Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Издание восьмое, исправленное

Под редакцией

д-ра техн. наук, проф. Н. Н. Крылова

Рекомендовано

Министерством образования

Российской Федерации

в качестве учебника для студентов

строительных специальностей вузов

Москва

«Высшая школа» 2002

УДК 514.18

Н 36

Рецензенты: д-р. техн. наук К. И. Хабибулин;

канд. техн. наук И. Б. Каспэ

Начертательная

геометрия:

Учеб. для вузов/Н. Н. Крылов, Г. С. Икон-

Н 36 никова, В. JI. Николаев, В. Е. Васильев; Под ред. Н. Н. Крылова. — 8-е

изд., испр. — М.: Высш. шк., 2002. — 224 е.: ил.

ISBN 5-06-004319-3

Учебник отличается от аналогичных иччяядД большим вниманием к современным

способам формирования, задания и изображения поверхностей. Графическая информация

о многих геометрических фигурах дополнена их уравнениями в векторной форме, позволя-

ющими получать необходимые числовые характеристики о строении линий и поверхностей.

По сравнению с предыдущим изданием переработана глава «Основы автоматизации реше-

ние графических задач». Приведенные примеры иллюстрируют технологию решения конк-

ретных задач начертательной геометрии с использованием систем машинной графики.

Для студентов строительных

специальностей

вузов.

УДК 514.18

ББК 22.151.3

Учебное издание

Крылов Николай Николаевич

Икошокоаа Галина Сергеевна

Николаев Виктор Леонидович

Васками Виктор Евгеньевич

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Редактор В. А. Козлов

Художественный редактор Ю. Э. Иванова

Технический редактор Я. В. Быкова

Корректор Г. Я. Петрова

Лицензия ИД № 06236 от 09.11.2001

Изд. № ОТМ-85. Подп. в печать 20.02.2002. Формат 70x100 '/it. Бум. газета.

Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Объем: 18,20 усл. печ. л., 18,45 усл. кр.-отг.,

20,35 уч.-изд. л. Тираж 8000 экз. Заказ № 508

ФГУП «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14

Тел.(095) 200-04-56. E-mail: info@v-shkola.ru http: //www.v-shkola.ru

Отдел продаж:'(095) 200-07-69, 200-59-39, факс (095) 200-03-01

E-mail: sales@v-shkola.ru

Отдел «Книга-почтой»: (095) 200-33-36. E-mail: bookpost@v-shkola.ru

Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»

432980,

г.

Ульяновск, ул. Гончарова, 14

ISBN 5-06-004319-3 © ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2002

Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа»,

и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запреща-

ется.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В книгу включены все разделы курса

начертательной геометрии, предусмот-

ренные учебной программой: ортогональ-

ные проекции, аксонометрия, линейная

перспектива и проекции с числовыми от-

метками.

В настоящем издании существенно пе-

реработан раздел, посвященный поверх-

ностям, где дано их параметрическое опи-

сание, которое позволяет сравнительно

просто получать графическое изображе-

ние каркаса или сети поверхности на эк-

ране ЭВМ.

В связи с радикальными изменениями

процессов проектирования и конструиро-

вания, многие этапы которых автомати-

зированы, возникла необходимость в до-

полнении курсов графических дисциплин

таким разделом как «Использование вы-

числительной техники в инженерной гра-

фике».

Считая, что решение задач автоматиза-

ции проектно-конструкторских работ

должно базироваться на формализации

описания проектируемых объектов, авто-

ры учебника значимое место в нем удели-

ли построению математических моделей

рассматриваемых поверхностей, а также

моделей процессов параллельного и цент-

рального проецирования.

В заключение заметим, что освоение

«вторичной грамотности» (программиро-

вание и компьютеризация) не должно ид-

ти в ущерб грамотности «первой», под

которой следует понимать знание фунда-

ментальных наук, включая и начертатель-

ную геометрию, формирующих творчес-

кого специалиста. Инженер обязан ма-

стерски владеть международным языком

— языком чертежа, который был и оста-

ется одним из наиболее информативных

языков техники.

Введение, краткий исторический очерк

и главы 1, 2, 5, 7, 12 написаны Н. Н.

Крыловым; главы 10, 11, 16 — В. JI.

Николаевым; главы 6, 9,13 — Г. С. Икон-

никовой; главы 3, 4, 15 — Н. Н. Крыло-

вым и В. Л. Николаевым; главы 8, 14 —

Г. С. Иконниковой и Н. Н. Крыловым;

глава 17 — Г. С. Иконниковой, Н. Н.

Крыловым и В. Л. Николаевым; глава 18,

19 — В. Е. Васильевым.

