Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 332

в точке А\, определяет перспективу гори-

зонтальной проекции точки А. Условимся

точку А\ называть вторичной проек-

цией точки А (первичной считается Ai)-

На плоскости Л/ перспектива точки и ее

вторичная проекция принадлежат одной

вертикальной прямой. Объясняется это

тем, что прямая А'А\ представляет собой

линию пересечения двух вертикальных

плоскостей: картины П' и лучевой а.

Лучевая плоскость расположена в про-

странстве вертикально, потому что прохо-

дит через перпендикуляр АА\ к плоскости

Mi. Покажем теперь, что перспектива точ-

ки и ее вторичная проекция однозначно

определяют положение точки в простран-

стве. Пусть на рис. 332 заданы точки А',

А'\, S и две плоскости II'-и П|. Прове-

дем из точки S лучи в Л' и А\. Пересечение

второго из них (SA') с плоскостью II| дает

первичную проекцию А\. Восставив в по-

лученной точке А1 перпендикуляр к IIi,

находим его пересечение с лучом S/4'. Это

и будет искомая точка пространства А.

§ 68. СИСТЕМА ПЛОСКОСТЕЙ

ЛИНЕЙНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ

В настоящем параграфе ознакомимся

с аппаратом линейной перспективы, кото-

рым будем пользоваться в дальнейшем.

Прежде всего рассмотрим четыре плос-

кости ГГ, П1, N и Г (рис. 333). Первая из

них II'— вертикальная плоскость карти-

ны; на ней строят перспективное изобра-

жение предмета, располагая его (пред-

мет) обычно на горизонтальной плоскости

Пь Плоскость П| называется поэтому

предметной. Плоскости П' и П] пе-

ресекаются под прямым углом по линии

—О

, которую называют основанием

картины. Две другие плоскости Г и

N проходят через точку зрения S соответ-

ственно параллельно П' и П|. Горизон-

тальная плоскость/" называется плоско-

стью горизонта, а вертикальная

плоскость N, параллельная картине, носит

название нейтральной плоскости.

Плоскости Г и П' пересекаются по гори-

'.Az

—_<

[ft

к/

Рис.

300

Ли

150

зонтальной прямой h — линии гори-

зонта.

Опустим из точки зрения S перпендику-

ляры на картинную и предметную плоско-

сти. Луч SP-LI1', находясь в горизонталь-

ной плоскости Г, пересечет картину в точ-

ке Р, которая принадлежит линии гори-

зонта h. Луч SP называют главным,

а точку Р — главной точкой карти-

ны. Основание Si перпендикуляра, опу-

щенного из точки S на предметную плос-

кость, условимся называть точкой сто-

яния. В некоторых случаях приходится

пользоваться так называемыми дистан-

ционными точками D (точками

дальности), расположенными на линии го-

ризонта так, что DP = SP. Пространство,

ограниченное плоскостями П' и N, называ-

ется промежуточным пространством,

часть пространства перед зрителем за кар-

тиной — предметным пространством,

а пространство позади наблюдателя назы-

вают мнимым.

Для построения перспективы необходи-

мо знать положение точки зрения S отно-

сительно плоскостей П' и II].

§ 69. ПЕРСПЕКТИВЫ ТОЧЕК,

РАСПОЛОЖЕННЫХ В РАЗЛИЧНЫХ

ЧАСТЯХ ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрим точку.Л в предметном про-

странстве (см. рис. 333) и проследим за

тем, как будут изменяться положения ее

перспективы и вторичной проекции при

движении самой точки Л вдоль проециру-

ющего луча 5Л. Пусть точка переместится

из положения А в А

. Ее перспектива

останется по-прежнему в точке А'. Что же

касается вторичной проекции, то она смес-

тится вертикально вверх на Дг. По мере

дальнейшего удаления точки А от плоско-

сти картины ее вторичная проекция будет

приближаться к линии горизонта, так как

угол наклона луча, определяющего вто-

ричную проекцию, при таком перемещении

уменьшается (фг<ф,). В пределе, когда

точка А удалится в бесконечность, угол ф

будет равен нулю и луч, направленный

в горизонтальную проекцию бесконечно

удаленной точки, окажется в плоскости Г.

