Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

vvW»

S>e

/ 0

' 2 3 4M

По

1 1 l=ad

Рис. 376

Рис. 377

к плоскости По). Направление, в кото-

ром отметки прямой убывают, указывает-

ся стрелкой. Для того чтобы проградуи-

ровать проекцию прямой, т. е. определить

на ней проекции точек с целочисленны-

ми отметками, необходимо знать интер-

вал L.

Так называют заложение прямой,

соответствующее единице превышения:

где 1

АВ

— заложение прямой (длина гори-

зонтальной проекции); h

— h

—превы-

шение точки А над точкой В (рис. 375).

Из приведенных определений уклона

прямой и ее интервала следует, что

L—[/i, (14.2)

т. е. интервал и уклон прямой — величи-

ны обратные.

В первом из рассматриваемых примеров

5 5

(см. рис. 376) М,

во втором (рис. 377), где заданная прямая

имеет уклон /=1:2, ее интервал L = 2 м.

На рис. 376 показана возможность и

графического градуирования с помощью

пучка прямых, параллельных отрезку АВ,

который в масштабе чертежа определяет

истинную длину расстояния между точка-

ми Л и б. Положение отрезка АВ на рис.

376 можно рассматривать как результат

вращения АВ вокруг его горизонтальной

проекции. Заметим, что прямые АА

ВВ_

перпендикулярны А

В_

и АА

—

= 4 м, а ВВ-26 = 2,6 м.

На том же рис. 376 найден и истинный

угол ф наклона прямой к плоскости По.

Особенность градуирования прямой а

(см. рис. 377) заключается в том, что

здесь сначала пришлось

вычислить рас-

стояние AL от точки А до ближайшей

точки с целой отметкой «9». В данном

примере AL/L=(9,3 —9) /1, а так как

L= 1// = 2, то Д1 = 0,6 м.

При построении параллельных прямых

следует иметь в виду, что их интервалы

равны, а отметки должны возрастать в

одном направлении. Равенство интерва-

лов объясняется тем, что параллельные

прямые образуют равные углы с плоско-

стью По.

§ 78. ПЛОСКОСТЬ

Прежде всего познакомимся с некото-

рыми определениями, необходимыми для

задания и изображения плоскости на чер-

тежах с числовыми отметками.

1. Масштабом падения или масштабом

уклона плоскости а называется градуиро-

ванная проекция линии ската. Его выделя-

ют двумя параллельными прямыми (тон-

кой и толстой) и обозначают через oj

(рис. 378).

Заметим, что на основании теоремы о

проецировании прямого угла масштаб па-

дения плоскости и проекции ее горизонта-

лей взаимно перпендикулярны.

170

2. Углом падения плоскости а называют

угол ф, образованный данной плоскостью

а и плоскостью По.

3. Направлением простирания плоско-

сти

считается правое направление ее гори-

зонталей, если смотреть на плоскость в

сторону возрастания отметок.

4. Углом простирания плоскости

называется угол

г|),

лучами которого слу-

жат меридиан земли и направление про-

стирания. УГОЛ ij) измеряют от северного

конца меридиана против часовой стрелки.

Рассмотрим теперь примеры изображе-

ния плоскости при различных исходных

данных.

Пример 1. Построить масштаб падения

плоскости а, проходящей через точку

Ai (рис. 379), если ее угол простирания

г|)

= 315°, а угол падения

= 60°.

Вершиной угла простирания может

быть любая точка чертежа, в том числе

и точка А. Проведя через нее земной мери-

диан MS, строим второй луч угла ф, фик-

сирующий направление простирания. Для

плоскости а этот луч является горизон-

Рис.

300

талью с отметкой 7, перпендикулярно ко-

торой чертим проекцию линии наибольше-

го ската. Для ее градуирования необходи-

мо вычислить интервал L

/tg «р плос-

кости /. Тот же результат можно получить

построением прямоугольного треугольника

КММ по заданному углу ф и катету КМ =

м.

Пример 2. Через прямую / провести

плоскость заданного уклона / (рис. 380).

