Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

точке В в направлении, параллельном

плоскостям П| и Пг. Иными словами, Ах

указывает, насколько точка А расположе-

на левее точки В. Относительное смещение

точки в направлении, перпендикулярном

плоскости П

, определяется отрезком А у,

т. е. точка А в нашем примере ближе

к наблюдателю, чем точка В, на расстоя-

ние, равное А у.

Наконец, отрезок Аг показывает превы-

шение точки А над точкой В.

Сторонники безосного изучения курса

начертательной геометрии справедливо

указывают, что при решении многих задач

можно обходиться без осей координат.

Однако полный отказ от них нельзя при-

знать целесообразным. Начертательная

геометрия призвана подготовить будущего

инженера не только к грамотному выпол-

нению чертежей, но и к решению различ-

ных технических задач, среди которых не

последнее место занимают задачи про-

странственной статики и механики. А для

этого необходимо воспитывать умение

ориентировать тот или иной предмет отно-

сительно декартовых осей координат. Ука-

занные навыки будут необходимы и при

изучении таких разделов начертательной

геометрии, как перспектива и аксономет-

рия. Поэтому на ряде эпюров этой книги

мы сохраняем изображения координатных

осей. Такие чертежи определяют не только

форму предмета, но и его расположение

относительно плоскостей проекций.

Вопросы для самоконтроля

1. Какими координатами определяется каж-

дая проекция точки?

2. На границе каких октантов расположена

точка А (6, 0, —5)?

3. В каком октанте находится точка, если все

ее координаты отрицательны?

4. Какие координаты и проекции точки будут

изменяться, если точка перемещается в направ-

лении, перпендикулярном профильной плоско-

сти проекций Г1

? Параллельно оси г?

5. В каком случае проекция точки совпадает

с самой точкой? Где располагаются две другие

проекции этой точки?

6. Точки А и В расположены симметрично

относительно плоскости Пг. Какому условию

должны удовлетворять их координаты?

7. Что представляет собой множество точек

пространства, все три проекции каждой из кото-

рых оказываются совмещенными одна с другой?

ГЛАВА 3

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 7. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Прежде всего выясним вопрос: как

можно определить положение прямой в

пространстве?

Обычно отвечают: двумя точками. Это

верно, но не полно. Кроме двух точек

положение прямой можно определить дву-

мя плоскостями, двумя проекциями, точ-

кой и углами наклона к плоскостям про-

екций, точкой и направляющим вектором.

Не останавливаясь на первых двух спо-

собах задания прямой в пространстве, ко-

торые известны читателю из курса эле-

ментарной геометрии, покажем, что поло-

жение прямой вполне определяется дву-

мя ее проекциями.

Итак, пусть в плоскостях П1 и П

даны

две прямые: AiB

и А2В2 (рис. 30). Прове-

дем через эти прямые плоскости аир,

перпендикулярные плоскостям проекций.

В том случае, если эти плоскости не па-

раллельны, линией их пересечения будет

прямая ЛВ, проекциями которой являются

А\В\ и А2В2 (первая — горизонтальная

проекция, вторая—фронтальная).

Плоскости аир могут слиться в одну

плоскость у, если Л161 и А2В2 перпендику-

лярны оси х и пересекают ее в одной точке

(рис. 31).

Прямая линия в этом случае будет од-

нозначно определена своими проекциями,

если на каждой из них обозначить буква-

ми или цифрами две какие-либо точки.

Если же обозначений не сделать, то за

искомую прямую можно принять любую

прямую, лежащую в этой плоскости при

условии, что АВ%\ 1, и АВЩ

Существуют и аналитические способы

задания прямой в пространстве при помо-

щи уравнений.

Можно получить уравнение прямой в

векторной форме, если заданы радиус-

вектор г

(х

, у

, г

) одной из ее точек

(рис. 32) и направляющий вектор п

(Пх, Пу,

Для произвольной точки М прямой

справедливо следующее равенство:

м-~

А =

п> (

зл

)

где и — переменная величина, пробегаю-

щая все вещественные значения, называе-

мая параметром.

Векторному уравнению (3.1) прямой со-

ответствуют три скалярных:

х — х

= ип

,у — у

= ип

z — z

= un

, (3.2)

где х, у, z—координаты произвольной

точки прямой.