Следовательно, вторичная проекция

бесконечно удаленной точки предметного .

пространства должна находиться на ли-

нии горизонта. Этот очень важный вы-

вод не раз будет использован в даль-

нейшем.

Сопоставляя положение точек Л и Л

от-

носительно плоскости картины с их вто-

ричными проекциями, заключаем, что чем

ближе точка к картине, тем меньше рас-

стояние от ее вторичной проекции до осно-

вания картины. Если две точки (Л и В)

равноудалены от плоскости картины, то их

вторичные проекции находятся на одина-

ковом расстоянии от основания картины

(см. рис. 333).

Действительно, в этом случае прямая

Л|В] параллельна основанию картины и в

треугольнике 1SiSi имеет место равенст-

Л,Ло В|В„

во двух отношении:

Л i5I

B|S.

Но так

Л,Л

AqA'I ,

. „

С1

В,Во

как ——=—— (из M.S.S) и ——

Я,о, о,о о,о,

BoB'i

(из AB,S,S), то

ЛрЛ1

ВрВ\

S,S

5,5

" 5,5

Откуда следует, что ЛоЛ, = ВоВ,.

На рис. 334 показано построение пер-

спектив и вторичных проекций точек, рас-

положенных в промежуточном (точка В)

и мнимом (точка Е) пространствах. Вто-

ричные проекции точек промежуточ-

ного пространства оказываются ниже

основания картины (например, В\). Если

же точки принадлежат мнимому про-

странству, то их вторичные проекции рас-

положены выше линии горизонта (на-

пример, Е\). Вторичные проекции точек

предметного пространства могут быть рас-

положены только между основанием кар-

тины и линией горизонта (см. рис. 333).

Наконец, на основании картины находятся

вторичные проекции точек, лежащих на

картинной плоскости (например, точка

М на рис. 334). Что касается линии гори-

зонта, то она представляет собой множе-

ство вторичных проекций несобственных

точек пространства. Таким образом, по

вторичной проекции точки можно устано-

вить, в каком пространстве находится дан-

ная точка.

В дальнейшем условимся обозначать

точки пространства прописными буквами

(Л, В, £, ...), их перспективы теми же

буквами со штрихом (Л', В', Е', ...), а вто-

ричные проекции — с добавлением под-

строчного индекса (Л{, В1, Е\,

•

••)•

151

Рис. 334

§ 70. ПЕРСПЕКТИВА

ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Проецирующие лучи, которые проходят

через точку S и некоторую прямую АВ,

образуют плоскость. Эта лучевая плос-

кость пересекает картину по прямой А'В',

представляющей собой перспективу задан-

ной прямой (рис. 335). В том случае, когда

прямая проходит через точку зрения S, ее

перспектива вырождается в точку. Зада-

ние только одной перспективы прямой не

определяет ее положения в пространстве.

Перспективное изображение прямой об-

ратимо, если оно дополнено вторичной

проекцией.

На рис. 335 перспектива прямой АВ и ее

вторичная проекция определены перспек-

тивами и вторичными проекциями двух ее

точек А я В.

Имея А'В' и

А'\В'\,

можно определить

две характерные точки прямой: перспекти-

ву F' бесконечно удаленной (несобствен-

ной) точки F и начало прямой N' (нача-

лом прямой принято называть точку пе-

ресечения прямой с картиной). Вторичная

проекция первой из них (точка ft) должна

быть на линии горизонта, а второй — на

основании картины (точка fi]5). Проведя

через F\ вертикальную прямую до пересе-

чения с А'В', получим перспективу F' бес-

конечно удаленной точки прямой. В этой

точке с картиной пересечется проецирую-

щий луч, направленный в бесконечно уда-

ленную точку данной прямой АВ (парал-

лельный АВ). Перпендикуляр к основанию

— О

картины, проходящей через N\,

пересекаясь с А'В', определяет начало

прямой (точку N').

Началом и несобственной точкой пря-

мой обычно пользуются при построении

перспективы различных предметов.

