Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

ющеи тени от вертикальной стенки на

лестницу. Световые лучи параллельны

картине.

1. Тень от вертикального ребра ВВ\ на

предметную плоскость и на горизонталь-

ную плоскость ступени параллельна вто-

ричной проекции луча, т. е. параллельна

основанию картины.

2. Тень от того же ребра ВВ\ на па-

раллельные ему вертикальные плоскости

подступенков параллельна самому ребру.

3. Тени от горизонтального ребра BE на

Рис. 300

200

параллельные ему плоскости ступеней

имеют общую точку схода с самим ребром.

4. Тени от ребра BE на плоскости под-

ступенков направлены к точкам, в которых

прямая BE пересекает продолженные

вверх плоскости подступенков. Одна из

таких точек (точка С) показана на

рис. 441.

Точно так же тени от ребер BE и AD на

вертикальную плоскость а пройдут через

точки пересечения указанных ребер с

плоскостью а.

Обратимся к рис. 442, на котором изо-

бражены перспективы ската кры-

ши LMNR и ребро трубы АВ.

Для построения тени этого ребра на

наклонном скате плоскости ос через свето-

вой луч проведена вспомогательная верти-

кальная плоскость р, след которой на

предметной плоскости совпадает со вто-

ричной проекцией луча (прямая 1\—2,).

Далее построена линия пересечения плос-

кости р и заданного ската а. Перспектива

этой прямой обозначена через 1—2, а вто-

ричная проекция — /1—2\.

Точка А

, в которой луч пересекает пря-

мую 1—2, является тенью точки А на на-

клонной плоскости ската. Соединив А

точкой В, получим искомую тень реб-

ра АВ.

На рис. 443 дано построение падающей

тени от козырька на вертикальной плоско-

сти стены р.

Сначала построена тень от козырька

в предположении, что в нем нет цилиндри-

ческого выреза. Для этого предварительно

определена его собственная тень и ее кон-

тур ABMNP (нижняя и правая грани ко-

зырька не освещены)..

Затем световые лучи, проходящие через

точки В, М и N, заключены в горизонталь-

но проецирующие плоскости у, у

и по-

строены вертикальные линии пересечения

этих плоскостей со стеной р. На этих ли-

ниях и будут расположены искомые те-

ни Bp, М$ и Np.

Ломаная линия AB$M$N$P является

контуром падающей тени козырька. Заме-

тим, что отрезок NpMp этого контура па-

раллелен NM, а параллельные друг другу

горизонтальные отрезки МрВц и MB име-

ют общую бесконечно удаленную точку,

перспектива F

которой расположена на

линии горизонта.

Для определения границы собственной

тени цилиндрической части выреза

козырька проведена горизонтально прое-

цирующая плоскость а, параллельная

картине и касающаяся вторичной проек-

ции цилиндрической поверхности в точ-

ке F\=E\.

В дальнейшем в плоскости р по отдель-

ным точкам построены падающие тени

от кривых DE и FL. В месте пересечения

этих теней определена точка а затем

с помощью обратного луча найдена точ-

ка К на кривой CFL. Кривая ЕК являет-

ся границей падающей тени на цилиндри-

ческой поверхности выреза козырька.

Построение падающей тени на повер-

хности прямого кругового цилиндра от

расположенного на нем навеса-пластины

показано на рис. 444. Световые лучи, про-

ходящие через точки горизонтальных ребер

АВ и ВС пластины, определяют две свето-

вые плоскости. Пересечение этих световых

плоскостей с цилиндрической поверхностью

Ф по эллиптическим кривым АЗ

и Вф2ф/

и определяет искомый контур

падающей тени. Для его построения, так

же, как и в предыдущем примере

(см. рис. ч43), световые лучи, проходящие

через отдельные точки 1, 2, 3, В и т. д. ре-

бер АВ и ВС, были предварительно за-

ключены в вертикальные плоскости у, па-

раллельные картине. Эти плоскости пере-

секают данную цилиндрическую повер-

хность по вертикальным линиям — обра-

зующим цилиндра. Точки пересечения

этих образующих с соответствующи-

ми световыми лучами дают искомые

тени.

