичной скоростью, обращались бы в нуль
в моменты t
j
+γ
j
для соответствующих заявок, если бы заявки не принима-
Имитационное моделирование
134
лись к обслуживанию. Для тех заявок, которые принимаются к обслужива-
нию в моменты времени t
> t’
i
, соответствующие координаты z
2+2k
(t) не оп-
ределяются. В моменты времени t
j
+γ
j
(для заявок, не принятых к обслужи-
ванию) координата z
2
(t) уменьшается на единицу (заявка уходит из очере-
ди и покидает систему).
Поведение координат z
1
(t), z
2
(t), z
1+2k
(t) и z
2+2k
(t) как функции времени
для одного из возможных процессов функционирования системы показано
на рис. 4.11.
Прежде чем записывать соотношения для оператора U, обратимся к
множеству Z
(Y)
(g,β) и оператору G. Множество Z
(Y)
(g,β) удобно выбрать в
виде объединения двух подмножеств
)Y(
1
Z и
)Y(
2
Z . Подмножество
)Y(
1
Z оп-
ределяется соотношением z
1
(t)=0, а подмножество
)Y(
2
Z - соотношением
z
2+2k
(t)=0 хотя бы для одного k.
В рамках данного примера под выходным сигналом естественно по-
нимать совокупность характеристик заявки, покидающей систему. Будем
считать, что y=(y
(1)
, y
(2)
), где y
(1)
– признак (y
(1)
=1, если систему покидает
обслуженная заявка и y
(1)
=0 – если необслуженная заявка), а y
(2)
– совокуп-
ность сведений о заявке, например y
(2)
=(α
j
, β, t*) значит, что заявка пост-
Имитационное моделирование
135
Рис. 4.11. Пример реализации агрегативного подхода.
t
γ
6
t
γ
2
γ
1
γ
2
γ
3
γ
4
γ
5
γ
6
z
2+2k
(t)
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
z
1
(t)
t
z
2
(t)
γ
1
γ
3
γ
5
Имитационное моделирование
136
пила в систему с характеристикой α
j
, обслуживалась при значении пара-
метра системы β, покинула систему в момент t*. В качестве y
(2)
, в зависи-
мости от конкретной задачи, могут фигурировать и другие величины или
функции от них. Таким образом, действие оператора G сводится к выбору
признака y
(1)
и формированию сведений о заявке y
(2)
.
Пусть в момент t*
1
состояние агрегата достигает подмножества
)Y(
1
Z .
Значение t*
1
определяется из соотношения z
1
(t*
1
)=0. Это означает, что об-
служивание очередной заявки закончилось. В момент t*
2
состояние агрега-
та выдает выходной сигнал y=(1,α
j
, β, t*
1
). Если в момент t*
2
состояние аг-
регата достигает подмножества
)Y(
2
Z (значение t*
2
определяется из соот-
ношения z
2+2k
(t*
2
)=0), то это означает, что время ожидания в очереди одной
из заявок истекло и заявка покидает систему необслуженной. В этом слу-
чае y=(0, α
j
, β, t*
2
).
Перейдем к оператору U. Для упрощения записи оператор U удобно
представить в виде совокупности операторов
U
, W’ и W”.
Пусть t=t*
1
(обслуживание очередной заявки окончено). Здесь могут
быть два случая. В первом (когда в системе имеются заявки, z
2
(t*
1
)>0) к
обслуживанию принимается следующая заявка из очереди; время обслу-
живания τ=ψ(α’
1
,β). Во втором (в системе заявок нет, z
2
(t*
1
)=0) система
ждет до момента поступления новой заявки и ее принимает к обслужива-
нию. Этот последний случай мы уже частично рассмотрели выше, когда
описывали оператор V’ (4.26) при условии, что z
2
(t
j
)>0. Нам осталось оп-
ределить состояния агрегата в полуинтервале от момента окончания об-
служивания до момента поступления новой заявки.