Векторное параметрическое уравнение

прямой будет не раз использовано при

составлении уравнений линейчатых повер-

хностей, формирование которых происхо-

дит при движении прямой линии.

Прямую линию можно задать и уравне-

ниями ее проекций в виде

x + B

y = C

А^х-\-В

г = С

]

КЛ

Л)

где первое уравнение описывает горизон-

тальную проекцию прямой, а второе —

фронтальную. В том случае, когда прямая

задана двумя точками А (х

, у

, z

) и

В (х

, у

, z

), то уравнения (3.3) принима-

ют вид

А У-УА

Заметим, что каждому из уравнений

(3.3) или (3.4) соответствует плоскость,

перпендикулярная одной из плоскостей

проекций. Так, первые уравнения системы

(3.3) и (3.4) определяют плоскость a J.

И i

(см. рис. 30), а вторые — плоскость р±1Ь.

§ 8. РАЗЛИЧНЫЕ

ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Прямой общего положения (см. рис.

30 *) называется прямая, не параллельная

ни одной из плоскостей проекций. На эпю-

ре (рис. 33) эта прямая задана проекция-

ми двух точек — А и В. Соединяя прямы-

ми одноименные проекции точек, получают

проекции отрезка прямой.

2. Прямые, параллельные горизонталь-

ной плоскости проекций (рис. 34 и 35),

* В данном и многих последующих примерах

каждая прямая на эпюре изображается в виде

отрезка прямой.

Рис. 33

Рис. 35

называют горизонтальными или горизон-

талями.

Так как все точки прямой находятся на

одинаковом расстоянии от плоскости Пь то

для любой пары точек горизонтали долж-

но быть справедливо равенство z

= z

Значит, на эпюре фронтальная проекция

А2В2 параллельна оси Ох. Горизонтальная

же проекция прямой может занимать от-

носительно оси любое положение. Про-

фильная проекция /4

Вз|] оси Оу.

3. Прямые, параллельные фронтальной

плоскости проекций (рис. 36), называются

фронтальными или фронталями.

"г

с,

-В, El f*

в*

ff fl

6 С,

Рис. 39

Рассуждая, как в п. 2, убеждаемся, что

горизонтальная проекция фронтали па-

раллельна оси Ох, фронтальная в общем

случае занимает произвольное положение,

а профильная — параллельна оси Oz.

4. Прямые, параллельные профильной

плоскости проекций (рис. 37 и 38), назы-

ваются профильными. Для любых двух

точек профильной прямой справедливо ра-

венство х

—х

, а значит, горизонтальная

и фронтальная проекции этой прямой бу-

дут перпендикулярны оси Ох.

Различают восходящую и нисходящую

профильные прямые. Первая по мере, уда-

ления от зрителя поднимается, вторая —

понижается. На рис. 37 представлен отре-

зок восходящей профильной прямой, на

рис. 38 — отрезок нисходящей прямой.

Прямые, параллельные плоскостям про-

екций, называются прямыми уровня.

Каждая из них проецируется на парал-

лельную ей плоскость без искажения.

5. Прямые, перпендикулярные плоско-

сти проекций, называются проецирующи-

ми. На рис. 39 изображены проекции от-

резков трех прямых — АВ, CD и EF, со-

ответственно перпендикулярных Пь Пг

и П

В точку обращается проекция прямой

на ту плоскость, относительно которой

прямая перпендикулярна.

§ 9. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ТОЧКИ И ПРЯМОЙ.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ

ЛИНИИ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Если точка лежит на прямой, то ее

проекции должны лежать на одноименных

проекциях этой прямой.

Из трех точек С, D и Е, приведенных на

рис. 40, лишь одна С лежит на прямой АВ.

В тех случаях, когда точка и прямая

расположены в плоскости уровня а, па-

раллельной какой-либо плоскости проек-

ций П,, то вопрос об их взаимном располо-

жении может быть решен при построении

проекций на плоскость П, (t= 1, 2, 3) (рис.

41). Так, точка F и отрезок CD принадле-

жат плоскости, параллельной П

, и F\ е

eCiDi, ГгеСг/Эг- Но точка F не лежит на

прямой CD, о чем свидетельствуют их

проекции на плоскость Щ.

