Крылов Н.Н., ред. Начертательная геометрия

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 59

— вектор, принадлежащий плоскости а

и ортогональный вектору п.

Выразив множители скалярного произ-

ведения (4.1) через их компоненты, полу-

чим

(Х—Х

)П

+ (У —

УА) NY

+ (Z — Z

) л

= 0.

(4.2)

Это линейное относительно координат х, у,

г уравнение можно преобразовать к виду

Ax + By +

C-z

+ D = 0. (4.3)

О положении плоскости относительно

плоскостей проекций удобно судить по ее

следам — прямым линиям, по которым

данная плоскость пересекается с плоско-

стями проекций. Плоскость общего поло-

жения (не перпендикулярная ни одной из

плоскостей проекций) имеет три следа:

горизонтальный а

ь фронталь-

ный а„

, профильный а„

Следы плоскости общего положения а

(рис. 59) пересекаются попарно на осях

в точках а*, а

, а*. Эти точки, называемые

точками схода следов, можно рассматри-

вать как вершины трехгранных углов, об-

разованных данной плоскостью а с двумя

из трех плоскостей проекций.

Каждый из следов плоскости совпадает

со своей одноименной проекцией, а две

другие — разноименные проекции — ока-

зываются лежащими на осях. Например,

горизонтальный след плоскости совпадает

* Следы проецирующих плоскостей обычно

обозначают иначе (см. § 15).

Рис. 60

со своей горизонтальной проекцией, фрон-

тальная же его проекция находится на оси

Ох, а профильная — на оси Оу.

Совмещая горизонтальную и профиль-

ную плоскости с фронтальной, получим

изображение плоскости а ее следами на

эпюре (рис. 60). Следует заметить, что

разноименные проекции каждого следа ос-

тавляют без обозначений.

Любые два следа плоскости, как две

пересекающиеся прямые, вполне опреде-

ляют положение плоскости в пространст-

ве. Третий след плоскости всегда можно

построить по двум данным.

§ 15. РАЗЛИЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Плоскость а, перпендикулярная плос-

кости Пь —г оризонтально прое-

цирующая плоскость (рис. 61 и

62). Горизонтальная проекция такой плос-

кости представляет собой прямую, кото-

рая одновременно является горизонталь-

ным следом ai плоскости.

Горизонтальные проекции всех точек и

любых фигур, лежащих в этой плоскости,

совмещены с горизонтальным следом а\.

Так, горизонтальная проекция треугольни-

ка ABC, расположенного в плоскости а,

есть прямая линия, совпадающая с

ai (А\В\С\ =<*i). Угол г|>, который

образуется между плоскостью а и Пг,

проецируется на плоскость без искаже-

ния.

2. Плоскость р, перпендикулярная плос-

кости П

,— фронтально проеци-

рующая плоскость (рис. 63).

В,

S^v

Рис.

)А

А-

Рис. 62

треугольника ABC, который находится в

плоскости (5, есть прямая линия А^В^С?,

совпадающая с fb- Угол ф между плоско-

стями р и 111 проецируется на lb без

искажения.

3. Плоскость у, перпендикулярная плос-

кости Из,— профильно проециру-

ющая плоскость. На рис. 64" и

65 показан тот частный случай, когда про-

фильно проецирующая плоскость прохо-

дит через ось Ох и делит пополам угол

между плоскостями Tli и ГЬ. Профильная

проекция такой биссекторной плоскости

представляет собой прямую, которая яв-

ляется профильным следом уз плоскости.

Профильные проекции всех точек этой

плоскости совмещаются с профильным

следом (ЛзВ

Сз = 7з).

4. Плоскость б, параллельная плоскости

Hi, называется горизонтальной

(рис. 66). Эта плоскость перпендикулярна

двум плоскостям проекций Пг и И

. Фрон-

тальная и профильная проекции такой

плоскости б — горизонтальные прямые,

совпадающие со своими одноименными

следами 62 и 63. Любая фигура, располо-

женная в плоскости б, на горизонтальную

плоскость проекций Hi проецируется без

искажения.

