Лекции - Моделирование систем

Подождите немного. Документ загружается.

Имитационное моделирование

151

Ясно, что система должна быть построена и должна работать так, что-

бы, по возможности, избежать дефицита. Очевидно, что при нулевой веро-

ятности дефицита р сигнальный уровень R

должна равняться бесконечно-

сти. Таким образом, ясно, что сигнальный уровень обратно пропорциона-

лен вероятности дефицита. С практической точки зрения ограничим сиг-

нальный уровень интервалом

min

≤ R

≤ S

max

Обратимся к экономической сущности задачи. С этой точки зрения

интервал [S

min

, S

max

] должен быть как можно меньше. Это объясняется тем,

что уровни S

min

и S

max

должны быть как можно меньше, так как они опре-

деляют объемы материальных ценностей, не задействованные в процессе

производства, то есть характеризуют уровень пролеживающих оборотных

средств. Исходя из этого уровни S

min

и S

max

должны быть устремлены к ну-

лю.

Рис. 4.15. Простейший склад.

j+2

j+1

i+1

max

min

Имитационное моделирование

152

Одновременно, для того, чтобы обеспечить бездефицитное функцио-

нирование склада необходимо устремить S

min

и S

max

к бесконечности.

Таким образом, сигнальный уровень R

как средняя величина интер-

вала [S

min

, S

max

] с одной стороны должен быть как можно больше, с другой,

- равен нулю.

Сигнальный уровень R

как параметр, зависящий от случайных явле-

ний (τ

, Q

, ε

), носит также случайный характер. Поэтому для него спра-

ведливо понятие доверительного интервала с границами

± k·σ(S

где коэффициент k определяет размер доверительного интервала.

Исходя из того, что для интервала [S

min

, S

max

] известно одно значение -

min

=0, можно заключить, что

= k·σ(S

). (4.27)

Для определения среднеквадратического отклонения состояния склада

воспользуемся очевидной формулой

∑∑

ε=

, - Q S

где n

– количество поставок за время от 0 до t,

– количество спросов за время от 0 до t.

В этом выражении все, входящие в него величины, являются случай-

ными и каждое слагаемое есть сумма случайного числа случайных вели-

чин.

Обращаясь к [28, стр. 300, 315], видим, что для суммы (Y) случайного

числа (n

) случайных величин (X

)

∑

X Y

математическое ожидание определяется выражением

M[Y] = M[n

] · M[X],

а среднеквадратическое отклонение

.]X[D]n[M ]X[M]n[D ]Y[

⋅+⋅=σ

Подставив последнее выражение в (4.27)

(

)

][D]n[M ][M]n[D ]Q[D]n[M ]Q[M]n[D k R

ε⋅+ε⋅+⋅+⋅⋅=

εε

А так как мы выяснили, что сигнальный уровень R

и вероятность де-

фицита р обратно пропорциональны, то можно полагать .

k =

Таким образом,

(

)

][D]n[M ][M]n[D ]Q[D]n[M ]Q[M]n[D k R

ε⋅+ε⋅+⋅+⋅⋅=

εε

(4.28)

Имитационное моделирование

153

Отметим, что приведенные выше рассуждения являются единичным и

совершенно не характерным способом определения сигнального уровня и

параметров работы склада. Более подробные сведения по этому вопросу

можно найти в специальной литературе, посвященной системам управле-

ния запасами (ресурсами, материально-техническим снабжением, опера-

тивного планирования и управления производства).

Для полноты описания исследуемой системы следует провести сбор и

обработку статистической информации, описывающей поведение случай-

ных процессов спроса (ε

) и поставок (Q

и τ

) в реальной системе. Выяв-

ленные вероятностные свойства необходимы для воспроизведения случай-

ных чисел ε

, Q

и τ

в процессе имитационного эксперимента. С точки зре-

ния системных исследований рассматриваемого объекта сбор реальных

данных может и не производиться. Мы можем воспользоваться описанны-

ми выше методами воспроизведения случайных чисел с задаваемыми на-

ми, необходимыми для исследования вероятностными свойствами.

Алгоритм, который может быть положен в основу программы, имити-

рующей функционирование простейшего склада, имеет следующий вид.

Шаг 1 Изменяем текущее время t=t+1.

