Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

{

}

,...,,

XXXΦ =

′

, (7.2)

причому також

p < n.

’

Ознаки

називаються синтетичними діагностичними ознака-

ми. У залежності від того, яким способом вони були отримані, розріз-

няють: таксономічні показники, загальні фактори, головні компоненти

та агрегатні діагностичні ознаки.

При одержанні діагностичних ознак обох видів – як індивідуаль-

них, так і синтетичних (крім головних факторів і головних компонен-

тів) – необхідно зробити дві операції. Одна з них полягає у розбивці

сукупності вихідних ознак на підмножини однорідних елементів. До

складу однорідних підмножин входять не тільки істотно корельовані

ознаки, але й ознаки, однорідні з погляду якісних зв’язків, а отже ті,

що відносяться до однієї і тієї самої області досліджуваних процесів і

явищ. Таким чином, сукупність

Ф поділяється на непорожні підмно-

жини

, що не перетинаються. Причому кожна ознака може увійти

лише в одну підмножину.

Елементи кожної підмножини розглядаються як характеристи-

ки певного боку явища.

Наступна операція – це визначення репрезентантів (ознак-

представників) виділених підмножин.

Якщо в ролі репрезентанта обирається одна з ознак, що вхо-

дять у підмножину, то його називають індивідуальною діагностичною

ознакою. Якщо ж репрезентант є результуючою ознакою всіх ознак

однієї підмножини, то він називається синтетичною діагностичною

ознакою. У цій якості часто використовують таксономічний показник,

одержуваний за допомогою відповідної таксономічної процедури.

Описана методика побудови індивідуальних і синтетичних діаг-

ностичних ознак має недоліки. Так, при використанні індивідуальних

діагностичних ознак немає впевненості у тому, що вибір саме цієї, а не

якої-небудь іншої ознаки був правильним. Справа у тому, що величини,

на підставі яких вибираються репрезентанти підмножин ознак, не зав-

жди помітно відрізняються одна від одної. Це означає, що роль індиві-

дуальної діагностичної ознаки можуть виконувати кілька ознак тієї са-

мої підмножини. Вибираючи конкретну ознаку, потрібно мати на увазі,

що в майбутньому її дисперсія може зрости й у результаті обрана ознака

виявиться за межами тієї підмножини, у якій знаходиться на цей час.

При виборі синтетичних діагностичних ознак слабким місцем є

суб’єктивний поділ ознак на стимулятори і дестимулятори. Невірна

класифікація ознак призводить до одержання необґрунтованих значень

таксономічного показника.

Неповну редукцію ознак дають також факторний аналіз і ме-

тод головних компонентів. При їхньому використанні у результаті ви-

ходять некорельовані фактори.

Для повної редукції кількості ознак (одержання тільки однієї

ознаки) у принципі можна використовувати усі викладені вище спосо-

би. Однак одним з найбільш підходящих тут є метод таксономічного

показника, що завжди дозволяє звести сукупність ознак досліджувано-

го явища до однієї синтетичної ознаки. Цей метод не вимагає поперед-

нього виділення підмножин сильно корельованих ознак і не призво-

дить до виділення декількох некорельованих факторів.

Як відомо, у регресійних моделях головна увага звертається на

те, яку частку дисперсії ознаки, що пояснюється, удалося зв’язати з

варіацією пояснюючих ознак. Чим вище ступінь пояснення, тим краще

модель описує досліджуване явище. Саме цей критерій оцінки якості

результатів використовується в пропонованих методиках зменшення

числа вихідних ознак. За допомогою критерію визначається, яку час-

тину всього обсягу інформації, що міститься у всіх вихідних ознаках,

удалося пояснити введеними діагностичними ознаками.

Застосовуючи зазначений критерій, необхідно уміти визначати

кількість інформації, яку несе одна ознака. Будемо вимірювати кіль-

кість інформації у цій ознаці її дисперсією. Цей спосіб оцінки кількості

інформації не суперечить способам, застосовуваним у теорії інформа-

ції. Міра кількості інформації приймає тим більші значення, чим вище

невизначеність (менше імовірність) її появи, а виходить, чим більша

дисперсія цієї ознаки. Звідси випливає, зокрема, що кількість інформа-

ції, що міститься в ознаці, тим менша, чим менша величина її дисперсії.

Вимір кількості інформації за допомогою дисперсії ознаки має

недоліки. Величина дисперсії залежить від одиниці виміру ознаки. У

результаті, по-перше, не можна довільно збільшувати або зменшувати

одиниці виміру, оскільки це викликає зменшення або збільшення дис-

персії, а по-друге, незрозуміло, як визначати кількість інформації в

сукупності ознак, у яких одиниці виміру найчастіше різні. Саме тому

проводиться стандартизація ознак, унаслідок чого дисперсія ознаки

стає неіменованою величиною, рівною одиниці, а кількість інформації,

що міститься в сукупності ознак, виміряється кількістю ознак. Цей

спосіб виміру кількості інформації дозволяє також оцінювати якість

діагностичних ознак. Завдяки йому можна оцінити, у якому ступені

різні види діагностичних ознак пояснюють загальний обсяг інформа-

ції, що міститься у вихідних ознаках.

