Лекции - Краевые задачи математической физики
Подождите немного. Документ загружается.
21
Часто эти уравнения являются линейными относительно старших
производных второго порядка, т.е. имеют вид
0
11
1
1
=
+
==
n
i
n
j
xxnxxij
)u,...,u,u,x,...,x(Fua
nji
, (2)
где коэффициенты при старших производных
ij
a
являются функциями
только независимых переменных
n
xxx ,...,,
21
. Такие уравнения называются
квазилинейными.
Если же функция
),...,,,,...,(
1
1
n
xxn
uuuxxF линейна относительно
аргументов
n
xx
uuu ,...,,
1
, то уравнение называется линейным (без указания,
относительно чего).
Таким образом линейные уравнения имеют вид:
=++
== =
n
i
n
j
n
i
nxixxij
),x,...,x(fcuubua
iji
11 1
1
(3)
где коэффициенты cba
ij
;; являются функциями только независимых
переменных
n
xxx ,...,,
21
Если 0),...,(
1
=
n
xxf , то уравнение (3) называется линейным
однородным
, в противном случае – неоднородным.
Если коэффициенты
cba
iij
;;
постоянны, уравнение (3) называется
линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Все многообразие квазилинейных и линейных уравнений может быть
разделено на три основные класса (типа). В каждом классе есть простейшие
уравнения, которые называются
каноническими. Решение уравнений одного
и того же типа (класса) имеют много общих свойств. Для изучения этих
свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как все другие
уравнения данного класса могут быть приведены к каноническому виду.
Поэтому важно изучить свойства решений канонических уравнений и
методов построения их решений.
22
Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу), то есть
классификация уравнений, определяется коэффициентами при старших
производных.
Мы приведем классификацию для уравнений, в которых искомая
функция u
зависит лишь от двух переменных: ),( y
x
uu = . В этом случае
уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в
виде
0),,,,(2
221211
=+++ uuuyxFuauaua
yxyyxyxx
(2
1
)
и линейные - в виде
),,(2
21221211
yxfcuububuauaua
yxyyxyxx
=+++++ (3
1
)
где
cba
iij
;; - функции только независимых переменных y
x
,.
2.2. Классификация уравнений
Произведем в уравнении (2
1
) замену независимых переменных по
формулам
),( y
x
ϕ
ξ
= , ),( y
x
ψ
η
= , (4)
устанавливающих взаимно однозначное соответствие между точками ),(
η
ξ
и
),( y
x
соответствующих двумерных областей. Мы будем требовать, чтобы
функции ),( y
x
ϕ
и ),( y
x
ψ
были непрерывными вместе с частными
производными первого и второго порядков. Тогда
ηξ
ψ
ϕ
uuu
xxx
+= ;
ηξ
ψ
ϕ
uuu
yyy
+=
xxxxxxxxxx
uuuuu
ψϕϕψϕϕ
ξηηξηξξ
++++=
22
)(2)(
yyyyyxyyyy
uuuuu
ψϕϕψϕϕ
ξηηξηξξ
++++=
22
)(2)(
23
;)(
ηξϕϕηηξξ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
uuuuuu
xyxyxyxyyxyxxy
+++++=
После подстановки этих выражений для производных в уравнение (2
1
)
и объединения членов с одинаковыми производными, получим
преобразованное уравнение
02
1221211
=
η
ξ
+α+α+α
ηξηηξηξξ
),,u,u,u(Fuuu , (2
2
)
где
,)(aa)(a
yyxx
2
2212
2
1111
2
ϕϕϕϕα
++=
,a)(aa
yyxyyxxx
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
α
22121112
+++= (5)
.)(aa)(a
yyyx
2
2212
2
1122
2
ϕψψψα
++=
Используя формулы (5), можно найти связь между
2211
2
12
ααα
− и
2211
2
12
aaa −
Установим ее явно:
[]
[]
[]
2
2211
2
12
2
2211
2
12
2222
2211
22
2
2
12
2222
2211
22
2212
22
1211
2
2
22
2
12
2
111122122211
1211
2
2
22
2
2
12
2
2
11
2
4
2
24
22
2
yx
yx
xyyx
yyxxxyyx
yxyxxyyx
xyyxyyxyyx
yxxyxxyyxyyx
xxxyxyyxyyxx
xyyxxxyyyyxxxx
)aaa(()aaa(
(aa
)(a()(a
)(aa)(aa
)(aa)(a)(a
)(aa)(aaaa
))((aa)(a)(a)(a
ψψ
ϕϕ
ψϕψϕ
ψϕψϕψϕψϕ
ψψϕϕψϕψϕ
ψϕψϕϕψψψϕϕ
ϕϕψψψϕψϕψϕψϕ
ψϕψϕψϕψϕψϕψϕ
ψϕψϕψϕψϕψϕψϕψϕ
−=−−=
=−+⋅−
−−+=
=+−+−
−+−−+−
−−⋅++⋅+
++++++
Т.о., справедливо тождество
()
,
)y;x(D
);(D
aaaaaa
2
2211
2
122211
2
12
⋅−≡−
ψϕ
(6)
где
0≠=
yx
yx
)y;x(D
);(D
ψψ
ϕϕ
ψϕ
- якобиан.