Шаг 2 Генерируется спрос потребителя – случайное число ε

с заданными вероят-

ностными свойства спроса и накапливаются достаточные статистики для

вычисления сигнального уровня R

по формуле (4.28).

Шаг 3 Изменяется текущее состояние склада S

t-1

-ε

Шаг 4 Проверяется, новой состояние склада S

больше вычисленного ранее сиг-

нального уровня R

. Если это условие выполняется, то это означает, что ни-

каких дополнительных действий производить нет необходимости и можно

перейти к шагу 1. В противном случае – к шагу 5.

Шаг 5 Проверяется, производился ли заказ новой партии деталей потребителю.

Показателем этого является состояние времени поставки τ. (При этом, мы

условимся, что при «пересечении» сигнального уровня генерируется случай-

ное целое число τ с заданными исследователей вероятностными свойствами,

которое убывает с каждым тактом времени t). Если τ=0, то состояние склада

не превосходит сигнальный уровень. Необходимо заказать новую поставку.

Для этого генерируется целое случайное число τ, оцениваются числовые

характеристики для вычисления сигнального уровня R

по формуле (4.28) с

заданием вероятности дефицита р как исходного данного, отыскивается R

производится переход к следующему шагу – шагу 6. В противном случае

(τ>0), текущее значение τ уменьшается на единицу τ=τ-1 и, если τ=0, то гене-

рируется новая поставка Q

(случайное число с заданными исследователем

вероятностными свойствами), накапливаются достаточные статистики для

вычисления сигнального уровня R

по формуле (4.28) и изменяется текущее

состояние склада S

Имитационное моделирование

154

Шаг 6 Проверяется условие возникновения дефицита (S

<0). Если дефицит не воз-

ник, то переходим к начальному шагу 1. В противном случае устанавливает-

ся ε

=-S

, S

=0 и осуществляется переход к шагу 1.

Итак, составлен алгоритм для написания имитирующей работу про-

стейшего склада программы. Исследователь получил возможность гибкого

изучения свойств объекта, изменяя вероятностные свойства генерируемых

случайных чисел как перед запуском программы, так и в ходе эксперимен-

та, накапливать и обрабатывать результаты моделирования. Имеется также

возможность изучения различных способов определения сигнального

уровня посредством замены расчетной формулы (4.28) на необходимую.

Перерасчет сигнального уровня в процессе эксперимента обеспечива-

ет проявление свойства самообучения исследуемой системе, так как нако-

пление статистических данных о параметрах спроса и поставок позволяет

постоянно отслеживать все изменения во входных данных и производить

саморегулирование системы.

Обратим внимание на монографию [24], в которой рассмотрена еще

одна индивидуально созданная имитационная модель – имитационная мо-

дель технологического процесса обогащения полезных ископаемых. Там

же читатель найдет конкретные примеры составления описания объекта

моделирования, решения дополнительных (побочных для имитации) задач,

возникающих при построении модели и приводящих к весьма важным и

полезным практическим результатам и другую полезную информацию.

Оценка адекватности имитационной модели реальной системе являет-

ся чрезвычайно важным этапом. Обусловлено это тем впечатлением реаль-

ности, которым обладают описываемые модели, и проверка, выполненная

без должной тщательности, может привести к тяжелым последствиям.

Проверка соответствия модели и объекта заключается в сравнении ин-

тересных для исследователя свойств оригинала и модели.

Для этого необходимо исследовать функциональную или проектируе-

мую систему, что естественно, не всегда возможно. Таким образом, не все-

гда возможна прямая экспериментальная проверка адекватности свойств

модели и объекта.

Вместе с тем, адекватность не следует непосредственно из процесса

построения модели. Упрощенная модель не может быть подобна объекту в

смысле, обычном для теории подобия [45]: требование пропорционально-

сти сходных параметров и процессов в модели и объекте заведомо не со-

блюдается из-за различия в числе параметров.

Тем не менее, в литературе [45, стр. 44-46] рассматриваются различ-

ные способы оценки адекватности имитационной модели реальной систе-

Имитационное моделирование

155

мы. В частности, предлагается использовать проверки на качество резуль-

татов при задании предельных значений исходных данных, на верность

исходных предположений и на правильность преобразования информации

в модели.

