Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Имитационное моделирование

161

личеством параметров линейной модели и числом опытов полного фак-

торного эксперимента приведены в таблице 4.8.

Таблица 4.8.

Количество

факторов

Количество па-

раметров линей-

ной модели

Число опытов

полного фактор-

ного

эксперимента

Разность между

числом опытов и

количеством па-

раметров

2 3 4 1

3 4 8 4

4 5 16 11

5 6 32 26

6 7 64 57

7 8 128 120

8 9 256 247

9 10 512 502

10 11 1024 1013

11 12 2048 2036

12 13 4096 4083

13 14 8192 8178

14 15 16384 16369

15 16 32768 32752

Как видно из этой таблицы, разность между числом опытов и количе-

ством параметров линейной модели с увеличением числа факторов стано-

вится непомерно большой. Далее мы рассмотрим прием, позволяющий ис-

следовать линейную модель, используя меньшее количество опытов по

сравнению с числом опытов полного факторного эксперимента.

4.2.4.2. Дробный факторный эксперимент.

Пусть, например, для описания объекта исследования требуется рас-

считать коэффициенты b

, b

уравнения

Y = b

·X

+ b

·X

+ b

·X

+ b

·X

. (4.32)

Для определения числовых значений четырех параметров следует

иметь четыре уравнения, неизвестными в которых являются параметры

рассматриваемой функции, поэтому как минимум надо провести четыре

опыта.

Уравнения можно записать так

1-й опыт y

+ b

·x

+ b

·x

+ b

·x

2-й опыт y

+ b

·x

+ b

·x

+ b

·x

3-й опыт y

+ b

·x

+ b

·x

+ b

·x

4-й опыт y

+ b

·x

+ b

·x

+ b

·x

Имитационное моделирование

162

где y

- значение параметра оптимиза-

ции в i-м опыте,

– значение j-го фактора в i-м

опыте, j=1,2,3, i=1,2,3,4.

Опыты необходимо проводить по

матрице планирования, отвечающей

свойствам, рассматриваемым в преды-

дущем пункте. Из 1-й строки таблицы

4.7 видно, что существует матрица экс-

перимента, отвечающая этим свойства

и имеющая четыре опыта. Эта матрица двухфакторного эксперимента за-

писана в таблице 4.7. Если предположить, что эффекты взаимодействия

между факторами отсутствуют, то вектор-столбец Х

можно использо-

вать для нового фактора Х

. Матрица планирования для этого случая запи-

сана в таблице 4.9.

Если анализируется линейная модель с четырьмя факторами

Y = b

·X

+ b

·X

+ b

·X

+ b

·X

+ b

·X

то минимальное число опытов, определяемое количеством оцениваемых

параметров b

, j=1,2,3,4,5, равно пяти.

В столбце 3 таблицы 4.8 число 5 отсутствует, однако имеется число 8.

Матрицу планирования полного факторного эксперимента с восьмью опы-

тами можно использовать для расчета модели с четырьмя факторами. В

этом случае надо проводить уже не 16 опытов, а восемь. Следовательно,

чтобы сократить число опытов, необходимо новому фактору присвоить

вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пре-

небречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется

знаками этого столбца.

Рассмотрим матрицу полного факторного эксперимента для трех фак-

торов или 2

(таблица 4.10).

Проанализируем структуру этой таблицы. Первые три столбца матри-

цы таблицы 4.10 совпадают со столбцами матрицы таблицы 4.5. (матрицы

планирования для трех факторов). Напомним, что матрица таблицы 4.5

была получена согласно методу построения матриц планирования. Эле-

менты остальных столбцов найдены соответствующим перемножением

первых трех столбцов. Заметим, что при образовании матрицы планирова-

ния (таблица 4.5) план 2

повторялся дважды, поэтому его называют полу-

репликой полного факторного эксперимента 2

и обозначают 2

3-1

(4 опыта).

Полуреплика содержит половину опытов полного факторного эксперимен-

та.