24
Т.о. знак выражения
2211
2
12
aaa −=Δ
инвариантен относительно
преобразования (4). Исходя из этого, принята следующая классификация
уравнений вида (2
1
)
Если в некоторой области D дискриминант
2211
2
12
aaa −=Δ
положителен,
т.е.
0>Δ
, то уравнение (2
1
) называется гиперболическим в
D
(говорят:
уравнение
гиперболического типа в области D ).
Если
0<Δ
в области
D
, то уравнение называется эллиптическим в
D
(говорят: уравнение эллиптического типа в области D ).
Если
0≡Δ
во всех точках области (множества) D , то уравнение (2
1
)
называется параболическим в D (говорят: уравнение параболического
типа
в области D ).
Из соотношения (6) следует, что при замене независимых переменных
по формулам (4) тип уравнения (2
1
) не изменяется.
Замечание:
При взаимно однозначном преобразовании (4) якобиан
);(/);( yxDD
ψ
ϕ
не
обращается в нуль.
Замена независимых переменных позволяет переходить к уравнениям в
упрощенной (канонической) форме. Для каждого типа уравнений существует
своя каноническая форма уравнений.
25
2.3. Приведение линейных уравнений к канонической форме
3) Если уравнение (2
1
) гиперболического типа в области D , то в D
существуют такие функции ),( y
x
ϕ
и ),( y
x
ψ
, что заменой переменных
(4) уравнение (2
1
) приводится к простейшей форме:
.0),,,,(
1
=+
η
ξ
ηξξη
uuuFu (7)
называемой
канонической.
Рассмотрим процедуру отыскания функций
);( y
x
ϕ
и );( y
x
ψ
, не
вдаваясь в обсуждение условий их существования.
1) Если
0
2211
≠= aa
в D , то
0
12
≠a
в точках области D . Тогда, разделив обе
части уравнения (2
1
) на
12
2a
, мы получим каноническую форму (7)
2) Пусть
0
2211
≠= aa
в точках области D . Мы ограничимся здесь
рассмотрением случая, когда хотя бы один из коэффициентов
2211
,aa
не
равен тождественно нулю ни в какой области
DD ∈
1
. Пусть это
11
a
.
Возьмем в качестве
);( y
x
ϕ
и );( y
x
ψ
в формулах (3) такие функции,
которые обращают в нуль коэффициенты
2211
,
α
α
преобразованного
уравнения (4), т.е. являются решением уравнений
=++
=++
02
;02
2
2212
2
11
2
2212
2
11
yyxx
yyxx
aaa
aaa
ψψψψ
ϕϕϕϕ
, (8)
где
0
11
≠a
.
Решая эти уравнения относительно
yx
/
ϕ
ϕ
и
yx
/
ψ
ψ
получаем:
11
12
11
2211
2
1212
2
442
a
a
a
aaaa
y
x
Δ
ϕ
ϕ
±−
=
−±−
=
26
11
12
a
a
y
x
Δ
ψ
ψ
±−
=
, где
2211
2
12
aaa −=Δ .
