Лекции - Краевые задачи математической физики
Подождите немного. Документ загружается.
31
),,()(
2
1
yx
ϕηξρ
=+=
),,()(
2
1
yx
ψηξδ
=−−=
где
δ
ρ
,
теперь вещественные переменные. В результате такой замены
переменных уравнение (2
1
) приводится к искомой канонической форме (с
точностью до изменения обозначений,
),(
η
ξ
на
),(
δ
ρ
)
0),,,,(
2
=++
δ
ρ
δρξξρρ
uuuFuu . (18)
Перейдем теперь к рассмотрению последнего случая, когда 0≡Δ .
3) Если уравнение (2
1
) параболично в области D , то в D существуют
такие функции
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
, что заменой переменных (4) уравнение (2
1
)
приводится к канонической форме:
0),,,,(
1
=+
η
ξ
ηξηη
uuuFu (19)
Процедура описания функций
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
состоит в следующем.
Сначала находим такую функцию
),( yx
ϕ
, которая обращает в ноль
коэффициент
11
α
преобразованного уравнения, то есть
),( yx
ϕ
является
решением уравнения
02
2
2212
2
11
=++
yyxx
aaa
ϕϕϕϕ
(20)
Здесь, как и в случае гиперболического уравнения, мы предполагаем,
что
11
a не равно нулю тождественно ни в какой области
1
D , содержащейся в
D
. Это предположение не уменьшает общности рассмотрения так как либо
0
11
≠a
, либо
0
22
≠a
, которое можем пере обозначить как
11
a
. Иначе
0
12
≠a
и 0
2
12
>=Δ a , что возможно только для гиперболического уравнения.
Затем разрешаем уравнение (20) относительно
yx
ϕ
ϕ
/. В отличие от
гиперболического случая (см. (9)), получаем лишь одно уравнение
0),( =+
yx
yx
ϕλϕ
(21)
где
11
12
),(
a
a
yx =
λ
, поскольку 0≡Δ
32
Пусть
cyx =),(
ϕ
есть общий интеграл уравнения (21), т.е.
характеристика уравнения (2
1
). Левую часть этого интеграла, не равную
тождественно постоянной, и берем в качестве функций
),( yx
ϕ
. Тогда
коэффициент
12
α
преобразованного уравнения также обратится в ноль.
Действительно, т. К.
2211
2
12
0 aaa −==Δ и
221112
aaa ⋅= .
Поэтому
.0
22
2211
2
222211
2
11
2
2212
2
1111
=±=
=+⋅±=++=
yx
yyxyyyxx
aa
aaaaaaa
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕα
Тогда
.0))((
)(
22112211
22121112
=±±=
=+++=
yxyx
yxxyyxxx
aaaa
aaa
ψψϕϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
α
Выражение для преобразованных коэффициентов задается (5). В
качестве второй функции в замене переменных (4) можно взять любую
функцию
),( yx
ψ
, независимую от
),( yx
ϕ
, которая дважды непрерывно
дифференцируема и не обращает в ноль коэффициент
22
α
. Произвол в
выборе
),( yx
ψ
связан с тем, что уравнение параболического типа имеет
лишь одно семейство характеристик
),( yx
dx
dy
λ
= .
Разделив преобразованное таким образом уравнение на
0
22
≠
α
, при
0
1112
==
α
α
, получим искомую каноническую форму
0),,,,(
1
=−
η
ξ
ηξηη
uuuFu , (22)
где ),( y
x
ϕ
ξ
= и ),( y
x
ψ
η
=
Если исходное уравнение (2
1
) линейное, то и преобразованное
уравнение, очевидно, будет минимальным.
Таким образом, канонические формы линейных уравнений имеют
следующий вид:
),(
21
η
ξ
γ
β
β
ηξξη
fuuuu =+++ - гиперболическое
33
),(
21
η
ξ
γ
β
β
ηξηηξξ
fuuuuu =++++ - эллиптическое (23)
),(
21
η
ξ
γ
β
β
ηξηη
fuuuu =+++ - параболическое
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами после
преобразования к соответствующей канонической форме (2) допускает
дальнейшие упрощения.
2.4. Упрощение линейных канонических уравнений с постоянными
коэффициентами
Для линейного исходного уравнения (2
1
) с постоянными
коэффициентами и в уравнениях (23) коэффициенты
γ
β
β
,,
21
также будут
постоянными. В этом случае преобразование к новым переменным (4) будет
линейным и характеристики гиперболического уравнения будут прямые
линии c
x
ky =− ; и
22
cxky =− .
