Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Имитационное моделирование

111

тичную двухзначную дробь) число

=0,35. Сравнивая его с границами

подынтервалов (x

, x

m+1

), выясняем, что

попадает во второй подынтер-

вал (x

, x

). Таким образом, реализация случайного числа ξ

будет форми-

роваться для малого интервала разбиения (1; 2), m=1.

Вновь обращаемся к таблице случайных цифр и получаем η

=0,42,

которое преобразуется в первое генерируемое случайное число с требуе-

мым законом распределения вероятностей

=(2-1)·0,42+1=1,42.

Генерируем второе число ξ

. Для этого определяем

=0,93 и выясня-

ем, что оно попадает в четвертый подынтервал (x

, x

), то есть малый ин-

тервал разбиения (a

, a

m+1

) случайно выбран и это интервал (3;4). Получа-

ем еще одно число η

=0,07 и рассчитываем новое генерируемое число

=(4-3)·0,07+3=3,07.

Поступая аналогично, получим (

=0,61, подынтервал )x,x(

1mm +

вы-

бран (2;3), η

=0,68)

=(3-2) ·0,68+2=2,68.

Таким образом, используя метод кусочной аппроксимации, мы полу-

чили три случайных числа с требуемым законом распределения вероятно-

стей ξ

=1,42; ξ

=3,07; ξ

=2,68.

4.2.2.4. R-методы.

Методы генерирования произвольно распределенных случайных чи-

сел с требуемыми динамическими свойствами носят название R -методов.

Произвольность распределения случайных чисел позволяет ис-

пользовать в качестве исходных стандартные нормальные случайные чис-

ла. При этом выходные последовательности чисел, как правило, имеют

нормальное распределение. Значение этого факта возрастает в связи со

следующими обстоятельствами [12]:

- нормальные случайные процессы играют важную роль в приложе-

ниях и однозначно задаются матрицей корреляционных моментов;

- негауссовские случайные процессы часто появляются в результате

некоторых известных преобразований гауссовских случайных процессов

(так называемые квазинормальные случайные процессы) и их моделирова-

ние сводится к воспроизведению гауссовского случайного процесса с не-

обходимыми вероятностно-статистическими свойствами и его преобразо-

ванию по известным алгоритмам;

- многомерные законы распределения вероятностей случайных про-

цессов, не являющихся нормальными или квазинормальными, весьма

трудно получить теоретически и экспериментально, в то время как корре-

Имитационное моделирование

112

ляционные моменты определяются значительно проще.

Метод линейных преобразований. Он состоит в линейном преобразо-

вании A исходных N чисел η с известными вероятностными свойствами,

после чего полученные величины ξ должны иметь наперед заданную кор-

реляционную матрицу

║R

║=║R

║, n,m=1,2,…,n

Пусть дано N независимых случайных чисел с нулевым матема-

тическим ожиданием и единичной дисперсией η(1), η (2),…, η (N)

M[η ]=0, σ[η ]=1, M[η (n), η (m)]= δ







≠

m.n 0,

m,n ,1

Известно, что произвольное линейное преобразование A N-мерного

вектора η сводится к умножению его на некоторую матрицу N-го порядка

║ξ║=║A║·║η║, где ║η║=║ η(n)║, n=1,2, …,N и ║ξ║=║ξ(n)║, n=1,2,…,N -

матрицы-столбцы с элементами η(1),…,η(N) и ξ(1),…,ξ(N) соответственно

и ║A║=║a

║, n=1,2,…,N, m=1,2,…,N - квадратная матрица преобразова-

ний.

Выберем матрицу A треугольной, тогда

ξ(1) = a

· η(1),

ξ(2) = a

· η(1) + a

· η(2),

. . . (4.7)

ξ(N) = a

· η(1) + a

· η(2) + … + a

· η(N).

