Лекции - Краевые задачи математической физики
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ МОНИТОРИНГА
В.Н. Беловодский
Элементы математической физики (Конспект лекций по курсу
«Краевые задачи математической физики» для студентов специальности
7.080407 «Компьютерный эколого-экономический мониторинг»)
Рассмотрено на заседании кафедры КСМ
Протокол №
от «____» _____________ 2008 г.
Утверждено на учебно-методическом совете ДонНТУ
Протокол № от «____» _____________ 2008 г.
Донецк – 2008
2
УДК 517.5
Беловодский В.Н. Элементы математической физики: Конспект лекций
по курсу «Краевые задачи математической физики» для студентов
специальности 7.080407 «Компьютерный эколого-экономический
мониторинг». – Донецк: ДонНТУ, 2008. - с.
Содержит минимальные теоретические сведения, рассчитанные на 32
лекционных часа, излагаемые студентам специальности КЭМ. Каждая лекция
посвящена одному из разделов курса и рассчитана на 2 - 4 аудиторных часа.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 5
Лекция 1. Дифференциальные операции в скалярных и векторных
полях
6
1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент 6
1.2. Векторное поле, дивергенция, ротор 11
1.3. Оператор Гамильтона 15
1.4. Повторные дифференциальные операции 16
Лекция 2. Уравнения в частных производных, классификация,
приведение к каноническому виду
20
2.1. Вступительные замечания 20
2.2. Классификация уравнений 22
2.3. Приведение линейных уравнений к канонической форме 25
2.4.
Упрощение линейных канонических уравнений с
постоянными коэффициентами
33
2.5. Примеры 35
Лекция 3. Простейшие уравнения математической физики 40
3.1. Малые поперечные колебания струны 40
3.2. Продольные колебания стержня 44
3.3. Малые поперечные колебания мембраны 45
3.4. Уравнение теплопроводности (диффузии) 48
3.5. Уравнения гидродинамики и акустики 51
Лекция 4. Корректность задач математической физики. Классификация,
постановка краевых задач
54
4.1. Понятие корректности 54
4.2. Классификация краевых задач 55
4.3.
Примеры постановки краевых задач 56
Лекция 5. Задача Коши для одномерного волнового уравнения,
решение Даламбера
62
5.1. Постановка задачи 62
4
5.2. Решение задачи 63
Лекция 6. Метод Фурье (применительно к решению одномерных
краевых задач)
67
6.1. Теоретические положения 67
6.2. Краевые задачи гиперболического типа 71
6.3. Краевые задачи параболического типа 77
6.4. Примеры 77
Лекция 7. Метод Фурье: продолжение (применительно к решению
простейших многомерных задач)
82
7.1. Гиперболическая задача (в прямоугольной области) 82
7.2. Параболическая задача (в круговой области) 85
7.3. Эллиптическая задача (в круговой
области) 93
Лекция 8. Метод функций Грина 97
8.1. Краевая задача 97
8.2. Задача Коши 100
8.3. Пример 104
Лекция 9. Разностные схемы решения простейших краевых задач 106
9.1. Вступительные замечания 106
9.2. Показатели качества разностных схем 107
9.3. Разностные схемы задач параболического типа 109
9.4. Разностные схемы задач эллиптического типа 113
9.5. Разностная схема задачи гиперболического типа 115
9.6. Оценка погрешности численных решений 116
Лекция 10. Многомерные краевые задачи
, некоторые методы их
решения
117
10.1. Методы расщепления 117
10.2. Комбинированные подходы 120
10.3. Метод конечного элемента 121
Рекомендуемая литература 125
Предметный указатель 126
5
Введение
Цель пособия, - изложить основы данного предмета с учётом
специфики специальности. В нём представлен материал, излагаемый на
протяжении ряда лет на специальности «Компьютерный эколого-
экономический мониторинг». Конспект содержит десять лекций, каждая из
которых ориентирована на 2 – 4 аудиторных часа. В содержательном плане
он имеет следующую структуру.
В первой части (Лекция 1) дано представление
о дифференциальных
операторах в скалярных и векторных полях. Эти операторы используются
при описании многомерных краевых задач и по этой причине включение
традиционного раздела классического анализа в данный курс представляется
вполне оправданным. Вторая часть (Лекции 2 – 5) содержит классификацию
уравнений в частных производных, методику приведения их к
каноническому виду, вывод основных уравнений математической физики
,
постановку и классификацию краевых задач. В третьей части (Лекция 6 – 8)
изложены аналитические методы решения линейных задач. Основное
внимание уделено методу Фурье, рассмотрены как одномерные, так и
многомерные задачи для простейших областей. Дано представление о методе
функций Грина. Учитывая компьютерную направленность специальности, в
четвертой части (Лекция 9, 10) изложены приближённые методы решения
краевых задач.
Рассмотрены классические подходы к построению их
разностных схем, выполнен краткий анализ методов, получивших
распространение в последние десятилетия, в частности, при решении задач
динамики атмосферы и океана. Пособие содержит также решения ряда
типовых задач, призванных помочь при выполнении индивидуальных
заданий.
Лекция 2 подготовлена доцентом Г.Т. Климко.
6
Лекция 1. Дифференциальные операции в скалярных и векторных
полях
Рассмотренные ниже операции используются при математическом
моделировании физических процессов в сплошных средах и их усвоение
важно для понимания получаемых уравнений.
1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент
Скалярное поле. Если в каждой точке некоторой области D задано
некоторое число, то говорят, что
в области D задано скалярное поле.
Математически скалярное поле описывается функцией
)(
M
uu = , где
D
M
∈
.
Пусть, например,
),,,(
t
zy
x
T
представляет собой температуру среды в
точке
),,( zy
x
M
в момент t, т.е. функция T описывает распределение или
поле температур в области D. Тогда функция Т задает скалярное поле.