Дальнейшее упрощение уравнений (23) осуществляется заменой
неизвестной функции
),(
η
ξ
u
по формуле
η
μξ
υ
v
eu
+
⋅=
(24)
где
ν
μ
, - числа, подлежащие определению. Тогда
)(
μυυ
ξ
η
μξ
ξ
+⋅=
+v
eu
,
)(
μυυ
η
η
μξ
η
+⋅=
+v
eu
,
)2(
2
υμμυυ
ξξξ
η
μξ
ξξ
++⋅=
+v
eu
,
)(
μνυνυμυυ
ξηξη
η
μξ
ξη
+++⋅=
+v
eu
,
)2(
2
υννυυ
ηηη
η
μξ
ηη
++⋅=
+v
eu
.
Здесь ),(
η
ξ
υ
υ
= - неизвестная функция.
34
Подставляя вычисленные производные функции ),(
η
ξ
u в первое из
уравнений (23), получим
),(),(
)()()(
1
2121
ηξηξ
υγνβμβμνυβμυβνυ
νημξ
ηξξη
fef ≡
=++++++++
−−
.
Если положить
12
,
βνβμ
−=−=
, то преобразованное уравнение
примет вид
),,(
11
ηξυγυ
ξη
f=+
(25)
где
,
211
ββγγ
−=
.),(),(
12
1
η
β
ξ
β
ηξξγ
+
⋅= ef
Аналогичным образом уравнение эллиптического типа приводится к
виду
),,(
11
ηξυγυυ
ηηξξ
f=++
(26)
где
),(
4
1
2
2
2
11
ββγγ
+−=
,
1
νη
μξ
+−
⋅= eff
.
2
1
,
2
1
21
βνβμ
−=−=
В уравнении параболического типа выбором
μ
и
ν
нельзя обратить в
нуль коэффициенты и при
ξ
υ
, и при
η
υ
, поскольку преобразованное
уравнение имеет вид:
),()()2(
112
2
21
ξηυγμβνβνυβνυβυ
ηξηη
f=⋅+++++++
Полагая
,
4
1
1
,
2
1
2
2
1
2
−⋅=−=
γβ
β
μβ
ν
получим
).,(
11
ηξυβυ
ξηη
f=+
(27)
Поскольку всегда можно воспользоваться описанными возможностями
упрощения уравнения (2
1
) достаточно рассмотреть лишь методы решения
задач, сформулированных для канонических уравнений.
В случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами – это
уравнения вида (25), (26), (27).
35
2.5. Примеры
Пример 1.
Найти области гиперболичности, эллиптичности и
параболичности уравнения
.0=−
yyxx
yuu
и привести его к каноническому виду в области гиперболичности.
Решение:
а) Здесь 1
11
=a , 0
12
=a , ya −=
22
; yyaaa +=−−=−=Δ )(10
2211
2
12
.
Следовательно:
в области 0>y
- уравнение гиперболично;
в области 0<y
- уравнение эллиптично;
в области 0=y
- уравнение параболично;
б) Рассмотрим область гиперболичности. Дифференциальные
уравнения характеристик имеют вид
,y
dx
dy
−=
,y
dx
dy
= 0>y
.
Действительно
01)2(
222
2212
2
1111
=−⋅=++=
yxyyxx
yaaa
ϕϕϕϕϕϕα
,0
2
>=
y
dx
dy
отсюда .
+=
−=
y
dx
dy
y
dx
dy
Общий интеграл
36
;0=+
+
dx
y
dy
1
1
2
1
cxy =+
−
;0=+
−
dx
y
dy
2
2 cxy =+−
То есть
yxyx
yxyx
2),(
2),(
+==
−==
η
ψ
ξϕ
Теперь ).,(),(
η
ξ
uy
x
u →
ηξηξ
η
ξ
uuuuu
xxx
+=⋅+⋅=
.
11
−⋅+
−=⋅+⋅=
y
u
y
uuuu
yyy
ηξηξ
ηξ
ηηξηξξ
uuuu
xx
++= 2
;
2
1
2
11111
2/32/3
y
u
y
u
y
u
yy
u
y
uu
yy
ηξηηξηξξ
−++
−−+=
Тогда
,0
2
1
2
1
121
2
2/32/3
=
−−
−
+−−++=−
y
u
y
uy
u
y
u
yy
uyuuuyuu
yyxx
ηξ
ηηξηξξηηξηξξ
Отсюда
0)(
2
1
)22( =−−+
ηξξη
uu
y
u
, т. к.
,4 y−=−
ηξ
то получили
0
)(2
=
−
−
+
ηξ
ηξ
ξη
uu
u
Характеристиками здесь являются ветви параболы
37
eyycx >±=− ,2.
