Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

Григорук П.М.

Економетричне

моделювання

Конспект лекцій

Хмельницький 2005

УДК 330.4

Г 83

ББК 65(9).2

Рекомендовано до друку вченою радою Хмельницького

національного університету, протокол № 3 від 26.10.2005.

Рецензенти:

Ковальчук С.В. – к. е. н., проф. кафедри маркетингу ХНУ;

Мороз В.С. – к. е. н., доц. кафедри економіки підприємства

та підприємництва ХНУ.

Григорук П.М.

Г83 Економетричне моделювання: Конспект лекцій / П.М. Григорук. –

Хмельницький: ХНУ, 2005. – 125 с.

Описано методи дослідження багатомірних даних на однорідність.

Розглядаються властивості багатомірних даних, визначення форми

економетричної моделі, питання відбору та зменшення кількості

пояснюючих ознак.

Видання розраховано на студентів економічних спеціальностей ВНЗ та

аспірантів, які займаються економіко-математичним моделюванням.

ББК 65(9).2

ВСТУП

Економетрія (або економетрика) як наукова дисципліна дослі-

джує конкретні кількісні і якісні взаємозв’язки економічних об’єктів і

процесів за допомогою математичних і статистичних методів і моде-

лей. Таким чином, суть економетрії полягає саме в синтезі економіки,

економічної статистики і математики. Економічна теорія дозволяє не

просто виявити об’єктивно існуючі (на якісному рівні) економічні за-

кони і зв’язки між економічними показниками, але і надає підходи до

їх формалізації, включаючи методи специфікації відповідних моделей.

Економічна статистика визначає інформаційне забезпечення аналізо-

ваної економетричної моделі, а саме: вибір і вимірювання необхідних

економічних показників, визначення плану статистичного обстеження

і т.п. І нарешті, під математико-статистичним інструментарієм еконо-

метрії мається на увазі, природно, не математична статистика в тради-

ційному її розумінні, а лише окремі її розділи (такі, як: класична і уза-

гальнена лінійні моделі регресійного аналізу, аналіз часових рядів,

побудова і аналіз систем одночасних рівнянь), забезпечені певними

акцентами і доповнені деякими спеціальними відомостями (спеціальні

типи моделей регресії та часових рядів, підходи до рішення проблем

специфікації та ідентифікованості моделей тощо).

Саме “приземлення” економічної теорії на базу конкретної

економічної статистики і витягання її за допомогою відповідного ма-

тематичного апарату цілком певних математичних показників є клю-

човими моментами в розумінні суті економетрії та забезпечують її

розмежування з такими дисциплінами, як математична економіка, опи-

сова економічна статистика і математична статистика.

З визначення економетрії виходить, що її походження і голов-

не призначення – це економічні і соціально-економічні застосування, а

саме модельний опис конкретних кількісних взаємозв’язків, що існу-

ють між аналізованими показниками.

При всій різноманітності спектра завдань, що вирішуються за

допомогою економетрії, їх, проте, було б зручно класифікувати за

трьома параметрами:

- кінцевою прикладною метою;

- рівнем ієрархії;

- профілем аналізованої економічної системи.

За кінцевою прикладною метою виділяють:

– прогноз економічних і соціально-економічних показників

(змінних), що характеризують стан і розвиток аналізованої системи;

– імітацію різних можливих сценаріїв соціально-економічного

розвитку аналізованої системи, коли статистично виявлені взаємо-

зв’язки між характеристиками виробництва, споживання, соціальної та

фінансової політики використовуються для дослідження того, як пла-

новані (можливі) зміни тих або інших параметрів виробництва або

розподілу, що піддаються управлінню, позначаться на значеннях “ви-

хідних” характеристик, що цікавлять нас.

За рівнем ієрархії аналізованої економічної системи виділяють

макрорівень (тобто країни в цілому), мезорівень (регіони, галузі, кор-

порації) і мікрорівень (сім’ї, підприємства, фірми).