Положение перспективы несобственной

точки прямой на картине позволяет судить

о том, как расположена прямая в про-

странстве. Так, если точка F' оказалась

над линией горизонта (см. рис. 335), то

прямая АВ — восходящая, так как

луч, проведенный из точки зрения парал-

лельно данной прямой, направлен кверху.

Если точка F' находится под линией гори-

зонта, то прямая АВ — нисходящая

(рис. 336). Точка М', в которой перспекти-

ва прямой пересекает вторичную проек-

цию, является перспективой следа прямой

на предметной плоскости Пь Наконец,

если перспектива несобственной точки

152

прямой лежит на линии горизонта, то пря-

мая АВ расположена горизонтально

(рис. 337).

В дальнейшем часто придется строить

прямые, перпендикулярные плоскости кар-

тины. Для того чтобы найти несобствен-

ную точку таких прямых, нужно из точки

зрения провести луч, перпендикулярный

плоскости картины. Такой луч пересечет

картину в главной точке. Следовательно,

главная точка Р является перспективой

несобственных точек прямых, перпендику-

лярных картине (см. прямую N'P на рис.

337).

На рис. 338 изображены прямые, все

точки которых равноудалены от плоскости

картины. Как было показано в § 69, вто-

ричные проекции таких точек должны

быть на одинаковом расстоянии от основа-

ния картины. Вот почему вторичные про-

екции прямой АВ, параллельной картине,

и прямой CL, которая параллельна карти-

не и предметной плоскости, проведены па-

раллельно основанию картины О'— О

Заметим, что если прямая АВ парал-

лельна картине П', то отношение отрезков

153

Рис. 338

Рис. 339

такой прямой равно" отношению их цен-

тральных проекций.

В справедливости этого утверждения

можно убедиться, рассмотрев рис. 339, где

лучи SA, SK и SB пересечены параллель-

ными прямыми АВ и А'В'. Действительно,

так как ASAKooASA'К' и ASKBooASK'B',

SK АК SK KB _

Отсюда

то — ,

SK' А'К'

АК

следует, что

SK'

А'К'

К'В'

показанных на рис. 340. Продолжив каж-

дую из прямых до пересечения с картиной,

найдем их начала — точки ЛГ и N'. Вто-

рой точкой, определяющей искомые пер-

спективы, будет точка F', для построения

которой из точки зрения S проводят луч

параллельно данным прямым до пересече-

ния с ГГ.

Перспективы и вторичные проекции

параллельных прямых изображены на

рис. 341.

В том случае, когда параллельные пря-

мые горизонтальны, их точка схода долж-

на быть на линии горизонта.

Если же горизонтальные прямые пер-

пендикулярны к картине, то точкой схода

их служит главная точка Р (рис. 342).

В дальнейшем, при построении перспек-

тивных изображений предметов часто при-

дется строить перспективы параллельных

прямых, лежащих в предметной плоскости

ГГ. Их точка схода располагается на ли-

нии горизонта (рис. 343).

Центральные проекции параллельных

прямых могут быть и параллельны, если

KB К'В'

В том случае, когда прямая EF перпен-

дикулярна предметной плоскости, ее вто-

ричная проекция становится точкой

(см. рис. 338).

Если же прямая лежит в предметной

плоскости, то перспектива прямой и ее

вторичная проекция совпадают.

§ 71. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

1. Параллельные прямые.

Покажем, что перспективы параллель-

ных прямых пересекаются.

Точка пересечения связки параллельных

прямых называется точкой схода.

Действительно, рассмотрим построение

перспектив параллельных прямых а и Ь,

Рис. 340

Рис.

300

154

К'

м'

^ А/ ^

Ai' 1 в;

L' ,

ЦЧ

Рис. 344

А'

„2

Рис. 345

их точка схода окажется несобственной

точкой плоскости картины IT. Единствен-

ное условие, которому должны удовлетво-

рять такие параллельные прямые, заклю-

чается в том, что они должны быть па-

раллельны плоскости картины.

Этому частному случаю соответствуют

прямые, показанные на рис. 344, где обе

пары параллельных прямых расположены

фронтально (параллельно картине), a KL

и MN являются к тому же и вертикальны-

ми прямыми.