Следовательно, при 0>Δ из уравнений (8) следуют следующие два
уравнения:
0),(
1
=+
yx
yx
ϕ
λ
ϕ
0),(
2
=+
yx
yx
ψ
λ
ψ
(9)
где
11
12
1
),(
a
a
yx
Δ−
=
λ
;
11
12
2
),(
a
a
yx
Δ−
=
λ
, (10)
Уравнения (9) эквиваленты, соответственно, уравнениям
),(
1
yx
dx
dy
dy
d
dx
d
λ
ϕ
ϕ
== ; ),(
2
yx
dx
dy
λ
= ; (11)
Замечание: Эквивалентность означает, что левая часть общего
интеграла уравнения
),( yx
dx
dy
i
λ
= , і = 1,2 является решением уравнения
0),( =+
yix
yx
ϕ
λ
ϕ
и обратно,- всякое решение уравнения 0=+
yix
ϕ
λ
ϕ
,
приравненное произвольной постоянной, дает общий интеграл уравнения
),( yx
dx
dy
i
λ
= . Доказательство этого факта составляет содержание
рассматриваемых ниже лемм.
Рассмотрим в (8) первое уравнение, которое отвечает случаю
0
11
=
α
.
Докажем следующие леммы:
Лемма 1: Если ),( y
x
z
ϕ
= является частным решением уравнения
02
2
2212
2
11
=++
yyxx
zazzaza , (12)
то соотношение cy
x
=),(
ϕ
представляет собой общий интеграл
обыкновенного дифференциального уравнения
02
2
2212
2
11
=+− dxadxdyadya (13)
27
Лемма 2: Если cy
x
=),(
ϕ
представляет собой общий интеграл
обыкновенного дифференциального уравнения (13), то есть
02
2
2212
2
11
=+− dxadxdyadya ,
то ),( y
x
z
ϕ
= удовлетворяет уравнению (12).
Доказательство леммы 1:
Поскольку функция ),( y
x
z
ϕ
= удовлетворяет уравнению (12), то
равенство:
02
2212
2
11
=+
−−
aaa
y
x
y
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(14)
является тождеством, которое удовлетворяется для всех y
x
, в той области,
где задано решение. Далее, соотношение cy
x
=),(
ϕ
является общим
интегралом уравнения (13), поэтому, если функция )(
x
y определена из
неявного уравнения cy
x
=),(
ϕ
, то она удовлетворяет (13).
Действительно, пусть ),( c
x
f
y = есть эта функция, тогда
;
)y,x(
)y,x(
dx
dy
)c,x(fy
y
x
=
−=
ϕ
ϕ
(15)
т.к. из
;
),(
),(
0)),((
),( cxfy
y
x
yx
yx
yx
dx
dy
dydxyxcd
=
−=+==
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
где скобки и значок
),( cxfy =
указывают, что в правой части равенства
(15) переменная
y
не является независимой переменной, а имеет значение,
равное
),( cxf
. Отсюда следует, что
),( cxfy =
удовлетворяет уравнению
(13), так как
022
),(
1212
2
112212
2
11
=
+
−−
−=+−
= cxfy
y
x
y
x
aaaa
dx
dy
a
dx
dy
a
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
28
поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях
y
x
,
, а не только при
),( cxfy =
.
Доказательство леммы 2:
Пусть cy
x
=),(
ϕ
- общий интеграл уравнения (13). Докажем, что
;02
2
2212
2
11
=++
yyxx
aaa
ϕϕϕϕ
(14
1
)
верно для любой точки
y
x
,
.
Пусть
00
, yx
- какая либо точка. Если мы докажем, что в ней
удовлетворяется равенство (14
1
), то отсюда в силу произвольности
00
, yx
будет следовать равенство (14
1
) и, соответственно, (12) при ),( y
x
z
= .
Проведем через точку
),(
00
yx
интегральную кривую уравнения (13),
полагая
000
),( cyx =
ϕ
и рассматривая кривую
).,(
0
cxfy =
Очевидно,
).,(
000
cxfy =
Для всех точек этой кривой имеем:
022
),(
2212
2
112212
2
11
0
=
+
−−
−=+−
= cxfy
y
x
y
x
aaaa
dx
dy
a
dx
dy
a
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
.
Полагая, в последнем равенстве
0
xx =
, получим
,0)()()(2)(
00
2
2200001200
2
11
=++ yxayxyxayxa
yyxx
ϕϕϕϕ
что и требовалось доказать.