Таблица 4.10.

Таблица 4.9.

№ Х

1 + +

+ +

2 + -

+ -

3 + -

- +

4 + +

- -

Имитационное моделирование

163

Максимальное количество факторов, которое можно исследовать с

помощью матрицы, записанной в таблице 4.10, равно семи: Х

=Х

, Х

=Х

, Х

=Х

. В этом случае четыре фактора (Х

, Х

) приравнены к эффектам взаимодействия. Если таблицу 4.10 использу-

ют для анализа семи факторов, то ее обозначают 2

7-4

(8 опытов) и называ-

ют 1/16-репликой полного факторного эксперимента 2

. План с предель-

ным числом факторов данной матрицы планирования эксперимента и ли-

нейной модели называют насыщенным.

На практике редко пользуются даже полурепликой 2

5-1

(16 опытов), не

говоря уже о 2

6-1

(32 опыта), 2

7-1

(64 опыта) и так далее. Поэтому с ростом

числа факторов возрастает и дробность применяемых реплик. Вопрос о

том, какими эффектами взаимодействия можно пренебречь и к какому это

приведет риску, должен быть решен до постановки эксперимента по дроб-

ным репликам.

4.2.4.3. Проведение и обработка результатов экспериментов.

Все сведения, необходимые для постановки эксперимента, заносят в

специальную таблицу (таблица 4.11).

Таблица 4.11.

Наименование x

… x

Нулевой уровень x

… x

Интервал варьирования h

… h

Верхний уровень x

jв

1в

2в

… x

kв

Нижний уровень x

jн

1н

2н

… x

kн

№ Х

1 - -

+ -

- +

2 + -

- +

3 - +

- -

+ +

4 + +

+ +

5 - -

+ +

+ -

6 + -

- -

+ -

7 - +

- +

- -

8 + +

+ -

- -

Имитационное моделирование

164

Заметим, что в теории планирования эксперимента для каждого соче-

тания факторов проводится не один опыт, а несколько. Такие опыты назы-

вают параллельными. На практике обычно достаточно постановки двух па-

раллельных опытов. Необходимость в проведении параллельных опытов

возникает в том случае, когда исследователь хочет проверить гипотезу об

адекватности модели исследуемого процесса. Эту гипотезу можно прове-

рить, если известны дисперсия воспроизводимости, рассчитываемая по

данным параллельных опытов.

После заполнения таблицы 4.11 составляют план эксперимента, в ко-

торый вносят результаты параллельных опытов (таблица 4.12).

Таблица 4.12.

Параллельные опыты

№ Х

… Х

… Y

′

1 + + … + y

… y

′

2 + - … + y

… y

′

… … … … … … … … …

…

n - - … + y

… y

′

Так как невозможно полностью исключить действие внешних факто-

ров, параллельные опыты не дают полностью совпадающих результатов.

Погрешность опытов можно оценить по формуле

∑

′

−⋅

−

=σ

iij

m,1,2,...,j n,1,2,...,i ,)yy(

)

(4.33)

где

)

- дисперсия воспроизводимости i-го опыта.

При анализе опытных данных следует использовать критерии матема-

тической статистики. Например, резко выделяющиеся значения можно от-

брасывать по t-критерию Стьюдента, проверять однородность дисперсий

)

по F-критерию Фишера, производя попарные сравнения. Если диспер-

сии

)

однородны, то дисперсия оптимизации

)y(

∑

σ⋅=σ

)

(4.34)

Прежде чем приступить к постановке опытов, необходимо выработать

последовательность их проведения. В проведении опытов рекомендуется

случайная последовательность их осуществления, то есть необходима ран-

домизация опытов. Поясним сказанное следующим примером.

Пример 4.19. Пусть требуется поставить опыты по плану, записанно-

му в таблице 4.13.

