Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 451

Задание первого (верхнего) окна про-

смотра приведет к выводу на экран изоб-

ражения, показанного на рис. 452. Выпол-

нение процедуры «Возврат к предыдуще-

му окну» приведет к восстановлению на

экране исходного изображения (рис. 451).

Задание второго (нижнего) окна просмот-

ра приведет к выводу на экран изображе-

ния, показанного на рис. 453. Выполнение

процедуры «Возврат к предудьпцему ок-

ну» опять приведет к восстановлению на

экране первоначального изображения

(рис. 451).

СДВИГ ОКНА ПРОСМОТРА

Функция «Сдвиг окна просмотра» по-

зволяет передвинуть текущее окно в про-

странстве графического объекта в любом

направлении, не меняя его размеры. Эта

функция полезна при вводе и редактиро-

вании графических элементов, попавших

на границу текущего окна, либо при вводе

длинных и узких объектов.

§ 98. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФИЧЕСКИМИ

ОБЪЕКТАМИ

Каждая графическая система имеет си-

стему функций редактирования сформи-

рованного графического объекта. Эти

функции предназначены не только для ис-

правления ошибок, но и позволяют уско-

рить процесс его формирования. Работа

большинства функций редактирования

основана на выделении — пометке — ча-

сти объекта (группы примитивов), под-

вергаемой той или иной процедуре. По-

метка выполняется или заданием прямо-

угольной области вокруг части графичес-

кого объекта (в этом случае помеченными

становятся попавшие в окно примитивы),

или непосредственным указанием курсора

тех графических примитивов, которые

должны быть включены в группу.

ОТКАТКА

Наиболее простая из функций редакти-

рования — откатка. Она заключается

в последовательной отмене последних

действий, выполненных пользователем.

Эта функция не требует задания группы

редактирования. Каждое ее выполнение

приводит к удалению графического при-

митива, введенного последним, либо от-

мене любой другой функции редактиро-

вания.

Рис. 300

210

УДАЛЕНИЕ (СТИРАНИЕ)

Функция удаления стирает примитивы,

включенные в группу редактирования.

Эта функция используется не только для

устранения допущенных при формирова-

нии объекта ошибок, но может быть ис-

пользована и для других целей.

Часто, при создании сложных объек-

тов, необходимо выполнять предвари-

тельные вспомогательные построения,

которые в дальнейшем необходимо уда-

лять.

СДВИГ

Функция используется для плоскопа-

раллельного перемещения помеченной

группы примитивов в пространстве гра-

фического объекта. Описав группу, мож-

но переместить ее в любое место простра-

нства объекта. Как правило, выделив гра-

фические примитивы, входящие в группу

сдвига, необходимо также определить

«точку привязки группы», так как при

сдвиге группы сохраняется не только со-

став примитивов и их атрибуты, но и рас-

положение примитивов относительно

друг друга.

Эта функция полезна не только при

исправлении ошибок, связанных с неточ-

ностями при состыковке отдельных ча-

стей графического объекта. Часто опыт-

ные пользователи описывают сложные

части объекта отдельно, в стороне от дру-

гих частей, а затем, используя функцию

сдвига, вставляют описанную часть

в нужное место графического объекта.

КОПИРОВАНИЕ

Функция позволяет создать копию «по-

меченных» примитивов и переместить ее

в произвольное место пространства гра-

фического объекта.

При задании группы копирования не-

обходимо определить «точку привязки

хруппы», так как при копировании также

сохраняется расположение примитивов

относительно друг друга.

Эта функция используется не только

для ввода повторяющихся частей

объекта. Ею часто пользуются при за-

дании его «похожих» частей. Скопировав

группу примитивов, ее можно затем от-

редактировать — «подправить». Такой

режим намного эффективней, чем опи-

сание группы «с нуля». Опытные пользо-

ватели легко выделяют такие группы

в описываемом объекте, тем самым зна-

чительно сокращая время работы над

объектом.

РАЗМНОЖЕНИЕ

Функция используется при описании

объектов с многократно повторяющими-

ся группами примитивов. Описав группу

один раз, можно многократно копиро-

вать ее в любое место пространства

объекта.