Если скалярное поле зависит от переменной t, то оно называется
нестационарным, в противном случае, - стационарным. Очевидно, что
необходимым и достаточным условием стационарности скалярного поля
является выполнение условия
0=
∂
∂
t
u
,
в каждой точке D
M
∈ .
Производная по направлению. Рассмотрим скалярное поле )(
M
u ,
некоторую фиксированную точку
),,(
0000
zyxM и направление l, задаваемое
единичным вектором
)cos,cos,(cos
γ
β
α
(Рисунок 1).
7
М0
М
l
l
_
Рисунок 1. Производная по направлению
Возьмем на этом направлении произвольную точку ),,(
z
y
x
M
,
образуем разность
)()(
0
MuMu −
и рассмотрим отношение
ММвел
MuMu
0
0
.
)()(
−
, (1)
где вел.
МM
0
равна длине отрезка
МM
0
, если векторы
МM
0
и
l
одинаково направлены и равна
МM
0
−
, - если противоположны.
Тогда предел отношения (1) при
0
МM →
называется производной
скалярного поля
)(
M
u в направлении
l
. Обозначается
l
u
∂
∂
. Таким
образом,
ММвел
MuMu
l
u
MM
0
0
.
)()(
lim
0
−
=
∂
∂
→
(2)
Проведем преобразование выражения (2).
Для определенности пусть вел.
МM
0
=
МM
0
и обозначим
xxx
Δ=−
0
, yyy Δ=−
0
, zzz Δ=−
0
.
Тогда
222
0
)()()( zyxMM Δ+Δ+Δ=
и
8
ММ
zyxuzzyyxxu
l
u
MM
0
000000
),,(),,(
lim
0
−Δ+Δ+Δ+
=
∂
∂
→
.
Проводя, далее, эквивалентные преобразования в числителе последнего
отношения и применяя теорему Лагранжа
−
−
=
′
ab
afbf
cf
)()(
)(
последовательно по каждой из переменных, получаем
,
)(
)()(
lim
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
lim
0
0
21
0
000000
000000
000000
0
0
ММ
z
z
Mu
y
y
Mu
x
x
Mu
ММ
zyxuzzyxu
zzyxuzzyyxu
zzyyxuzzyyxxu
l
u
MM
MM
Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
=
=
−Δ++
+Δ+−Δ+Δ++
+Δ+Δ+−Δ+Δ+Δ+
=
∂
∂
→
→
где точки
i
M имеют координаты:
),,,(
00101
zzyyxxM Δ+Δ+ΔΘ+ ),,,(
02002
zzyyxM Δ+ΔΘ+
),,,(
30003
zzyxM ΔΘ+ 10 <Θ<
i
.
Учитывая, наконец, что
α=
Δ
cos
0
MM
x
, β=
Δ
cos
0
MM
y
,
γ=
Δ
cos
0
MM
z
и
0
МM
i
→
при
0
МM →
, окончательно получим
γ
∂
∂
β
∂
∂
+α
∂
∂
=
∂
∂
coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
(3)
Аналогичным образом может быть рассмотрен и случай
вел.
МM
0
=
МM
0
−
.
Соотношение (3) и используется, обычно, для вычисления производной
скалярного поля по направлении.
9
Градиент. Рассмотрим соотношение (3). Обозначим символом grad u,
читается
градиент u, вектор с координатами
z
u
y
u
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,,
. Т. е., по
определению,
),,(
z
u
y
u
x
u
gradu
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
. Тогда
l
u
∂
∂
можно представить в виде
скалярного произведения
lugrad
l
u
⋅=
∂
∂
(3
1
)
Из соотношения (3
1
) можно установить, полезный для приложений,
физический смысл
ugrad
.
Действительно, зафиксируем точку М
0
и будем изменять направление
l. Тогда, согласно определения скалярного произведения, имеем
ϕ⋅⋅=
∂
∂
cos
)(
0
lugrad
l
Мu
,
где
ϕ
, - угол между ugrad и
l
. Или, учитывая
1=l
, получаем
ϕ⋅=
∂
∂
cosugrad
l
u
.
Отсюда следует, что
l
u
∂
∂
достигает наибольшего значения, если
1cos =
ϕ
или
nπ=
ϕ
2
. Т.е., в том случае, когда направления
ugrad
и l
совпадают. Далее, учитывая, что
l
u
∂
∂
характеризует собой скорость
изменения функции в направлении l, вытекает следующее заключение:
Градиент функции указывает направление ее наибольшего
возрастания.
Задание 1. Установить, в каких точках градиент скалярного поля
xyzzyxu 3
333
−++= параллелен оси OZ.
Решение. 1) Найдем
ugrad
.
10
yzx
x
u
33
2
−=
∂
∂
,
xzy
y
u
33
2
−=
∂
∂
,
xyz
z
u
33
2
−=
∂
∂
.
Таким образом,
).33,33,33(
222
xyzxzyyzxugrad −−−=
2) Рассмотрим вектор )1,0,0(=k , коллинеарный оси OZ.
Следовательно,
kugrad ||
. Условием коллинеарности векторов является
пропорциональность их координат.
Таким образом, имеем соотношение
kugrad λ=
,
где
R
∈λ , откуда, приравнивая координаты
λ
=−
=−
=−
3
0
0
2
2
2
xyz
xzy
yzx
.
3) Решим полученную систему.
Умножая, например, первое уравнение на x и вычитая из него второе,
умноженное на y, имеем
λ
=−
=−
=−
3
0
0
2
2
33
xyz
xzy
yx
.
Отсюда
λ
=−
=−
=
3
0)(
22
xz
zxx
xy
,
и 0=
x
или
x
z = .