Авторы

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. Точки, расположенные в пространстве,—

прописными буквами латинского алфавита: А,

В, С, D ... или цифрами 1, 2, 3, 4, ...

2. Прямые и кривые линии в пространстве —

строчными буквами латинского алфавита: а, Ь,

с, d

3. Плоскости — строчными буквами гречес-

кого алфавита а, р, у, ... .

4. Поверхности — прописными буквами гре-

ческого алфавита: Ф, в, Л,

5. Способ задания геометрической фигуры

указывается в скобках рядом с обозначением

геометрической фигуры. Например:' а {А, В) —

прямая а задана двумя точками А и 5;

а (А, В, С) — плоскость а задана тремя точками

А, В и С; р (а, А) — плоскость р задана прямой

а и точкой А\ у

(а("|

Ь) — плоскость задана пере-

секающимися прямыми а и 6.

6. Углы — строчными буквами греческого ал-

фавита ф, ij), ш.

7. Особые прямые имеют постоянные обозна-

чения:

а) линии уровня: горизонталь—А; фрон-

таль — f;

б) следы плоскости общего положения обоз-

начают той же буквой, что и плоскость с добав-

лением подстрочного индекса, соответствующе-

го плоскости проекций, например am, «т;

в) следы проецирующих плоскостей:

<*|

— горизонтальный след плоскости а-]_П|,

Рг— фронтальный след плоскости P-LII2.

Проецирующие плоскости изображаются

только одним следом — тем, который является

проекцией данной плоскости на плоскость, ей

перпендикулярную;

г) оси вращения — i, j.

8. Последовательность геометрических фи-

гур— надстрочным индексом: точек — А\ А

,... ; прямых — а\ а

, а

, ... ; плоскостей —

, а

,... и т. д.

9. Плоскости проекций — прописными буква-

ми греческого алфавита: горизонтальная —

IT 1;

фронтальная — П

; профильная — П

10. Новая плоскость проекций при замене

плоскостей проекций — буквой П с добавлением

подстрочного индекса: ГЦ, ГЬ, ГЬ,... .

11. Проекции точек, прямых и плоскостей —

соответствующей буквой и добавлением под-

строчного индекса, указывающего плоскость

проекций: на плоскости

Г1 •—Ai,

а 1, a

; на плос-

кости

Пг —

,02, аг; на плоскости

— Аз, аз,

аз-

12. Плоскость проекций при построении аксо-

нометрических и перспективных изображений —

прописной буквой греческого алфавита с добав-

лением значка «штрих» — ГГ.

13. Плоскость проекций в методе проекций

с числовыми отметками — По.

14. Аксонометрические и перспективные про-

екции точек, прямых и плоскостей — буквами,

соответствующими натуре, с добавлением знач-

ка «штрих»: А', а', а'.

15. Проекции точек на чертежах с числовыми

отметками — той же буквой, что и натура, с до-

бавлением числа, определяющего расстояние от

точки до плоскости проекций: As, З21, Со.

16. Основные операции: а) совпадение двух

геометрических фигур =, например a = 6, A

= б) взаимная принадлежность геометриче-

ских фигур э или е, например А Ea, ftea; в)

пересечение двух геометрических фигур П. на-

пример a{\b, aflP; г) результат геометрической

операции =, например K =

af"|".

'=«ПР-

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является тем

разделом геометрии, в котором изучаются

методы изображения пространственных

фигур на чертеже и алгоритмы решения

позиционных, метрических и конструктив-

ных задач.

Условимся позиционными назы-

вать задачи на взаимную принадлежность

и пересечение геометрических фигур, мет-

рическими— задачи на определение

расстояний и натуральных величин гео-

метрических фигур. Построение геометри-

ческих фигур (их образов на чертеже^,

отвечающих заданным условиям, состав-

ляет содержание конструктивных

задач.

Начертательная геометрия со времен ее

основоположника Г. Монжа (1746—

1818) завоевала себе достойное место в

высшей школе как наука, без которой

немыслимо формирование инженера и ар-

хитектора.

Важное прикладное значение этой дис-

циплины состоит в том, что она учит гра-

мотно владеть выразительным техниче-

ским языком — языком чертежа, созда-

вать чертежи й свободно читать их.

Изучение начертательной геометрии

способствует развитию пространственного

воображения и навыков правильного логи-

ческого мышления. Совершенствуя нашу

способность — по плоскому изображению

мысленно создавать представление о фор-

ме предмета, начертательная геометрия

готовит будущего инженера к успешному

изучению специальных предметов и к тех-

ническому творчеству — проектированию.