Выделим на прямой I точку А с отметкой

п-\-1 и поставим перед собой вопрос:

сколько плоскостей заданного уклона i

можно провести через эту точку?

Очевидно, что таких плоскостей будет

бесконечное множество, представляющее

собой семейство плоскостей, касательных

к прямому круговому конусу с вершиной

в точке А

п +

Образующие этого конуса

должны иметь уклон i = h/R, где h —

высота конуса; R — радиус основания.

Из указанного множества плоскостей

нужно выделить те, что включают в себя

прямую I.

Таким образом,мы пришли к задаче

построения плоскости, проходящей через

прямую / и касательной к конусу

(см. § 55).

Искомая плоскость может быть опреде-

171

лена двумя прямыми: / и касательной В„К

к основанию конуса, проведенной из точки

В„ — 1{]у

(уп—горизонтальная плоскость

основания конуса).

Если уклон i

Al!

прямой I меньше уклона

i плоскости а, то задача имеет два реше-

ния (см. плоскости а и р на рис. 380).

Если i

= i, то решение единственное и,

наконец, при задача не имеет реше-

ния, так как и прямая /, и точка В„ оказы-

ваются внутри конуса.

На том же рисунке показано построение

горизонталей плоскости а, проходящей че-

рез прямую А

ВЬ и имеющей уклон / =

= 1:1,5.

В этом примере вершина вспомогатель-

ного конуса совмещена с точкой А

, его

высота h принята равной 1 м.

Основание же конуса, окружность ради-

уса R=\/i= 1,5 м, оказалось на уровне

точки Вц. Касательная к основанию кону-

са, проведенная из точки Ва, является

горизонталью с отметкой в одной из двух

плоскостей, удовлетворяющих условию по-

ставленной задачи.

К описанному построению не раз при-

дется обращаться при изображении отко-

сов насыпи или выемки полотна железной

дороги па прямой с уклоном.

§ 79. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Пересекающиеся плоскости. При любом

задании плоскости всегда можно постро-

ить ее масштаб падения и горизонтали,

с помощью которых и определяют прямые

пересечения плоскостей. Здесь следует

различать два случая.

а) Масштабы падения плоскостей не

параллельны (рис. 381). Искомая прямая

построена по двум точкам Мд и Л/в, в кото-

рых пересекаются горизонтали одного

уровня. В точке М пересекаются горизон-

Рис. 381

Рис.

300

172

тали заданных плоскостей с отметками ').

в точке N — горизонтали с отметками в.

Нетрудно заметить, что при равных ин-

тервалах проекция линии пересечения

плоскостей будет биссектрисой угла, кото-

рый образуют проекции горизонталей пе-

ресекающихся плоскостей.

б) Масштабы падения плоскостей па-

раллельны (рис. 382).

В этом случае линией пересечения плос-

костей будет их общая горизонталь, для

построения которой необходимо найти

только одну точку М.

На рис. 382 эта точка определена введе-

нием вспомогательной плоскости у, мас-

штаб падения которой не параллелен мас-

штабам падения заданных плоскостей.

Последовательность дальнейших по-

строений такова:

1. уП« = Л

2. уПР=С

3. М=Л

ПС

£>

4. m = aflP (тзМ, т.La;).

Пример 1. Построить план крыши зда-

ния, контур которого показан на рис. 383.

Все скаты имеют одинаковый уклон, а чис-

ло скатов равно числу сторон контура

здания. Каждый пронумерованный отре-

зок этого контура служит горизонталью

(карнизом) соответствующего ската.

Так как уклоны, а значит, и интервалы

всех скатов равны, то проекциями линий

их пересечения должны быть биссектрисы

тех углов, что образованы горизонталями

пересекающихся скатов. Заметим, что на

рис. 383 сначала был построен план четы-

рехскатной крыши, ограниченной прямыми

1, 2, 3, 4, и только потом учитывались

левый и правый выступы здания.

Пример 2. Дан план участка насыпи

дороги на прямой без уклона (рис. 384).