ПОВОРОТ

Эта функция используется для поворо-

та группы «помеченных» примитивов

в плоскости проекций. Для выполнения

этой функции необходимо, кроме задания

собственно группы, определить точку, от-

носительно которой будет совершен по-

ворот, а также угол, на который будет

повернута группа относительно заданной

точки. Повернутая система координат,

изображенная на рис. 453, первоначально

была описана как система с осями, парал-

лельными сторонам рамки чертежа. За-

тем была выполнена процедура копиро-

вания, совмещенная с поворотом относи-

тельно точки, обозначающей начало ко-

ординат. Те части графического объекта,

которые находятся под углом, удобно

описывать в не повернутом, привычном

положении, а затем, выполнив функцию

поворота, расположить их требуемым об-

разом.

СИММЕТРИЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Для графических объектов или их ча-

стей, имеющих ось (или плоскость) сим-

метрии, нет необходимости в их полном

описании. Достаточно описать лишь его

половину, а затем, воспользовавшись фун-

кцией симметричного отображения, авто-

матически получить объект целиком. Ес-

ли же объект (или его часть) имеет две оси

симметрии, работа по его описанию еще

более упрощается. (Проекции торов,

представленных на рис. 451, выполнялись

с использованием именно этой функции.)

211

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

Эта функция позволяет производить

линейное искажение группы примитивов

вдоль одной или сразу двух координат-

ных осей. Коэффициент искажения вдоль

каждой оси задается или непосредственно

в виде действительного числа или процен-

тах.

Описываемая функция удобна при за-

дании эллипсов с заданными размерами

большой и малой оси, либо при постро-

ении проекций окружностей. На рис. 454

показаны проекции окружности, плос-

кость которой перпендикулярна плоско-

сти П

и наклонена к плоскости П

под

углом 60°. Для построения горизонталь-

ной проекции окружность была сначала

построена без искажения, а потом искаже-

на вдоль оси X с коэффициентом 0,5.

Рис. 454

СОХРАНЕНИЕ В ВИДЕ ФАЙЛА НА ДИСКЕ

Любая графическая система обладает

средствами записи и чтения графических

объектов. Объекты хранятся в виде фай-

лов на устройствах с файловой структу-

рой. Как правило, это магнитные или ла-

зерные диски, дискеты.

При формировании объекта на любой

стадии его можно сохранить, пусть и в не-

завершенном виде. Необходимь/м атри-

бутом любого графического объекта яв-

ляется его имя, которое задается при пер-

вом его сохранении. В дальнейшем

пользователь находит объект среди мно-

жества других объектов именно по его

имени. Опытные пользователи имеют со-

бственную систему задания имен объек-

тов, используя так называемые «говоря-

щие» имена. Если пользователь задает

имя, совпадающее с именем другого

объекта, уже хранящегося на диске, гра-

фическая система предупреждает его

о возможной потере информации и пред-

лагает пользователю подтвердить прави-

льность введенного имени.

ЧТЕНИЕ ИЗ ФАЙЛА НА ДИСКЕ

Сложные графические объекты, как

правило, невозможно описать за один се-

анс работы пользователя с графической

системой. Пользователь завершает рабо-

ту с системой, выполняя, как правило,

функцию «сохранить». Новый сеанс рабо-

ты начинается с чтения записанного ранее

объекта. Для того чтобы прочитать имен-

но тот объект, пользователю необходимо

помнить его имя и ввести его в ответ на

соответствующий запрос графической си-

стемы.

ГЛАВА 19

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 99. ЗАДАНИЕ ОТСЕКОВ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Наибольшего преимущества, по срав-

нению с ручными способами геометричес-

ких построений, можно добиться при ис-

пользовании вычислительной техники

именно при работе с пространственными

объектами.

Пространственные объекты формиру-

ются (составляются) из отсеков различ-

ных поверхностей. Каждая поверхность

задается определителем, который, как из-

вестно, имеет геометрическую и алгорит-

мическую часть. Если для задания по-

верхности можно сформировать опреде-

литель или записать ее уравнение (форма-

лизовать задание поверхности), то такая

поверхность называется регулярной.

Алгоритмические части обычно опре-

деляют отдельные команды графической

системы, отвечающие за создание регу-

лярных поверхностей. Для каждой такой

команды необходимо задать графические

объекты, необходимые для ее выполне-

ния. Эти объекты и составляют геомет-

рическую часть определителя, хотя в гра-

фических системах термин «геометричес-

кая часть определителя» не используется.