Элементы матрицы ║A║ найдем из условий независимости исходных

чисел и нулевого математического ожидания

M[η (n), η (m)]= δ







≠

m.n 0,

m,n ,1

M[ξ(n),ξ (m)]= R

Из условий

M[ξ(1)ξ (1)]= a

;

M[ξ(1)ξ (2)]= a

·a

;

M[ξ(2)ξ (2)]= a

+ a

;

получим

R ; a

R − . (4.8)

Действуя аналогично, можно найти последовательно все элементы

матрицы ║A║.Тогда алгоритм выработки реализаций случайного процесса

с заданной корреляцией сведется к умножению реализации исходного не-

зависимого процесса η(t) на матрицу преобразований ║A║. Процесс ξ(t)

будет иметь нулевое математическое ожидание

Пример 4.12. Пусть требуется построить матрицу преобразований

║A║, позволяющую методом линейных преобразований прогенерировать

Имитационное моделирование

113

три элемента реализации случайного процесса с корреляцией, определяе-

мой матрицей

║R

║ =

00,150,025,0

50,000,150,0

25,050,000,1

и математическим ожиданием M[ξ]=5.

Решение 4.12. В соответствии с условием задачи матрица преобразо-

ваний ║A║ имеет размерность 5 x 5, а ее элементы связаны с требуемыми

корреляционными моментами известными из описания метода и вновь по-

лученными в дополнение к (4.8) формулами

;R/Ra

111331

;

R/RR

R/RRR

1222

11131223

−

⋅

−

R/RR

)R/RRR(

1232

11131223

3333

−

⋅−

−−=

Следовательно, с учетом нового математического ожидания

(

]

[

)

(

⋅

),2(2/3)1(2/1][M)2( η⋅+η⋅+ξ=ξ

).3(2/3)2(4/3)1(4/1][M)3( η⋅+η⋅+η⋅+ξ=ξ

Используя таблицу стандартных нормальных случайных чисел (при-

ложение 3), выберем три числа, например, из четвертой строки: η(1)=1,002;

η(2)=0,555; η(3)=0,046. (Напомним, что нормальные стандартные случай-

ные числа независимы и имеют в совокупности нулевое математическое

ожидание и единичное среднеквадратическое отклонение, что удовлетво-

ряет условиям применения метода линейных преобразований).

Тогда

;

022

)

(

≈

;044,55)555,0(

022,1

)2( ≈+−⋅+=ξ

.058,50465,0

)555,0(

022,1

)3( ≈⋅+−⋅+=ξ

К достоинствам данного метода отнесем его легкую машинную реали-

зацию, а к недостаткам - существенные затраты машинной памяти (матри-

ца занимает 0,5·N·(n+1) слов) и значительные объемы вычислений.

Метод канонических разложений. Пусть непрерывный центрирован-

ный случайный процесс ξ(t) задан каноническим разложением

∑

∞

ϕ⋅=ξ

),t(V)t( (4.9)

Имитационное моделирование

114

где V

- некоррелированные случайные коэффициенты с параметрами

M[V

]=0 и σ[V

]=σ

; φ

(t) - система некоторых детерминированных коор-

динатных функций.

Из условия некоррелированности коэффициентов V

следует анало-

гичное каноническое разложение корреляционной функции случайного

процесса ξ(t):

.)t()t()]t()t([M)t,t(R

∑

∞

′

ϕ⋅ϕ⋅σ=

′

ξ⋅ξ=

′

Метод канонических разложений [12] осуществляется так: в процессе

формирования дискретных реализаций ξ(n) они вычисляются непосредст-

венно по формуле (4.9). При этом в качестве V

используется выборочные

значения некоррелированных случайных чисел с параметрами M[V

]=0 и

σ[V

]=σ

. Бесконечный ряд (4.9) при вычислениях приближенно заменяет-

ся усеченным конечным рядом.

Подготовительная работа состоит в выборе системы координатных

функций φ

(t) и в нахождении дисперсий σ

, то есть в осуществлении не-

посредственно канонического разложения. Эти действия проводятся по ре-

куррентным формулам

);t,t(R

′

=σ ;/)t,t(R)t(

111

′

=ϕ

;N,...,3,2k,)t()t,t(R

ikk

=ϕ⋅σ−

′

=σ

∑

−

(4.10)

.N,...,3,2k,)t()t()t,t(R

)t(













ϕ⋅ϕ⋅σ−

′

⋅

=ϕ

∑

−

Использование такого представления метода канонических разложе-

ний позволяет воспроизводить случайный процесс с корреляционной

функцией, совпадающей с требуемой в заданных дискретных точках t

k=1,2,…,N. В промежутках же между этими точками получаемая корреля-

ционная функция не совпадает с требуемой. Если дискретные точки вы-

брать так, что значения процесса в этих точках имеют высокую корреля-

цию между собой, то совпадение корреляционных функций будет доста-

точно хорошим.