4.2.4. Планирование эксперимента.

Цель любого экспериментального исследования, включая имитацию,

заключается в стремлении получить дополнительные знания об изучаемом

объекте. В экспериментальном исследовании можно выделить два типа за-

дач: определение сочетания параметров, которое оптимизирует выходные

параметры и/или объяснение соотношения между выходными и входными

параметрами. Для обоих типов задач разработано и доступно для исполь-

зования множество планов постановки экспериментов [20,45].

С точки зрения полного использования имеющихся знаний об иссле-

дуемом и имитируемом объекте наиболее подходящим способом является

так называемое планирование эксперимента. В этом разделе математичес-

кой статистики рассматривается технология разработки планов проведения

экспериментальных исследований, а точнее - планов подбора исходных

данных с целью получения такого их соотношения, которое доставляет

экстремум некоторой целевой функции.

Теоретические и прикладные разработки в области планирования экс-

перимента обеспечивают возможность получения планов экспериментов,

которые обусловливают наиболее полное и эффективное, в том числе и в

смысле числа экспериментов, извлечение информации при проведении

опытов. В связи с достаточно высокой стоимостью машинного времени и

трудностями в сборе и обработке информации об исследуемой системе со-

кращение объемов экспериментальной работы приносит положительные

результаты.

Планирование эксперимента – относительно новый раздел математи-

ческой статистики.

В дисперсионном анализе, который будет рассматриваться нами ниже,

влияние факторов оценивается соотношениями дисперсий. Так, например,

при исследовании влияния двух факторов количество опытов полного экс-

перимента составляет r·v, где r – число уровней первого фактора, v – число

уровней второго фактора. (Уровень – количество возможных состояний

фактора). При r=v=2 число опытов равно 4. Если число уровней каждого из

факторов одинаково, то количество опытов, которые необходимо провести

по схемам полного эксперимента (полным перебором всех сочетаний

уровней) при исследовании влияния k факторов, можно вычислить по

Имитационное моделирование

156

формуле N=V

, где V – число уровней каждого из факторов. Например,

при V=4 и k=10 получим N=1048576.

Вследствие непомерно большого числа опытов в подобных задачах

использовать многие методы статистической обработки результатов стано-

вится весьма затруднительно. Такого рода задачи явились одной из основ-

ных причин возникновения теории планирования эксперимента, которая

позволяет ответить на вопрос: сколько и какие опыты следует включить в

эксперимент. Родоначальником этого направления является Р.А. Фишер.

Планирование эксперимента начинают с выбора объекта исследова-

ния, который изучается с определенной целью (ради отыскания оптималь-

ных условий протекания физических, металлургических и других процес-

сов). Цель исследования называют целевой функцией, параметром опти-

мизации или критерием оптимизации. Способы воздействия на объект ис-

следования называют факторами.

Для того, чтобы прогнозировать значение целевой функции, необхо-

димо параметр оптимизации связать с факторами некоторой функциональ-

ной зависимостью. Эта зависимость, имеющая вид Y=f(x

,…,x

), назы-

вают функцией, поверхностью отклика или моделью объекта исследова-

ния.

Компенсацией за меньшее количество опытов по сравнению с полным

факторным экспериментом служат ограничения, принимаемые исследова-

телем до опыта. В качестве ограничений принимают существование един-

ственного оптимума и представление функции отклика в виде полинома

заданного порядка, параметры которого оцениваются по опытным данным

с помощью регрессионного анализа. Если же в действительности модель

не удовлетворяет наложенным ограничениям, то оптимум функции откли-

ка можно и не найти.

Рассмотрим теперь, как принятые допущения способствуют уменьше-

нию количества опытов. Пусть, например, известно значение параметра

оптимизации в нескольких соседних точках. В силу непрерывности функ-

ции отклика можно прогнозировать значения параметра оптимизации в ок-

рестностях соседних точек. Следовательно, можно обнаружить точки, для

которых ожидается увеличение (или уменьшение, если отыскивается ми-

нимум) параметра оптимизации. В силу единственности оптимума сле-

дующий эксперимент целесообразно поставить в точках, в которых обна-

ружено эффективное изменение параметра оптимизации, пренебрегая все-

ми остальными. В результате такого пошагового продвижения может быть

достигнут оптимум параметра оптимизации.

