Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

ни:

y … y , y

1 m1 m1+1

… y y

m2+1

… y

причому перша та третя части-

ни повинні бути рівними. Далі середня частина вилучається з розгляду,

а для першої та третьої обчислюються значення помилки, після чого

розраховуються відповідні значення дисперсії

та σ

1e 3e

)).1(/(

));1(/(

+−−=σ

+−=σ

∑

nmme

nme

(2.10)

Співвідношення

/σ

зіставляється з граничними значення-

ми критерію Фішера

та F

із заданим рівнем довірчої імовірності γ та

кількостями ступенів вільності

= m – (n

+1) та k

= m – n – (n

2 1

+1).

Якщо виконується умова:

≤ σ

/σ

≤ F

, то гіпотеза про ста-

лість дисперсії приймається, інакше – відкидається.

Перевірка відсутності автокореляційних зв’язків у значень по-

милки моделі також здійснюється на основі обробки значень фактич-

ної помилки. Для цього найкраще скористатись критерієм Дарбіна-

Уотсона. Спочатку розраховується значення:

∑

−

)(

≈ 2(1 – r

). (2.11)

Якщо значення

d близьке до нуля або до чотирьох, то гіпотеза

про наявність автокореляції приймається. Якщо це значення близьке

до двох, то гіпотеза відхиляється. В інших випадках рішення залиша-

ється невизначеним. Таким чином, недоліком наведеного критерію є

наявність досить широкої зони невизначеності.

Зазвичай у випадкових величин найбільш істотними є взаємо-

зв’язки між сусідніми значеннями. Тому фактично достатньо перевіри-

ти значущість першого коефіцієнта автокореляції, який обчислюється

за формулою:

)1/()(

mee

−⋅

∑

−

. (2.12)

Нехтуючи відмінністю закону розподілу коефіцієнта автоко-

реляції від нормального, можна скористатись критерієм Стьюдента:

−

=σ

=τ

де .

Одержане значення порівнюється з табличним значенням кри-

терію

при заданій довірчій імовірності γ та кількості ступенів віль-

ності

k = m – 2. Якщо розраховане значення менше за критичне, то

гіпотеза про рівність коефіцієнта автокореляції нулю приймається.

Таким чином після побудови економетричної моделі потрібно

здійснити перевірку властивостей помилки моделі за формулами (2.8 – 2.12).

Якщо хоча б одна з властивостей не виконується, то потрібно виявити

причини цього, повернутись до етапу змістовного аналізу і перевірити

обґрунтованість використання обраної залежності і відібраних чинників.

2.2. Узагальнений метод найменших квадратів

При побудові економетричної моделі висувається ряд припу-

щень стосовно помилки моделі. Однак на практиці трапляються випад-

ки, коли ці умови не виконуються. Так, причинами появи кореляційної

залежності різнорівневими значеннями помилки економетричної мо-

делі, віднесеними до різних періодів часу, можуть бути:

− помилки при виборі форми моделі (замість квадратичної функ-

ції взята лінійна або навпаки);

− побудова моделі на неоднорідній сукупності даних;

− невключення в модель деякої пояснюючої змінної, особливо,

якщо її послідовні значення залежні між собою. Тоді помилка моделі

частково буде містити інформацію про непояснену мінливість, обумов-

лену цим невключенням;

– залежність між послідовними значеннями чинника, якщо він

являє собою ряд динаміки (тобто, наявність лагу).

Нехай в ряду помилки e

присутній коваріаційний зв’язок. Пер-

ший випадок формально виражається наступним чином – коваріаційна

матриця помилок відмінна від одиничної, тобто:

cov(e) = Ω = σ Σ, Σ

≠

E, (2.13)

де

Ω – коваріаційна матриця помилок моделі; Σ – матриця ко-

ефіцієнтів автокореляції;

= const.

У загальному випадку матриця

Σ записується у такому вигляді:

1...

...

...1

211

121

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ρρ

ρρρ

−−

−

(2.14)

∑

−

=ρ

kii

де

У другому випадку не виконується припущення про сталість дис-

персії помилки, тобто, коваріаційна матриця приймає наступний вигляд:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

...000

0...0

0...00

...