Приведенные рассуждения показывают, что состояния агрегата
z(t*
1
+0) определяются оператором W’:
Имитационное моделирование
137
.0)*t(z
ся,определяют не
)0*t(z
),0*t(z
,0)0*t(z
,0)*t(z)0*t(z
,0)*t(z
),*t(zk 1
),*t(z)0*t(z
),*t(z)0*t(z
,1)*t(z)0*t(z
),,z()0*t(z
12
1k22
1k21
12
1111
12
12
1)1k(221k22
1)1k(211k21
1212
311
=
+
+
=+
==+
>
≤≤
=+
=+
+=+
βψ=+
+
+
+++
+++
В момент t*
2
, когда истекает время ожидания одной из заявок, на-
пример m-й, число заявок в системе уменьшается на единицу. Состояние
агрегата z(t*
2
+0) определяется оператором W”:
).*(tzkm
),*t(z)0*t(z
),*t(z)0*t(z
,mk
),*t(z)0*t(z
),*t(z)0*t(z
,1)*t(z)0*t(z
),*t(z)0*t(z
22
2)1k(222k22
2)1k(212k21
2k222k22
2k212k21
2222
2121
≤≤
=+
=+
<
=+
=+
−=+
=
+
+++
+++
++
++
В полуинтервале (t
n
,t
n+1
) между «особыми» моментами t
n
, t
n+1
, к кото-
рым относятся моменты поступления в агрегат входных сигналов и выдачи
агрегатом выходных сигналов, состояния агрегата изменяются по закону,
определяемому оператором
U
:
).tt()0t(z)t(z
),0t(z)t(z
),0t(z)t(z
),tt()0t(z)t(z
nnk22k22
nk21k21
n22
nn11
−−+=
+=
+=
−
−
+
=
++
++
На этом будем считать законченным построение агрегата, описываю-
щего рассматриваемую систему массового обслуживания.
Аналогичное описание может быть сделано и для других типов сис-
тем массового обслуживания. В частности, для многоканальной системы
Имитационное моделирование
138
необходимо иметь координаты (вида z
1
(t)), характеризующие время, ос-
тавшееся до окончания обслуживания, для каждого канала.
4.2.3.2. Динамическое моделирование [42].
В середине 60-х годов в Массачусетском технологическом институте
(MIT) разрабатывались проблемы так называемой индустриальной дина-
мики. С 1957 года функционировала специальная группа ученых. В журна-
ле “California Management Review” (1965 г., № 3, p. 94) следующим обра-
зом характеризуется методика, предложенная Джеем Форрестером (Jay W.
Forrester): “При данном методе вся деятельность предприятия имитируется
на большой ЦВМ. Математическая модель состоит из сотен каскадирован-
ных последовательно решаемых уравнений. Предприятие наподобие ра-
диосхемы, содержит ветки обратной связи, усиливающие входящие сигна-
лы и регулирующие периодичность выходящих сигналов. При наличии не-
которых довольно обычных условий случайное изменение количества за-
казов на плюс или минус 5 % может вызвать периодические колебания
уровня запасов на 15 %, а объема выработки продукции и численности ра-
бочей силы – более чем на 25 %”. Но ценность не в количестве, а в мето-
дике !
Динамическое моделирование предприятия (ДМП) представляет со-
бой изучение деятельности предприятия как информационной системы с
обратной связью. Он показывает, каким образом взаимодействует органи-
зационная структура предприятия; показывает влияние авторитета в руко-
водстве и время запаздывания в решениях и действиях в обеспечении ус-
пеха предприятия. ДМП описывает также взаимодействие потоков инфор-
мации, денежных средств, заказов, товаров, рабочей силы и оборудования
на предприятии, в отрасли промышленности и в экономике региона или
государства.
С помощью ДМП создается единая структурная схема, в которой ин-
тегрируются функциональные отрасли управления, а именно – производ-
ство, сбыт, бухгалтерский учет, исследования и технические усовершенст-
вования, капиталовложения. Оно воплощает экспериментальный подход к
решению задачи приведения организационной структуры и методов руко-
водства предприятием в соответствие с требованиями промышленного
развития.