212

Рис, 455

Рассмотрим примеры автоматического

построения каркасов отсеков некоторых

поверхностей.

На рис. 455 слева показана плоская

кривая линия, составленная из двух дуг

и отрезка прямой линии. Эта кривая вы-

полняет роль элемента геометрической

части определителя поверхности парал-

лельного переноса, каркас которой пока-

зан в центре, а справа — проекция с уче-

том видимости.

На рис. 456 показаны этапы формиро-

вания более сложной поверхности парал-

лельного переноса, имеющей прикладное

значение.

В качестве примера построения поверх-

ности вращения на рис. 457 показаны ор-

тогональные проекции и аксонометрия

каркаса гиперболоида, образованного

вращением прямой линии вокруг оси, не

лежащей с ней в одной плоскости. По

сравнению с поверхностями конуса вра-

щения и кругового цилиндра, эта поверх-

ность не так проста для понимания,

Рис. 456

а процесс построения проекций гипербо-

лоида вращения традиционными ручны-

ми методами достаточно сложен.

При задании поверхности вращения

указывается угол поворота образущей во-

круг оси, который не должен превышать

360°. Если задать угол меньше 360°, будет

построен отсек поверхности.

Для задания винтовой поверхности,

кроме угла поворота образующей вокруг

оси, необходимо задать коэффициент

пропорциональности между линейным

смещением образующей вдоль оси и уг-

лом ее поворота. Угол поворота для вин-

товой поверхности может превышать

360°. На рис. 458 представлена аксономет-

рическая проекция винтовой поверхности.

Некоторые графические системы име-

ют возможность построения поверхно-

стей по задаваемым пользователем фор-

мулам. Такая возможность существенно

повышает эффективность использования

графических систем при геометрическом

моделировании, а также в исследовательс-

Рис. 457

213

Рис. 458

ких работах. В тех графических систе-

мах, которые не имеют возможности

строить поверхности по заданным анали-

тическим уравнениям, достаточно слож-

но создать модель, например, поверхности

Мебиуса.

На рис. 459 представлен частный случай

поверхности Мебиуса, когда замкнутой напра-

вляющей служит окружность. Параметричес-

кие уравнения такой поверхности имеют следу-

ющий вид:

X=(R + Uco&-)cosV,

Y=(R + Ucos

—)

sin V,

Z= Usin

где V — угловой параметр, фиксирующий точ-

ку на окружности, а также удвоенный

угол наклона прямолинейной образу-

ющей к плоскости окружности,

O^V^ln;

U — линейный параметр, определяющий

точку на образующей, —15<Г/<-(-15;

R — радиус окружности.

§ 100. КОМПОНОВКА И ПОСТРОЕНИЕ

ПРОЕКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ОБЪЕКТОВ

Формирование сложного пространст-

венного объекта из отдельных, ранее соз-

данных и сохраненных на диске его ча-

стей, заключается в последовательном их

присоединении друг к другу. В отличие от

формирования плоских изображений, эта

процедура требует от пользователя по-

стоянного контроля правильности присо-

единения по всем трем координатам.

Как правило, после выбора присоеди-

няемого объекта его проекция появляется

на экране и перемещается за курсором до

тех пор, пока пользователь не зафиксиру-

ет его положение. Опытные пользователи

обычно имеют постоянно пополняемую

библиотеку графических элементов, из ко-

торых формируют различные объекты.

Таким образом, процесс компоновки про-

странственных объектов чем-то напоми-

нает работу с виртуальным «конструкто-

ром», при которой нужный объект «стро-

ится» из отдельных, возможно повторя-

ющихся, деталей. Пример сформирован-

ного таким образом объекта представлен

на рис. 460.

На рис. 461 представлена аксономет-

рическая проекция трех известных пересе-

кающихся поверхностей. Если учесть, что

для задания такого объекта потребова-

лось около трех минут, можно предста-

вить, каким эффективным помощником

может служить простая графическая си-

стема при изучении курса начертательной

геометрии.

Построение проекции пространствен-

ного объекта на экране дисплея представ-

ляет собой известную процедуру

«3D=>2D», при которой с помощью опре-

деленной функции производится преобра-

зование трехмерных координат точек

объекта в двухмерные координаты проек-

ций.