Пример 4.13. Используя метод канонических разложений, прогенери-

ровать три элемента (N=3) реализации случайного процесса ξ(t) с корреля-

ционной функцией

.2)t,nt(R)nt,t(R

−

=+=+

Решение 4.13. Используя рекуррентные формулы (4.10), получаем

;1)1,1(R

==σ ;2/)1,n(R

)1t(2

−

=σ=ϕ

;4/3)t()2,2(R

=ϕ⋅σ−=σ

Имитационное моделирование

115

[

]

;2)2()t()2,t(R

)t(

)2t(

−−

=ϕ⋅ϕ⋅σ−⋅

=ϕ

;4/3)3()3()3,3(R

=ϕ⋅σ−ϕ⋅σ−=σ

[

]

.2)3()t()3()t()3,t(R

)t(

)3t(

211

−−

=ϕ⋅ϕ⋅σ−ϕ⋅ϕ⋅σ−⋅

=ϕ

Используя случайные некоррелированные числа из предыдущего

примера (η(1)=1,002; η(2)=0,555; η(3)=0,046) и получаемую из (4.9) форму-

лу

∑

ϕ⋅η⋅σ=ξ

),t()k()t( (4.11)

имеем

∑

−−

⋅≈ϕ⋅η⋅σ=ξ

)1t(

.2655,0)t()k()t(

Если моделируемый процесс является нормальным, то, положив рас-

пределение V

также нормальным, можно воспроизводить дискретные реа-

лизации нормальных случайных процессов, заданных на конечном интер-

вале времени.

Достоинства и недостатки метода канонических разложений совпада-

ют с методом линейных преобразований. Достаточно убедиться, что алго-

ритмы (4.7) и (4.11) в точности совпадают, то есть ),1(a

1111

⋅

),2(a

1121

⋅

)2(a

2222

⋅

и т.д.

Метод скользящего суммирования. В отличие от ранее рассмотрен-

ных, данный R-метод позволяет воспроизводить реализации случайного

процесса неограниченной длины.

Пусть дана последовательность независимых случайных чисел η(t) с

M[η]=0 и σ[η ]=1, при этом







≠

=δ=+η⋅η=

.0k,0

,0k,1

)]kn()n([MR

Используя формулу скользящего суммирования

∑

−η⋅=ξ

),kt(c)t( (4.12)

сформируем новую последовательность чисел

),Nt(c)1Nt(c...)2t(c)1t(c)t(

N1N21

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

).1Nt(c)2Nt(c...)1t(c)t(c)1t(

N1N21

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

Очевидно, что при вычислении очередного значения ξ(t+1) исходная

последовательность η(t) "сдвигается" на один элемент вправо, так, что зна-

чение η(t-N) отбрасывается. Корреляционные свойства )t,t(R

′

в процессе

ξ(t) обеспечиваются за счет того, что в образовании их участвует

′

−

об-

Имитационное моделирование

116

щих случайных величин из последовательности η(t). Вид корреляции оп-

ределяется коэффициентами c

и не зависит от закона распределения веро-

ятностей исходного процесса η(t). Если исходные случайные числа распре-

делены нормально, то в силу линейности преобразования, числа ξ(t) будут

нормальными.

Выбор начальных условий в формуле (4.12) определяет длину неста-

ционарности (приработки) генерируемого процесса ξ(t) и при специальном

их подборе процесс ξ(t) может сразу быть стационарным.

Если процесс ξ(t) стационарен, то его динамические свойства описы-

ваются корреляционной функцией, связанной с коэффициентами корреля-

ции )t,t(R)(R

′

, где

−

′

, и тогда в силу независимости исходных

чисел

,c...cc)0(R

+++=

,cc...cccc)1(R

N1N3221 −

… (4.13)

,cc)1N(R

−

)

(

или эта же система уравнений в матричной форме

0000c

000cc

0ccc

cccc

)1N(R

)2N(R

)1(R

)0(R

N1N

N32

N1N21

−−

−

×=

−

Если коэффициенты c

заданы, то корреляционную функцию генери-

руемого методом скользящего суммирования случайного процесса легко

найти из соотношений (4.13). Задачи этого типа называются задачами ана-

лиза. Для моделирования случайных процессов излагаемым методом не-

обходимо решить задачу синтеза - по заданным корреляционным момен-

там (корреляционной функции) найти коэффициенты c

. Задачи синтеза

сложнее, чем задачи анализа. Для их решения, применяют разнообразные

методы, самым простым из которых является решение нелинейной систе-

мы уравнения (4.13) относительно неизвестных коэффициентов c

Пример 4.14. Методом скользящего суммирования прогенерировать

три числа с корреляционной функцией (N=2), R(0)=1 и R(1)=0,5.