7.2. Таксономічний показник

Як вже відмічалось, таксономічний показник являє собою син-

тетичну величину, яка утворена зі всієї множини відібраних ознак.

При його побудові застосовується матриця даних, складена зі

стандартизованих реалізацій ознак. Стандартизація дозволяє позбутися

одиниць виміру, як вартісних, так і натуральних, та вирівняти диспер-

сії (кожна дисперсія стає рівною одиниці), При цьому стандартизація

здійснює вплив і на значення самих ознак – усі середні арифметичні

стають рівними нулю. Це небажано, тому що в такому випадку кожна

ознака однаковою мірою впливає на результати аналізу. Тому в де-

яких випадках встановлюють ієрархію ознак, використовуючи відповід-

ні коефіцієнти ієрархії, які диференціюють ознаки за їх важливістю

для проведеного дослідження. Коефіцієнти визначаються на основі

якісного аналізу або за допомогою відповідних методів.

Як відомо, у виділеній сукупності ознак можуть зустрічатися

стимулятори, дестимулятори і номінатори. Їх варто привести до одно-

го типу, наприклад, перетворити у стимулятори.

Далі обчислюються координати верхнього полюса і розрахову-

ється відстань між ним і точками–даними:

()()

[

]

BiBi

PPPPD −−=

(7.3)

або

∑

−=

jiji

xxd

)( . (7.4)

Отриманий вектор

D = (d , d , …, d

n1 2

) є вихідним при розра-

хунку таксономічного показника:

M =

∗

(7.5)

де

||D|| – норма вектора D,

∑

. (7.6)

Оскільки значення таксономічного показника у такому вигляді

збільшуються з віддаленням стимуляторів від верхнього полюса, і

зменшуються у протилежному випадку, то далі проводять перетворення:

M = І – M*, (7.7)

де

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

...

. (7.8)

Інтерпретація даного показника наступна: він приймає високі

значення при великих значеннях стимуляторів і низькі значення при

малих значеннях стимуляторів. Побудований у такий спосіб показник

синтетично характеризує зміни значень ознак досліджуваних груп.

Найважливішим його достоїнством є те, що тепер маємо одну синте-

тичну ознаку, яка показує напрямок і масштаби змін у процесах, опи-

суваних сукупністю довільного числа вихідних ознак.

Приклад 7.1

Нехай маємо дані для восьми ознак:

– трудомісткість одиниці продукції;

– питома вага робітників у складі ППП;

– питома вага придбаних виробів;

– коефіцієнт змінності обладнання;

– премії та заохочення одного робітника;

– питома вага втрат від браку;

– фондовіддача;

– середньорічна чисельність ППП;

Їх значення наведені у таблиці 7.1. Необхідно побудувати так-

сономічний показник.

Таблиця 7.1

X X X X X X X X№

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 13,26 0,23 0,78 0,40 1,37 1,23 0,23 1,45

2 10,16 0,24 0,75 0,26 1,49 1,04 0,39 1,30

Продовження таблиці 7.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 13,72 0,19 0,68 0,40 1,44 1,80 0,43 1,37

4 12,85 0,17 0,70 0,50 1,42 0,43 0,18 1,65

5 10,63 0,23 0,62 0,40 1,35 0,88 0,15 1,91

6 9,12 0,42 0,76 0,19 1,39 0,57 0,34 0,17

7 25,83 0,31 0,73 0,25 1,16 1,82 0,38 1,94

8 23,39 0,26 0,71 0,44 1,27 1,70 0,09 1,89

9 14,68 0,49 0,69 0,17 1,16 0,84 0,14 1,94

10 10,05 0,36 0,73 0,39 1,25 0,60 0,21 2,06

Розв’язування

Визначимо, які з наведених ознак є дестимуляторами і пере-

творимо їх значення за формулою

' =

. У цьому випадку такими

ознаками будуть перша, шоста та восьма.

Стандартизуємо ознаки і результат занесемо до таблиці 7.2.