214

Рис. 461

В § 64 и 74 приведены примеры таких

функций для получения центральной и па-

раллельной ортогональной проекции.

Благодаря простоте функций преобразо-

вания координат и быстродействию со-

временных ЭВМ, проекции даже очень

сложных и насыщенных объектов строят-

ся практически мгновенно. Это позволя-

ет, динамично меняя параметры проеци-

рования, создавать различные эффекты.—

облет объекта, его вращения и т. п.

Отдельным важнейшим вопросом яв-

ляется обеспечение наглядности и реали-

стичности получаемых изображений на

экране дисплея.

Первым шагом в этом направлении

является удаление невидимых линий.

В настоящее время существует большое

количество способов построения проек-

ций пространственных объектов, обеспе-

чивающих решение задачи видимости.

Они подробно рассмотрены в многочис-

ленных учебниках по машинной графике,

и даже их краткий обзор может занять

несколько страниц текста. Тем не менее,

в основе практически каждого из них ле-

жит метод конкурирующих точек при

определении видимости, описанный в на-

чале учебника (§ 12).

Для повышения наглядности создава-

емого изображения используют тониро-

вание

— цветовыми оттенками различной

интенсивности «заливаются» участки по-

верхности объектов. Самым простым

способом выбора уровня интенсивности

цвета для участка поверхности является

вычисление угла отклонения вектора нор-

мали к участку от направления на источ-

ник света. Затем для найденного угла

подбирается наиболее подходящий уро-

вень интенсивности или яркости.

Следующими шагами повышения ре-

алистичности создаваемых изображений

являются создание бликов, учет несколь-

ких точечных источников света, постро-

ение собственных и падающих теней (гл.

17), моделирование фактуры материала,

из которого выполнен объект или отдель-

ные его части.

Наличие трехмерной модели геомет-

рического объекта и возможности постро-

ения любых его проекций с удалением

(либо нанесением другим типом линии)

невидимых линий позволяет сделать ав-

томатическим создание необходимой

проектной документации, включая по-

строение стандартных видов, разрезов,

сечений, аксонометрических и перспектив-

ных проекций. При таком уровне проек-

тирования отпадает необходимость испо-

льзования «твердых копий» — чертежей

на бумаге, кальке и т. п., и в настоящее

время использование электронных носи-

телей проектной документации достаточ-

но распространенное явление в практике

работы многих проектных фирм.

215

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для первоначального знакомства

и освоения изложенных принципов форм-

ирования графических объектов наиболее

подходящей (с точки зрения авторов) яв-

ляется графический редактор PROTOCad.

Это небольшая простая в освоении и экс-

плуатации система трехмерной машин-

ной графики требует минимальных вычи-

слительных ресурсов (она устойчиво ра-

ботает даже на давно не производимых

процессорах 386 серии под управлением

MS DOS). При этом эта система позволя-

ет формировать достаточно сложные

плоские и трехмерные объекты.

К тому же система PROTOCad рас-

пространяется фирмой-производителем

— TRIUS, Inc бесплатно, ее установочные

файлы используют небольшой объем ди-

скового пространства и легко могут быть

получены в Интернет по адресу

http://www.triusinc.com.

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Начертательная геометрия, основная

задача которой состоит в изучении мето-

дов изображения пространственных фи-

гур на плоскости, возникла из практичес-

ких потребностей человека. Запросы точ-

ного естествознания, техники, промыш-

ленности и искусства способствовали раз-

витию этой науки.

Необходимость изображать окружа-

ющие и вновь создаваемые предметы по-

явилась на заре человеческой культуры.

Так, развитие письменности связано с та-

кой ее формой, когда мысли о предметах

выражались изображением самих предме-

тов.

Прежде чем научиться описывать пред-

меты словами, человек рисовал их. Рисун-

ки и были первыми прототипами черте-

жей. Потребность в изображении реаль-

ных объектов была вызвана, таким об-

разом, стремлением облегчить общение

людей друг с другом в процессе произ-

водства материальных благ.