Пример 2. Привести уравнение (то же)
0=−
yyxx
yuu
к каноническому виду в области эллиптичности:
Решение:
Область эллиптичности 0<y . Тогда формально:
0,20
222
2212
2
1111
<−=++== yyaaa
yxyyxx
ϕϕϕϕϕϕα
0,20
222
2212
2
1122
<−=++== yyaaa
yxyyxx
ψψψϕψψα
yyxyyxxx
aaa
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
α
22121112
)( +++=
()
0,
2
2
<=
yy
dx
dy
0, >−−±= yyi
dx
dy
Получим (аналогично предыдущему случаю):
yixyx −−== 2),(
ξϕ
*
2),(
ξη
ψ
=−+== yixyx
Тогда (как и в предыдущем случае) получим:
0
2
1
2
1
121
2
=
−
⋅⋅
′
−
−
⋅⋅
′
−
−
+−−++=−
yy
iu
yy
iuy
u
y
u
yy
uyuuuyuu
yyxx
ηξ
ηηξηξξηηηηξξ
0,0
2
(
4 <≡
−
′
−
′
⋅
− y
y
uui
u
ηξ
ξη
Если произвести замену переменных
38
;)(
2
1
x=+=
ηξδ
2
4
2
)1(4
)(
2
1
y
i
yi
i
−−
=
−⋅−
=−=
ηξρ
.
Перейдем от ),(
η
ξ
u и ),(
ρ
δ
u ,
где
ρ
δ
, - вещественные,
i
uuuuu
2
1
2
1
⋅+⋅=⋅+⋅=
ρδξρξδξ
ρδ
−⋅+⋅=⋅+⋅=
i
uuuuu
2
1
2
1
ρδηρηδη
ρδ
⋅−+
⋅+
−⋅+⋅=
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
i
u
ii
uuu
ρρδρδδξη
;
Подставив эти производные в полученное выше уравнение для переменных
η
ξ
, получаем:
0
2
1
2
(
2
1
4
1
4
1
4 =
−+
+
−
+
ρ
ρρ
ρρδδ
uu
i
i
uu
.
.02
2
1
=++
ρρϕδδ
uuu
То есть канонический вид уравнения
.0
1
=++
ρδδρρ
ρ
uuu
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение:
05,02 =++−
yyyxyxx
uyuuxyxu
Решение:
Здесь yaxyaxa =−==
221211
; , отсюда х и y одного знака.
Дискриминант: xyxyaaa −=−=Δ
2211
2
12
. Уравнение параболического вида.
Оно имеет одно семейство характеристик.
39
02)(
2
11
=+
′
+
′
yyxyya
02)(
2
=+
′
+
′
yyxyyx
.0,
2
442
>−==
−±−
=
′
x
x
y
x
xy
x
xyxyxy
y
=+ ,c
x
dx
y
dy
1
2 ccxy ==+ .
Поэтому
yx +=
ξ
.
0)(2)(),(
2
2212
2
1122
≠++=→
yyxy
aaaayx
ϕψψϕψ
для
,x=
η
тогда 0
2
1
2
1
11
≠==
x
x
α
.
Возвращаемся к исходному уравнению и в функции
),( yxu
и ее
производных по х и y от переменных х, y переходим к
=
+=
;
;
x
yx
η
ξ
;
2
1
2
1
x
u
x
uu
x
ηξ
+= ;0
2
1
⋅+=
ηξ
u
y
uu
y
.
1
)(
4
1
4
1
4
1
2
4
1
23
x
uu
x
u
x
u
x
uu
xx
ηξηηξηξξ
+−+++=
yxyxyxyxxy
uuuuu
ξ
ξ
ξ
η
η
ξ
ξ
ξ
ηηηξξηξξ
+++= ,
;0
4
1
4
1
23
⋅+−=
ξηξξξ
u
y
u
y
uu
yy
Тогда
.0
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
4
1
2)(
4
1
)2(
4
1
23
23
=+
−+−
−⋅−+−++⋅
y
u
y
uu
y
y
xy
uxy
xy
uxyuu
x
xuuu
x
x
ξξξξξξ
ηξηξηηξηξξ
0
1
4
1
)(
4
1
4
1
0
4
1
2
2323
=+⋅−+−+
⋅⋅
y
u
y
uyuu
x
xuu
ξξηξηηξη
40
4*|0)(
4
1
4
1
=+−
ηξηη
uu
x
u ,
где
.
η
=x Окончательно:
.0)(
1
=+−
ηξηη
η
uuu
Лекция 3. Простейшие уравнения математической физики
Приведем вывод уравнений обычно включаемых в число основных.
3.1. Малые поперечные колебания струны
Струной
называется тонкая упругая нить, не оказывающая сопротивления
изгибу.
Предположим, что точки предварительно растянутой струны совершают
колебания в плоскости хou. Пусть функция u(x, t) описывает отклонение ее
точки от оси ох. (Рисунок 1). Необходимо составить уравнение относительно
этой функции.