2. Пересекающиеся и скрещивающиеся

прямые.

Если две прямые линии имеют общую

точку, то точки пересечения их перспектив

и вторичных проекций на картине должны

лежать на общем перпендикуляре к линии

горизонта (рис. 345).

На рис. 346 представлены две скрещи-

вающиеся прямые, где точке пересечения

перспектив соответствуют две различные

точки £ и С, первая из которых принадле-

жит прямой а, вторая — прямой Ь.

§ 72. ВЫБОР ТОЧКИ И УГЛА ЗРЕНИЯ.

ОРИЕНТИРОВКА КАРТИНЫ

Для того чтобы обеспечить удачное пер-

спективное изображение предмета, реко-

мендуется руководствоваться следующими

правилами, выработанными практикой.

1. Угол между проецирующими лучами,

направленными в крайние точки плана

предмета — угол зрения ф (рис. 347),

следует брать в пределах от 18 до 53°.

Оптимальное значение угла зрения равно

28°. Если вертикальные размеры предмета

больше его длины, то точку зрения S сле-

дует удалить от картины на полторы-две

высоты предмета, для того чтобы угол

зрения в вертикальной плоскости оказался

в допустимых пределах.

2. Картинную плоскость ориентируют

155

так, чтобы, во-первых, главная точка ока-

залась в пределах средней трети угла зре-

ния, и, во-вторых, горизонтальный след III

картинной плоскости с одной из сторон

плана (чаще всего с главным фасадом)

составлял угол от 25 до 30°. Боковой фа-

сад при этом получит сильное перспектив-

ное сокращение, и изображение в целом

получится более выразительным. Целесо-

образно, кроме того, картинную плоскость

совместить с одним из ребер предмета,

которое на перспективной проекции изо-

бразится в истинную величину.

Трудоемкий процесс построения пер-

спективы значительно упрощается, если

плоскость картины расположить фрон-

тально.

3. Высоту горизонта обычно принимают

на уровне глаз человека, стоящего на зем-

ле, т.е. //=1,5...1,7 м. При изображении

застройки большого района высоту гори-

зонта берут равной 100 м и более. Такую

перспективу называют перспективой

«с птичьего полета».

§ 73. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ

ПЕРСПЕКТИВЫ

1. Радиальный метод. Сущность этого

метода заключается в определении точек

пересечения лучей с картинной плоско-

стью, поэтому его часто называют мето-

дом следа луча.

На рис. 348 показано построение пер-

спективы точки по заданным ее ортого-

нальным проекциям.

Кроме ортогональных проекций точки

Л (Ai, Л2) на эпюре изображены гори-

зонтальный след 11| картинной плоскости

ГГ, проекции точки зрения S (Si, S2) и

главной точки картины Р (Рi, Рг)-

Построив проекции луча SA (S1Ai и

ЗгЛг), определяют точку пересечения это-

го луча с плоскостью картины. Проекции

найденной точки пересечения обозначены

через (ЛО

и (ЛОг-

Рядом с эпюром показана совмещенная

с плоскостью чертежа картина ГГ, на кото-

рой изображены ее элементы (основание,

линия горизонта и главная точка Р).

Остается точку пересечения луча с кар-

тиной, найденную на эпюре, перенести на

перспективный чертеж. Так как положение

точки на плоскости определяется двумя

координатами, то в качестве таких коорди-

нат можно принять прямоугольные коор-

динаты с началом в точке Ра (Ро^О'О

PoP-Lh). Тогда по размерам отрезков

и z

, снимаемых с эпюра, создается

перспектива А' точки Л. Вторичная проек-

ция находится с помощью отрезка г

Этот отрезок определяет координату z точ-

ки пересечения картины и луча, направ-

ленного в горизонтальную проек-

цию точки Л (см. эпюр на рис. 348).

Радиальный метод является простей-

шим методом построения перспективы в

том смысле, что его применение не требует

знания теории перспективы. Действитель-

но, предмет, точка зрения и картинная

плоскость изображались на эпюре. На том

же эпюре создавались проекции проециру-

ющих лучей и определялись точки пересе-

чения их с картиной.