Еще Маркс указывал на то, что процесс

труда заканчивается•результатом, кото-

рый уже в начале этого процесса имелся

в представлении работника: «Паук совер-

шает операции, напоминающие операции

ткача, и пчела постройкой своих восковых

ячеек посрамляет некоторых людей-архи-

текторов. Но и самый плохой архитектор

от наилучшей пчелы с самого начала отли-

чается тем, что прежде чем стрбить ячейку

из воска, он уже построил ее в своей

голове» («Капитал», т. 1, 1967, с. 189).

Эта невидимая работа мозга, это незри-

мое и порой мучительное вынашивание

инженерной идеи будут тем плодотворнее,

чем сильнее развито пространственное во-

ображение, чем свободнее владеет автор

методами изображения трехмерных тел на

плоскости.

Однако только графическая информа-

ция о проектируемом объекте не может

удовлетворить современному способу про-

изводства. В ряде случаев чертежи допол-

няют аналитическим описанием.

При построении чертежей поверхностен

с помощью ЭВМ в условиях автоматизи-

рованных систем проектирования зачас-

тую требуются числовые характеристики,

определяющие положение точек и линий,

принадлежащих данной поверхности.

Отражением этой черты современного

производства и проектирования являются

те разделы книги, в которых приведены

векторные уравнения линий и поверхно-

стей.

Векторная форма описания геометриче-

ских фигур позволяет сравнительно просто

преобразовать графическую информацию

о строении линий и поверхностей в цифро-

вую. Однако основой математического

описания проектируемого объекта служит

его геометрическая модель, построенная

с помощью методов начертательной гео-

метрии.

СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ

В основу построения любого изображе-

ния положена операция проецирования,

которая заключается в следующем. В про-

странстве выбирают произвольную точку

S в качестве центра проецирова-

ния (рис. 1) и плоскость П', не проходя-

щую через точку S, в качестве плоско-

сти проекций (картинной плоскости).

Чтобы спроецировать точку А пространст-

ва на плоскость П', через центр проециро-

вания S проводят луч Svl до его пересече-

ния с плоскостью П' в точке А'. Точку А'

принято называть*центр ал ьной про-

екцией точки А, а луч Si4 — проеци-

рующим лучом.

Заметим, что центральную проекцию' в

некоторых случаях строят не на плоско-

сти, а на поверхности цилиндра или сферы.

Проекцией фигуры называют

множество проекций всех ее точек.

Проецирующие лучи, проведенные через

все точки кривой линии 7, образуют

проецирующую коническую поверхность

(рис. 2).

Проекция криволинейной фигуры, таким

образом, представляет собой линию

пересечения проецирующей поверхности Л

и картинной плоскости.

Поверхность Л образуют лучи и при

проецировании трехмерной фигуры (рис.

3). Линию /' пересечения Л и П' принято

называть очерковой или очерком

проекции данной фигуры.

Заметим, что при проецировании пря-

мой линии АВ проецирующей поверхно-

стью будет плоскость. Последняя пересе-

чет плоскость П' по прямой А' В', которая

и будет являться проекцией прямой АВ.

Итак, прямая линия, не проходящая

через точку S, проецируется в виде пря-

мой.

Для построения проекций фигур не всег-

да следует проецировать всё их точки.

Так, при определении проекции треуголь-

ника ЛВС (см. рис. 1) достаточно постро-

ить проекцййтрех его точек А, В, С. Строя

проекцию . л-угольника или какого-либо <

многогранника, достаточно определить

проекции их вершин.

Широкое прииенение в практике полу-

чил тот случай, когда центр проецирова-

ния удален в бесконечность. Проецирую-

щие лучи при этом параллельны между

собой и проекции точек, фигур и тел полу-

чают название параллельных про-

екций. В свою очередь, параллельные

проекции подразделяются на косоуголь-

ные и прямоугольные. В первом случае

плоскость проекций с направлением прое-

цирования образует угол, не равный 90°,

во втором — этот угол равен прямому.

ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ

К ПРОЕКЦИОННОМУ ЧЕРТЕЖУ

Полученное в результате центрального

или параллельного проецирования изобра-

жение предмета называется проекци-

онным чертежом. Эти чертежи долж-

ны отвечать следующим основным требо-

ваниям:

1. Проекционный чертеж должен быть

наглядным, т. е. вызывать пространствен-

ное представление об изображаемом пред-

мете.

2. Чертеж должен однозначно опреде-

лять форму и положение изображаемого

предмета. Это свойство чертежа называют

«обратимостью».

3. Изображение предмета должно быть

удобным для чтения размеров.

4. Процесс построения изображения

должен быть простым.