Таблиця 7.2

Z Z Z Z Z Z Z Z№

1 2 3 4 5 6 7 8

1 –0,10 –0,58 1,41 0,53 0,35 –0,57 –0,20 –0,26

2 0,87 –0,48 0,76 –0,71 1,39 –0,32 1,13 –0,21

3 –0,20 –0,96 –0,76 0,53 0,96 –1,00 1,46 –0,24

4 0,00 –1,15 –0,33 1,42 0,78 1,97 –0,61 –0,31

5 0,69 –0,58 –2,06 0,53 0,17 –0,03 –0,86 –0,36

6 1,35 1,25 0,98 –1,33 0,52 1,01 0,71 2,84

7 –1,65 0,19 0,33 –0,80 –1,48 –1,01 1,04 –0,36

8 –1,48 –0,29 –0,11 0,89 –0,52 –0,95 –1,36 –0,36

9 –0,41 1,92 –0,54 –1,51 –1,48 0,06 –0,94 –0,36

10 0,92 0,67 0,33 0,44 –0,70 0,86 –0,36 –0,38

P 1,35 1,92 1,41 1,42 1,39 1,97 1,46 2,84

Обчислимо координати верхнього полюса, які занесемо також

до таблиці 7.2. Знайдемо матрицю відстаней точок-об’єктів до верх-

нього полюса (табл. 7.3). За цими даними розрахуємо таксономічний

показник, який також запишемо до таблиці 7.3.

Таблиця 7.3

№ d

= I – D/||D||

4,30 18,48 0,72

3,96 15,65 0,75

4,66 21,73 0,70

3,81 14,54 0,76

5,49 30,1 0,65

2,74 7,499 0,82

6,25 39,08 0,60

6,07 36,86 0,61

6,44 41,54 0,59

4,31 18,55 ||D|| 0,72

Σ d

= 244 15,62

У результаті можна зробити висновок, що за значеннями так-

сономічного показника другий, четвертий та шостий об’єкти відно-

сяться до першої групи – значення показника високі; перший, третій та

десятий – до групи з середнім значенням таксономічного показника,

решта – до групи з низьким значенням показника.

Питання для самоперевірки

1. Що розуміють під діагностичною ознакою? Які властивості

цих ознак?

Які є основні види діагностичних ознак? У чому полягають

відмінності між ними?

Яким чином вимірюється кількість інформації, яку несуть в

собі ознаки? У чому полягає недолік такого вимірювання?

Що собою являє таксономічний показник? Яким чином він

розраховується?

ПОБУДОВА ІНДИВІДУАЛЬНИХ

ДІАГНОСТИЧНИХ ОЗНАК

8.1. Групування вихідних ознак і вибір репрезентантів

Редукція ознак, що характеризують досліджуване явище, по-

винна відповідати деяким вимогам. Головне полягає в тому, щоб збе-

регти досить повний опис явища. Одержати спрощений опис, який

разом з тим відбивав би найважливіші закономірності, що спостеріга-

ються в дійсності, дозволяє методика визначення так званих індивіду-

альних діагностичних ознак. Ці ознаки з найбільшою вірогідністю від-

творюють досліджуване явище, і при цьому їхня сукупність нечислен-

на. Вимоги до властивостей діагностичних ознак полягають у наступ-

ному: необхідно відкинути ознаки, що несуть однакову або досить по-

дібну інформацію про досліджуване явище, як і ті, що залишилися; а

останні у свою чергу повинні якнайкраще відбивати ті елементи, які не

ввійшли в групу діагностичних ознак.

Виконання поставлених умов забезпечується підбором індиві-

дуальних діагностичних ознак. Спочатку вихідна сукупність ознак по-

діляється на однорідні підмножини, тобто підмножини сильно коре-

льованих ознак. Поділ здійснюється на основі матриці відстаней

D між

ознаками. Елементи матриці розраховуються за формулою:

ijij

rd −=1

, (8.1)

де

∑

jkikij

. (8.2)

Якщо потім певним чином підібрати репрезентанти в кожній з

виділених однорідних підмножин, то одержимо некорельовані або

слабко корельовані ознаки. Це можливо зробити методом потенціалів

або методом центра ваги.

8.2. Метод потенціалів

Сутність методу полягає в аналізі матриці відстаней і пошуку

скупчень ознак навколо деяких з цих ознак. Далі для кожної вершини

скупчення розраховується його потенціал. У результаті відбирається

ознака з найбільшим потенціалом.

З обчислювальної точки зору алгоритм методу має наступний

вигляд. На першому кроці для кожного стовпчика матриці відстаней

обчислюється найменший елемент. Далі номер стовпчика і номер ряд-

ка цього елемента об’єднуються орієнтованою дугою, яка виходить з

елемента з номером стовпчика. У результаті одержуються орієнтовані

скупчення такого самого типу, як на рис. 8.1. Далі для кожної вершини

скупчення обчислюється її потенціал – кількість дуг, які входять у вер-

шину. Тобто, фактично підраховується кількість елементів-ознак, для

яких найближчою є дана ознака. Саме ця ознака і буде виступати в

ролі індивідуальної від скупчення, яке являє собою однорідну підмно-

жину ознак. Якщо в скупченні вершин з однаковим потенціалом декіль-

ка, то за індивідуальну обирають ту, для якої сума відстаней від неї до

інших вершин скупчення буде найменшою.