Касательная к цилиндру плоскость а

позволила установить границу собствен-

ной тени цилиндра.

Падающая на плоскость р тень от ко-

зырька найдена так же, как в предыдущем

примере (см. рис. 443). Точка О на реб-

ре FK определена с помощью обратного

луча, выходящего из точки Ор.

И наконец, рис. 445 иллюстрирует по-

строение падающей тени от вертикального

отрезка АВ на цилиндрическую повер-

хность Ф. Задача сводится к построению

линии пересечения световой плоскости ос,

проходящей через прямую АВ, с данной

цилиндрической поверхностью. Эта линия

строится по отдельным точкам 0, 1, 2, 3,

201

которые определяются пересечением со-

ответствующих образующих цилиндриче-

ской поверхности (СС

, DD\ ЕЕ

и др.) со

световой плоскостью а. Для нахождения

этих точек сначала определяют их вторич-

ные проекции, расположенные в месте пе-

ресечения вторичных проекций отмечен-

ных образующих со следом ai горизон-

тально-проецирующей плоскости а.

Луч, проходящий через точку А, дает

последнюю точку А

падающей тени на

цилиндре.

Построение падающей тени от цилиндра

ясно из рисунка. Точка К

гп

касания пря-

молинейного контура падающей тени с

кривой LF

C позволяет с по-

мощью обратного луча определить ту об-

разующую цилиндра, которая является

границей его собственной тени (образую-

щая КК

§ 94. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИИ

Определение контуров падающих теней

в аксонометрии, по существу, ничем не от-

личается от того случая построения теней

в перспективе, когда световые лучи па-

раллельны плоскости картины.

Только в аксонометрии тень любой пря-

мой на плоскость, ей параллельную, па-

раллельна самой прямой. В перспективе

это имело место лишь в тех частных случа-

ях, когда прямая и плоскость были верти-

кальны или параллельны основанию кар-

тины.

Направление светового луча рекоменду-

ется определять диагональю куба, грани

которого совмещены с координатными

плоскостями, а ребра построены с учетом

коэффициентов искажения (рис. 446).

При этом диагонали граней куба являются

вторичными проекциями луча на коорди-

натные плоскости.

Следовательно, тень прямой, перпенди-

кулярной плоскости проекций, направлена

параллельно вторичной проекции луча на

ту же плоскость.

Так, тень A

вертикального реб-

ра АА| направлена вдоль вторичной про-

екции луча на плоскость хОу (по диагона-

ли нижней грани), тень ребра АС (АС 1.

±хОг) определяется точками Лц

и С,

т. е. совпадает с вторичной проекцией лу-

ча на плоскость хОг.

На том же рисунке построена гень

AniC,

ребра АС на горизонтальную

плоскость.

Еще раз подчеркнем, что так как реб-

ро АС параллельно плоскости хОу, то

тень ребра.на эту плоскость параллельна

самому ребру. Отмеченные особенности

следует иметь в виду при решении кон-

кретных примеров.

Пример 1. На рис. 447 дана фронталь-

ная диметрия цилиндрической поверхно-

сти и двух касающихся ее вертикальных

плоскостей, ограниченных соответственно

линиями / и т.

Определение падающей тени следует

начать с построения теней линий / и т.

Тень каждой из них будет представлять

собой тени двух прямых, касающихся тени

полуокружности. Например, тень линии /

состоит из теней А

и В,6,,, двух вер-

тикальных прямых и тени Л|

по-

луокружности.

Общая касательная M,

, к криволи-

нейным участкам контуров /

М|

и m

по-

зволяет с помощью обратных лучей опре-

делить границу собственной тени — обра-

зующую MN.

Этот контур собственной тени можно

построить и не прибегая к обратным лу-

чам.

В самом деле, искомая образую-

щая MN является той прямой, по которой

лучевая плоскость касается данной цилин-

дрической поверхности.