Направление наибольшей скорости возрастания функции отклика на-

зывают направлением градиента. Если нет особых указаний о виде целе-

вой функции, то в начале эксперимента всегда используют линейную мо-

Имитационное моделирование

157

дель, так как она определяется минимально возможным числом коэффици-

ентов при данном числе факторов. Двигаясь по градиенту, строят линей-

ные модели до тех пор, пока они дают эффективное изменение параметра

оптимизации. Если улучшение параметра оптимизации с помощью линей-

ной модели больше не наблюдается, то обнаружена область, близкая к оп-

тимуму. В этом случае либо исследование прекращают, либо исследуют

полиномы более высоких степеней.

4.2.4.1.Полный факторный эксперимент.

После выбора объекта исследования, формулировки целевой функции

и описания факторов перед экспериментатором встает вопрос: при каких

сочетаниях факторов проводить первые опыты? При выборе эксперимен-

тальной области необходимо использовать априорную (доопытную) ин-

формацию об исследуемом процессе. В качестве отправной обычно выби-

рают точку, соответствующую наилучшим сочетаниям факторов, то есть

такую, при которой значение целевой функции максимально (минимально)

по сравнению с другими известными сочетаниями факторов.

Точку начала эксперимента называют нулевым или основным уровнем.

Если доопытная информация отсутствует, то выбор нулевого уровня про-

изволен, однако координаты точки начала опыта должны лежать внутри

области определения факторов, на некотором расстоянии от границы.

Далее переходят к выбору интервалов варьирования по каждому из

факторов. Под интервалом варьирования в данном случае понимают число

(свое для каждого фактора), прибавляя которое к нулевому уровню, полу-

чают верхний, а вычитая – нижний уровни факторов. На первом этапе пла-

нирования эксперимента (при получении линейной модели) факторы все-

гда варьируют лишь на двух уровнях. Интервал варьирования не может

быть меньше ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фак-

тора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой

стороны, нижний и верхний уровни должны, как и нулевой уровень, ле-

жать внутри области определения факторов. Выбор нулевого уровня и ин-

тервалов варьирования – задача трудная, так как она связана с неформали-

зованным этапом планирования эксперимента.

Пусть x

– нулевой уровень, h

– интервал варьирования, x

– значение

фактора, j – номер фактора. Для простоты записи и обработки эксперимен-

тальных данных перейдем к новой безразмерной системе координат с на-

чалом в центре исследуемой области. В новой системе координат значение

j-го фактора обозначим X

. Значение X

связано с x

следующей формулой

joj

)xx(

−

= . (4.29)

Имитационное моделирование

158

Используя (4.29), можно показать, что в новой системе координат x

принимает значение 0, верхний уровень x

+ h

= x

jв

– значение +1, а ниж-

ний уровень x

– h

= x

jн

– значение –1.

Пример 4.18. Пусть процесс опреде-

ляется двумя факторами А и В. Основной

уровень и интервалы варьирования вы-

браны так, как указано в таблице 4.3.

В результате опыта получена точка С

с координатами х

=2 и х

=4. Необходимо

вычислить по каждому из факторов верх-

ний и нижний уровень, кодированные значения (то есть в новой системе

координат) основного, верхнего и нижнего уровней, а также точки С.

Решение 4.18. Выбор нулевого уровня и интервала варьирования од-

нозначно определят верхний и нижний уровни фактора. Имеем:

верхний уровень – x

1в

= x

+ h

= 1,2 + 1 = 2,2; x

2в

= x

+ h

= 3 + 2= 5;

нижний уровень – x

1н

= x

- h

= 1,2 - 1 = 0,2; x

2н

= x

- h

= 3 - 2 = 1;

кодированные значения таковы:

основного уровня – Х

1о

= (1,2 - 1,2) / 1

= 0; Х

2о

= (3 - 3) / 2

= 0;

верхнего уровня – Х

1в

= (2,2 - 1,2) / 1

= +1; Х

2в

= (5 - 3) / 2

= +1;

нижнего уровня – Х

1н

= (0,2 - 1,2) / 1

= -1; Х

2н

= (1 - 3) / 2

= -1;

точки С: – Х

= (2 - 1,2) / 2

= 0,4; Х

= (4 - 3) / 2

= 0,5.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уров-

ней факторов, называют полным факторным экспериментом. Методы об-

работки информации полного факторного эксперимента исследуют в дис-

персионном анализе (см. ниже).