Перша принципова ідея, з якою зустрічається кожен, хто вив-

чає економіку, – це ідея про взаємозв’язки між економічними змінни-

ми. Попит, що формується на ринку, на деякий товар розглядається як

функція його ціни; витрати, пов’язані з виготовленням якого-небудь

продукту, передбачаються залежними від об’єму виробництва; споживчі

витрати можуть бути функцією доходу і т.д. Проте для більшої реаліс-

тичності в кожне таке співвідношення доводиться вводити декілька

пояснюючих змінних і залишкову випадкову складову, що відображає

вплив на результуючий показник всіх неврахованих чинників. Попит

на товар можна розглядати як функцію його ціни, споживчого доходу і

цін на конкуруючі та доповнюючі товари; виробничі витрати залежа-

тимуть від об’єму виробництва, його динаміки і цін на основні вироб-

ничі ресурси; споживчі витрати можна визначити як функцію доходу,

ліквідних активів і попереднього рівня споживання. Те, що при цьому

бере участь в кожному з цих співвідношень випадкова складова, що

відображає вплив на аналізований результуючий показник всіх невра-

хованих чинників, обумовлює стохастичний характер залежності. На-

віть зафіксувавши на певних рівнях значення пояснюючих змінних,

скажімо, ціни на сам товар і на конкуруючі з ним або доповнюючі то-

вари, а також споживчий дохід, ми не можемо чекати, що тим самим

однозначно визначається попит на цей товар.

У прикладному статистичному аналізі аналізуються різні варі-

анти формалізації поняття стохастичної залежності між результуючим

показником і пояснюючими змінними. Найбільш поширеною в еконо-

метричних застосуваннях формою подання стохастичної залежності є

адитивна лінійна форма.

Наступний крок в розвитку економічних теорій полягає в

угрупуванні окремих співвідношень в модель. Будь-яка математична

модель є лише спрощеним формалізованим представленням реального

об’єкта (явища, процесу), і мистецтво її побудови полягає в тому, щоб

сумістити лаконічність параметризації моделі з достатньою адекватністю

опису саме тих сторін модельованої реальності, які цікавлять дослід-

ника. Кількість зв’язків, що включаються в економічну модель, зале-

жить від умов, при яких ця модель конструюється, і від детальності

пояснення, до якої ми прагнемо. Наприклад, традиційна модель попиту

і пропозиції повинна пояснювати співвідношення між ціною і об’ємом

випуску, характерні для деякого певного ринку. Вона містить три рів-

няння, а саме: рівняння попиту, рівняння пропозиції і рівняння реакції

ринку. У ці рівняння, крім об’єму випуску і ціни, що цікавлять нас,

входитимуть і інші змінні; так, наприклад, до рівняння попиту увійде

споживчий дохід, а до рівняння пропозиції – ціна. Пояснення, досягну-

те за допомогою такої моделі, обумовлене значеннями деяких “зовніш-

ніх” по відношенню до моделі змінних і в цьому сенсі модель є непов-

ною, або умовною. Більш претензійні моделі містять значно більше

рівнянь і з їх допомогою намагаються відобразити поведінку істотно

більшого числа змінних; проте і вони залишаються умовними, оскільки

теж містять змінні, які не визначаються або не з’ясовуються моделлю.

Всі економічні моделі, незалежно від того, відносяться вони до

всього господарства або до його елементів (тобто до макроекономіки,

галузі, фірми або ринку), мають деякі загальні особливості. По-перше,

вони засновані на припущенні, що поведінка економічних змінних ви-

значається за допомогою сумісних і одночасних операцій з деяким

числом економічних співвідношень. По-друге, приймається гіпотеза,

через яку модель, допускаючи спрощення складної дійсності, проте

уловлює головні характеристики об’єкта, що вивчається. По-третє,

творець моделі вважає, що на основі досягнутого з її допомогою розу-

міння реальної системи вдасться передбачити її майбутній рух і, мож-

ливо, управляти ним в цілях поліпшення економічного добробуту.

Для пояснення суті саме економетричної моделі і опису основ-

них проблем, що виникають при її побудові і аналізі, нам буде зручно

розбити весь процес моделювання на шість основних етапів.

Перший (постановочний) – визначення кінцевої мети моде-

лювання, набору чинників, що беруть участь в моделі, і показників, їх ролі;

Другий (апріорний) – передмодельний аналіз економічної суті

явища, що вивчається, формування і формалізація апріорної інформа-

ції, зокрема, що відноситься до природи і генезису початкових статис-

тичних даних і випадкових залишкових складових;

Третій (параметризація) – власне моделювання, тобто вибір

загального виду моделі, зокрема складу і форми зв’язків, що в неї входять;

Четвертий (інформаційний) – збір необхідної статистичної

інформації, тобто реєстрація значень чинників, що беруть участь в мо-

делі, і показників на різних динамічних або просторових тактах функ-

ціонування явища, що вивчається;

П’ятий (ідентифікація моделі) – статистичний аналіз моделі і в

першу чергу статистичне оцінювання невідомих параметрів моделі;

Шостий (верифікація моделі) – зіставлення реальних і моде-

льних даних, перевірка адекватності моделі, оцінка точності модель-

них даних.