Однако применение радиального мето-

156

да, включающего многократное повторе-

ние одних и тех же построений, требует

много времени и не обеспечивает должной

точности. Достаточно сказать, что для по-

строения перспективы отрезка прямой не-

обходимо проделать десять элементарных

операций, под которыми здесь следует по-

нимать проведение прямой по линейке и

построение отрезка, равного данному, с

помощью циркуля. Радиальный метод ока-

зывается рациональным при построении

перспективы предмета, в плане которого

имеется много не параллельных меж-

ду собой линий.

2. Метод архитекторов. В практике ра-

боты архитектурных мастерских широко

применяется метод построения перспек-

тивных изображений с использованием то-

чек схода параллельных прямых. Этот ме-

тод принято называть методом архи-

текторов.

Так как создание перспективы предмета

рекомендуется начинать с его вторичной

проекции, то сущность рассматриваемого

метода может быть показана на примере

построения перспективы фигуры, располо-

женной на горизонтальной плоскости.

Ортогональные проекции такой фигуры,

которую можно рассматривать как план

некоторого здания, представлены на рис.

349. На том же эпюре изображены гори-

зонтальный след картинной плоскости,

проекции точки зрения и главной точки

р (Ро).

Замечая, что линии контура плана могут

быть разделены на два пучка парал-

лельных прямых, определяем перспективы

несобственных точек (/•"' и F

) каждого из

пучков, причем точка F

является перспек-

тивой несобственной точки пучка парал-

лельных прямых направления /, а точка

Fнаправления //. Обе точки найдены

с помощью лучей SF

и SF

, соответствен-

но параллельных прямым направлений / и

//. Лучи SF

и SF

, будучи параллельными

прямым, расположенным в горизонталь-

ной плоскости, пересекут картину в точ-

ках, лежащих на линии горизонта h (рис.

350). При построении перспективы без

увеличения отрезки PF

и PF

на рис.

350 равны соответственно отрезкам PoF\

и P

F1 (см. рис. 349) *.

В качестве вторых точек для построения

перспективы каждой из прямых контура

рекомендуется использовать характерные

точки, в которых эти прямые пересекают

плоскость картины, т. е. начальные

точки прямых. Для этого горизонталь-

ные проекции всех прямых продолжены

до пересечения с одноименным следом П{

картины. Так найдены точки No, JVO, JVO,

N о и N о, расположенные на основании

картины.

Перенос этих точек с эпюра на картину

можно проделать с помощью полоски бу-

маги, которую следует приложить прямо-

линейной кромкой к следу Ш картины

и отметить на кромке точки No, No, No, No,

N о и Ро. Эту полоску бумаги переносим на

рис. 350 и совмещаем ее кромку с основа-

нием О

— О

картины так, чтобы точка Ро

на полоске совпала с той же точкой на

основании.

* На рис. 350 и некоторых последующих это

условие выполнено не строго по техническим

причинам.

157

P F>

Остается построить перспективы пря-

мых, пересечение которых определит вер-

шины заданного контура. Так, точка пе-

ресечения перспектив прямых NoF

и NlF'

представляет собой перспективу точки

3. Аналогично найдены и остальные точки.

Итак, каждая точка плоской фигуры опре-

деляется пересечением прямых, принадле-

жащих двум различным пучкам парал-

лельных линий.

Следует отметить, что в качестве второй

точки для построения перспективы прямых

не обязательно брать их начала. На рис.

351 и 352 дано построение перспективы

того же контура в такой последовательно-

сти:

, 1) на линии горизонта картины (рис.

352) отмечают точки схода F

и F

пучков

параллельных прямых направлений / и //;

причем, как и ранее, отрезки PF

на

рис. 352 равны соответственно отрезкам

PoF\ и P

F] (рис. 351);

2) на основании 0

— О

картины (рис.