Решение 4.14. Решим нелинейную систему уравнений







=⋅

.5,0cc

,1cc

Из последнего уравнения имеем )c2/(1c

и, после подстановки в

Имитационное моделирование

117

первое уравнение получаем

01c4c4

=+− или .0)1c2(

=−

Таким образом, 2/1cc

== и формула скользящего суммирования

(4.12) приобретает вид

.2/))2t()1t(()t( −η+−η=ξ (4.14)

Для генерирования трех чисел ξ(t), ξ(t+1), ξ(t+2) нам потребуется че-

тыре исходных независимых стандартных гауссовских числа η(t-2), η(t-1),

η(t), η(t+1). Выберем их из таблицы нормальных стандартных случайных

чисел (см. приложение 3), взяв четыре числа из шестой строки η(t-2)

=0,906; η(t-1)=-0,513; η(t)=-0,525; η(t+1)=0,595.

Применяя формулу (4.14) получаем три генерируемых случайных

числа

;278,0)906,0513,0(

)t( ≈+−=ξ

;734,0)513,0525,0(

)1t( −≈−−=+ξ

;05,0)525,0595,0(

)2t( ≈−=+ξ

Метод скользящего суммирования является приближенным, причем

увеличение числа слагаемых приводит к уменьшению погрешности и к

снижению быстродействия.

4.2.2.5. РR – методы.

Методы генерирования случайных чисел с требуемыми одномерным

законом распределения вероятностей и динамическими свойствами носят

название РR-методов. (При этом подразумеваются только такие пары "за-

кон распределения - автокорреляционная функция", которые имеют реаль-

ную физическую природу, то есть имеют место в жизни, получены экспе-

риментальным путем или обоснованы теоретически).

Пусть в качестве исходного выбран нормальный стационарный слу-

чайный процесс η

(t). Известно, что всегда существует такое нелинейное

преобразование ξ(t)=ψ[η

(t)], которое переводит нормальную плотность

(x) распределения вероятностей процесса η

(t) в заданную плотность f(y).

При этом, если исходный процесс η

(t) имеет корреляционную функцию

(τ), то преобразованный процесс ξ(t) будет иметь корреляционную

функцию R

(τ), отличающуюся от функции R

(τ) и связанную с ней неко-

торой зависимостью R

(τ)=φ[R

(τ)].

Вид преобразования φ определяется преобразованием ψ. Для того,

Имитационное моделирование

118

чтобы корреляционная функция процесса ξ(t) была требуемой, необходимо

выбрать исходную корреляцию равной R

(τ)=φ

-1

(τ)], где φ

-1

- функция,

обратная φ[R

(τ)]; R(τ) - требуемая в процессе ξ(t) корреляционная функ-

ция.

Таким образом, для генерирования случайного процесса ξ(t) с одно-

временно требуемым законом распределения вероятностей и кор-

реляционной функцией R(τ) посредством аналитического РR-метода необ-

ходимо:

- по плотности распределения f

(x) исходного процесса η

(t) отыски-

вать преобразование ξ(t)=ψ[η

(t)], позволяющее получить требуемую плот-

ность распределения f(y);

- по найденной функции ψ найти преобразование R

(τ)=φ[R

(τ)], опи-

сывающее преобразование исходной корреляции R

(τ), в некоторую функ-

цию R

τ), не совпадающую с требуемой R(τ);

- отыскать решение уравнения R

(τ)=φ

-1

[R(τ)], то есть определить

корреляционную функцию, которой должен обладать исходный случайный

процесс η

(t), чтобы после применения к нему преобразования ψ генери-

руемый процесс ξ(t) обладал требуемой корреляцией R(τ);

- определить алгоритм для генерирования исходного нормального

процесса η

(t) с корреляционной функцией R

(τ);

- генерируется случайный процесс ξ(t).