Уравнение (13) называется
характеристическим для уравнения (2
1
), а
интегралы уравнения (13) называют
характеристиками.
Перейдем теперь к описанию нахождения преобразования (4).
Пусть
1
),( cyx =
ϕ
и
2
),( cyx =
ψ
суть общие интегралы уравнений (11).
Тогда левые части этих интегралов и есть искомые функции
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
.
Таким образом, в рассматриваемом случае найдем функции
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
, обращающие в нуль коэффициенты
11
α
и
22
α
. При этом
12
α
не
29
обращается в нуль ни в одной точке области D , что немедленно следует из
тождества (6) (см. выше: (6)
⋅−≡−
2
2211
2
122211
2
12
);(
);(
)(
yxD
D
aaa
ψϕ
ααα
Разделив преобразованное уравнение на
12
2
α
(и заменим переменные
y
x
,
переменными
η
ξ
,
по формулам (1), а именно ),();,( y
x
y
x
ϕ
η
ϕ
ξ
== ),
мы и получим искомую каноническую форму дифференциального
уравнения.
Заметим, что никакие две характеристики из разных семейств не
касаются друг друга, поскольку при
21
0
λ
λ
≠≠Δ . Поэтому семейства
кривых, характеристик, с разными тангенсами угла наклона, касательных к
ним,
1
λ
=
dx
dy
, и
2
λ
=
dx
dy
(см. (9) и (11)), образуют криволинейные
координатные сетки. В связи с этим рассмотренное упрощение уравнения
(2
1
) посредством преобразования независимых переменных (4) иногда
называют преобразованием уравнения (2
1
) к характеристикам.
Замечание. Для того чтобы было возможно введение новых
переменных
ξ
и
η
через функции
ϕ
и
ψ
надо убедится в независимости
этих функций, достаточным условием чего является отличие от нуля
соответствующего функционального определителя. Если бы, наоборот,
функциональный определитель
yy
xx
ψϕ
ψϕ
или
yx
xx
ψψ
ϕϕ
в некоторой точке М
обращался в ноль, то имела бы место пропорциональность строк или
столбцов. То есть
y
x
y
x
ψ
ψ
ϕ
ϕ
= или
y
y
y
x
ψ
ϕ
ψ
ϕ
= , эти равенства равнозначны. Но это
невозможно, так как
11
2211
2
1212
a
aaaa
y
x
−+−
=
ϕ
ϕ
и
11
2211
2
1212
a
aaaa
y
x
−−−
=
ψ
ψ
)0(
2211
2
12
>− aaa
30
(при этом мы считаем )0
11
≠a , что не является ограничением общности. Тем
самым независимость функции
ϕ
и
ψ
установлена).
Мы рассмотрели случай, когда уравнение (2
1
) гиперболично и
уравнение (2
1
) сводится к канонической форме (см. (7)), или:
);,(
21
η
ξ
γ
β
β
ηξξη
fuuuu =+++ (7
1
)
если уравнение (2
1
) линейное.
Рассмотрим, далее, другие случаи.
2) Если уравнение (2
1
) эллиптично в области D , то в D существуют
такие функции ),( y
x
ϕ
и ),( y
x
ψ
, что заменой переменных (4) уравнение (2
1
)
приводится к канонической форме
0),,,,(
1
=++
η
ξ
ηξηηξξ
uuuFuu (16)
Опишем процедуру отыскания функций ),( y
x
ϕ
и ),( y
x
ψ
в этом случае.
Формально, как и в предыдущем случае, уравнение (2
1
) можно
привести к виду
0),,,,(
1
=+
η
ξ
η
ηξξ
uuuFu , (17)
но так как 0<Δ , то новые переменные
ξ
и
η
при это будут комплексно
значными:
),(),(),,(),( yxiyxyxiyx
ψ
ϕ
η
ψ
ϕ
ξ
−=+=
и
),(),( yxyx
η
ξ
≠
, поскольку дифференциальные уравнения характеристик в
рассматриваемом случае, 0<Δ , имеет вид
,
1111
12
a
i
a
a
dx
dy Δ−
−=
.
1111
12
a
i
a
a
dx
dy Δ−
+=
Переход к вещественным переменным от комплексных
),( yx
ξ
и
),( yx
η
характеристик для можно осуществить по формулам, определяющим
δ
ρ
,