5. Плоскость а, параллельная плоскости

Рис. 63

Фронтальная проекция такой плоскости

представляет прямую, которая одновре-

менно является фронтальным следом р

плоскости. Фронтальные проекции всех

точек и любых фигур, лежащих в этой

плоскости, совмещены с ее фронтальным

следом. Например, фронтальная проекция

Рис. 64

Рис. 65

§ 16. ПОСТРОЕНИЕ СЛЕДОВ ПЛОСКОСТИ

с—_

S А, В, С,

Рис. 67

Пг, называется фронтальной (рис.

67). Эта плоскость перпендикулярна плос-

костям П| и Пз. Горизонтальная и про-

фильная проекции плоскости а — прямые

линии, совпадающие со своими одноимен-

ными следами о\ и сгз. Любая фигура,

расположенная в плоскости а, на фрон-

тальную плоскость проекций Пг проециру-

ется без искажения.

Рассмотренные выше горизонтальная б

и фронтальная а плоскости часто называ-

ются плоскостями уровня.

В заключение параграфа еще раз под-

черкнем основное свойство проецирующих

плоскостей: если фигура расположена в

плоскости, перпендикулярной некоторой

плоскости проекций, то на эту плоскость

фигура проецируется в виде прямой, кото-

рая совпадает с одноименным следом про-

ецирующей плоскости. Проекция прямой,

лежащей в такой плоскости, в частном

случае может быть точкой,' но и эта точка

находится на одноименном следе проеци-

рующей плоскости.

Каждый след плоскости представляет со-

бой прямую, для построения которой нуж-

но знать либо две точки, либо одну

точку и направление. Двумя точ-

ками, с помощью которых определяется

положение следа плоскости, могут быть

одноименные следы двух прямых, принад-

лежащих плоскости.

На рис. 68 показано построение гори-

зонтального следа плоскости а с помощью

одноименных, т. е. горизонтальных следов

пересекающихся прямых а и Ь, которыми

определена плоскость а.

На рис. 69 приведен пример построения

следов плоскости, заданной тремя точка-

ми.. Горизонтальный след а

П1

плоскости

определен горизонтальными следами М и

М' прямых АВ и ВС. Фронтальный след

построен с помощью одноименных сле-

дов N и N

прямых АВ и АС. Заметим, что

d|] можно было бы построить с помощью

фронтального следа одной из прямых и

точки схода а*.

Наконец, точки схода следов а

и а

позволяют построить и третий — профиль-

ный след плоскости а,, . Если бы точки

"з

схода а

и а

оказались за пределами

чертежа, то для построения сс

пришлось

бы определять профильные следы двух

прямых плоскости а.

f 17. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ТОЧКИ.

РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим две основные задачи на вза-

имную принадлежность точки, прямой и

плоскости.

Задача 1. Построить проекции

произвольной прямой I плос-

кости а, которая задана пе-

ресекающимися прямыми т и

п (рис. 70).

Воспользуемся основной аксиомой при-

надлежности, утверждающей, что прямая

принадлежит

плоскости, если две точки

этой

прямой принадлежат той же плоско-

сти.

На заданных прямых тип отмечаем

произвольные точки Лет и Ben, кото-

рые и определяют искомую прямую 1{1\,

1г).

Одна из двух точек, А или В, может

быть несобственной, и тогда аксиома при-

надлежности формулируется так: прямая

принадлежит плоскости, если имеет с

плоскостью одну общую точку и парал-

лельна какой-либо прямой, расположен-

ной

в этой плоскости. На рис. 71 показаны

2 Начертательная геометрия

Рис. 71

проекции прямой I, принадлежащей плос-

кости а(т[\п). Эта прямая пересекает пря-

мую п в точке А и параллельна прямой т.

Задача 2. Построить проекции

точки А (рис. 72), которая при-

надлежит плоскости общего

положения а

(т\\п).

Если

точка

расположена в плоскости, то

из трех координат, определяющих ее поло-

жение в пространстве, произвольно можно

Рис. 73

Рис. 74

задавать только две. Эти две координаты

(в общем случае любые две из трех) по-

зволяют построить только одну проекцию

точки, например А2 — фронтальную.