Из свойств параллельного проецирова-

ния известно, что если точка делит отрезок

прямой в данном отношении, то проекции

этой точки делят одноименные проекции

прямой в том же отношении. Поэтому,

чтобы на эпюре некоторый отрезок разде-

лить в данном отношении, надо в том же

отношении разделить его проекции. На

рис. 40 отрезок АВ разделен точкой С в от-

ношении АС:СВ—\:3.

Возвращаясь к рис. 41, можно сделать

вывод (без построения третьей проекции),

что точка F не принадлежит прямой CD,

так как

f 2 C

F |

§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ

И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ

К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Как видно из рис. 42, длину отрезка

прямой АВ можно определить из прямоу-

гольного треугольника АВ

[

В, в котором:

катет АВ

=А tBi (проекции отрезка АВ

на плоскость П|), а катет ВВ

[

равен Az —

разности расстояний точек А и В от плос-

кости 111. Угол ср в том же треугольнике

определяет угол наклона отрезка прямой

АВ к плоскости Пь

Если вместо плоскости П| взять плос-

кость Пг, то длину отрезка АВ можно

определить аналогичным путем из прямоу-

гольного треугольника АВА

(рис. 43), где

катет ВА' равен проекции А

Вз, а второй

катет АА

равен Ду — разности расстоя-

ний точек А и В от плоскости П

. Угол г|>

в том же треугольнике ABA

определяет

угол наклона прямой АВ к плоскости Пг.

На рис. 44 и 45 показано на эпюрах

нахождение длины отрезка прямой и углов

наклона его к плоскостям Hi (угол ф) и Пг

(угол г|>).

Рис. 131 Рис. 132 Рис. 133

§ II. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Следом прямой линии называется'точ-

ка,

в которой прямая пересекается с плос-

костью

проекций. Так как след прямой при-

надлежит одной из плоскостей проекций,

то одна из координат каждого следа дол-

жна быть равна нулю.

В общем случае прямая может пересе-

кать все три плоскости проекций и иметь

три следа:

горизонтальный след М—

точка пересечения прямой с плоскостью

III, ее координата г

л)

= 0;

фронтальный след N(y

= 0) —

точка пересечения прямой с плоско-

стью Пг;

профильный след Т(х

= 0)— пе-

ресечение с плоскостью Из.

Рассмотрим сначала прямую а в систе-

ме двух плоскостей проекций и найдем ее

горизонтальный и фронтальный следы.

Эти следы на рис. 46 определены как

точки, в которых прямая пересекается со

своими проекциями. Каждый след, явля-

ясь точкой, одновременно принадлежащей

и данной прямой и одной из плоскостей

проекций, совпадает с одноименной своей

проекцией. Так, М совпадает с Mi, а N —

с А/г. Что касается проекций, разноимен-

ных данному следу, то они расположены

на оси Ох, т. е. фронтальная проекция Л1г

горизонтального следа М и горизонталь-

ная проекция N\ следа N должны лежать

на оси Ох. Причем это будут те точки оси,

в которых она пересекается с соответству-

ющими проекциями данной прямой. Пе-

ресечение

а\

и оси Ох определяет N\, а пе-

ресечение аг и той же оси Ох дает Мг-

Отмеченные особенности в расположе-

нии проекций следов позволяют сформули-

ровать следующие правила построения

следов на эпюре:

1. Для построения горизонтального сле-

да М прямой необходимо продолжить ее

фронтальную проекцию до пересечения

с осью Ох и в этой точке восставить к оси

перпендикуляр до пересечения с горизон-

тальной проекцией прямой.

2. Для построения фронтального следа

N прямой нужно из точки пересечения

горизонтальной проекции ее с осью Ох

восставить перпендикуляр к оси до пересе-

чения с фронтальной проекцией прямой.

С помощью этих правил на рис. 47 и

48 найдены следы прямых а и Ь. Там же

показаны и совпавшие проекции точек А,

принадлежащих рассматриваемым пря-

мым. Особенность этих точек, как отмеча-

лось выше (см. § 4), заключается в том,

что они равноудалены от плоскостей про-

екций и тем самым находятся в биссектор-

ной плоскости р второй и четвертой чет-

вертей (Л = аПР). Если же некоторая пря-

мая а параллельна fS, то точка А становит-

ся несдбственной точкой прямой а. В этом

случае проекции ai и аг прямой а должны

быть параллельны.

