Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

6) повторяя построение, изложенное в

п. 4, строим перспективу ребра 7'В'\

7) соединяя точки В' и F', получаем

перспективу горизонтального ребра B'L';

8) вычерчиваем перспективы двух па-

раллельных наклонных прямых А'В' и

M'L'.

Проверкой точности построения являет-

ся сходимость прямых А'В' и M'L' на вер-

тикали, проведенной через точку схода F

Особо следует' выделить случай, когда

высота горизонта равна нулю или настоль-

ко мала, что вторичная проекция предмета

оказывается очень сжатой. На примере

построения перспективы прямоугольного

параллелепипеда покажем применение ре-

комендуемого в таких случаях опущен-

ного плана.

Переход от ортогональных проекций

(рис. 355) к перспективному изображению

(рис. 356) имеет здесь одну особенность,

заключающуюся в том, что вторичная про-

екция предмета создана не на предметной

плоскости, которая в данном примере со-

впадает с плоскостью горизонта, а на не-

которой вспомогательной горизонтальной

плоскости, смещенной книзу от плоскости

горизонта на произвольное расстояние Н.

Прямая 0

(см. рис. 356), параллель-

ная линии горизонта, является линией пе-

ресечения вспомогательной плоскости с

картиной; ее обычно называют опущен-

ным основанием картины.

Не повторяя изложенного ранее описа-

ния построений вторичной проекции и пер-

спективы предмета, отметим, что при со-

здании перспектив вертикальных ребер

параллелепипеда высоту их, равную Hi,

откладывают не от опущенного основания,

а от линии горизонта, которая в рассмат-

риваемом примере совпадает с истинным

основанием картины — прямой О

Метод архитекторов, обеспечивающий

значительную точность перспективных

изображений и, главное, сокращающий

время их создания, не исключает радиаль-

ного метода. Пользуясь методом архитек-

торов для построения перспективы пред-

мета в целом, некоторые точки его можно

построить с помощью радиального метода.

Применение метода архитекторов связа-

но с некоторыми затруднениями лишь тог-

да, когда одна или обе точки схода F

[

и F

связок параллельных прямых оказывают-

| Р

ас"

2„ 3

N о*

Рис. 356

ся за пределами чертежной доски.

Если размеры рабочего места позволяют

показать только одну из точек схода, на-

пример F

, то каждую точку вторичной

проекции рекомендуется определять пере-

сечением двух прямых, первая из которых

принадлежит пучку с точкой схода F

а вторая является прямой любого другого

пучка горизонтальных параллельных ли-

ний. Направление этого второго пучка

должно быть лишь таким, чтобы точка

схода его оказалась в пределах рабочего

пространства. Обычно это бывает пучок

прямых, перпендикулярных картине, точка

схода которых расположена в главной

160

Рис. 357

Рис. 358

точке картины. Как и прежде, все прямые

первого и второго пучков определяются

с помощью двух характерных точек:

начальной и несобственной, что и сделано

на рис. 357 и 358 при построении перспекти-

вы схематизированной формы здания.

За переходом от ортогонального черте-

жа к перспективному можно проследить

на примере точки А, которой посвящены

специальные построения на рис. 357 и 358.

Прежде всего через горизонтальную

проекцию этой точки проведены прямые

A,Nl\\StF'i и AiN'i -L Щ (см. рис. 357), пер-

спективы которых построены с помощью

начальных точек Nit, Nl и бесконечно уда-

ленных F' и Р.

Пересечение этих прямых определяет

вторичную проекцию А\ взятой точки.

Для построения перспективы точки вос-

пользуемся вертикальной плоскостью а,

которая с картиной и предметной плоско-

стью пересекается соответственно по пря-

мым (aflll

) и а,. Чтобы площадь листа,

отведенную для перспективы, освободить

от вспомогательной сетки прямых, плос-

кость а располагают в стороне от главной

точки, как показано на рис. 358. Точка

F плоскости а является перспективой не-

собственных точек горизонтальных пря-

мых этой плоскости. (Если бы точка F со-

впадала с Р, то плоскость а оказалась

бы перпендикулярной картине.)

По плоскости а проведена одна из ее

горизонталей NF, все точки которой имеют

z — z

Из всех возможных вертикальных от-

резков, заключенных между прямыми NF

и ai, необходимо найти тот, который уда-

лен от плоскости картины па такое же

расстояние, как точка А,.

Этот отрезок А

\ А

определяется с по-

мощью плоскости р, параллельной картине

и проходящей через точку А\. Завершаю-

щий этап заключается в построении верти-

кального отрезка А\А' — А

i А

Аналогичные построения для остальных

точек здания выполнены на рис. 358.