Имитационное моделирование

165

Решение 4.19. Допустим

также, что экспериментатор

может поставить в первый

день четыре опыта и во второй

– тоже четыре опыта. Сос-

тавить опыты в последователь-

ности, записанной в таблице

4.13, нецелесообразно, так как

в первых четырех опытах Х

находится на верхнем уровне,

а в последних – на нижнем, что

может вызвать появление сис-

тематической ошибки в опре-

делении параметра оптимиза-

ции (внешние условия совер-

шенно одинаковыми быть не

могут). При рандомизации ус-

ловий эксперимента вероятность такой опасности уменьшается. В рас-

сматриваемом случае необходимо 8 опытов провести в случайной после-

довательности, для чего используется таблица случайных чисел. В случай-

ном месте таблицы выписываются числа с первой по восьмую, отбрасывая

числа, большие 8 и уже выписанные ранее. Например, можно получить та-

кую последовательность 8, 2, 1, 6, 4, 5, 3, 7. Это означает, что первым сле-

дует реализовать опыт № 8, вторым - № 2 и так далее.

Если же планируется проведение параллельных опытов, например, по

плану таблицы 4.13, проводят два параллельных опыта, то необходимо

случайно расположить уже 16 чисел. В этом случае также используют таб-

лицы случайных чисел, выписывая из нее двузначные неповторяющиеся

числа от 1 до 16.

После тщательного проведения эксперимента, отбрасывания значе-

ний, полученных ошибочно, и проверки однородности дисперсий воспро-

изводимости, переходят к расчету параметров постулируемой модели и ее

анализу. Ранее мы условились в начале эксперимента рассматривать лишь

линейные модели на двух уровнях. Если функция отклика или уравнение

регрессии имеет вид (4.31), то известными нам методами можно отыскать

коэффициенты регрессии b

, b

и b

для чего можно провести эксперимент

по плану таблицы 4.7.

Для анализируемой модели с помощью методики нахождение регрес-

сионных коэффициентов можно получить следующую систему нормаль-

ных уравнений

Таблица 4.13.

№ Х

1 + +

2 - -

3 + -

4 - +

5 + +

6 - -

7 + -

8 - +

Имитационное моделирование

166











=⋅+⋅+⋅

⋅=⋅+⋅+⋅

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑∑

.Y Xb Xb nb

,YX XXb Xb Xb

,YX Xb XXb Xb

22110

1122

110

2221120

Подставив в эту систему конкретные значения столбцов из таблицы

4.7 и используя свойства симметричности, нормировки и ортогональности,

имеем (n=4):

∑ ∑

∑

.0XXXX

,4XX

,0XX

1221

Справедливо, систему нормальных уравнений можно записать в виде











⋅=⋅

=⋅

∑

YXb4

,Yb4

Откуда .

b ,

`10

∑

⋅

Если теперь рассматривать линейную модель с k факторами, то, рас-

суждая аналогично, получаем формулу для расчета коэффициентов урав-

нения регрессии b

в общем виде:

n.1,2,...,i k,0,1,...,j ,

iji

⋅

′

∑

(4.35)

Таким образом, вычисления сводятся к умножению столбца

на

столбец соответствующего фактора и алгебраическому сложению полу-

ченных значений. Деление результата на число различных опытов в мат-

рице планирования дает искомый коэффициент.

Пример 4.20. Исследуется процесс разделения смеси растворами ки-

слоты. Параметр оптимизации Y – содержание определенного элемента в

выходном растворе, %. Факторы: х

– концентрация входного раствора, х

– концентрация кислоты.

Задача исследования – получение

такого сочетания факторов, при котором

значение выходного параметра равно

99-100 %. Априорные исследования да-

ли возможность построить области оп-

ределения для каждого из факторов, вы-

брать нулевой уровень и интервалы

варьирования: 0,5<x

<3,3 и 3,3<x

<9.

Таблица 4.14.

Наименование x

Нулевой уровень x

1,5

Интервал варьирования h

0,5

Верхний уровень x

jв

2,0

Нижний уровень x

jн

1,0

Имитационное моделирование

167

Исходная информация записана в таблице 4.14.