Еще в глубокой древности было уста-

новлено, что основой для построения изо-

бражений, отвечающих определенным

условиям, является проекционный чер-

теж. Примерами использования проекци-

онных методов служат рисунки на грани-

те, сохранившаяся стенная живопись, изо-

бражения в папирусах. Содержание древ-

ней росписи на китайском шелке и на

стенах пещерных храмов Аджанты в Ин-

дии веема разнообразно. Но в основе

каждого из этих памятников лежит изоб-

ражение реальных предметов трехмерно-

го пространства на плоскости.

Попытку научного обоснования перс-

пективы как центральной (конической)

проекции делает Евклид (III в. до н. э.).

Его «Оптика» содержит рад аксиом и те-

орем об условиях «видения» предметов.

«Десять книг об архитектуре» римского

зодчего Витрувия (вторая половина I в.

до н. э.) показывают, что обязательными

составными частями архитектурного про-

екта тех времен должны были быть план

и фасад здания. В сочинениии Витрувия

имеются также некоторые правила прак-

тического построения перспективы. В

частности, без теоретического доказате-

льства приводится утверждение о точке

схода горизонтальных линий.

В эпоху средневековья сколько-нибудь

заметного движения вперед в области со-

вершенствования проекционных методов

не произошло. Развитие производитель-

ных сил в этот период было сковано пута-

ми феодальных производственных отно-

шений. Власть церкви, схоластика и те-

ология никак не могли способствовать

прогрессу науки.

Возрождение наук и искусств в Европе,

связанное с ломкой устоев отживающего

феодализма, вызвало новый расцвет гео-

метрии.

Ряд блестящих умов этой эпохи, в чис-

ле их Леонардо да Винчи (1452 —

1519), Альбрехт Дюрер (1471 —

216

1528), создали основы теории перспекти-

вы. В «Трактате о живописи», который

был составлен после смерти Леонардо из

его разрозненных заметок, изложена тео-

рия реалистического искусства эпохи Воз-

рождения. Значительное место в этом тру-

де уделено учению о линейной и воздуш-

ной перспективе, пропорциях, геометриче-

ской теории пропорций, которая служила

основой объемно-пространственной компо-

зиции сооружений.

Дальнейшему формированию научной

теории изображений способствовали

сочинения французского математика Д е-

зарга (1593—1652) «Курс перспекти-

вы» и «О конических сечениях», имеющие

совершенно общий проективно-геометри-

ческий характер. С работами Ж. Дезарга

и Б. Паскаля связано зарождение

идей так называемой проективной геомет-

рии. Ее первым предметом является изуче-

ние тех свойств плоских фигур, которые

сохраняются при проектировании с одной

плоскости на другую из любой точки.

Много примечательного в развитие

проекционных методов внесли талантли-

вые представители народов нашей страны.

О методах изображения в допетровской

Руси позволяют судить иллюстрации в

рукописных и печатных книгах, фрески,

геометрические чертежи на глиняных

плитках — «вавилоны» для расчета про-

порций в строительном деле, планы и ри-

сунки городов. Эти памятники и докумен-

ты свидетельствуют о самобытности про-

екционных методов, об их непрерывном

совершенствовании.

В середине XVI в. Иван Грозный,

проводя прогрессивную политику центра-

лизации Руси, осуществил сбор гео-

графических материалов. К 1570 г. был

создан «Чертеж» Московской Руси. До

наших дней, к сожалению, сохранились

лишь копии текста пояснений к этому

«Чертежу».

Появление в России в XVII в. передо-

вых для того времени промышленных

предприятий привело к созданию и рас-

пространению производственных черте-

жей, ибо без них было немыслимо изго-

товление предметов определенного вида

и размеров.

Широкое распространение чертежное

чело получило при Петре I. В совер-

шенстве владея проекционными методами,

до тонкости зная чертежное искусство,

Петр установил единые правила выполне-

ния чертежей в точном масштабе. Подго-

товка специалистов-чертежников была со-

средоточена в Московской Инженерной

школе. В это же время издается ряд учеб-

ников по черчению, например пособие

«Приемы циркуля и линейки» (1725 г.).

Все это позволило развернуть в стране

значительные по объему картографиче-

ские работы по созданию атласов рек,

морей и русских территориальных владе-

ний в Сибири. В 1701 г. выпускается

«Чертежная книга городов и земель Сиби-

ри», составленная Семеном Реми-

зовым.