Рис. 8.1 – Приклади орієнтовних сполучень

Для наведеного на рисунку прикладу маємо два скупчення: з

шести та чотирьох елементів. У першому скупченні вершина з номе-

ром 3 має найвищий потенціал – в неї входить три дуги. У другому

скупченні таких вершин дві – з номером 7 та номером 8. Отже, для них

потрібно розрахувати суму відстаней до інших вершин скупчення і

обрати індивідуальну за меншим значенням суми.

8.3. Метод центра ваги

Цей метод передбачає початкове розбиття вихідної сукупності

ознак на однорідні підмножини. Це можна зробити на основі аналізу мат-

риці відстаней між ознаками, елементи якої розраховуються за форму

лою (8.1). Саме розбиття можна здійснити за допомогою методу куль.

Спосіб вибору репрезентантів залежить від числа елементів,

що входять в однорідну підмножину. Розрізняється три типи груп: од-

ноелементні, двоелементні та багатоелементні.

Одноелементні групи містять такі ознаки, значення яких різко

відрізняються від значень інших ознак; тому їх одразу включають у

діагностичну сукупність.

Якщо кількість ознак в однорідній групі більша двох, для ко-

жної з них розраховується сумарна відстань до інших елементів цієї

самої групи:

∑

≠

iji

, (8.3)

де

іj

– відстань між і-м та j-м елементами k-ї групи;

– сумарна відстань для і-го елемента k-ї групи;

–

число ознак у k-й групі. У діагностичну сукупність вклю-

чається та ознака, що знаходиться в “середині” даної групи, тобто,

ознака з найменшою сумою відстаней:

dd min

min

Процедура завершується вибором репрезентантів двоелемент-

них груп. Для цього розраховуються відстані від кожного з двох еле-

ментів групи до діагностичних ознак, обраних на попередніх етапах:

∑

iji

, (8.4)

де

і = 1, 2;

s – кількість відібраних діагностичних ознак.

Репрезентантом для кожної з двоелементних груп буде та

ознака, відстань якої до діагностичних ознак виявиться найбільшою.

Обрані таким чином елементи володіють тією властивістю, що

знаходяться поблизу “центрів ваги” груп і тому задовольняють основ-

ним вимогам, що висуваються до діагностичних ознак.

Приклад 8.1. (умова завдання 7.1)

Нехай маємо дані для 8 ознак:

– трудомісткість одиниці продукції;

– питома вага робітників у складі ППП;

– питома вага придбаних виробів;

– коефіцієнт змінності обладнання;

– премії та заохочення одного робітника;

– питома вага втрат від браку;

– фондовіддача;

– середньорічна чисельність ППП;

Значення ознак наведені у таблиці 8.1. Потрібно побудувати

індивідуальні ознаки за методами потенціалів та центра ваги.

Таблиця 8.1

X X X X X X X X

1 2 3 4 5 6 7 8

1 13,26 0,23 0,78 0,40 1,37 1,23 0,23 1,45

2 10,16 0,24 0,75 0,26 1,49 1,04 0,39 1,30

3 13,72 0,19 0,68 0,40 1,44 1,80 0,43 1,37

4 12,85 0,17 0,70 0,50 1,42 0,43 0,18 1,65

5 10,63 0,23 0,62 0,40 1,35 0,88 0,15 1,91

6 9,12 0,42 0,76 0,19 1,39 0,57 0,34 0,17

7 25,83 0,31 0,73 0,25 1,16 1,82 0,38 1,94

8 23,39 0,26 0,71 0,44 1,27 1,70 0,09 1,89

9 14,68 0,49 0,69 0,17 1,16 0,84 0,14 1,94

10 10,05 0,36 0,73 0,39 1,25 0,60 0,21 2,06

Розв’язування

А. Метод потенціалів. Стандартизуємо ознаки, перетворивши

попередньо дестимулятори в стимулятори (див. розв’язок завдання 7.1).

Далі обчислимо кореляційну матрицю для наведених значень ознак

(табл. 8.2) і розрахуємо на її основі матрицю відстаней між ознаками

(табл. 8.3).

Таблиця 8.2

Кореляційна матриця

1 0,12 0,08 –0,13 0,55 0,57 0,16 0,49

0,12 1 0,18 –0,79 –0,62 0,14 –0,13 0,41

0,08 0,18 1 –0,27 0,10 0,02 0,34 0,36

–0,13 –0,79 –0,27 1 0,32 0,12 –0,35 –0,46

0,55 –0,62 0,10 0,32 1 0,20 0,38 0,23

0,57 0,14 0,02 0,12 0,20 1 –0,26 0,34

0,16 –0,13 0,34 –0,35 0,38 –0,26 1 0,29

0,49 0,41 0,36 –0,46 0,23 0,34 0,29 1