Динамические модели базируются на понятиях уровней, связанных
между собой управляемыми потоками (рис. 4.12). На рис. 4.12 представле-
ны четыре существенных элемента, которые ниже будут рассмотрены под-
робнее:
- несколько уровней;
Имитационное моделирование
139
- потоки, перемещающие содержимое одного уровня к другому;
- функции решений (изображенные в виде вентилей), которые регу-
лируют темпы потока между уровнями;
- информационные связи, соединяющие функции решений с уровня-
ми.
Уровни характеризуют возникающие накопления внутри системы. Это
товары, имеющиеся на складе, товары в пути, банковская наличность, про-
изводственные площади и численность работающих. Уровни представляют
собой те значения переменных в данный момент, которые они имеют в ре-
зультате накопления из-за разности между входящими и исходящими по-
токами. Уровни имеют место во всех шести потоках, которые будут рас-
смотрены ниже: информации, рабочей силы и оборудования.
Уровни существуют не
только в сетях физических вели-
чин, но и в информационной се-
ти.
Темп потока определяет
существенные мгновенные по-
токи между уровнями в системе.
Темп отражает активность, в то
время как уровень измеряет со-
стояние, которое является ре-
зультатом активности в системе.
Темпы точно так же, как и уров-
ни, существуют во всех шести
сетях, которые могут составлять
систему – материалов, заказов,
денежных средств, рабочей си-
лы, оборудования и информа-
ции.
Темпы потока устанавливаются на основе уровней в соответствии с
законами, которые определяют вид функций решений. В свою очередь
темпы определяют уровни. В состав уровней, которыми определяется темп
потока, обычно входит и тот уровень, из которого исходит данный поток.
Функции решений представляют собой формулировку линии поведе-
ния, определяющей, каким образом имеющаяся информация об уровнях
приводит к выбору решений, связанных с величинами текущих темпов.
Все решения касаются предстоящих действий и выражаются в форме тем-
пов потока (выдачи заказов, приобретения оборудования, найма рабочей
силы).
Рис. 4.12. Главные элементы динами-
ческой модели.
Источник ин-
формации
Уровень
Уровень
Уровень
Функция
решения
Канал
потока
Имитационное моделирование
140
Функция решения может иметь форму несложного потока на состоя-
ние одного или двух уровней. Например, производительность транспорт-
ной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в
пути, представляющим собой уровень, и константой – средним запаздыва-
нием на время транспортировки.
С другой стороны, функция решения может представлять собой длин-
ную и детально разработанную цепь вычислений, выполняемых с учетом
изменения ряда дополнительных условий. Так, например, решение о найме
рабочей силы может быть связано с учетом следующих уровней:
- имеющейся рабочей силы,
- среднего темпа поступления заказов,
- числа вновь принятых работников,
- уровней запасов и т.д.
На рис. 4.12 показано, что функции решений, на основе которых уста-
навливаются темпы, связаны только с информацией об уровнях. Выбирая
весьма короткий интервал времени, мы можем установить в принципе, что
данное решение не может зависеть от некоторых других принимаемых в
данный момент времени решений (или множеств темпов) в другой части
системы. Принцип независимости решений применим на практике: он
служит краеугольным камнем построения модели. Из этого принципа не
вытекает необходимость чрезмерного сокращения интервалов, для кото-
рых производятся расчеты в модели. Он делает возможным построение
моделей, не требующих трудоемких вычислений.
Для отражения деятельности промышленного предприятия, необхо-
димы несколько взаимосвязанных сетей:
− сеть материалов – темпы потоков и запасов реальных предметов,
будь то сырье, незавершенное производство или готовая продукция;
− сеть заказов – заказы на товары, требования на трудовые ресурсы,
на строительство новых площадей, это результат решений, которые не
нашли своего отражения в потоках одной из других сетей;
− сеть денежных средств – это кассовая наличность, то есть факти-
ческое движение платежей между денежными уровнями;
− сеть рабочей силы – определенное количество людей как индиви-
дуумов, а не количество человеко-часов труда;
− сеть оборудования – производственная площадь, инструмент и
оборудование, необходимые для производства товаров и показывающие
как функционируют заводы и машины, каково имеющееся оборудова-
ние, какая часть этого оборудования находится в данный момент в экс-
плуатации, а также каков темп выхода орудий производства из строя;
− связующая сеть информации – последовательность переменных
темпов и уровней.