О высокой графической культуре и со-

вершенстве применявшихся в России мето-

дов изображения свидетельствует и чер-

теж корпуса корабля, выполненный Пет-

ром I. Этот документ, показываю-

щий, что автор его был незаурядным гра-

фиком, хранится и поныне в Русском

музее. Сохранился и другой собственно-

ручный чертеж Петра I — первый план

адмиралтейства, дающий отчетливое пред-

ставление о деталях сооружения. Во вто-

рой половине XVIII в. рост всей экономи-

ки содействовал и культурному и техниче-

скому подъему страны. Изучение черте-

жей, проектов, выполненных в этот

период, позволяет утверждать, что искус-

ство проектирования и техника выполне-

ния конструктивных чертежей в России

достигли высокого совершенства. Приме-

ром этого может служить чертеж первой

в мире заводской паровой машины

(рис. 462), творцом которой был талант-

ливый механик Иван Иванович

Ползунов (1728—1766). Созданный

в 1763 г. чертеж паросиловой установки

показывает, что автор его умело использо-

вал разрезы для выявления на чертеже

конструктивных особенностей своего изо-

бретения.

Многочисленные конкретные примеры

безукоризненного владения проекционны-

ми методами и искусного оформления про-

ектов дает нам графическое наследие ве-

ликих русских зодчих: В. И. Бажено-

ва (1737—1799), А. Н. Воронихина

(1760—1814), М. Ф. Казакова

(1738—1812). Созданные по их проектам

217

величественные сооружения сохраняют и

поныне значение драгоценных памятников

русской классической архитектуры. В их

числе возведенный по проекту А. Н. Во-

ронихина Казанский собор — националь-

ный памятник победоносной Отечествен-

ной войны 1812 г., знаменитый «дом Паш-

кова»—.шедевр русской архитектуры, со-

зданный В. И. Баженовым. Теперь в этом

доме находится Библиотека им. В. И. Ле-

нина. Из множества зданий, построенных

М. Ф. Казаковым, выдающимися являют-

ся Петровский дворец, где в настоящее

время размещается Военно-воздушная

академия, и здание бывшего Сената в

Московском Кремле (ныне здание СМ и

ВС СССР).

К концу XVIII в. проекционные методы

уже имели свою многовековую историю.

Однако единого метода изображения

объемного тела на плоском чертеже раз-

работано еще не было. Исторически назре-

ла задача научного обобщения накоплен-

ного и чрезвычайно разрозненного матери-

ала по графическим методам изображе-

ния. Развитие промышленности и связан-

ное с ним разделение труда настоятельно

требовали создания единой теории изобра-

жения, строгой систематизации правил

выполнения чертежей — документов, обес-

печивающих четкую передачу замыслов

зодчего, инженера, проектировщика ис-

полнителю. Эта задача была успешно ре-

шена замечательным французским ученым

и активным участником Великой француз-

ской буржуазной революции Гасла-

ром Монжем (1746—1818). В своих

трудах Монж свел в стройную научную

систему весь накопленный развитием нау-

ки и техники в ряде стран материал по

ортогональному проецированию.

В своем классическом произведении

«Geometrie descriptive» («Начертательная

геометрия»), опубликованном в 1798 г.,

Монж разработал общую геометрическую

теорию, дающую возможность на плоском

листе, содержащем ортогональные проек-

ции трехмерного тела, решать различные

стереометрические задачи. Им была со-

здана абстрактная геометрическая модель

реального пространства, согласно которой

каждой точке трехмерного пространства

ставятся в соответствие две ее ортогональ-

ные проекции на взаимно перпендикуляр-

218

ные плоскости. Проекционный чертеж, по-

строенный по правилам начертательной

геометрии, становится рабочим инстру-

ментом инженеров, архитекторов и техни-

ков всех стран.

Г. Монж первый перешел от изучения

геометрии на плоскости к глубокому ис-

следованию геометрии в пространстве. Он

вошел в историю науки и техники не толь-

ко как основатель начертательной геомет-

рии, но и как автор теории образования

поверхностей, методов интегрирования

уравнений с частными производными'пер-

вого порядка. Значительны заслуги Мон-

жа и в других науках: химии, металлур-

гии, оптике. О захватывающе интересной

и полной приключений жизни Г. Монжа

можно прочитать в книге В. Демьянова

«Геометрия и марсельеза» (М.: Знание,

1979).