. (2.15)

Такий випадок називається гетероскедастичністю залишків.

Він характеризує наявність кореляційного зв’язку між незалежною

змінною та залишками, що еквівалентне відмінності від нуля їх коефі-

цієнта коваріації:

cov(x

, e

) ≠ 0. Причиною цього явища часто є залеж-

ність економетричної моделі від масштабу досліджуваних показників.

Ще однією причиною гетероскедастичності залишків моделі є

помилка специфікації моделі.

Всі ці випадки призводять до того, що оцінки коефіцієнтів

економетричних моделей, побудованих за допомогою МНК, втрачають

властивості ефективності та незміщеності при обмеженому об’ємі ви-

бірки. Виходом з такої ситуації є застосування інших методів оцінки

параметрів моделі.

Одним з них є узагальнений метод найменших квадратів

(УМНК, метод Ейткена ). Його математичне обґрунтування базується

на властивості додатної визначеності коваріаційної матриці

Ω її мож-

на подати у вигляді добутку двох не вироджених матриць

Ω = Ω

Тоді:

)()(][

,)(

−−−−

−−

ΩΩ=ΩΩ=Ω

=ΩΩΩ

. (2.16)

Припустимо, що матриця

відома. Помножимо рівняння

економетричної моделі виду (2.2) зліва на

(Ω

)

-1

. У результаті одержимо:

*,** eaXY

(2.17)

де

.*,*,*

eeXXYY

−−−

Ω=Ω=Ω=

Обчислимо коваріаційну матрицю помилки

e*.

.)(])([]*)(*,[*)cov(

EQeeQMeeMe

TTTT

=ΩΩΩ===

−−−−

Тоді параметри моделі обчислюються за формулою:

−

*]*)[(*]*)[(

YXXXa

=ΩΩΩΩ=

−−−−

])(][)([

YXXX

TTTT

].[][

111

YXXX

TT −−−

ΩΩ=

Звичайно, виникає питання, яким чином оцінити значення ко-

варіаційної матриці помилки моделі, якщо вона ще не побудована і

значення самих помилок невідомі. Для вирішення такого завдання іс-

нує декілька підходів.

Один з них полягає в тому, що спочатку будується модель за

звичайним МНК і в результаті обчислюються залишки

. Далі вони

перевіряються на наявність автокореляції і у позитивному випадку

матриця

Ω обчислюється за фактичними значеннями помилки. Далі за

допомогою УМНК знову оцінюються параметри моделі (вони будуть

іншими). Для нової моделі знову обчислюються залишки, які переві-

ряються на наявність автокореляції. В позитивному випадку матриця

Ω перераховується і так далі. Процес завершується, коли серед зна-

чень залишків буде відсутня автокореляція. На практиці часто достат-

нім буває провести лише одну ітерацію.

2.3. Метод інструментальних змінних

У тому випадку, коли присутня кореляція між значеннями не-

залежної змінної та залишками, одержати незміщені оцінки параметрів

моделі можна за допомогою методу інструментальних змінних. Сут-

ність методу полягає в наступному. Нехай існують спеціальні змінні

, кількість яких збігається з кількістю чинників в моделі, кожна з

яких має нульовий кореляційний зв’язок з помилкою економетричної

моделі. Ці змінні називаються

інструментальними. Матриця значень

таких змінних має такий самий розмір, як і матриця

Помножимо рівняння (2.2) зліва на матрицю

eZXaZYZ

TTT

. (2.18)

Враховуючи, що за припущенням

M[Z e] = 0, до моделі (2.18)

можна застосувати звичайний МНК. Тоді:

].[][)]()[()]()[(

YZZXXZZXYZXZXZXZa

TTTTTTTTTT −−

== (2.19)

Враховуючи, що

T T

X = X Z, вираз (2.27) перетворюється на-

ступним чином:

].[][][][]][[][][

1111

YZXZYZZXYZZXZXZXa

TTTTTTTT −−−−

=== (2.20)

Отже, вектор параметрів моделі обчислюється за формулою:

][][

YZXZa

TT −

. (2.21)

Далі будуть розглянуті способи визначення інструментальних

змінних для лінійної моделі, яка містить лише один чинник.