Следы прямых, являясь точками, в кото-

рых прямая переходит из одной четверти

в другую, позволяют отмечать ее види-

мость. Видимой частью прямой будет та,

которая расположена в пределах первого

октанта. Проекции прямой, соответствую-

щие ее видимой части, изображаются

.сплошными линиями, а соответствующие

невидимым частям — штриховыми.

Рассмотрим построение следов прямой

линии в системе трех плоскостей проекций.

Горизонтальный и фронтальный следы

прямой определяются по тем правилам,

которые были указаны выше. Появится

только необходимость показать и про-

фильные проекции этих точек.

Профильный след Т на рис. 49 найден

как точка пересечения прямой а с ее про-

фильной проекцией. След Т совпадает со

своей одноименной профильной проекцией.

Две другие проекции этого следа, как и

любой точки, расположенной на плоскости

Пз, находятся на осях Оу и Ог. Так как

точка Т есть одна из точек данной прямой,

то ее проекции

Т\

и Тг лежат на одноимен-

ных проекциях прямой.

На эпюре (рис. 50) профильный след

прямой и его проекции определяют следу-

ющим образом:

1) отмечают точку пересечения фрон-

тальной проекции прямой с осью Oz —

точку Гг;

2) через эту точку проводят перпендику-

ляр к оси Oz до пересечения с профильной

проекцией прямой. Полученная точка и

будет искомым следом Т, с которым совпа-

дает Г

;

3) горизонтальная проекция Т\ опреде-

ляется пересечением горизонтальной про-

екции прямой с осью Оу.

§ 12. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ДВУХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

1. Пересекающиеся прямые. В этом слу-

чае прямые а и b имеют одну общую точку,

проекции которой Е\ и Е

расположены на

одной линии проекционной связи (рис.

51). (На эпюре ось х не показана.) Зна-

чит, если прямые пересекаются, то точки

пересечения их одноименных проекций дол-

жны находиться на одной линии связи.

2. Параллельные прямые. В § 3 было

показано, что проекции параллельных

прямых на любую плоскость (не перпенди-

кулярную данным прямым) — параллель-

ны. Это свойство параллельного проециро-

вания остается справедливым и для орто-

гональных проекций, т. е. если а\\Ь, то

а,

||6|, а

\\Ьг-

В общем случае справедливо и обратное

утверждение: если на эпюре одноименные

проекции прямых параллельны, то прямые

в пространстве параллельны. Действи-

тельно, проецирующие плоскости, прове-

денные через проекции прямых, пересекут-

ся по параллельным между собой прямым.

Особый случай представляют собой пря-

мые, параллельные одной из плоскостей

проекций. Например, фронтальные и гори-

зонтальные проекции профильных прямых

параллельны, но для оценки взаимного

положения прямых следует построить их

проекции на плоскость Из или выполнить

построение, показанное на рис. 52.

Отрезки AD и ВС, концы которых при-

надлежат профильным прямым, могут ли-

бо пересекаться, либо скрещиваться.

В первом случае данные прямые АВ и CD

расположены в одной плоскости и парал-

лельны. Рис. 52 соответствует второму

случаю, когда AB%CD. Решение того же

вопроса можно получить сравнением двух

отношений А2В2/А1В1 и C2D2/C1D1. Равен-

ство этих отношений будет указывать, что

АВ\\

CD.

3. Скрещивающиеся прямые. Если пря-

мые не пересекаются и не параллельны

между собой, то точки пересечения их

одноименных проекций не лежат на одной

линии проекционной связи (рис. 53).

Точке пересечения фронтальных проек-

ций прямых соответствуют две точки £ и

F, из которых одна принадлежит прямой,а,

другая — прямой Ь. Их фронтальные про-

екции совпадают лишь потому, что в про-

странстве обе точки — Е и F — находятся

на общем перпендикуляре к плоскости Пг.

Горизонтальная проекция этого перпенди-

куляра, обозначенная стрелкой (рис. 53),

позволяет установить, какая из двух точек

ближе к зрителю*. В нашем случае ближе

к зрителю находится точка Е, лежащая на

прямой а. Следовательно, прямая а прохо-

дит в этом месте впереди прямой Ь.

Точке пересечения горизонтальных про-

екций соответствуют также две точки К и

L, расположенные на разных прямых. Со-

впадение их горизонтальных проекций

произошло потому, что обе точки в про-

странстве оказались на одном перпендику-

ляре к плоскости П|.