Как найти ее горизонтальную проек-

цию? Для этого воспользуемся вспомога-

тельной прямой, которую проведем по

плоскости а через точку А. Заметим, что

таких прямых можно провести через точку

А по плоскости а множество.

Одна из них представлена на эпюре.

Прежде всего через заданную фронталь-

ную проекцию А

точки проведена одно-

именная проекция /

вспомогательной

прямой. Ее проекция построена с помо-

щью точек В к С, в которых прямая / пе-

ресекает данные прямые тип. Искомая

горизонтальная проекция А

точки

А определена пересечением и линии

проекционной связи.

Если же плоскость а — проецирующая,

то необходимость обращения к вспомога-

тельной прямой I отпадает. В этом случае

горизонтальная проекция Ai точки А дол-

жна быть расположена на одноименном

следе си плоскости а (рис. 73). Следует

иметь в виду, что по горизонтальной про-

екции В\ точки В в рассматриваемом част-

ном случае расположения плоскости

a(a_l_ni) нельзя однозначно определить

положение фронтальной проекции Вч.

Каждая точка горизонтального следа ai

плоскости а может рассматриваться как

проекция горизонтально проецирующей

прямой т, принадлежащей плоскости a

(см. рис. 73). Точно так же каждой точке

Рис. 75

фронтального следа (Ь плоскости 0

(($

_1_Пг)

будет соответствовать фронтально проеци-

рующая прямая л (рис. 74).

Отмеченной особенностью проецирую-

щих плоскостей пользуются при определе-

нии точек их пересечения с прямой линией

(см. § 19).

f 18. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Среди прямых линий, которые могут быть

расположены в данной плоскости, особое

место занимают прямые четырех направ-

лений.

1. Горизонтали h — прямыё, лежа-

щие в данной плоскости и параллельные

горизонтальной плоскости проекций (рис.

75). Фронтальная проекция горизонтали

как линии, параллельной плоскости Пь—

горизонтальна.

2. Фронтали./ — прямые, располо-

женные в плоскости и параллельные плос-

кости Пг (рис. 76).

3. Профильные прямые р— пря-

мые, которые находятся в данной плоско-

сти и параллельны плоскости Пз (рис. 77).

4. Линии наибольшего ската —

прямые, проведенные по плоскости пер-

пендикулярно горизонталям (рис. 78 и

79).

Перечисленные прямые называют

главными линиями плоскости.

На любой плоскости можно провести

множество главных линий.

Рис. 76

Рис. 78

Все линии четырех направлений образу-

ют плоские пучки параллельных прямых,

т. е. все горизонтали плоскости параллель-

ны между собой, все фронтали плоскости

также параллельны друг другу и т. д.

Следует заметить, что следы плоскости,

рассмотренные ранее (см. § 16), можно

отнести тоже к главным линиям. Гори-

зонтальный след — это горизонталь плос-

кости, фронтальный — фронталь- и про-

фильный — профильная линия плоскости.

На рис. 78 по плоскости, заданной дву-

мя пересекающимися прямыми — гори-

зонталью h и фронталью f, через точку

А этой плоскости проведена линия наи-

большего ската АВ.

Нетрудно показать, что горизонтальная

проекция линии наибольшего ската пер-

пендикулярна горизонтальной проекции

горизонтали плоскости. Действительно,

если по определению линии наибольшего

ската угол ABC — прямой, а сторона h

этого угла параллельна плоскости проек-

ций П1, то этот прямой угол должен прое-

цироваться на плоскость Иi без искаже-

ния (см. § 13), т. е. m-LAi. Построение

проекций линии наибольшего ската на

эпюре показано на рис. 79, где сначала

перпендикулярно h\ была построена гори-

зонтальная проекция линии наибольшего

ската — п\.

Рис. 80

Важно отметить, что линия наибольше-

го ската и ее горизонтальная проекция

(см. рис. 78) образуют линейный угол,

которым измеряется двугранный, состав-

ленный данной плоскостью (ff\h) и плос-

костью проекций П1 (так как плоскость

y4BfMi-LIIi и она же перпендикулярна

плоскости ABC).