Пример 4.15. Необходимо найти преобразования и определить свойст-

ва исходного случайного процесса η

(t) для генерирования аналитическим

РR-методом одномерного равномерного в интервале (-а, а) случайного

процесса с корреляционной функцией )(r

)(R

τ=τ .

Решение 4.15. Из литературных источников [12, стр.117] известно, что

для получения равномерного в интервале (-а, а) процесса ξ(t) - из стан-

дартного нормального η

(t) необходимо использовать преобразование

,dte

)]5,0)t(([a2)]t([)t(

)t(

⋅

=−ηΦ=ηψ=ξ

∫

−

(4.15)

где Φ(·) - функция Лапласа.

Преобразование, приводящее к процессу ξ(t), в замкнутом виде выра-

жается через корреляционную функцию R

(τ) исходного случайного про-

цесса следующим образом:

].2/)(Rarcsin[

)(R

τ⋅

=τ

Отсюда обратная функция φ

-1

имеет вид

Имитационное моделирование

119

)].(R

sin[2)](R

sin[2)(R

=τ

=τ (4.16)

Так как аргумент синуса изменяется в пределах (-π/6, π/6), замена си-

нуса прямой линией внесет незначительные погрешности. Поэтому поло-

жим R

(τ)=R(τ).

И тогда можно формировать реализации стационарного нормального

стандартного процесса η

(t) с корреляционными моментами R(τ), которые

преобразованием вида (4.15) переводятся в реализацию процесса с желае-

мыми характеристиками.

Очевидны недостатки такого PR-метода, состоящие в сложностях по

отысканию преобразований ψ и φ. Не для каждого распределения и каждой

корреляции можно их отыскать.

Другой подход к РR-генерированию состоит в использовании пере-

становочной технологии [43]. Данная технология основана на том, что ди-

намические (корреляционные, спектральные и т.п.) свойства определяются

не только значениями элементов реализации случайного процесса, но и

порядком следования элементов в реализации. При этом одномерный за-

кон распределения практически не изменяется. Ясно, что пара "Одномер-

ный закон распределения вероятностей - Корреляционная функция" долж-

на иметь физический и математический смысл.

Пусть η(0), η(1),… - реализация некоррелированного случайного про-

цесса с одномерным законом распределения вероятностей, которым дол-

жен обладать генерируемый случайный процесс ξ(t), t=0,1,…

Для реализации перестановочной процедуры необходимо положить

ξ(0)=η(0) и образовать вектор

.1n)),n(),...,2(),1(())1(u),...,1(u),1(u()1(U

n21

Сопоставление по правилу перестановок A вектора U(1) и ξ(0)

{

}

n,...,2,1j);0(),1(uA))0(),1(u(

обеспечивает выбор одного из компонентов вектора U(1) в качестве нового

элемента реализации генерируемого процесса ξ(1)=u

(1).

Затем на место выбранного компонента вектора U(1) заносится слу-

чайное число из исходной реализации, а остальные компоненты не изме-

няются

),1n()2(u

.ji),1(u)2(u

≠

Процедура выбора компонента вектора U(t) повторяется, причем вы-

бор проводится в зависимости от последнего прогенерированого числа ξ(t-

1). Вектор U(t) обновляется посредством записи на место выбранного ком-

Имитационное моделирование

120

Рис. 4.9. Экспоненциально-косинусные автокорреляционные функции.

понента числа из исходной реализации.

Размерность вектора U(t) - n - носит название параметра упорядочения

и чем больше n, тем сильнее вводимая корреляция, так как с увеличением

размерности вектора увеличиваются возможности более точного удовле-

творения правила A. Само же правило A определяет форму генерируемой

корреляционной функции. Если A - минимизация модуля первой разности,

то вводимая корреляционная функций имеет экспоненциально-косинусный

вид (рис. 4.9), то есть может быть аппроксимирована выражением

).cos(e)(f βπτ=τ

ατ

−

Если A - максимизация модуля первой разности, то функция корреля-

ции имеет знакопеременный вид (рис. 4.10), то есть может быть аппрокси-

мирована выражением

).cos(e)(f πτ=τ

ατ

−

-0,6

-0,4

-0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

4 8 12 16 20

n=12

n=8

n=4