Отмеченная стрелкой (см. рис. 53)

фронтальная проекция этого перпендику-

ляра дает ответ на вопрос о том, какая из

двух точек выше.

Как видно из чертежа, точка К выше

точки L. Следовательно, прямая b прохо-

дит над прямой а.

§ 13. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

Если две прямые пересекаются под пря-

мым углом, то проекции их в общем случае

образуют угол, не равный 90°.

* Предполагается, что прямые расположены

между зрителем и плоскостью проекций.

Для того чтобы прямой угол проециро-

вался в истинную величину, необходимо

и достаточно, чтобы одна из его сторон

была параллельна, а другая не перпенди-

кулярна плоскости проекций.

Действительно, пусть сторона АВ пря-

мого угла ABC параллельна плоскости

Г1 ь

Требуется доказать, что проекция его:

угол /4ifiiCi=90° (рис. 54).

Прямая АВ перпендикулярна плоскости

а, так как АВ перпендикулярна двум пря-

мым этой плоскости ВС и ВВ\, проходя-

щим через точку В.

Прямая АВ и ее проекция А\В\

—г-две

параллельные прямые, а потому

А\В\

так-

же перпендикулярна плоскости а. Следо-

вательно, А\В\ перпендикулярна В\С\.

Докажем теперь, что если ортогональ-

ная проекция угла ABC на некоторую

плоскость П| является прямым углом и од-

на из сторон угла параллельна той же

плоскости, то угол ABC — прямой (рис.

54).

Прямая Л|б| перпендикулярна плоско-

сти а, так как образует прямые углы с

б|С] по условию и с ВВ\ по построению.

Но А\В\ параллельна АВ. Значит, и пря-

мая А В-La. Следовательно, угол между

АВ и ВС — прямой.

[Ч.

-» а)

б)

о а

А,

9 С£ 9

Рис. 56

На основании изложенного можно ут-

верждать, что углы, показанные на рис.

55, являются проекциями прямых углов.

У первого из них сторона а параллельна

плоскости П|, у второго — сторона f па-

раллельна плоскости' Г1

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Как расположена прямая I общего поло-

жения в пространстве, если /1Ц/2?

2. Как расположена прямая относительно

плоскостей проекций, если сумма углов, которые

она образует с

П i

и 1Ь, равна 90°?

3. Как на прямой линии определить точку,

равноудаленную от плоскостей Hi и Пг? На

какой прямой такой точки не существует?

4. Может ли ортогональная проекция острого

угла быть тупым углом, а тупого — острым?

5. Могут ли проекции скрещивающихся пря-

мых быть параллельными?

6. В каком случае проекции прямого угла на

плоскости III и Г1

равны 90°?

7. Построить проекции светового луча, отра-

женного от трех плоскостей проекций. Падаю-

щий луч задан вектором s (рис. 56).

8. На прямой, определяемой точками А (10;

30; 10) и В (60; 10; 50), построить отрезок АС

длиной 45 мм.

9. Задавшись горизонтальной проекцией от-

резка АВ прямой общего положения и его дли-

ной, построить фронтальную проекцию Л2В2.

10. Определить расстояние от точки А (20; 40;

50) до каждой из координатных осей.

ГЛАВА 4

плоскость

§ 14. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ,

СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ

Положение плоскости в пространстве

можно определить: 1) .тремя точками, не

лежащими на одной прямой; 2) прямой

г)

Рис. 57

Рис. 58

и точкой вне ее; 3) двумя пересекающими-

ся прямыми; 4) двумя параллельными

прямыми (рис. 57, а — г); 5) точкой и век-

тором, перпендикулярным плоскости (рис.

58).

Каждый из перечисленных способов за-

дания плоскости допускает переход к лю-

бому другому.

Важно подчеркнуть, что задание плос-

кости а точкой А и вектором п (п

, п

перпендикулярным плоскости а, содержит

наименьшую, но достаточную информа-

цию о положении плоскости — всего

шесть чисел: координаты точки А и векто-

ра п.

Векторное уравнение плоскости можно

получить в виде скалярного произведения

(R-r

)-n = 0,

(4.1)

где R — радиус-вектор произвольной точ-

ки М плоскости а (см. рис. 58), a (R — г

)