Известно, что решение задачи о прове-

дении плоскости, касательной к цилиндру

и параллельной данной прямой (в нашем

случае параллельной световому лучу), на-

чинается с построения вспомогательной

плоскости параллелизма. Плоскость па-

203

Рис. 448

Рис. 449 Рис. 450

раллелизма должна быть параллельна об-

разующим цилиндра и данной прямой.

На рис. 447 такая плоскость, выделен-

ная тоном, определена диагональю куба

(лучом) и тем горизонтальным ребром,

которое параллельно образующим цилин-

дрической поверхности. Тонированная

плоскость и фронтальная пересекаются по

прямой, составляющей с горизонтальной

плоскостью угол 45°.

Этот угол определяет направление

фронталей лучевой касательной плоско-

сти а.

На том же рисунке проведена фрон-

таль ММ

как касательная к передней

полуокружности.

Найденная точка касания М позволяет

построить искомую образующую MN.

Описанный путь построения контура со-

бственной тени дает более точный резуль-

тат, чем тот, когда применяют обратные

лучи.

Пример 2. На рис. 448 показано постро-

ение теней группы геометрических тел. Из

видимых граней в собственной тени оказа-

лись правые.

Падающая тень вертикального реб-

ра АА\ по плоскости хОу направлена па-

раллельно вторичной проекции луча на эту

плоскость. Затем эта тень преломляется

и идет вертикально вверх по плоскости а

до точки В. При построении теней то-

чек А, С, D и Е на цилиндрической повер-

хности использованы вторичные проекции

светового луча на плоскость yOz. Тень

эллиптической дуги FLN представляет со-

бой множество точек, в которых световые

лучи, проходящие через точки дуги, пе-

ресекают координатную плоскость хОу.

Прямолинейным контуром падающей

тени цилиндра будет тень образующей, по

которой цилиндр и лучевая плоскость ка-

саются друг друга. На рис. 448 положение

этой образующей определено точкой N —

точкой касания правого основания цилин-

дра и прямой, проведенной параллельно

вторичной проекции луча на плос-

кость yOz.

Пример 3. На рис. 449 показана схема

здания в прямоугольной диметрии. На-

правление светового луча определено пря-

мой А А

а |,

которая, пересекаясь со своей

вторичной проекцией, дает падающую

тень А

л |

точки А на плоскости П|.

При заданном направлении светового

луча в собственной тени оказались левые

грани и часть цилиндрической поверхно-

сти. Построение падающих теней не вызы-

вает затруднений.

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Что представляет собой лучевая повер-

хность, ограничивающая контур собственной

тени шара, конуса, цилиндра?

2. Какая существует связь между контурами

собственной и падающей теней предмета?

3. При каком направлении светового луча

падающая тень конуса на плоскость его основа-

ния будет ограничена двумя параллельными

прямыми?

4. Построить падающую тень от отрезка АВ

на поверхности конуса (рис. 450).

5. Перечислите последовательность графиче-

ских операций при построении контуров падаю-

щей и собственной теней поверхности вращения

с криволинейной образующей.

6. При каком направлении световых лучей

перспектива Солнца и его вторичная проекция

не изображаются на картине?

7. Какими кривыми может быть ограничена

падающая тень сферы в перспективе?

РАЗДЕЛ 4

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

В ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ

В данном разделе будут рассмотрены

вопросы использования современных

средств вычислительной техники и про-

граммного обеспечения при проектирова-

нии геометрической части (формы) раз-

личных объектов.

К сожалению, в связи с развитием

средств машинной графики получило рас-

пространение суждение о том, что изуче-

ние «ручных» способов формирования

проектной документации и чтения черте-

жей, а также их применения на практике

не является такой же важной задачей, как

в прошлые годы. Более того, в ряде учеб-

ных заведений пошли по пути сокращения

традиционных курсов начертательной

геометрии и черчения. Последствия таких

решений не заставили себя долго ждать.

У выпускников институтов резко упал

уровень пространственного воображения,

умения читать сложные чертежи, нахо-

дить верные проектные решения.