Математична модель економічного явища або процесу, може бу-

ти сформульована на загальному (якісному) рівні, без налагодження на

конкретні статистичні дані, тобто вона може мати сенс і без четвертого і

п’ятого етапів. Тоді вона не є економетричною. Суть саме економетричної

моделі полягає в тому, що вона, будучи поданою у вигляді набору мате-

матичних співвідношень, описує функціонування конкретної економічної

системи, а не системи взагалі. Тому вона обов’язково “настроюється” на

конкретних статистичних даних, а значить передбачає обов’язкову реалі-

зацію четвертого і п’ятого етапів моделювання.

Однією з основних проблем, які доводиться вирішувати в про-

цесі економетричного моделювання є проблема специфікації моделі.

Ця проблема по суті розв’язується на перших трьох етапах моделю-

вання і включає:

− визначення кінцевої мети моделювання (прогноз, імітація

різних сценаріїв соціально-економічного розвитку аналізованої систе-

ми, управління);

− визначення списку екзогенних і ендогенних змінних;

− визначення складу аналізованої системи рівнянь і тотож-

ності, їх структури і відповідно списку зумовлених змінних;

− формулювання початкових передумов і апріорних обме-

жень відносно стохастичної природи залишків та числових значень

окремих елементів структурної форми моделі.

Отже, специфікація моделі – це перший і, мабуть, найважли-

віший крок економетричного дослідження. Саме тому матеріал видання

в основному містить опис методів, які використовуються цим кроком.

ПРОБЛЕМИ ПОБУДОВИ

ЕКОНОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

1.1. Математичний опис об’єктів та властивостей

Джерелом інформації про зв’язки і залежності між економіч-

ними явищами є політична економія та інші дисципліни, головним

чином галузеві економіки. На основі цієї інформації констатується

факт наявності або відсутності впливу одних явищ на інші. Отримані у

такий спосіб твердження підлягають уточненню в ході економетрич-

них досліджень: потрібно установити силу і напрямок зв’язків між

виділеними економічними явищами в рамках конкретної сукупності

економічних об’єктів. Отже, перш ніж проводити які-небудь економет-

ричні дослідження, необхідно визначити сукупність так званих статис-

тичних одиниць, або об’єктів, а також сукупність властивостей, що

описують досліджувані явища властивостей, або ознак. Таким чином,

у кожнім економетричному дослідженні ми маємо справу з двома ви-

дами вихідних сукупностей, а саме, із сукупністю об’єктів:

Ω = {n

, n

, … , n

}, (1.1)

де

m – кількість досліджуваних об’єктів,

та із сукупністю властивостей:

X = { ϕ , ϕ

1 2

, …, ϕ }, (1.2)

де

n – кількість властивостей, що вивчається.

Однак процес дослідження проводиться не безпосередньо на

об’єктах або властивостях, а на реалізаціях властивостей. Ці величини

утворюють так звану матрицю даних:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

mnmm

xxx

...,

.......

...,

22221

11211

. (1.3)

Рядки цієї матриці відповідають об’єктам, тобто, містять зна-

чення всіх досліджуваних властивостей певного об’єкта. Стовпчики

матриці відповідають ознакам, тобто, містять значення конкретної

ознаки для всіх об’єктів.

У економетричних дослідженнях використовуються два осно-

вних види даних. До першого, відносяться сукупності різних об’єктів

(наприклад, групи країн, підприємств однієї галузі, осіб, зайнятих на

деякому підприємстві), характеристики яких описують реалізації виді-

леної сукупності властивостей у той самий період або момент часу. У

цьому випадку сукупність

m об’єктів відповідає виразу (1.1), а сукуп-

ність

n властивостей – виразу (1.2). У дослідженнях зазначеного виду

реалізації властивостей, що утримуються в матриці даних (1.3), є реа-

лізаціями однієї (тієї самої) випадкової величини, що відносяться до

окремих об’єктів сукупності (1.1).

Іншим видом даних є сукупність об’єктів, що складається з

елементів, які являють собою спостереження того самого об’єкта в

послідовні періоди часу. Ця сукупність описується наступним виразом:

Ω = {n

, n

, … , n

}, (1.4)

де Т – число періодів (моментів) часу, тобто число “варіантів”

того самого об’єкта.