Требуется построить проекции полув-

резного и выступающего въездов на эту

насыпь, если известны: уклоны въездов

ii=l:2, уклоны откосов, примыкающих

к въездам, t2=l:l. Ось полуврезного

въезда проходит через точку М

, бровка

выступающего—через точку 7"

. Ширина

въездов равна а. Отметим, что въезды

необходимы для передвижения строитель-

но-дорожных машин, которые применяют-

ся при сооружении земляного полотна.

Уклоны въездов определяются ведом-

ственными строительными нормами

Рис. 383

Рис. 384

(ВСН 186—75) Минтрансстроя, согласно

которым для движения скреперов

= 0,12 ... 0,17. Нарушение этих норм в

нашем примере вызвано желанием полу-

чить компактный чертеж.

В конечном счете должны быть построе-

ны проекции линий пересечения тех плос-

костей, которые определяют форму и са-

мих въездов, и их откосов с поверхностью

заданного участка насыпи дороги.

Начнем с формообразования более про-

стого выступающего въезда, расположен-

ного на северном откосе насыпи дороги.

Масштабом падения плоскости въезда

может служить та бровка, что проходит

через точкуТ

и принадлежит поверхности

северного откоса насыпи.

Возникла подзадача: по плоскости отко-

са, через данную точку 7"

провести пря-

мую заданного уклона i\. Она решена по-

строением точки Рз, в которой горизонталь

откоса с отметкой 3 пересекается с окруж-

ностью радиуса R = Li = \/i\=2 м. Эту

173

Рис. 385

окружность можно рассматривать как ос-

нование вспомогательного конуса высотой

1 м, образующие которого имеют уклон

(, = ] :2.

Пересечение конуса с плоскостью отко-

са насыпи и определяет бровку Т4Р3 вы-

ступающего въезда.

го проекция огра-

ничена крайними горизонталями с отмет-

ками 0 и 4.

Что же касается построения горизонта-

лей насыпи, имеющей уклон /2=1:1 и про-

ходящей через вторую бровку S\Qo въез-

да, то оно требует выполнения графиче-

ских операций, рассмотренных в примере

2 предыдущего параграфа. Заметим лишь,

что нулевая горизонталь проведена как

касательная к основанию конуса, вершина

которого расположена в точке Si.

Отличие полуврезного въезда (рис. 385)

заключается в том, что откосу насыпи а

принадлежит не бровка въезда, а его ось

MN (на рис. 384 это прямая М4Л/0).

Кроме того, проектируя такой въезд,

необходимо предусматривать создание

двух откосов v и 6, проходящих соответ-

ственно через бровки АВ и EF.

Построение оси M

No аналогично по-

строению бровки 7*4Рз выступающего въез-

да. Направление горизонталей плоских от-

косов у и 6 определено с помощью вспомо-

гательных конусов, вершина F

одного из

которых на 1 м ниже его основания. Отме-

тим, что два параллельных откоса б и у

пересекаются плоскостью а по параллель-

ным прямым CD и KL, которые, в свою

очередь, параллельны бровкам АВ и EF

въезда.

Пример 3. Построить плоскость (1э0

и параллельную плоскости а (/4ц, В,

Сю) (рис. 386).

Рис. 386

Решение. Искомая плоскость может

быть определена двумя прямыми, пересе-

кающимися в точке D6 и соответственно

параллельными прямым АВ и ВС, принад-

лежащим заданной плоскости а. В нашем

случае DE\\ABnDF\\ВС. Причем L

=--L

и L

I)F

—L

Решение возможно несколько упрос-

тить, если воспользоваться тем, что мас-

штабы падения параллельных плоскостей

параллельны (а,||Р;), их интервалы равны

(La —

l-t>)

и отметки горизонталей возра-

стают в одном направлении.

В обоих случаях прежде всего градуиру-

ют прямые АВ и ВС заданной плоско-

сти a

Но избрав второй путь решения, не

строят прямые DE и DF, а ограничивают-

ся вычерчиванием масштаба падения р,,

который можно провести через точ-

ку D параллельно a,, или, что то же, пер-

пендикулярно горизонталям плоскости а.

§ 80. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Пользуясь принятой символикой, напо-

мним те графические операции, последо-

вательное выполнение которых позволит

174

а>

Рис. 387

решить вопрос о взаимном расположении

прямой АВ и плоскости а (рис. 387):

1. рэАВ.