Решение 4.20. Матрица планирования эксперимента и результаты

опытов (дисперсии воспроизво-

димости однородны) записаны в

таблице 4.15.

Рассчитаем по формуле

(4.35) параметры уравнений свя-

зи:

=(95+90

+85+82)/4=88;

=(-

95+90-85+82)/4=-2,0;

=(-95-90+85+82)/4=-4,5.

И тогда Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

После того, как коэффициенты модели вычислены, решают вопрос о

возможности описания полученной моделью исследуемого процесса. Мо-

дель, пригодную для описания процесса, называют адекватной.

Адекватность модели проверяют по F-критерию Фишера, для чего

рассчитывают статистику

)Y(

где

σ - дисперсия параметра оптимизации или средняя дисперсия вос-

производимости,

)Y(

σ - дисперсия адекватности.

Дисперсия адекватности рассчитывается по формуле

(

)

,YY

iTi

∑

−

′

⋅=σ (4.36)

причем f равно разности между числом различных опытов и числом пара-

метров уравнений регрессии, а Y

– значение параметра оптимизации, рас-

считанное по уравнению регрессии.

Пример 4.21. Рассчитаем

σ для предыдущего примера 4.20 и прове-

рим гипотезу адекватности, если

)Y(

σ =0,625, α=0,5, причем параллель-

ность опытов равна 2 (m=2).

Решение 4.21. Так как Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

, то

1Т

= 88 - 2,0·(-1) - 4,5·(-1) = 94,5;

2Т

= 88 - 2,0·(+1) - 4,5·(-1) = 90,5;

3Т

= 88 - 2,0·(-1) - 4,5·(+1) = 85,5;

4Т

= 88 - 2,0·(+1) - 4,5·(+1) = 81,5;

Таблица 4.15.

№ Х

′

1 + - -

2 + + -

3 + - +

4 + + +

Имитационное моделирование

168

f=4-3=1 (так как количество различных опытов n=4, а число оцени-

ваемых параметров b

, b

и b

равно трем).

Далее имеем:

σ = (95 – 94,5)

+ (90 – 90,5)

+ (85 - 85,5)

+ (82 – 81,5)

= 1,

)Y(

σ = 0,625,

.57,1

625,0

F ≈=

В таблице F-распределения (см. любой справочник по математической

статистике) находим F

k1;k2;α

, где α=0,05, k

=f=1; k

=n·(m-1)=4. Получаем

1;4;0,05

=7,71. Так как 1,57 < 7,71, то модель можно считать адекватной.

После установления адекватности модели и исследуемого процесса

переходят к проверке значимости отдельных коэффициентов.

При использовании полного факторного эксперимента и дробных ре-

плик погрешности в определении каждого из коэффициентов равны (след-

ствие свойств матрицы планирования):

)Y(

)

=σ (4.37)

где

)Y(

σ - средняя дисперсия воспроизводимости,

n - число различных опытов.

Значимость коэффициентов обычно проверяют по t-критерию Стью-

дента, для чего рассчитывают статистику

)

которую затем сравнивают с табличным значением t

k,α

, взятым из таблицы

t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 1-α и числом степеней

свободы, с которым определялась

)Y(

σ , то есть k=n·(m-1).

Пример 4.22. Проверить значимость коэффициентов уравнения

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

если 1- α=0,95;

)Y(

σ =0,625; k=4.

Решение 4.22. Так как

)Y(

σ =0,625, то

)

σ = 0,625/4, то

Имитационное моделирование

169

.78,2t ;36

;16

t ;704

;

25,0

625,0

,k3

)

===

====

===σ

Все рассчитанные значения t большие, чем табличные t

k,α

, поэтому все

коэффициенты уравнения Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

значимы.