Сукупність властивостей є сукупністю випадкових величин, до

складу якої входять різні елементи, що відносяться до усіх виділених

періодів часу

X = {ϕ

, ϕ

, …, ϕ

}, (1.5)

де

t = 1, 2, ..., T.

Послідовним значенням

t відповідають різні набори значень

ознак того самого “характеру”. Дійсно, адже це ті самі ознаки, що

тільки відносяться до різних періодів часу. Крім того, передбачається,

що ці величини мають той самий розподіл, однакові значення матема-

тичного сподівання і дисперсії, і тому розглядаються як реалізації ста-

ціонарних стохастичних процесів. Таким чином, послідовним значен-

ням

t матриці даних (1.3) відповідають реалізації різних значень ознак,

тобто в цій матриці в одиниці

t = і спостерігаються інші значення

ознак, чим в одиниці

t ≠ і. Однак оскільки передбачається, що ці вели-

чини мають такий самий розподіл і однакові значення математичного

сподівання та дисперсії, то реалізації, що містяться у матриці даних

(1.3), розглядаються так само, як реалізації структурних даних. Отже,

при обох видах статистичних даних можна використовувати ті самі

економетричні процедури.

У деяких випадках доцільно розглядати значення властивостей

сукупності об’єктів за деякий період часу. Тоді даним притаманний

характер і структурного, і часового ряду, і вони називаються структур-

но-часовими.

Як правило, дослідник має певну інформацію про призначення,

стан, структуру і функції виділених ознак Це дає підставу розділити їх на

результуючі та впливаючі. Перші так і називаються результуючими

ознаками, а другі – факторами, або чинниками, або впливаючими

ознаками. Як правило, серед усіх ознак виділяється одна результуюча

ознака, яка позначається

Y. Решта ознак позначається – X

, X

, ... , X

1.2. Основні характеристики багатомірних розподілів

Об’єкти, з якими доводиться мати справу в економетричному

моделюванні, характеризуються багатогранністю та багатомірністю,

що дозволяє описати їх з різних боків. Вихідними даними для дослі-

дження є результати спостереження за об’єктом та вимірювання його

характеристик. Істинні значення характеристики досліднику невідомі,

тому вона трактується як невизначена величина. Оскільки на результат

вимірювання впливає багато чинників, які не залежать від дослідника і

не можуть бути враховані, то результат вимірювання носить випадко-

вий характер. На нього можуть впливати як умови, так і методи прове-

дення досліду. Таким чином, результат спостереження (вимірювання)

деякої характеристики є випадковою величиною.

Для повного та вичерпного опису випадкової величини недо-

статньо знати простір можливих значень цієї величини. Для цього по-

трібно зіставити можливе значення величини з імовірністю її появи. Ця

відповідність визначається законом розподілу випадкової величини.

Якщо при дослідженні одновимірних випадкових величин до-

слідник має можливість використовувати підходящі закони розподілу,

то у випадку багатомірної випадкової величини доводиться обмежува-

тись використанням характеристик законів розподілу, обчислених за

наявною вибіркою. Такими характеристиками є вектор середніх значень:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

...

, та матриці коваріацій .

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=Σ

nnnn

sss

...

22221

11211

Як і в одновимірному випадку, вектор середніх значень є ос-

новною характеристикою центру групування досліджуваних ознак.

Коваріаційна матриця характеризує ступінь випадкового розкиду зна-

чень як за кожною ознакою окремо, так і в цілому за всією багатовимір-

ною ознакою. Крім того, ця матриця дозволяє визначити характер та

структуру статистичних взаємозв’язків, що існують між ознаками. У

багатьох випадках для зручності такого аналізу, значення ознак нор-

муються, а коваріаційна матриця при цьому переходить в кореляційну

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

nnnn

rrr

...

22221

11211

, (1.6)

jjii

r =

де

Характеристики r

називаються коефіцієнтами кореляції і є

показниками ступеня щільності лінійного статистичного зв’язку між

ознаками X

та X

Багатовимірним аналогом дисперсії є величина визначника ко-

варіаційної матриці, яка одержала назву узагальненої дисперсії багато-

вимірної ознаки.

1.3. Залежності між характеристиками об’єктів

Всі об’єкти генеральної сукупності є цілісними, тому будь-які

їх характеристики повинні бути взаємозалежними – зміна одних повин-

на впливати на зміну інших.