2. MN = РП«"

Если MN = AB, то ЛВеа, если

MN\\AB, то АВ\\а и, наконец, в случае,

когда MN(]AB, то определяется точка

K = AB[\MN пересечения прямой с плос-

костью.

В проекциях с числовыми отметками

в качестве вспомогательной плоскости р

рекомендуется применять любую плос-

кость общего положения, но только не

проецирующую. Эта рекомендация про-

диктована тем, что применение плоско-

сти Р±П

привело бы к совмещению про-

екций прямых АВ и MN. Определение ис-

комой точки потребовало бы дополнитель-

ных построений.

Из пучка плоскостей, проходящих через

данную прямую АВ, следует выделить ту,

горизонтали которой в пределах чертежа

пересекаются с соответствующими гори-

зонталями плоскости а.

Так, на рис. 387 горизонтали AM и BN

плоскости р направлены с таким расче-

том, чтобы точки Mi и N4, определяющие

прямую пересечения плоскостей аир,

оказались доступными.

Рассмотрим теперь условия ортого-

нальности прямой и плоско-

сти.

Согласно теореме о проецировании пря-

мого угла можно утверждать, что если

AB-Lа, то проекции горизонталей плоско-

сти а и перпендикуляра АВ пересекаются

под прямым углом или, что то же, проек-

ция прямой, перпендикулярной плоскости,

параллельна масштабу падения этой плос-

кости.

Для того чтобы установить зависимость

между интервалами АВ и плоскости а,

обратимся к рис. 388, где построен прямо-

угольный треугольник ABC, катетами ко-

торого служат отрезки перпендикуля-

ра АВ и линии наибольшего ската.

Пусть разность отметок точек А и В,

а также С и В равна единице. Тогда высо-

та Н, опущенная из прямого угла на ги-

потенузу, окажется равной одному

метру.

Известно, что h

= L

-L

, но если Л= 1,

то L

=\/L

, где L

— интервал пря-

мой АВ, L

— интервал масштаба паде-

ния плоскости а.

Сформулированные выше условия, кото-

рым должна отвечать проекция перпенди-

куляра к плоскости, позволяют решить

задачу определения расстояния от точ-

ки А до плоскости а (а,). Перечислим ос-

новные этапы решения этой задачи, вы-

полненные на рис. 389.

1. Построение проекции перпендикуля-

ра АК ИЯ||а,).

2. Определение интервала L

с по-

мощью прямоугольного треугольни-

ка CBD с высотой ВЕ=

м.

3. Градуирование перпендикуляра, от-

метки которого должны убывать в сто-

рону, противоположную направлению

убывания отметок горизонталей плос-

кости.

4. Определение точки К пересечения

перпендикуляра с плоскостью а. Отметим,

что прямая MiNe представляет собой ли-

нию пересечения заданной плоскости а

и вспомогательной, проведенной через

перпендикуляр.

175

Рис. 389

Рис. 390

5. Построение прямоугольного треуголь-

ника ЛЛщ/Сбд, длина гипотенузы которого

и является искомым расстоянием.

§ 81. ПОВЕРХНОСТИ

Ранее, в гл. 8, мы познакомились с зако-

номерностями формирования некоторых

поверхностей.

Но существует большой класс иных по-

верхностей, строение которых не подчине-

но строгому математическому описанию.

Такие поверхности называют топогра-

фическими. Одним из примеров то-

пографической поверхности может слу-

жить рельеф земли.

В рассматриваемом методе все повер-

хности независимо от способа их

образования изображают проекциями их

горизонталей с указанием отметок, фикси-

рующих уровень плоскости каждой гори-

зонтали.

Множество горизонталей образуют дис-

кретный каркас поверхности, позволяю-

щий решать с его помощью позиционные

и метрические задачи.

Так, на рис. 390 показано семейство

эллипсов — горизонталей эллиптического

конуса. Очерковыми линиями этой повер-

хности служат касательные к эллипсам

и «внешние» дуги крайних горизонталей

с отметками 0 и 3.