Если число факторов известно, то при варьировании факторов на двух

уровнях количество опытов вычисляется по формуле

N = 2

, (4.30)

где N – число опытов, а k – количество факторов.

Составим матрицу планирования эксперимента для полного фактор-

ного эксперимента 2

(с единицами и без них).

В матрице планирования указывают все возможные сочетания нижних

и верхних уровней по каждому из факторов модели. В последнем столбце

записывают значения выходного параметра, соответствующие определен-

ным сочетаниям факторов.

Таблица 4.4.

№ Х

Y № Х

1 -1 -1 y

1 - - y

2 +1 -1 y

2 + - y

Таблица 4.3.

Основной уровень 1,2

Интервал варьирования 1 2

Имитационное моделирование

159

3 -1 +1 y

3 - + y

4 +1 +1 y

4 + + y

Очевидно, что для двух факторов все возможные комбинации уровней

легко найти перебором. Однако с ростом числа факторов возникает необ-

ходимость в другом методе построения матриц планирования. Рассмотрим

один из них. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней

исходного плана встречается дважды: в сочетании с верхним и нижним

уровнями нового фактора.

Рассмотрим этот пример при переходе от эксперимента 2

к экспери-

менту 2

. Матрицу 2

запишем дважды. В столбце Х

четыре раза запишем

знак плюс, а затем ниже – четыре раза – знак минус.

Этим способом можно получить матрицу любой размерности.

Рассмотрим теперь общие свойства матрицы планирования экспери-

мента. Как будет показано ниже, эти свойства позволяют быстро и просто

рассчитывать целевую функцию.

1. Симметричность относительно нулевого уровня, то есть алгебраи-

ческая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю

(свойство симметрии).

2. Сумма квадратов элементов столбца каждого из факторов равно

числу опытов (свойство нормировки).

3. Произведение двух любых различных векторов-столбцов факторов

равно нулю. При этом каждый столбец в матрице планирования

рассматривается как вектор-столбец, а строка – как вектор строка

(свойство ортогональности).

4. Дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации оди-

наковы на равных расстояниях от нулевого уровня.

Имитационное моделирование

160

После того как по выбран-

ной матрице планирования экс-

перимент проведен, обычно пе-

реходят к оценке параметров це-

левой функции. Если, например,

исследуют два фактора целевой

функции, то функция отклика

может иметь вид

Y = b

+ b

·X

+ b

·X

. (4.31)

При условии, что факторы варь-

ируют на двух уровнях, по мат-

рице (табл. 4.6) получают число-

вые значения b

, b

и b

Эту матрицу часто называ-

ют расширенной информацион-

ной матрицей, так как по срав-

нению с матрицей (табл. 4.4) в

нее введен столбец Х

, состоя-

щий из одних единиц и полу-

чивший название фиктивного.

Следовательно, при анализе

двух факторов полный фактор-

ный эксперимент позволяет ко-

личественно оценить параметры

следующей модели:

Y = b

·X

+ b

·X

+ b

·X

+ b

·X

причем для получения значений b

, b

и b

необходимо воспользоваться

расширенной информационной матри-

цей (табл. 4.7).

Элементы столбца Х

получают,

построчно перемножая соответствую-

щие элементы столбцов Х

и Х

. Мат-

рица, состоящая из столбцов Х

, Х

, взятых из последней таблицы 4.7,

сохраняет все свойства матрицы экспе-

римента.

В начале исследования почти всегда используют линейную модель,

при этом количество опытов полного факторного эксперимента находят по

формуле (4.30). Числовые соотношения между количеством факторов, ко-

Таблица 4.5.

№ Х

1 - -

2 + -

3 - +

4 + +

5 - -

6 + -

7 - +

8 + +

Таблица 4.6.

№ Х

1 + +

2 + -

3 + -

4 + +

Таблица 4.7.

№ Х

1 + +

+ +

2 + -

+ -

3 + -

- +

4 + +

- -