По мнению авторов учебника, гармо-

ничное сочетание способов обучения тра-

диционным методам и способам форми-

рования и чтения чертежей с изучением

сначала основ машинной графики, а за-

тем различных сложных графических си-

стем — наиболее приемлемый путь в ста-

новлении дисциплины «Инженерная гра-

фика».

Следует признать, что современный

уровень развития машинной графики —

технических и программных средств со-

здания, хранения, преобразования и отоб-

ражения графических объектов — позво-

ляет решать практически любую задачу

черчения и начертательной геометрии, ис-

ключая выполнение сложных ручных гра-

фических процедур.

Это позволяет освободить инженера-

проектировщика от решения большого

количества задач, связанных с формиро-

ванием изображений проектируемых

объектов, и получением проектной и про-

межуточной документации.

Низкая стоимость и высокая произ-

водительность современных персональ-

ных ЭВМ сделали доступными приме-

нение средств машинной графики и си-

стем проектирования на их базе пра-

ктически для каждого инженера-проекти-

ровщика.

В настоящее время разработано боль-

шое количество качественных профессио-

нальных программных комплексов для

создания и отображения геометрических

объектов. Такие комплексы называют по-

разному: графические редакторы, систе-

206

мы машинной графики, графические си-

стемы и т. п. На их базе строятся многие

программные системы, предназначенные

для проектирования объектов различного

назначения.

Наиболее распространенными про-

граммными комплексами машинной гра-

фики являются AutoCad, 3D-StudioMax,

(CorelDraw). Обладая большими возмож-

ностями, достаточно сложным интерфей-

сом (языком общения пользователя с си-

стемой), специализированными языками

программирования, средствами связи

с другими системами, эти программные

продукты требуют довольно продолжи-

тельного изучения. Поэтому изложение

возможностей и способов взаимодейст-

вия с какой-либо из перечисленных си-

стем не является целью настоящей главы.

Вместе с тем большинство графических

систем при создании как плоских, так

и пространственных геометрических

объектов используют ряд общих принци-

пов. Сведения о них содержатся в данном

разделе, и с ними полезно познакомиться

при изучении традиционного курса начер-

тательной геометрии.

ГЛАВА 18

РАБОТА С ПЛОСКИМИ

ОБЪЕКТАМИ

§ 95. СИСТЕМА КООРДИНАТ.

ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ. КУРСОР

Любая работа, связанная с формирова-

нием графического объекта, начинается

с задания формы, размеров и системы

кооринат области пространства, где бу-

дет размещаться будущий объект.

Для двумерных объектов — это, как

правило, прямоугольная область с декар-

товой системой координат. Для трехмер-

ных объектов — это, обычно, область,

имеющая форму параллелепипеда и де-

картова система координат, определяе-

мая тремя взаимно перпендикулярными

осями.

Здесь необходимо заметить, что при-

вычное для нас вертикальное расположе-

ние оси Z в большинстве зарубежных про-

граммных системах машинной графики

(так же как и в переводной литературе)

не соблюдается.

Расположение начала координат в за-

даваемой области может быть произ-

вольным, но, обычно, его размещают или

в левом нижнем углу, или посередине.

Размеры задаваемой области определя-

ются габаритами объекта и могут быть,

как правило, изменены пользователем.

В некоторых системах эти размеры меня-

ются автоматически по мере увеличения

габаритов формируемого объекта.

Так как формируемый геометрический

объект имеет, в конечном счете, реальные

размеры, на начальном этапе работы не-

обходимо также задать единицы измере-

ния, с которыми в дальнейшем будет ра-

ботать графическая система.

Некоторые системы являются «безраз-

мерными», авторы которых справедливо

полагают, что вопрос задания единиц из-

мерения может быть решен на этапе по-

лучения твердой копии — чертежа на

бумаге.

При формировании геометрического

объекта пользователь должен иметь до-

ступ к произвольной точке заданной об-

ласти. Этот доступ можно обеспечить не-

посредственным вводом координат точки

с использованием клавиатуры. Однако,

несмотря на заманчивую возможность

избежать неточностей, этот способ неудо-

бен, особенно когда процедура определе-

ния положения точки выполняется много-

кратно.