На Следующем рис. 391 изображены

проекции горизонталей топографической

поверхности. Их отметки и взаимное рас-

положение позволяют заключить, что дан-

ный участок земли представляет собой

седловину. Направление, в котором про-

исходит понижение местности, указывает-

ся бергштрихами (см. штрихи, идущие от

горизонталей 17).

При выполнении различных построений

на карте в горизонталях считают, что от-

резок прямой, например АцВ[ь или СцО|

соединяющий точки двух горизонталей,

разность отметок которых равна единице,

принадлежит топографической поверхно-

сти. Этим допущением пользуются при

построении промежуточных горизонталей.

Одна из них, с отметкой 14,5, показана на

рис. 391.

Остановимся несколько подробнее на

построении горизонталей поверхно-

сти одинакового ската, которая

часто встречается в практике проектиро-

вания откосов дорог на кривой с уклоном.

Геометрическая часть ее определителя

176

Рис. 392

AY /

! 0 1 г з

§ 82. РЕШЕНИЕ

ПОЗИЦИОННЫХ

И МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

НА ТОПОГРАФИЧЕСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотренные ниже примеры содержат

элементарные графические построения,

выполняемые при решении практических

задач на карте в горизонталях.

Пример 1. Построение линии пересече-

ния плоскости а (а,) с топографической

поверхностью (рис. 394).

Искомая линия KnLu.sAfi 4.5^11

представляет собой множество точек пе-

ресечения горизонталей плоскости и то-

пографической поверхности, имеющих

одинаковые отметки.

Пример 2. Пересечение прямой Л9В5

с топографической поверхностью Ф

(рис. 395).

Следуя методике, изложенной в § 50,

Рис. 393

состоит из направляющей п (рис. 392 и

393) и производящего конуса вращения Ф

с вертикальной осью.

Алгоритмическая же часть определите-

ля поверхности одинакового ската содер-

жит такую последовательность операций.

1. Градуирование направляющей я, ес-

ли она задана своей проекцией, отметкой

одной из ее точек и уклоном.

2. Вычерчивание горизонталей конусов,

вершины которых расположены в тех точ-

ках направляющей п, что найдены при

градуировании (см. точки А\, 2, Вз).

3. Построение горизонталей поверхно-

сти одинакового ската. Заметим, что каж-

дая горизонталь этой поверхности являет-

ся огибающей семейства окружностей (го-,

ризонталей конусов), расположенных в

плоскости одного уровня. Горизонталь с

отметкой О построена как огибающая ок-

ружностей, имеющих ту же, нулевую от-

метку.

Итак, поверхность одинакового ската

можно рассматривать как огибающую од-

нопараметрического семейства конусов,

вершины которых принадлежат направля-

ющей кривой п.

Рис. 394

1-1

7г

л*

Рис. 396

необходимо выполнить следующие опера-

ции:

1. аэЛдВб-

2. M

= afl<I>.

3. К = А

Вь(\Мъ^.

И в этом случае вспомогательная плос-

кость а, проведенная через данную пря-

мую АВ, не должна быть проецирующей.

Направление ее горизонталей (AgNg

и др.) произвольно.

Пример 3. Построение профиля топогра-

фической поверхности по заданному на-

правлению 1—1 (рис. 396).

Каждая точка плоского сечения /—

1 определялась по двум координатам. Та-

кими координатами для точки К служат

отрезок L\ и отметка 80 самой точки. На-

чало координат — точка N, выбирается

на любом уровне, удобном для выполнения

чертежа. В данном примере этот уровень

равен 75 м. Естественно, что на эту длину

следует уменьшать вертикальные отрезки,

фиксирующие точки профиля.