В том же случае, когда за пределами

чертежа и рабочей площади оказываются

обе точки схода (F' и F

), целесообразно при-

менять так называемый метод масштабов.

3. Метод масштабов. Сущность метода

масштабов излагается на примере постро-

ения перспективы точки. Точка А отнесена

к прямоугольной системе координат Oxyz,

которая расположена так, как показано на

рис. 359, т. е. начало координат выбрано

на основании картины, координатная

плоскость Oxz совмещена с плоскостью

картины, а ось Оу направлена перпендику-'

лярно картине.

6 Начертательная геометрия

161

А'

1 '

J/NQ/

Ч '

I/X

, *д К Ро

' На

Aye Х>

I/X

Aye Х>

Рис. 361

162

Ортогональные проекции координатных

осей показаны на рис. 360. Там же отмече-

ны координаты точки А (х

, у

, z

), по

которым на рис. 361 определяется ее пер-

спектива.

Предварительно заметим, что начало

координат (рис. 360) выбрано на произ-

вольном расстоянии от точки Ро. Но при

построении перспективы системы прямоу-

гольных координат (рис. 361) точка О'

должна быть удалена от Р

на расстояние,

равное длине отрезка OiP

(рис. 360).

Оси Ох и Ог изображаются на картине

без искажения под прямым углом друг

к другу. Перспектива же оси Оу как пря-

мой, перпендикулярной картине, должна

пройти через главную точку Р, которая,

как это было показано ранее, является

перспективой бесконечно удаленных точек

прямых, перпендикулярных картине. По-

строенные в перспективе оси принято на-

зывать, ось О'х'— масштабом широт, ось

О'у'— масштабом глубин и ось O'z'—мас-

штабом высот.

Перспективу точки по ее координатам

строят в следующем порядке:

1. На масштабе широт (см. рис.

361) откладывают абсциссу х

и проводят

линию А'

Р как перспективу прямой А

А,

(см. рис. 360). На этой прямой должна

быть вторичная проекция А\ точки А.

2. Для того чобы построить на мас-

штабе глубин точку Ау, воспользуем-

ся прямой АуАу^, составляющей с осью Оу,

а следовательно, и с картиной угол 45°

(см. рис. 360). В самом деле, точкой схода

такой прямой является та точка линии

горизонта, которая удалена от главной

точки Р картины на расстояние, равное

главному расстоянию, т. е. рассто-

янию точки зрения S от плоскости картины.

Действительно, из прямоугольного и

равнобедренного треугольника SiPoDi

(см. рис. 360) следует, что горизонталь-

ный луч SD, проведенный под углом 45°

к плоскости ГГ, пересекает ее в дистанци-

онной точке D, которая является точкой

схода перспектив горизонтальных прямых,

составляющих с плоскостью картины угол

45°. Заметим, что существуют две такие

связки, и каждой из них соответствует

своя точка схода, расположенная на ли-

нии горизонта слева или справа от Р. На-

чалом рассматриваемой прямой АуА

^ яв-

ляется точка А

которую и необходимо

намести на масштабе широт, используя

ординату у

точки А. Соединив точку

с .О, построим перспективу прямой,

пересекающей масштаб глубин в точке А'

8. Так как точки А

и Л, расположены

на одной прямой, параллельной картине

(см рис. 360), то вторичная проекция

точки А будет расположена на пересече-

нии ранее построенной прямой А'

Р с пря-

мой A',jA\. которая параллельна основанию

картины (см. рис. 361).

4 Откладывают на м а с ш т а б е в ы-

со т (рис. 361) отрезок, равный г

ап-

пликате точки А, и точку А'

соединяют

с Р. Вертикальная прямая, проведенная

через А'У до пересечения с линией А'

Р,

определяет отрезок А'

А'ъ, перспективно

равный координате г

Наконец, остается на вертикальной пря-

мой, проходящей через вторичную проек

цию точки А, построить отрезок, равный

ЛуЛз, что и сделано с помощью горизонта-

ли А',А'

Создание перспективного изображения

и при использовании метода масштабов

можно вести с определенным увеличением

картины, когда все линейные размеры,

снимаемые с ортогонального чертежа, уве-

личивают в п раз. При этом некоторые

точки, например D или Л могут оказать-

ся недоступными. Тогда обращаются за

помощью к так называемым дробным

точкам дальности, которые на рис.

362 обозначены через D

, L)\ D

. Каждая

из этих точек расположена на линии гори-

зонта и удалена от главной точки Р на

расстояние, соответственно равное 1/2,

//3 и l/n (I главное расстояние, п —

любое число).