В интерактивном режиме* работы гра-

фических систем (практически все

графические системы имеют такой ре-

жим) для указания конкретной точки

в области формирования графического

объекта используется специальный указа-

тель — курсор. Положением курсора

управляет пользователь посредством

устройства «мышь» и (или) клавишами-

стрелками.

Положение, которое занимает курсор

в данный момент времени, называется те-

кущим положением, а координаты точки,

на которуюкурсор указывает, — текущи-

ми координатами. Текущие координаты

курсора обычно отображаются в углу эк-

*Интерактивный режим реализует принцип

«вижу то, что делаю». Альтернативным режи-

мом является «пакетный», реализующий прин-

цип «вижу только конечный результат».

207

рана и динамически меняются при пере-

мещении курсора в области формирова-

ния объекта.

Как правило, курсор имеет форму

длинного (во весь экран) или короткого

перекрестия. В некоторых системах кур-

сор выполнен в виде стрелки, изображе-

ния указательного пальца и т. п. В других

системах форму курсора может задавать

сам пользователь. В любом случае курсор —

удобное средство идентификации точки

в области создания объекта.

§ 96. ПЛОСКИЕ ГРАФИЧЕСКИЕ

ПРИМИТИВЫ. КОМПОНОВКА

ПЛОСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Любой плоский графический объект

можно представить как совокупность

простых графических элементов, называ-

емых примитивами. Каждая графическая

система имеет собственный набор таких

графических примитивов, из которых

строятся более сложные объекты. Вместе

с тем ряд примитивов является общим

для всех систем. К ним относятся отрезки

прямых линий, окружности и их дуги,

кольца, эллипсы, прямоугольники, мно-

гоугольники, текстовые строки, кривые

линии.

Каждый графический примитив имеет

набор характеристик (атрибутов), кото-

рые могут быть изменены пользователем.

К основным атрибутам примитивов от-

носятся:

• координаты опорных точек

• цвет

• толщина линии

• тип линии

• тип и размер шрифта (для тексто-

вых строк).

ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ ЛИНИИ,

ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ

Опорными точками отрезков служат

его крайние точки. После задания пер-

вой опорной точки от нее за перемеща-

ющимся по экрану курсором тянется

так называемая «резиновая нить» —

прямая линия, соединяющая первую

опорную точку и текущее положение ку-

рсора.

После того как положение второй точ-

ки отрезка зафиксировано, отрезок счита-

ется заданным, он появляется на экране

со всеми своими атрибутами, и можно

переходить к вводу следующего графичес-

кого примитива. При задании ломаной

линии каждая вторая опорная точка пре-

дыдущего отрезка служит началом после-

дующего.

ОКРУЖНОСТЬ

Окружность на плоскости задается дву-

мя точками — центром и произвольной

точкой, лежащей на окружности. Иногда

последовательность ввода этих точек ме-

няется. В большинстве систем при за-

дании графических примитивов существу-

ет возможность сочетать ввод с испо-

льзованием «мыши» и клавиатуры. На-

пример, можно задавать окружности,

указывая их центры курсором, а значение

радиуса вводить с клавиатуры.

ДУГА ОКРУЖНОСТИ

Способы задания дуг окружностей бо-

лее разнообразны в различных графичес-

ких системах, хотя принципиально не от-

личаются друг от друга. Наиболее рас-

пространенной является следующая по-

следовательность задания опорных точек

дуги: начало дуги, центр окружности, ко-

торой принадлежит дуга, конечная точка,

определяющая луч, выходящий из центра

окружности и отсекающий дугу в ее ко-

нечной точке. Направление построения

дуги (по часовой стрелке или против нее)

фиксировано и определяется самой гра-

фической системой.

ПРЯМО УГОЛЬНИК

Опорными точками прямоугольника

служат противоположные его вершины.

Стороны прямоугольника параллельны

сторонам рамки, ограничивающей об-

ласть построения графического объекта.