1. Оператор оцінювання Вальда. Нехай економетрична мо-

дель має вигляд

Y = a + a

0 1

X + e. Якщо сукупність містить парне чис-

ло спостережень, то матриця інструментальних змінних запишеться так:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

1...11...11

Другий рядок цієї матриці визначається за такими правилами:

– визначається відхилення кожного значення

Х від медіанного

значення.

– величинам

Х, що мають знак “+” для відхилення, у другому

рядку матриці

Z записується 1, інакше записується –1.

та

Якщо позначити через

середні значення відхилень Х

відповідно вгору та вниз від медіани, а через

та – відповідні середні

значення залежної змінної, то параметри моделі знаходяться за формулами:

XaYa

a −=

−

= (2.31)

Якщо кількість спостережень непарна, то середнє спостере-

ження відкидається.

2. Метод Бартлета. Ефективність попереднього методу можна

підвищити, якщо розбити впорядковані значення

Х на три групи одна-

кового розміру: найменші значення, середні та найбільші. Вилучивши

середні значення, одержимо оцінки для параметрів:

XaYa

, −=

−

= ,

та – оцінки параметрів, що попали в крайні групи.

де

3. Метод Дарбіна. Значення змінної Х впорядковуються за

зростанням. Інструментальною змінною є порядок змінної. Матриці

змінних подаються у вигляді:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

1...11...11

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

xxx

...

1...11

де x – характеризують відхилення від середнього значення

впорядковані за зростанням. Оператор оцінювання має вигляд:

101

XaYa

−==

∑

де і – порядковий номер.

Метод Дарбіна можна застосовувати і тоді, коли модель міс-

тить кілька пояснювальних змінних. У такому разі спочатку знахо-

дяться відхилення значення кожної змінної од відповідного середнього

значення. Потім ці відхилення впорядковуються за зростанням і кож-

ному з них надається порядковий номер.

Приклад 2.1

Для клієнтів торговельного закладу зафіксована сума покуп-

ки

x (у.о) та часом розмови покупця з продавцем y

i i

(хв). Вважаючи,

що зв’язок між

X та Y лінійний, визначити за допомогою МНК параметри

економетричної моделі. Вихідні дані наведені у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

X 40 50 60 80 100 110 120 130 150 160 180 200 310

Y 14 14 17 19 17 20 24 22 25 24 18 20 26

Розв’язування

Зобразимо вихідні дані графічно (рис. 2.1). Аналіз графіка по-

казує, що гіпотеза про лінійність зв’язку візуально підтверджується.

0 50 100 150 200 250 300 350

Запишемо вихідні дані та результати розрахунку до таблиці 2.2,

де

та Y

– відповідні середні значення ознак.

Таблиця 2.2

Номер значення X Y (X – X

)(Y – Y

) (X – X

)

1 2 3 4 5

1 40 14 540 8100

2 50 14 480 6400

Рис. 2.1

–

ік вихідних даних

Продовження таблиці 2.2

1 2 3 4 5

3 60 17 210 4900

4 80 19 50 2500

5 100 17 90 900

6 110 20 0 400

7 120 24 –40 100

8 130 22 0 0

9 150 25 100 400

10 160 24 120 900

11 180 18 –100 2500

12 200 20 0 4900

13 310 26 1080 32400

1690 260 2530 64400

Середнє 130 20

Тоді параметри моделі дорівнюють a = 0,04; a

1 0

= 14,89. Отже,

модель має вигляд

Y = 14,89 + 0,04*X + e.

Теоретичні значення Ŷ запишемо в ряд:

16,5 16,9 17,3 18,0 18,8 19,2 19,6 20,0 20,8 21,2 22,0 22,8 27,1

Неважко переконатись, що стосовно помилки моделі викону-

ються всі припущення, описані вище.

Приклад 2.2

Спостереження деяких величин X та Y наведені в таблиці 2.3.

Побудувати економетричну модель, припускаючи, що зв’язок між

ознаками лінійний.