Предположим, что недостаток места за-

ставил воспользоваться дробной точкой

дальности D

. В этом случае на масшта-

бе широт откладывают отрезки, длина ко-

торых равна уменьшенной вдвое коорди-

нате у.

Пересечение прямой 2

и масштаба

глубин определяет ту же точку А'

, которая

могла быть получена с помощью прямых

ЛЛ„ , D'% или D"No-

Уо

Объясняется это пропорциональностью

отрезков, выражаемой следующими ра-

венствами:

0'А'

А'Р

УА УА/П

I 1/п

§ 74. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ЦЕНТРАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Для аналитического описания централь-

ного проецирования обратимся к рис. 363,

где точке Л Y

, Z

) трехмерного про-

странства соответствует ее перспектива

А', определяемая двумя координатами U и

V. Для того чтобы выразить U и V через

, Y

, Z

, рассмотрим подобные треуголь-

ники 5Л

Л И SA'IA', а также SAIAI и 5РЛ'

Из их подобия следует, что

U -

D+ У

•X,

Рис.

423

Рис. 424

163

V = -^y-(Z

-H)+H. (13.1)

Пусть теперь точка А вместе с геометри-

ческим объектом (ГО), которому она при-

надлежит, начнет вращаться вокруг оси

2. Это вращение ГО позволит получить его

перспективное изображение в различных

ракурсах и тем самым оценить архитек-

турные достоинства или недостатки про-

ектируемого объекта. Заметим, что для

многократного построения ГО целесооб-

разно использовать экран дисплея. Про-

грамма, реализующая эти построения,

приведена в гл. 18.

На рис. 364 ГО и точка А изображены

в двух положениях: первоначальном, ког-

да угол поворота

= 0, и повернутом

(штрихпунктирный контур ГО).

Координаты точки А в неподвижной

системе s(x,y,z), которая лишь при

<р

= 0 совпадает с системой sо, станут ины-

ми, а именно:

Х — Х

cos <p— К

sin ф, I

= Х

sin Ф+ К

cos ф, > (13.2)

^ = J

где Хо, У

о,

— координаты точки А, за-

данной своими ортогональными проекция-

ми при ф = 0.

Подстановка (13.2) в (13.1) дает:

£/=(*„ cos ф-К

sin ф)£, 1

V— (Z

— H)

j ^

где k =

D/(X<>

sin ф+ K

cos

+ D).

Итак, алгоритм построения как перспек-

тивных, так и аксонометрических проек-

ций сведен к пересчету координат Хо, Ко,

Zo массива точек, принадлежащих ГО,

в координаты U и V точек чертежа на

картинной плоскости. Преобразования то-

чек пространства, соответствующие урав-

нениям (13.3), называют дроб}но-ли-

нейными. Эти уравнения могут быть ис-

пользованы при разработке программы

для автоматизированного построения

перспективы.

§ 75. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ

ПОСТРОЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВЫ

Примеры, приведенные в настоящем па-

раграфе, иллюстрируют некоторые особен-

ности построений, с которыми приходится

часто сталкиваться при перспективных

изображениях плоских фигур и трехмер-

ных тел. Во многих из них применяется

перспективное деление отрезка в данном

отношении. Обратимся к рис. 365, где от-

резок АВ разделен в отношении т:п. Вы-

полненное построение основано на том,

что равным отрезкам прямой, параллель-

ной плоскости картины, соответствуют

равные отрезки на перспективе той же

прямой. Предварительно делят вторичную

проекцию отрезка в отношении т:п. Для

этого через один из его концов проводят

прямую, параллельную основанию карти-

ны, и откладывают на ней от точки А\

отрезки, пропорциональные тип (на

Р F

С'

\Со

в;

\ \

0 1 2 3 U 5 6 7

т п

Рис.

300

164

рис. 365

А\Сй

= т и СоВо = п). Затем сое-

диняют точки Во и В, и продолжают

прямую ВоВ\ до пересечения с линией

горизонта в точке F.

Искомая точка

С'\

на вторичной проек-

ции A'tB't определяется с помощью прямой

FCo, так как прямые

ВиВ\

и СоС\ являются

перспективами параллельных прямых, ле-

жащих на предметной плоскости. Оста-

лось по вторичной проекции точки С"! най-

ти ее перспективу, что и сделано с по-

мощью вертикальной прямой С'\С'. На

рис. 365 показано вместе с тем и перспек-

тивное деление отрезка на равные части

(на семь частей).