КРИВЫЕ ЛИНИИ

Многие графические системы позволя-

ют задавать ряд регулярных кривых ли-

ний — дуги эллипсов, параболы, гипер-

болы и т. п. Кроме того, имеется возмож-

ность использования встроенных функций

сглаживания ломаных линий, построения

208

плавных линий, проходящих через зада-

ваемые точки, построения сопряжений

и т. д. Наиболее сложные кривые можно

задавать непосредственно, используя

устройство «мышь».

ТЕКСТОВЫЕ СТРОКИ

Текстовые строки являются неотъемле-

мой частью графических объектов, осо-

бенно плоских чертежей. Их обычно не

рассматривают как графические примити-

вы, хотя в большинстве графических си-

стем ввод текстов включен в группу ко-

манд ввода графических примитивов. Ат-

рибутами текстовых строк, кроме цвета

и опорной точки, являются параметры,

характерные только для этого типа эле-

ментов графического объекта. К ним от-

носятся высота шрифта, ориентация стро-

ки относительно границ области форми-

рования графического объекта, угол на-

клона символов, тип шрифта, его качест-

во (как правило, жирность). Все эти ат-

рибуты должны быть установлены пред-

варительно, до ввода самой строки.

Практически любой плоский графичес-

кий объект может быть сформирован на

основе того набора графических прими-

тивов, который имеется в распоряжении

графической системы.

Способ формирования объекта, ско-

рость его описания зависят от конкрет-

ного пользователя графической системы,

его опыта и квалификации. Помимо стан-

дартных графических примитивов, каж-

дый опытный пользователь формирует

свой собственный набор графических эле-

ментов, которыми оперирует при созда-

нии графических объектов определенного

класса.

§ 97. ОКОННЫЕ ФУНКЦИИ

Под окном, обычно, понимают прямо-

угольную область, которая может быть

отображена на экране монитора. Ею мо-

жет быть или часть плоского графичес-

кого объекта, или часть проекции про-

странственного объекта. Размеры окна

могут не быть пропорциональны рабочей

области (области отображения) экрана,

однако вывод окна всегда производится

жность всегда останется окружностью,

а квадрат — квадратом.

Каждая графическая система обладает

гибкой системой оконных функций, по-

зволяющих, с одной стороны, обеспечить

необходимый уровень проработки каж-

дой детали формируемого объекта,

а с другой — оценивать весь объект цели-

ком, оперировать с его отдельными ча-

стями. Благодаря наличию оконных функ-

ций становится возможным формировать

достаточно большие по размеру сложные

и насыщенные графические объекты, ис-

пользуя даже небольшую рабочую об-

ласть экрана дисплея.

ПОКАЗАТЬ ВСЕ

Функция «Показать все» выводит в ра-

бочую область экрана весь графический

объект. При этом многие его мелкие дета-

ли могут быть или не показаны, или сли-

ваться с другими деталями. Тем не менее,

эта функция очень полезная: она позволя-

ет оценить весь объект целиком или пе-

рейти к заданию части объекта, с которой

предполагается дальнейшая работа.

ЗАДАНИЕ ОКНА ПРОСМОТРА

(ЗАДАНИЕ ОКНА В ОКНЕ)

Окно просмотра задается внутри теку-

щего окна — той части графического

объекта, которая в данный момент отоб-

ражена на экране монитора. Для задания

окна просмотра необходимо определить

любые противоположные углы прямоу-

гольной области, после чего окно будет

автоматически отображено на экране.

ВОЗВРАТ К ПРЕДЫДУЩЕМУ ОКНУ

Эта функция удобна при отработке

мелких деталей графического объекта,

расположенных в разных частях текущего

окна.

Задав окно в окне и выполнив необ-

ходимые операции с мелкими элемента-

ми, можно вернуться к исходному окну

и задать в другом его месте новое окно.

На рис. 451 показан фрагмент черте-

жа,служащий исходным окном. Штрихо-

выми линиями выделены два прямоу-

гольных окна.

209