Со времен Монжа начертательная

геометрия завоевала себе достойное место

в технической школе всех стран.

История начертательной геометрии в

России неразрывно связана с деятельно-

стью Института корпуса инженеров путей

сообщения, основанного в Петербурге в

1809 г. Под непосредственным влиянием

Института формировалась и русская шко-

ла начертательной геометрии.

К моменту, когда курс начертательной

геометрии был введен в программы других

учебных заведений, Институт корпуса ин-

женеров путей сообщения уже подготовил

достаточно? опытных и квалифицирован-

ных преподавателей, из которых прежде

всего следует назвать Якова Алек-

сандровича Севастьянова

(1796—1849).

Окончив в 1814 г. Институт, Я. А. Сева-

стьянов был назначен репетитором по

начертательной геометрии. В 1818 г. он

начинает самостоятельное чтение курса на

русском языке и в 1821 г. издает первый

русский учебник по этой дисциплине —

«Основания начертательной геометрии».

В 1824 г. плодотворная деятельность

28-летнего Я. А. Севастьянова была до-

стойно отмечена присвоением ему звания

профессора.

Необходимо заметить, что в то время

преподавание в Институте корпуса инже-

неров путей сообщения велось только на

французском языке и Севастьянову при-

шлось приложить г^ного сил для того, что-

бы осуществить свое, по тому времени

смелое, нововведение, ломающее устано-

вившиеся традиции. Автор первого печат-

ного курса начертательной геометрии на

русском языке успешно справился и с

вставшей перед ним задачей создания рус-

ской терминологии этой учебной дисцип-

лины. В целом предложенная Севастьяно-

вым терминология используется и поныне.

Но не только этим мы обязаны талантли-

вому ученому и педагогу. Основоположник

начертательной геометрии в нашей стране

Я. А. Севастьянов в своих исследованиях

всегда стремился теоретическую работу

направить на решение практических за-

дач.

Об этом свидетельствуют его труды:

«Начальные основания разрезки камней»

(1818), «Приложение начертательной гео-

метрии к воздушной перспективе, к проек-

ции карт и гномонике» (1831). Научное

наследие Я. А. Севастьянова, органиче-

ски связанное с практикой, близко нам

и чтимо нами.

Во второй половине и конце

XIX в. особое развитие получает проек-

тивная геометрия, о предмете которой в

общих чертах было сказано выше. Про-

ективная геометрия позволила установить

значительно более широкий взгляд на круг

задач начертательной геометрии, обоб-

щить проекционные методы, создать новые

рациональные способы решения позицион-

ных задач. Проективная геометрия спо-

собствовала глубокой разработке теорети-

ческих основ начертательной геометрии.

Анализ всех построений, применяемых в

методе ортогональных проекций, показал,

что многие из них являются частными

случаями аффинных преобразований

плоских фигур. Использование свойств

аффинного соответствия позволило соз-

дать стройную теорию аксонометрических

проекций, вскрыть геометрическую

сущность основной теоремы аксонометрии.

Одновременно с развитием новых

геометрических идей велась разработка

и уже сложившихся разделов начерта-

тельной геометрии.

В 1855 г. выходят в свет труды

профессора Института корпуса инженеров

путей сообщения А. X. Р е д е р а, посвя-

щенные методу проекций с числовыми от-

метками и аксонометрии.

Большое влияние на развитие методов

преподавания начертательной геометрии в

России оказала педагогическая и научная

работа профессоров Н. И. Макарова

(1824—1904) и В. И. Курдюмова

(1853 —1904).

Профессор Петербургского института

инженеров путей сообщения В. И. Курдю-

мов положил начало научному препода-

ванию начертательной геометрии. До

Курдюмова курсы начертательной гео-

метрии представляли собой в большин-

стве своем только собрание решений раз-

личного рода задач. Основы систематиза-

ции этих задач и принципиальная сущ-

ность их решения в предшествующих

курсах почти не освещались. Для

В. И. Курдюмова задачи являются лишь

средством иллюстрации основных тео-

ретических положений. Читая лекции не

только по начертательной геометрии, но

и по строительному искусству, В. И. Кур-

219