С помощью главных линий плоскости

оказывается удобным решать вопросы о

взаимном расположении точки и плоско-

сти. На рис. 80 даны плоскость (/П^)

и проекции А, и Аг точки А. Необходимо

установить, лежит ли эта точка в данной

плоскости. Проведем по плоскости гори-

зонталь ft

на том же уровне, на котором

расположена точка А. Фронтальная про-

екция горизонтали пройдет через Лг пер-

пендикулярно линии связи, а горизон-

тальная проекция h\ — параллельно гори-

зонтальной проекции горизонтали h дан-

ной плоскости {fflh).

Горизонтальная проекция A

точки

А оказалась вне одноименной проекции

прямой. Следовательно, точка А не лежит

в данной плоскости.

параллельны двум пересекающимся пря-

мым другой плоскости.

При решении различных задач часто

приходится через данную точку А прово-

дить плоскость р, параллельную данной

плоскости а.

На рис. 81 плоскость а задана двумя

пересекающимися прямыми а и Ь. Иско-

мая плоскость р определена прямыми а

6', соответственно параллельными а и b и

проходящими через заданную точку А

2. Пересекающиеся плоскости. Линией

пересечения двух плоскостей является

прямая, для построения которой достаточ-

но определить две точки, общие обеим

плоскостям, л и б о одну точку и на-

правление линии пересечения плос-

костей.

Перед тем как рассмотреть построение

линии пересечения двух плоскостей, разбе-

рем важную и вспомогательную задачу:

найдем точку К пересечения прямой обще-

го положения с проецирующей плоско-

стью.

Пусть, например, даны прямая а и гори-

Рис. 81

§ 19. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости в пространстве могут

быть либо взаимно параллельными, в част-

ном случае совпадая друг с другом, либо

пересекающимися. Взаимно перпендику-

лярные плоскости представляют собой

частный случай пересекающихся плоско-

стей и будут рассмотрены ниже.

1. Параллельные плоскости. Плоскости

параллельны, если две пересекающиеся

прямые одной плоскости соответственно

Рис. 131 Рис.

132

Рис. 133

зонтально проецирующая плоскость а

(рис. 82). Тогда горизонтальная проекция

К\ искомой точки должна одновременно

лежать на горизонтальной проекции ai

плоскости а и на горизонтальной проекции

прямой а, т. е. в точке пересечения а\

с ai (/Ci=aif]ai) (рис. 83). Фронтальная

проекция К<2 точки К расположена на ли-

нии проекционной связи и на фронтальной

проекции <22 прямой а.

А теперь разберем один из частных слу-

чаев пересекающихся плоскостей, когда

одна из них — проецирующая.

На рис. 84 приведены плоскость общего

положения, заданная треугольником ABC,

и горизонтально проецирующая плоскость

а. Найдем две общие точки для этих двух

плоскостей. Очевидно, этими общими точ-

ками для плоскостей Л ABC и а будут

точки пересечения сторон АВ и ВС треу-

гольника ABC с проецирующей плоско-

стью а. Построение таких точек D и Е как

на пространственном чертеже (рис. 84),

так и на эпюре (рис. 85) не вызывает

затруднений после разобранного выше

примера.

Соединяя одноименные проекции точек

D и Е, получим проекции линии пересече-

ния плоскости АABC и плоскости а.

Таким образом, горизонтальная проек-

ция D\E\ линии пересечения заданных

плоскостей совпадает с горизонтальной

проекцией проецирующей плоскости a —

с ее горизонтальным следом а\.

Рассмотрим теперь общий случай.

Пусть в пространстве заданы две плоско-

сти общего положения аир (рис. 86).

Для построения линии их пересечения не-

обходимо, как отмечалось выше, найти две

точки, общие обеим плоскостям.