Пример 1. Определение центра симмет-

рии прямоугольника.

На рис. 366 изображен прямоугольник

в вертикальной (рис. 366, а) и горизон-

тальной (рис. 366,6) плоскостях. Искомый

центр (точка С) расположен в точке пе-

ресечения диагоналей.

/ В

^^ \

в!

Рис. 366

Пример 2. Перспектива окружности.

Окружность, расположенная в предмет-

ной плоскости, изображена на рис. 367.

Построению перспективы окружности

предшествует создание перспективы квад-

рата, стороны которого соответственно па-

раллельны и перпендикулярны картине.

Из восьми точек, которые показаны на

рис. 367, четные расположены на середи-

нах сторон квадрата, нечетные — на диа-

гоналях. Заметим, что середины сторон,

перпендикулярных картине, определены с

помощью прямой, которая проходит через

центр симметрии квадрата — точку С\.

Перспектива окружности построена с уве-

личением линейных размеров в 2 раза.

Аналогично строится окружность, рас-

положенная в вертикальной плоскости.

Четырехугольник А'\А'В'В\ (рис. 368)

представляет собой перспективу половины

квадрата, в которую необходимо вписать

полуциркульную арку (полуокружность).

Центр этой арки (точка С) и середина

стороны А'В' (точка 2') получены, как

и в предыдущем случае, с помощью пря-

мой, проходящей через центр симметрии

четырехугольника (точка Е').

Точки /' и 3', в которых искомая окруж-

ность пересекает полудиагонали квадрата

(С'А' и С'В'), построены путем перспек-

тивного деления отрезков в данном отно-

шении.

Так как отношение диаметра вписанной

в квадрат окружности к диагонали квад-

Рис.

300

165

рата составляет 1:^2 = 7:10, то таким же

будет и отношение радиуса окружности

к полудиагонали квадрата.

Предварительно с помощью прямоу-

гольного равнобедренного треугольника

A'MA'i в данном отношении делится верти-

кальный отрезок А'А\ (Л\N/А\А' =

/д/2),

а затем прямая NF, параллельная АВ,

в том же отношении разделит и полудиа-

гонали квадрата.

Пример 3. Построение оконных и двер-

ных проемов.

В построении оконных и дверных прое-

мов можно достигнуть значительного уп-

рощения, если эту задачу свести к деле-

нию перспективы отрезка на пропорцио-

нальные части. На ортогональной проек-

ции фасада здания (рис. 369,а) создают

сетку из горизонтальных и вертикальных

линий, проходящих через углы контуров

окон и дверей. Построение этой сетки на

картине можно выполнить следующим об-

разом:

Рис. 368

Вг

Сг

\JASo 8,7, 6

5„ у

а) на фронтальных проекциях А^Еч и

Сг отрезков контура стены отмечают

точки h, 2d, ... , 11а, через которые прове-

дены прямые, образующие сетку. Этим

точкам на картине соответствуют точки /',

2', ... , 11', принадлежащие перспективам

А'Е' и Е'О тех же отрезков;

б) построение указанных точек осуще-

ствляют с помощью двух пучков горизон-

тальных параллельных прямых. На рис.

369,б перспективой бесконечно удаленной

точки одного из пучков является точка F,

второго — точка F

Пример 4. Перспектива поверхности

вращения.

Каждую поверхность на чертеже можно

достаточно наглядно представить ее кар-

касом, который позволяет легко построить

очерк проекции и решить любую позицион-

ную задачу. Таким каркасом для повер-

хности вращения (рис. 370) служит мно-

жество ее параллелей — окружностей,

расположенных в плоскостях, перпендику-

лярных оси i.

На рис. 370, где ось i

111, перспективы

всех окружностей построены с помощью

описанных около них квадратов, одна па-

ра сторон которых параллельна, а дру-

гая — перпендикулярна плоскости карти-

ны. Так, стороны АВ и CD одного из них

параллельны, a AD и ВС перпендикулярны

плоскости картины. Через F' и F

обозна-

чены точки схода диагоналей квадратов,

причем в данном примере эти точки совпа-

дают с точками дальности. Очерк проек-

ции поверхности вращения прорисовыва-

ется как огибающая построенного семей-

ства эллипсов.

Б)

11,10,9„Jo

7, 6

5о Vf^er

Рис.

300

166

Пример 5. Перспектива линейчатой по-

верхности с плоскостью параллелизма.