Рассмотрение приведенных на рис. 1 и

10 схем центрального и параллельного

проецирования позволяет сделать заклю-

чение о том, что так полученные проекци-

онные чертежи не являются «обратимы-

ми». Одна центральная или параллельная

проекция точки не определяет ее положе-

ния в пространстве. Действительно, по

заданной проекции А' не представляется

возможным определить положение точки

А, так как каждой точке А' на плоскости

П' будет соответствовать любая точка

проецирующего луча SA'.

О том,-как устраняется эта неопреде-

ленность и обеспечивается взаимная од-

нозначность между точками пространства

и точками плоскости П', будет указано

в дальнейшем при детальном изучении,

каждого из применяемых в технике мето-

дов изображения.

ГЛАВА I

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ

И ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕЦИРОВАНИИ

} 1. ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТЬ

И ПРОСТРАНСТВО

Многие положения геометрии, которые

будут рассмотрены в настоящем курсе,

приобретут большую общность, если мы

воспользуемся понятиями бесконечно

удаленных или несобственных

точек и прямых.

Действительно, обратимся к рис. 4, где

показано проецирование фигуры Ф, распо-

ложенной в плоскости П, из точки

S (центр проецирования) в фигуру Ф'

плоскости П'.

Между точками Ф и Ф' устанавливается

взаимно однозначное соответствие. Так,

точке А фигуры Ф будет соответствовать

точка А' фигуры Ф'.

Обратно, любой точке В' фигуры Ф'

соответствует точка В фигуры Ф.

Однако распространить это положение

на все точки плоскостей П и П' в про-

странстве Евклида, изучаемого в элемен-

тарной геометрии, не удается.

Так, для точки К', расположенной на

луче SK', параллельном плоскости П (рис.

5), не существует соответственной точки

на плоскости П. Проведем теперь через

центр проецирования S луч, параллельный

П', пересекающий плоскость П в точке

L. И для этой точки плоскости П не смо-

жем определить соответствующую точку

на плоскости П'.

Если же дополним каждую прямую од-

ной бесконечно удаленной (несобствен-

ной) точкой, а плоскость — бесконечно

удаленной прямой — множеством несоб-

ственных точек плоскости, то соответст-

вие между двумя плоскостями П и П' при

центральном проецировании становится

взаимно однозначным для любых точек.

Точке К' теперь соответствует несоб-

ственная точка плоскости П, присоеди-

ненная к прямым а и Ь, параллельным

лучу SK', а несобственной точке прямых

т' и п', проведенных по плоскости П'

параллельно лучу SL, соответствует точка

L плоскости П.

Евклидовы плоскость и пространство.

Рис. 4 Рис. 5

дополненные соответственно бесконечно

удаленными точками, прямыми и плоско-

стями, называются проективными.

Для проективной плоскости верны

следующие утверждения: 1) через любые

две различные точки проходит прямая и

только одна; 2) любые две прямые имеют

общую точку и только одну.

Аналогично, в проективном пространст-

ве, как и на плоскости, любые две прямые,

лежащие в одной плоскости, всегда пе-

ресекаются, любые две плоскости пересе-

каются по прямой. Наконец, всякая пря-

мая, не лежащая в плоскости, всегда пе-

ресекает последнюю.

Вывод. Дополнение евклидова про-

странства до проективного приводит к то-

му, что соответствие между плоскостями П

и П' (см. рис. 5) при центральном проеци-

ровании становится взаимно однознач-

ным. I

Создав пространство, в котором без вся-

ких исключений может осуществляться

операция проецирования, перейдем к изу-

чению соответствия двух плоских фигур,

возникающего в результате центрального,

а затем и параллельного проецирования.

f 2. ПЕРСПЕКТИВНАЯ КОЛЛИНЕАЦИЯ

И ГОМОЛОГИЯ

Рассмотрим соответствие плоских фигур

при центральном проецировании. Пусть

даны две плоскости П и П', пересекающие-

ся по прямой m (рис. 6), и установлено

проецирование из центра S, при котором

точка А проецируется в точку А' плоскости

П'. Точки А и А' являются соответствен-

ными. Каждая прямая плоскости П будет

проецироваться в прямую плоскости П'.

Так, прямой АС плоскости П соответству-

ет прямая А'С' плоскости П' и обратно.

При центральном проецировании точ-

кам, расположенным на одной прямой

плоскости П, соответствуют точки, лежа-

щие на соответствующей прямой плоско-

сти П'.

Следовательно, при центральном прое-

цировании имеет место взаимно однознач-

ное преобразование, при котором точки,

лежащие на одной прямой плоскости П,

переходят в прямолинейно расположенные

точки плоскости П'.