352) определяют положение перспективы

точки 1 (I|, h), через которую проходит

картинная плоскость. Для этого от основа-

ния главной точки картины — точки Ро —

отложен вправо отрезок Polo, равный от-

резку Polo на эпюре;

3) так как через точку 1 (Л, /

) проходят

две линии различных пучков, то ее перспек-

тиву I

соединяют с точками F

и F

;

4) следующая точка 2 (21, 2г) располо-

жена на прямой /—2 первого направле-

ния, перспектива которой уже построена;

для создания перспективы точки 2 в нее

направляют из точки зрения луч (рис.

351) и отмечают точку пересечения гори-

зонтальной проекции этого луча с однои-

менным следом П1 картины — точку 2».

Этой точке на основании картины будет

соответствовать так же обозначенная точ-

ка 2

. Естественно, что отрезки Ро2о на

рис. 351 и 352 равны;

5) через точку 2о (рис. 352) проводят

вертикальную прямую, которая, пересека-

ясь с ранее построенной прямой l'—F',

определяет положение перспективы точки

2 — точку 2'.

В такой же последовательности получа-

ют перспективы и остальных точек.

Описанный путь построения перспекти-

вы плана характерен тем, что сначала

создается перспектива прямой, а затем

при помощи специального луча определя-

ется точка на ней.

158

ить перспективу плана в случае, когда

точки пересечения некоторых прямых с

картиной оказываются за пределами чер-

тежа.

Закончив построение вторичной проек-

ции, следует перейти к изображению само-

го предмета.

На рис. 353 даны ортогональные проек-

ции двух геометрических тел, план кото-

рых тождествен ранее рассмотренной фи-

гуре. Не повторяя объяснений, относящих-

ся к построению вторичной проекции,

опишем процесс создания перспективы

предмета.

Отметим только, что построение пер-

спективы предмета (как и его вторичной

проекции) в данном случае проведено с

увеличением всех линейных размеров на

картине в п раз. Это значит, что расстоя-

ние между основанием картины и линией

горизонта на рис. 354 равно не Н, как на

рис. 353, а пН. Отрезки PF

]

и PF

рис.

354 в п раз больше тех же отрезков на

эпюре и т. д.

На рис. 354, после того как была начер-

чена вторичная проекция, построение пер-

спективы осуществляем в такой последо-

вательности:

1) через все вершины вторичной проек-

ции (точки /', 2', 3' и т. д.) проводим

вертикальные прямые;

2) от точки 1' на проходящей через нее

вертикали отложим отрезок 1'А' длиной

пНь заметим, что отрезок 1'А' находится

в плоскости картины, а масштаб увеличе-

ния принят равным п: 1;

осПп'

3) через точку А' проводим прямую

в точку схода F

. На этой прямой с по-

мощью вертикальной линии связи 2'— М'

находим точку М';

4) для того чтобы получить перспекти-

вы вертикальных ребер длиной Нз, прохо-

дящих через точки 3'\ 4'; 5' и 6', нужно

через любое ребро провести вертикальную

плоскость а и построить линию пересече-

ния плоскости а с картиной П' (af|IT);

затем, отложив на этой прямой от основа-

ния картины отрезок NоЛ/

, равный задан-

ной высоте Нз (с учетом масштаба), нуж-

но провести в плоскости а горизонталь

заданного уровня Нз до пересечения с пер-

спективой взятого ребра. Так, на рис.

354 через вертикальную прямую, опреде-

ляемую точкой 4', проводим плоскость а,

которая в данном случае совпадает с за-

дней левой гранью предмета; прямая NoF

представляет собой перспективу горизон-

тального следа плоскости а; на прямой

NoN' (линии пересечения а и IT) от точки

N о откладываем NoN'— высоту ребра Нз

(в нашем случае с учетом масштаба пНз)\

соединив точки N' и F

, получим перспек-

тиву горизонтали уровня Нз, пересечение

которой с вертикальной прямой, проходя-

щей через точку 4', определяет точку Е'.

Этим и завершается процесс построения

перспективы ребра 4' — £', несовмещен-

ного с плоскостью картины;

5) используя попеременно то левую, то

правую точки схода, проводим верхние

горизонтальные ребра E'G' и G'K' види-

мых граней прямоугольного параллелепи-

педа;

в 3

2„

Рис. 354

159