Пример 4. Построение линии наиболь-

шего уклона (рис. 396)

Помня о том, что

уклон и интервал отрезка любой линии

есть величины обратные, строим искомую

линию как множество отрезков минималь-

ной длины, концы которых расположены

на следующих одна за другой горизонта-

лях топографической поверхности. На

рис. 396 это построение выполнено с по-

мощью дуг окружностей, последовательно

касающихся соответствующих горизонта-

лей. Центром первой из этих окружностей

служит заданная точка /4

§ 83. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ

ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ

При проектировании железнодорожных

трасс, шоссейных дорог, дамб, при возве-

дении строительных площадок и т. п. не-

обходимо определять объемы земляных

работ, проводимых при сооружении ука-

занных объектов. Решение этой задачи

требует построения линий пересечения по-

верхностей, ограничивающих строитель-

ный объект, с землей.

Это построение, громоздкое и трудоем-

кое во многих случаях, следует начинать

с вычерчивания горизонталей поверхно-

стей, образующих данное сооружение. По-

сле того как все поверхности будут изо-

бражены проекциями своих горизонталей,

останется построить линии их пересече-

ния.

Проиллюстрируем сказанное конкрет-

ными примерами.

Пример 1. На топографической поверх-

ности, заданной горизонталями (рис. 397),

запроектирована горизонтальная строи-

тельная площадка на высоте 38 м с кри-

волинейным въездом, уклон которого

= 1:5,5. Уклоны откосов насыпи tj= 1:2,

выемки 1з= 1:1.

Требуется определить границы насып-

ных и выемочных откосов, а также линии

их взаимного пересечения.

Разобьем решение на следующие этапы.

Во-первых, построим границы только

шести плоских откосов, ограничивающих

площадку по ее периметру.

Отметим, что восточная часть площадки

(правее горизонтали 38, которая является

линией нулевых работ) расширена на

а м. Этот «припуск» необходим для ус-

тройства водоотводных кюветов. На

рис. 397 показаны и проекции прямых

взаимного пересечения плоских откосов.

Так, т = af|p.

В точке М, принадлежащей топографи-

ческой поверхности и двум откосам (а

и Р), должны пересекаться три линии: т,

L и п, две последние из которых являются

границами соответственно западного и

южного насыпных откосов.

178

Рис. 397.

Второй этап решения (рис. 398) посвя-

тим изображению двух откосов насыпей,

которые проходят через внешнюю и внут-

реннюю бровки криволинейного въезда.

Каждый из этих откосов представляет

собой поверхность одинакового ската, рас-

смотренную ранее в § 81, а поверхностью

въезда служит коноид.

Не повторяя описания графических опе-

раций, связанных с вычерчиванием гори-

зонталей названных поверхностей, пере-

числим те фигуры, что входят в состав

геометрической части определителей въез-

да и его откосов.

Плоскостью параллелизма коноида в

данном примере будет горизонтальная

плоскость По. Криволинейной направляю-

щей служит ось въезда — винтовая линия

уклона i\, расположенная на вертикаль-

ном круговом цилиндре радиуса R, а пря-

молинейной направляющей — ось этого

цилиндра. Радиально направленные про-

екции прямолинейных образующих конои-

да пересекаются в оказавшейся за преде-

лами чертежа (см. рис. 398) точке — про-

екции оси цилиндра. Они являются

горизонталями коноида, проведенными че-

рез те точки оси въезда, что определены

градуированием с помощью интерва-

ла L—

1 :i\

=5,5 м.

Геометрическую часть определителей

поверхностей одинакового ската составля-

ют бровки въезда и производящие конуса,

образующие которых имеют уклон (=1:2.

Построенные горизонтали насыпных от-

косов позволят определить линии, по ко-

торым они пересекаются с землей и с за-

падным плоским откосом площадки (ли-

нии р и q).

Наконец, завершающим, третьим эта-

пом работы будет определение границы

выемки, примыкающей к восточному по-

лукруглому выступу площадки. Горизон-

тали этой конической выемки представля-

ют собой концентрические дуги окружно-

стей.

Пример 2. Определить границы земля-

ных работ при строительстве железной

дороги, ось которой проходит через точ-

ку А34 с уклоном /°/оо. Поперечные про-

фили насыпи и выемки заданы (рис. 399).

Проградуировав ось дороги (L—\.l),

начертим ее горизонтали, ограничивая их

бровками в зоне насыпи и удлиняя каж-

дую из них в обе стороны от оси на 2 м

там, где будет выемка. Это «расширение»

179