Рис. 6

Соответствие, которому присуще ука-

занное свойство, называют коллинеа-

цией.

Коллинеация, при которой соответствен-

ные точки лежат на проецирующих лучах,

пересекающихся в центре проекций S, на-

зывается перспективной коллине-

ацией.

Множество особых точек рассматривае-

мой коллинеации представляет собой пря-

мую т, по которой пересекаются плоско-

сти П и П'. Каждая точка этой прямой

соответствует самой себе, так как каждая

из точек прямой m совпадает со своей

центральной проекцией. Такие точки назы-

вают двойными^ Двойной будет и пря-

мая т, совпадающая со своей проекцией.

Эта прямая называется осью перспек-

тивной коллинеации. ,

Две соответственные прямые плоскостей

П и П' пересекаются на оси коллинеации.

Действительно, рассмотрим соответствен-

ные прямые АВ и А'В', которые располо-

жены в одной проецирующей плоскости

SAB (см. рис. 6). Находясь в одной плос-

кости, прямые АВ и А'В' пересекаются

в точке Со (см. рис. 6). Эта точка принадле-

жит трем плоскостям: плоскости

П (как

точка прямой АВ), плоскости П' (как точ-

ка прямой А'В') и проецирующей плоско-

сти, в которой расположены АВ и А'В'.

Следовательно, точка Со должна нахо-

диться на прямой т, по которой пересека-

ются плоскости П и П'.

Повторяя аналогичные рассуждения

для каждой пары соответственных сторон

треугольников А' В' С и ABC, заключаем,

что если в двух треугольниках прямые,

соединяющие соответственные вершины,

проходят через одну точку S, то три точки

Ао, Во, Со пересечения соответственных

сторон лежат на одной прямой. Это утвер-

ждение составляет содержание теоремы

Дез ар га, которая справедлива и для

треугольников, лежащих в одной плоско-

сти *. Теорема Дезарга будет применена

в дальнейшем при построении сечения

многогранников плоскостью. Перспектив-

но коллинеарное соответствие точек двух

плоскостей не нарушается, если одну из

плоскостей вращать вокруг оси коллинеа-

ции.

Иными словами, все прямые АА', ВВ', ...

(см. рис. 6), соединяющие соответствен-

ные точки, при вращении плоскости П'

остаются пересекающимися в одной точке

прямыми, причем эта точка — центр прое-

цирования — изменяет свое положение в

пространстве.

С доказательством этого предложения

можно познакомиться в работе Н. А. Г л а-

г о

е в а [4].

В процессе вращения обе плоскости мо-

гут быть совмещены. Соответствие между

точками совмещенных плоскостей уже не-

льзя рассматривать как результат цен-

трального проецирования. В этом случае

будет иметь место преобразование точек

одной плоскости в другие точки той же

плоскости, при котором сохраняется пря-

молинейное расположение точек, и оста-

ются неподвижными все точки некоторой

прямой. Такое взаимно однозначное пре-

образование проективной плоскости в себя

называется гомологией.

Все прямые, соединяющие соответствен-

ные точки, проходят через одну точку

So—центр гомологии (рис. 7).

Прямая, на которой расположены точки,

преобразующиеся в себя (двойные точки),

называется о с ь ю гомологии (прямая

т).

На оси гомологии пересекаются пары

соответственных прямых. Соответствую-

* Доказательство теоремы Дезарга для плос-

кости см. в кн.: Четверухин Н. Ф. Проектив-

ная геометрия. М., 1969, с. 99.

щие друг другу фигуры в этом случае

называют гомологичными. Гомология оп-

ределяется заданием центра So, оси m и

пары соответственных точек А и А', распо-

ложенных на одной прямой с точкой So

(рис. 7). В этом случае для каждой точки

плоскости, например В, можно определить

соответственную ей В'. Для этого поступа-

ют следующим образом. Прямая А'В', со-

ответственная прямой АВ, должна прохо-

дить через двойную точку Со последней.

Это позволило построить на рис. 7 прямую

СоА'. Искомая точка В' должна быть и на

этой прямой СоА', и на проецирующей

линии SoB. Пересечение указанных пря-

мых и определяет точку В'.

На следующем рис. 8 представлен при-

мер, когда одной из заданных соответ-

ственных точек является несобственная

точка прямой So-Д, т, е. точке А в этой

гомологии соответствует несобственная

точка прямой S<y4. Для того чтобы постро-

ить точку В', соответственную точке В,

проводят, как и прежде, прямую АВ до

пересечения с осью от в точке Со, через

которую пройдет прямая СоВ', соответ-

Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.