Таблиця 2.3

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Y 0,019 0,019 0,027 0,051 0,093 0,136 0,171 0,198 0,267

№ 10 11 12 13 14 15 16 17 18

X 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

Y 0,314 0,365 0,396 0,482 0,569 0,627 0,710 0,835 0,913

Розв’язування

Побудуємо модель звичайним МНК. Результати обчислень за-

пишемо до таблиці 2.4.

Таблиця 2.4

№

X Y

(X – X

)(Y – Y

) (X – X

)

1 0,1 0,019 0,2939 0,3930

2 0,15 0,019 0,2704 0,3328

3 0,2 0,027 0,2428 0,2776

4 0,25 0,051 0,2083 0,2275

5 0,3 0,093 0,1685 0,1823

6 0,35 0,136 0,1326 0,1421

7 0,4 0,171 0,1036 0,1069

8 0,45 0,198 0,0802 0,0767

9 0,5 0,267 0,0501 0,0515

10 0,55 0,314 0,0307 0,0313

11 0,6 0,365 0,0156 0,0161

12 0,65 0,396 0,0071 0,0059

13 0,7 0,482 0,0002 0,0007

14 0,75 0,569 0,0019 0,0005

15 0,8 0,627 0,0102 0,0053

16 0,85 0,710 0,0274 0,0151

17 0,9 0,835 0,0859 0,0300

18 0,95 0,913 0,0949 0,0498

9,45 6,341 1,8241 1,9452

Середнє 0,73 0,49

Тоді параметри моделі будуть рівні

= 1,05; a

= – 0,21. Знай-

демо теоретичні значення

Ŷ та помилку e. Ці величини запишемо до

таблиці 2.5.

Таблиця 2.5

Ŷ –0,104 –0,051 0,002 0,054 0,107 0,160 0,212 0,265 0,318

Ŷ 0,370 0,423 0,476 0,528 0,581 0,634 0,686 0,739 0,792

0,123 0,070 0,025 –0,003 –0,014 –0,024 –0,041 –0,067 –0,051

–0,056 –0,058 –0,080 –0,046 –0,012 –0,007 0,024 0,096 0,121

Перевіримо значення ряду помилки моделі на наявність авто-

кореляції. Скористаємося критерієм Дарбіна і обчислимо величину

за формулою (2.11). У цьому випадку

d = 0,2384. За таблицею Дарбі-

на-Уотсона при довірчій імовірності

γ = 0,95 і кількості вимірювань

m = 18 одержимо, що граничне значення d

= 1,16. Отже, припущення

про автокореляційний зв’язок підтвердилось.

Додатково розрахуємо коефіцієнт автокореляції

за форму-

лою (2.12). У результаті одержимо:

= 0,7069. Перевіримо його зна-

чущість за критерієм Стьюдента. Одержимо

σ = 0,0442; τ

1 r

= 15,99. За

таблицею при довірчій імовірності

γ = 0,95 та кількості ступенів віль-

ності

k = 18 – 2 = 16, знаходимо

кр

= 2,12. Оскільки τ

>τ

кр

, то гіпотеза

про значущість коефіцієнта автокореляції приймається. Отже, між за-

лишками існує автокореляційний зв’язок, і тому побудована нами мо-

дель неправильна.

Для побудови нової моделі потрібно скористатись узагальне-

ним методом найменших квадратів.

Питання для самоперевірки

1. Назвіть передумови класичного МНК.

У чому полягає сутність МНК? Як за цим методом обчис-

люються параметри моделі?

Якими властивостями володіють оцінки параметрів еконо-

метричної моделі, обчислені за допомогою МНК?

Охарактеризуйте властивості помилки економетричної мо-

делі?

Яким чином перевірити наявність автокореляції у ряду по-

милки економетричної моделі?

Як виглядає коваріаційна матриця помилок моделі при на-

явності автокореляційних зв’язків у ряду помилки?

Як виглядає коваріаційна матриця помилок моделі при на-

явності гетероскедастичних помилок?

У чому сутність УМНК?

Як можна оцінити коваріаційну матрицю помилок для за-

стосування її в УМНК?

10.

У чому сутність методу інструментальних змінних?

11.

Які є підходи до визначення інструментальних змінних?