Доверительные интервалы для каждого из коэффициентов уравнения

получают по формулам

)Y(,k

⋅

+≤β≤

⋅

−

αα

Пример 4.23. Построить доверительный интервал для каждого коэф-

фициента уравнения Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

, сохранив условия предыдуще-

го примера 4.22.

Решение 4.23. Имеем t

k,α

=2,78; α=0,05; k=4;

)Y(

σ =0,625;

.35,0

625,078,2

)Y(,k

⋅

35,8835,088 0,35-887,658

≤

35,2 1,65

≤

85,4 4,15

≤

Произведенные расчеты дают возможность экспериментатору принять

решение о дальнейших исследованиях.

Перевод модели на язык экспериментатора называют интерпретацией

модели. Задача интерпретации весьма сложна, однако общие рекоменда-

ции сводятся к следующему. Сначала устанавливают, в какой мере каждый

из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента

регрессии – количественная мера этого влияния. О характере влияния фак-

торов говорят знаки коэффициентов. Знак плюс свидетельствует о том, что

с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации,

при знаке минус увеличение значения фактора приводит к уменьшению

параметра оптимизации. Если значение параметра оптимизации максими-

зируется, то увеличение значений всех факторов, коэффициенты которых

имеют знак плюс, благоприятно, а знак минус – неблагоприятно. Если же

значение параметра оптимизации минимизируется, то следует рассматри-

вать соотношения, противоположные вышеуказанным.

Имитационное моделирование

170

Пример 4.24. Интерпретировать результаты задачи, решаемой в при-

мерах 4.20 – 4.23.

Решение 4.24. Выше установлено, что модель Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

адекватно описывает исследуемый процесс в выбранных интервалах варь-

ирования факторов. Фактор Х

(концентрация кислоты) оказывает большое

влияние на Y (содержание элемента в выходном растворе, %), чем Х

(кон-

центрация входного раствора), так как |4,5|>|2,0|. Коэффициенты в уравне-

нии регрессии у обоих факторов имеют знак минус, поэтому уменьшение

значений факторов Х

и Х

ведет к увеличению параметра оптимизации, а

в рассматриваемой задаче параметр Y максимизируется.

Уравнение для натуральных переменных можно получить, используя

формулу (4.29). Коэффициенты регрессии изменяются. При этом пропада-

ет возможность интерпретации влияния факторов по величине и знакам

коэффициентов регрессии, так как вектор-столбцы натуральных значений

переменных в матрице планирования уже не ортогональны, коэффициенты

определяют зависимо друг от друга.

Пример 4.25. В задаче, исследуемой в примерах 4.20 –4.24, перейти к

натуральным переменным.

Решение 4.25. Имеем: Y

=88 - 2,0·Х

- 4,5·Х

;

= (х

– 1,5) / 0,5;

= (х

- 7) / 1;

= 88 - 2,0·(х

– 1,5) / 0,5 - 4,5·(х

- 7) / 1 =

= 88 – 4 (х

- 1,5) – 4,5 (х

- 7);

= 125,5 - 4·х

– 4,5·х

После интерпретации получившихся результатов переходят к приня-

тию решений о дальнейших исследованиях. Количество возможных ситуа-

ций перечислить невозможно. Остановимся лишь на наиболее часто встре-

чающихся.

Если линейная модель адекватна и коэффициенты регрессии значимы,

то можно либо закончить исследования при условии близости оптимума,

либо их продолжать. В задаче, рассматриваемой в примерах 4.20 – 4.25,

наибольшее значение параметра оптимизации 95 % получено в опыте № 1,

в этом случае исследование необходимо продолжить, получив сочетания

факторов, при которых содержание элемента в выходном растворе 99-100

%. Если линейная модель адекватна, а часть коэффициентов уравнения

регрессии незначима, то можно либо изменить интервалы варьирования

факторов, либо отсеять незначимые факторы, произвести параллельные

опыты, а если область оптимума близка, закончить исследования.

Заметим, что изменение интервалов варьирования приводит к измене-

нию коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов