Лекции - Краевые задачи математической физики
Подождите немного. Документ загружается.
71
однородной задачи. В результате этого появляются отличия в виде уравнений
для нахождения функций
)(tT
n
. Если же неоднородны граничные условия, то
решение задачи ищется в виде суммы двух функций, одну из которых
стараются подобрать так, чтобы выполнялись граничные условия. Тогда для
определения второй функции получается, вообще говоря, неоднородное
уравнение, но уже однородные граничные условия. Более подробно эти
вопросы рассмотрим на одномерных задачах.
6.2. Краевые задачи гиперболического типа
Применим изложенные выше принципы для решения одномерных
краевых задач. Рассмотрим, для определённости, граничные условия первого
типа. Итак, предположим, что необходимо найти решение уравнения
),(
2
txfuau
xxtt
+=
,
l
x
<<0, 0>
t
, (8)
удовлетворяющее начальным
=
=
)()0,(
)()0,(
xxu
xxu
t
ψ
ϕ
,
l
x
<<0 (9)
и граничным
=
=
)(),(
)(),0(
2
1
ttlu
ttu
μ
μ
, 0>
t
(10)
условиям.
Рассмотрим последовательно возможные случаи.
Случай 1. 0),( =
t
x
f
, 0)()(
21
== tt
μ
μ
.
В этом случае задача (8)-(10) принимает вид
xxtt
uau
2
=
, (8
1
)
=
=
)()0,(
)()0,(
xxu
xxu
t
ψ
ϕ
, (9
1
)
=
=
0),(
0),0(
tlu
tu
. (10
1
)
72
Следуя общей схеме, решение ищем в виде
)()(),(
t
T
x
X
t
x
u ⋅= . (11)
Подставляя (11) в (8
1
), имеем
T
Xa
T
X
′′
=
′′
2
и, после деления обеих частей на XTa
2
, -
X
X
T
a
T
′′
=
′′
2
.
Обозначим эти отношения через
λ
− , имеем
λ
−=
′′
T
a
T
2
(12)
λ
−=
′′
X
X
. (13)
Подставив теперь (11) в (10
1
) получим
0)0( =X , 0)( =
l
X . (14)
Задача (13), (14) и представляет собой задачу Штурма-Лиувилля.
Проведём её анализ.
Согласно теореме 1 (см. п. 1) значения 0≥
λ
. Решая при этом
предположении уравнение (13), получим
xCxCxX
λλ
sincos)(
21
+=
.
Используем условия (14). Имеем
1
)0( CX = =0
0sincos)(
21
=+= lClClX
λλ
.
Отсюда
0sin
2
=lC
λ
.
Значение
0
2
≠C
, так как в противном случае 0)( ≡
x
X .
Поэтому
0sin =l
λ
откуда
n
πλ
= ,
N
n∈ .
73
Таким образом,
2
)( n
n
πλ
=
,
N
n∈ (15)
представляет собой набор собственных значений данной краевой задачи.
Тогда, с точностью до постоянного множителя, набор
x
l
n
xX
n
π
sin)( = ,
N
n∈ (16)
представляет собой систему собственных функций.
Вернёмся к уравнению (12). Имеем
0
2
=+
′′
TaT
n
λ
,
откуда
t
l
na
Bt
l
na
AtT
nnn
π
π
sincos)( += . (17)
Таким образом, каждая из функций
nnn
TXtxu =),( ,
где
n
X ,
n
T имеют вид (16), (17), соответственно, удовлетворяет уравнению
(8
1
) и граничным условиям (10
1
). Для выполнения начальных условий (9
1
)
решение задачи (8
1
)-(10
1
) ищем уже в виде ряда
==
n
nn
n
n
TXtxutxu ),(),(
,
или, в развернутом виде
∞
=
+=
1
sin)sincos(
n
nn
x
l
n
t
l
na
Bt
l
na
Au
πππ
. (18)
Искомая функция ),(
t
x
u непрерывно дифференцируема на отрезке
],0[
l
, поэтому ряд (18), в силу теоремы 2 (п.1), должен и равномерно
сходится на этом отрезке. Далее, система собственных функций )(xX
n
ортогональна на
],0[
l
, т.е.
=
≠
=⋅=
⋅
ll
mn
l
mn
xdx
l
m
x
l
n
dxXX
00
mn ,
2
,0
sinsin
ππ
. (19)
74
Тогда, из начальных условий (9
1
), проводя почленное
дифференцирование (18), имеем
==
==
)(sin)0,(
)(sin)0,(
xx
l
n
l
na
Bxu
xx
l
n
Axu
n
nt
n
n
ψ
ππ
ϕ
π
. (20)
Умножая теперь каждое из соотношений (20) на
x
l
n
X
n
π
sin= и
почленно интегрируя, в силу (19), имеем
=
=
l
n
l
n
xdx
l
n
x
na
B
xdx
l
n
x
l
A
0
0
sin)(
2
sin)(
1
π
ψ
π
π
ϕ
(21)
Таким образом, имеем следующий результат: решение задачи (8
1
)-(10
1
)
описывается соотношением (18), где
n
A ,
n
B , - выражениями (21).
Замечание. При изменении граничных условий (9
1
) и рассмотрении
краевых задач 2-го или 3-го типа вид собственных функций )(xX
n
,
естественно, изменяется. Однако схема решения остаётся прежней.
Случай 2. 0)()(
21
== tt
μ
μ
, 0),( ≠
t
x
f
.
В этом случае задача (8)-(10) имеет вид
),(
2
txfuau
xxtt
+= (8
2
)
=
=
)()0,(
)()0,(
xxu
xxu
t
ψ
ϕ
(9
2
)
и
=
=
0),(
0),0(
tlu
tu
(10
2
)
Её решение, также как и в случае 1, строится в виде разложения в ряд
по собственным функциям задачи (8
1
)-(10
1
). Т.е.
75
∞
=
=
1
)()(),(
n
nn
tTxXtxu (22)
где
x
l
n
xX
n
π
sin)( =
Предполагается, естественно, что этот ряд сходится равномерно на
отрезке ],0[
l
, кроме этого он удовлетворяет, очевидно, граничным условиям
(10
2
).
Далее, проводится разложение функции ),(
t
x
f
в ряд по собственным
функциям )(xX
n
. Если ),(
t
x
f
непрерывно дифференцируема по переменной
x
на отрезке ],0[
l
, то такое разложение в равномерно сходящийся ряд, по
теореме 2 (п.1), возможно. Пусть оно имеет вид
∞
=
=
1
)()(),(
n
nn
xXtftxf , (23)
где
⋅=
l
n
n
n
dxxXtxf
xX
tf
0
2
)(),(
)(
1
)(.
Подставим теперь разложения (22), (23) в уравнения (8
2
). Имеем
+
″
=
″
n
nn
n
nn
n
nn
XtfTXaTX )(
2
.
Учтём, что
nnn
XX
λ
−=
″
. Тогда, после очевидных преобразований,
получим
=−−
″
n
nnnnn
XfTaT 0)(
2
λ
или, в силу ортогональности функции
n
X , -
)(
2
tfTaT
nnnn
=+
″
λ
. (24)
Решим теперь систему уравнений (24) и подставим полученные
выражения в (22). В результате этого в него войдут наборы коэффициентов
n
A ,
n
B , которые определяются, как и в Случае 1,из начальных условий (9
2
).
76
Случай 3. 0)(),(
21
≠tt
μ
μ
.
Это наиболее общий случай, задача имеет вид (8)-(10). Её решение
ищется в виде
wvu += ,
где на ),(
t
x
w накладывается единственное ограничение, - она должна
удовлетворять граничным условиям (10). В качестве такой, например, можно
взять функцию вида
)()()()(),(
21
txbtxatxw
μ
μ
+=
,
где
1)0( =a , 0)( =
l
a
0)0( =b , 1)( =
l
b .
Если коэффициенты )(
x
a , )(
x
b выбирать в классе линейных функций,
то
)()(
21
t
l
x
t
l
xl
w
μμ
+
−
=
и
)()(
21
t
l
x
t
l
xl
vu
μμ
+
−
+= . (25)
Подставим теперь (25) в (8)-(9) для нахождения функции ),(
t
x
v
получим задачу
)()(),(
21
2
t
l
x
t
l
xl
txfvav
xxtt
″
−
″
−
−+=
μμ
,
′
−
′
−
−=
−
−
−=
)0()0()()0,(
)0()0()()0,(
22
21
μμψ
μμϕ
l
x
l
xl
xxv
l
x
l
xl
xxv
t
,
0),(),0( ==
t
l
v
t
v
,
порядок решения которой рассмотрен в Случае 2.
77
6.3. Краевые задачи параболического типа
Здесь также рассмотрим первую краевую задачу. В наиболее общей
постановке она имеет вид
),(
2
txfuau
xxt
+= ,
l
x
<<0, 0>
t
(26)
)()0,(
x
x
u
ϕ
= ,
l
x
≤≤0 (27)
=
=
)(),(
)(),0(
2
1
ttlu
ttu
μ
μ
, 0>
t
, (28)
где (27), - начальные, (28), - граничные условия.
В концептуальном плане методология решения задачи (26)-(28)
идентична решению задачи (8)-(9). К числу немногих отличий можно
отнести первый порядок уравнений для определения функций )(tT
n
. Так, в
частности, в Случае 1 имеем
0
2
=−
′
nnn
TaT
λ
,
в Случае 2, -
)(
2
tfTaT
nnnn
=−
′
λ
.
6.4. Примеры
Для иллюстрации изложенного материала рассмотрим типовые задачи.
Задание 1. Решить задачу Штурма-Лиувилля
=
′
=
′
≤≤=+
′′
0
2
3
2
1
2
3
2
1
,0
yy
xyy
λ
Решение. Данная задача является частным случаем задачи (6), (7).
78
С целью сведения промежутка интегрирования к стандартному виду
],0[
l
в уравнении сделаем замену переменной. Обозначим
2
1
−= x
ξ
. Тогда
]1;0[∈
ξ
,
ξ
ξ
ξ
d
dy
dx
d
d
dy
dx
dy
=⋅=
,
2
2
2
2
ξ
d
yd
dx
yd
=
и задача принимает вид
≤≤=
′
=
′
=+
′′
10 ,0)1()0(
0)()(
ξ
ξ
λ
ξ
yy
yy
.
Рассмотрим последовательно три случая: 0<
λ
, 0=
λ
, 0>
λ
.
Случай 1. 0<
λ
.
В этом случае общее решение уравнения имеет вид
ξλξλ
−−−
+= eCeCy
21
.
Используем граничные условия. Имеем
=−+−−
=−+−−
−−−
0
0
21
21
λλ
λλ
λλ
eCeC
CC
,
Или, после сокращения на
λ
− , -
=+−
=+−
−−−
0
0
21
21
λλ
eCeC
CC
.
Определитель данной системы
0
11
≠−=
−
−
=
−−−
−−−
λλ
λλ
ee
ee
D
при 0<
λ
. Следовательно,
0
21
== CC
и 0≡y .
Таким образом, в случае 0<
λ
данная задача имеет лишь тривиальные
решения.
Случай 2. 0=
λ
.
В этом случае уравнение имеет вид
0)( =
′′
ξ
y
И его общее решение, -
79
21
CCy +=
ξ
.
Используем граничные условия. Имеем
=
′
=
′
1
1
)1(
)0(
Cy
Cy
0
0
=
=
.
Таким образом, в случае 0=
λ
данной задаче удовлетворяет множество
функций вида
1⋅=
C
y .
Случай 3. 0>
λ
.
Общее решение уравнения имеет вид
ξλξλ
sincos
21
CCy += .
Используя граничные условия, имеем
=+−=
′
==
′
0cossin)1(
0 )0(
21
2
λλλλ
λ
CCy
Cy
.
Из первого уравнения
0
2
=C , тогда их второго, -
0sin =
λ
Отсюда
n
πλ
= ,
N
n∈ ,
или
2
)( n
n
πλ
= .
Таким образом, при 0>
λ
решениями задачи являются функции
ξ
π
ξ
nCy
n
cos)( = ,
где 0≠
C
.
Заметим, что результативными оказались случаи 2, 3. Тем самым, для
данной задачи, обоснована теорема 1 (п.1).
Объединяя теперь рассмотренные случаи возвращаемся к переменной
x
, полагаем, для определённости, 1=
C
и получаем результат:
–
множество собственных значений n
n
π
λ
= ,
N
n ∪= }0{;
80
– множество собственных функций )
2
1
(cos −= xny
n
π
.
Задание 2. Решить смешанную задачу для волнового уравнения на
отрезке
xxtt
uu
4
9
= , 20 <<
x
, 0>
t
)2()0,( −=
x
x
x
u , 0)0,( =xu
t
0),0( =
t
u , 0),2( =
t
u
Решение.
Положим
)()(),(
t
T
x
X
t
x
u = .
Тогда из исходного уравнения имеем
)0(
4
9
≥−=
′′
=
′′
λλ
T
T
X
X
.
Рассмотрим
λ
−=
′′
X
X
,
где из граничных условий
0)2()0( == XX .
Имеем
xCxCX
λλ
sincos
21
+= .
Используем граничные условия
0001)0(
121
==⋅+⋅= CCCX
2
02sin2cos)2(
21
n
CCX
π
λλλ
==⋅+⋅= ,
N
n∈ .
Отсюда
2
2
=
n
n
π
λ
и