Геометрическая часть определителя ко-

ноида (рис. 371) представлена плоскостью

параллелизма ос_L 11, и направляющими

т и п. Заметим, что плоскость криволи-

нейной направляющей от, как и плоскость

а, перпендикулярна Пь

Прямолинейная образующая АВ

построена с помощью точек пересечения

направляющих с плоскостью р, которая

параллельна а. Так, А — т П [i и B —

|"|р.

Аналогично определены и другие прямые,

Рис. 370

принадлежащие каркасу линеичатои по-

верхности.

Пример 6. Построение перспективы

арочного железобетонного пролетного

строения.

Ортогональные проекции моста изобра-

жены на рис. 372. На этой же фигуре

показан и горизонтальный след плоскости

картины (III). Ограниченные размеры

чертежа не позволили отметить положение

точки зрения, главной точки и точек схода

связок параллельных прямых. Внешний

контур вторичной проекции на опущенную

плоскость и перспектива моста при высоте

горизонта, равной нулю, изображены на

рис. 373.

Сведения, необходимые для выполнения

этих построений, содержатся в § 73.

Укажем на особенности построения пер-

спективы арочного пролетного строения,

контур которого расположен в вертикаль-

ной плоскости а.

На рис. 372 и 373 горизонтальный след

этой плоскости проведен штриховой ли-

нией. Через точку No на опущенном осно-

вании картины (прямая 0

) проведена

вертикальная прямая — линия пересече-

ния а|"|Н'. Построенная перспектива сет-

ки горизонтальных и вертикальных пря-

мых позволяет определить точки контура

арки.

Рис.

300

167

Рис. 320

Опуская подробное описание создания

перспективы сетки, которое было изложе-

но в примере 3, отметим лишь, что высоты

этих точек Н\, Нм, НА, НВ И т. д. отмеча-

лись на прямой аПП' от точки N

]

(от

линии горизонта).

Для построения контура арки, располо-

женного в плоскости р, можно воспользо-

ваться ранее найденными точками в плос-

кости а.

Так, на рис. 373 точки С' и К', лежащие

в плоскости р, были получены с помощью

лучей, проведенных в точку схода F

че-

рез точки А' и М', принадлежащие плос-

кости а.

На этих лучах вертикальными прямыми,

проходящими через вторичные проекции

точек (C'i и К\), опеределено положение

точек С'и К'

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. В каком случае перспектива точки совпа-

дает со своей вторичной проекцией?

2. Вторичные проекции каких точек про-

странства принадлежат линии горизонта?

3. Как будет изменяться перспектива предме-

та, если точка зрения будет удаляться от карти-

ны по прямой, перпендикулярной картине?

4. Как должны располагаться окружности

относительно точки зрения и картины, чтобы их

перспективами были отрезок прямой, эллипс,

парабола, гипербола?

5. При каком положении прямой отношение

длин ее отрезков не изменится и в перспективе?

Глава 14

ПРОЕКЦИИ

С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

§ 76. СУЩНОСТЬ МЕТОДА

Способы изображения, рассмотренные

в предыдущих разделах, оказываются не-

приемлемыми при проектировании таких

инженерных сооружений, как полотно же-

лезной или шоссейной дорог, плотины;

дамбы, аэродромы, т. е. в тех случаях,

когда высота объекта существенно мень-

ше его размеров на плане. Изображением

только плана инженерного сооружения и

ограничиваются в методе проекций с чис-

ловыми отметками.

Эти отметки (числа), которые указыва-

Рис. 374

ют расстояния обычно в метрах от точек,

принадлежащих данному объекту, до не-

которой горизонтальной плоскости По по-

зволяют судить о размерах и положении

изображенного объекта по высоте. На

плоскость По — плоскость нулевого уров-

ня, и осуществляют ортогональное про-

ецирование геометрических фигур и ре-

альных объектов. Полученные чертежи бу-

дем называть планами, на которых приня-

то показывать линейный масштаб, необхо-

димый для решения метрических задач.

Перед числовыми отметками точек, рас-

положенных под плоскостью Пи, ставится

знак минус.

При выполнении графических построе-

ний, связанных с решением позиционных

задач, нужно использовать свойства па-

раллельных и ортогональных проекций,

так как процесс создания планов (гори-

зонтальных проекций) сохраняет эти свой-

ства.

Примером оформления чертежа с число-

выми отметками может служить рис. 374,

где показана кривая АВ, пересекающая

плоскость По-

§ 77. ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ

ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Кроме задания прямой двумя точками

(рис. 375 и 376) в проекциях с числовыми

отметками прямую а определяют горизон-

тальной проекцией, отметкой одной из ее

точек (см. точку у4д,з на рис. 377) и укло-

ном i = tg ф (ф—угол наклона прямой

169