Для определения этих точек заданные

плоскости пересекают двумя вспомога-

тельными плоскостями. В качестве таких

плоскостей целесообразнее взять прое-

цирующие плоскости и, в частно-

сти, плоскости уровня. На рис. 86 первая

вспомогательная плоскость уровня у каж-

дую из данных плоскостей пересекает по

горизонталям Л и А

, которые определяют

точку 1, общую для плоскостей аир,

а значит, и принадлежащую линии их

пересечения. Взяв вторую вспомогатель-

ную плоскость 6, например, также парал-

лельную III, получим еще одну точку — 2,

общую плоскостям аир. Эта точка опре-

деляется пересечением горизонталей Л

и А

, по которым вспомогательная плос-

кость 6 пересекает каждую из данных

плоскостей.

Описанный метод применен для эпюрно-

го построения проекций линии пересече-

ния двух плоскостей, первая из которых

задана двумя параллельными прямыми,

а вторая — тремя точками (рис. 87). С по-

мощью вспомогательной плоскости v най-

дена точка / как точка, в которой пересе-

каются горизонтали А и А

. Точно так же

с помощью плоскости б определена вторая

точка — 2.

Некоторого упрощения можно достичь,

если вспомогательные проецирующие

плоскости проводить через прямые, задаю-

щие плоскость, что и сделано на рис. 88,

где построена линия 1—2 пересечения

плоскостей а (ДЛВС) и р (bbEF). Точка

1 этой линии определена с помощью фрон-

тально проецирующей плоскости у, прове-

денной через сторону DE треугольника

DEF. Именно эта сторона, проекции кото-

рой заданы, и является линией пересече-

ния плоскости треугольника DEF и у

(D£ = pflv).

Упрощение графического решения в том

и состоит, что не нужно чертить эту пря-

мую, входящую в число элементов, задаю-

щих плоскость р.

Та же плоскость у пересечет второй тре-

угольник ABC по прямой KL (KL = yПа).

Аналогично, проведя через сторону ВС

горизонтально проецирующую плоскость

б, найдем точку 2. На рис. 88 прямая

ВС =

б|~|а,

а AIjVбf|Э- Пересечение этих

прямых определяет точку 2. Причем ее

фронтальная проекция была построена

раньше, чем 2\.

Внимательный читатель, очевидно, за-

метил, что точки / и 2 являются точками

пересечения сторон одного треугольника

с плоскостью другого.

К детальному рассмотрению этой важ-

ной задачи приступим в § 22.

$ 20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Возможны следующие три случая отно-

сительного расположения прямой и плос-

кости:

прямая принадлежит плоскости;

прямая параллельна плоскости;

прямая пересекает плоскость.

Первому случаю был посвящен § 17,

в котором рассматривалась одна из основ-

ных графических операций — построение

прямых линий, принадлежащих плоскости.

Критерием этого случая является извест-

ное свойство плоскости: если прямая ли-

ния соединяет две точки данной плоскости,

то такая прямая всеми своими точками

лежит в этой плоскости.

Очевидно, что если прямая не имеет

двух общих точек с плоскостью, то она или

параллельна плоскости, или пересекает

ее. Для более определенного суждения

через прямую а (рис. 89) проводят вспо-

могательную плоскость у и устанавливают

относительное положение двух прямых а и

я, последняя из которых является линией

пересечения вспомогательной плоскости у

и данной а. Каждому из трех возможных

случаев относительного расположения

этих прямых соответствует аналогичный

случай взаимного расположения прямой

и плоскости.

Рис. 89

Так, если обе прямые совпадают, то

прямая а лежит в плоскости а, параллель-

ность прямых укажет на параллельность

прямой и плоскости и, наконец, пересече-

ние прямых соответствует случаю, когда

прямая а пересекает плоскость а. Два

последних случая требуют более подроб-

ного изучения.

| 21. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ,

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ

При решении вопроса о параллельности

прямой линии и плоскости необходимо

опираться на известное положение стерео-

метрии: прямая параллельна плоскости,

если она параллельна одной из прямых,

лежащих в этой плоскости.

Следуя методике, изложенной в преды-

дущем параграфе, оценим взаимное поло-

жение прямой а и плоскости, представлен-