Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

Для кожної ознаки (стовпця матриці відстаней) визначимо

“найближчу” до неї ознаку (найменше значення стовпця матриці від-

станей без урахування діагональних її елементів). Результат запишемо

в останній рядок матриці відстаней. Ці найменші значення виділимо у

таблиці 8.3 кольором.

Таблиця 8.3

Матриця відстаней

X X X X X X X X

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0,88 0,92 0,87 0,45 0,43 0,84 0,51

0,88 0 0,82 0,21 0,38 0,86 0,87 0,59

X 0,92 0,82 0 0,73 0,90 0,98 0,66 0,64

X 0,87 0,21 0,73 0 0,68 0,88 0,65 0,54

0,45 0,38 0,90 0,68 0 0,80 0,62 0,77

X 0,43 0,86 0,98 0,88 0,80 0 0,74 0,66

X 0,84 0,87 0,66 0,65 0,62 0,74 0 0,71

0,51 0,59 0,64 0,54 0,77 0,66 0,71 0

X X X X X X X X

6 4 8 2 2 1 5 1

У результаті одержимо два скупчення ознак (рис. 8.2).

Рис. 8.2 – Скупчення ознак для прикладу 8.1

Як видно, у кожному скупченні є вершина з найбільшим потен-

ціалом. Для першого це вершина 1, для другого – вершина 2. Отже, в

ролі індивідуальних діагностичних ознак потрібно взяти ознаки

та X

Слід зазначити, що формальне застосування статистичного ме-

тоду у цьому випадку розділило вихідну сукупність ознак на однорідні

підмножини з точки зору значень цих ознак та кореляційних взаємо-

зв’язків, а не їх економічного змісту. Це є недоліком методу. Так,

ознака

з економічної точки зору не зовсім пов’язується з ознаками

, X

та X

, з якими вона потрапила до однієї підмножини. Більш ло-

гічним було б її знаходження у другій підмножині. Тому цей метод

найбільш доцільно використовувати у тому випадку, коли вихідні

ознаки однорідні за економічним змістом.

Б. Метод центра ваги. Проаналізуємо матрицю відстаней

(табл. 8.3) і виділимо в ній однорідні підмножини ознак. Критичне

значення радіуса кулі становить 0,64. У результаті одержимо чотири

набори чотириелементних підмножин (табл. 8.4):

, X

};

, X

};

, X

};

, X

Таблиця 8.4

Матриця відстаней між ознаками

X X X X X X X X

1 2 3 4 5 6 7 8

0,00 0,88 0,92 0,87 0,45 0,43 0,84 0,51

0,88 0,00 0,82 0,21 0,38 0,86 0,87 0,59

0,92 0,82 0,00 0,73 0,90 0,98 0,66 0,64

0,87 0,21 0,73 0,00 0,68 0,88 0,65 0,54

0,45 0,38 0,90 0,68 0,00 0,80 0,62 0,77

0,43 0,86 0,98 0,88 0,80 0,00 0,74 0,66

0,84 0,87 0,66 0,65 0,62 0,74 0,00 0,71

0,51 0,59 0,64 0,54 0,77 0,66 0,71 0,00

min 0,43 0,21 0,64 0,21 0,38 0,43 0,62 0,51

4 4 1 3 4 2 2 4

Виходячи із змістовних міркувань, а також враховуючи, що в

другому та четвертому наборах збігається по три елементи, зупини-

мось на останньому наборі ознак. Продовжуючи міркування, одержи-

мо наступні підмножини:

Друга підмножина:

{ X

, X

};

Третя підмножина: { X

};

Четверта підмножина: { X

Таким чином, маємо дві одноелементні підмножини, одну дво-

елементну і одну багатоелементну. У діагностичні ознаки увійдуть

та

як представники одноелементних підмножин. З багатоелементної

підмножини візьмемо ту ознаку, сума відстаней від якої до інших

ознак підмножини найменша. Сумарні значення відстаней становлять:

– 2,26;

– 1,69;

– 1,72;

– 1,64.

Отже, репрезентантом буде ознака

Для ознак двоелементної підмножини розрахуємо відстані від

них до вже обраних репрезентантів.

– 2,48;

– 2,12.

Отже, репрезентантом від цієї підмножини буде ознака

Таким чином, діагностичними ознаками будуть ознаки

X , X

3 6

, X

. Цей метод у порівнянні з попереднім дав більшу кількість діаг-

ностичних ознак.

Питання для самоперевірки

Що являють собою індивідуальні діагностичні ознаки?

У чому полягає сутність методу потенціалів?

У чому полягає сутність методу центра ваги?

У чому полягає недолік використання методів побудови ін-

дивідуальних діагностичних ознак?

ФАКТОРНИЙ АНАЛІЗ

9.1. Постановка завдання

Нехай є набір стандартизованих вихідних ознак Z , Z

1 2

, …, Z

Як відзначалось раніше, процедура стандартизації є необхідним ета-

пом дослідження ознак, тому в даному такому будемо вважати її вже

проведеною. Необхідно замінити ці ознаки іншими

, F

, …, F

, k ≤ n.

Нові ознаки називають факторами. При цьому виходять з припущення,

що початкові ознаки є результатом дії деяких спільних чинників, в

ролі яких і будуть виступати нові фактори. З іншого боку, кожна з ви-

хідних ознак має свою характерну рису, в ролі якої також виступає

певний характерний чинник. Тому загальна модель факторного аналізу

матиме такий вигляд:

nnknknnn

UwFwFwFwZ

++++=

...

2211

2222221212

1112121111

, (9.1)

Ознаки

відображають характерні риси вихідних ознак і на-

зиваються характерностями, у той час як фактори

відображають їх

спільні риси і тому називаються ще спільностями.

Величини w

нази-

ваються факторними навантаженнями . Вони показують частку загаль-

ного фактора

у вихідній ознаці Z

. За цими величинами можна ви-

значити економічний зміст отриманих факторів. Варто відзначити, що

значення факторних навантажень коливаються в межах від –1 до 1.

Чим ближчі вони за модулем до 1, тим зв’язок між фактором та озна-

кою щільніший. Якщо величина факторного навантаження додатна, то

вплив фактора на ознаку позитивний, інакше – негативний.

Система (9.1) в матричному вигляді записується таким чином:

T T

= WF + W U

, (9.2)

де

Z – матриця реалізацій вихідних ознак розмірності (m × n);

W – матриця факторних навантажень спільностей розмірності

(

n × k);

F – матриця реалізацій факторів розмірності (m × k);

– діагональна матриця факторних навантажень характернос-

тей розмірності (

n × n);

U – матриця реалізацій характерностей розмірності (m × n);

Залежність між компонентами ознак та її факторів можна за-

писати таким чином:

jiijkikjijiji

uwfwfwfwz

...

2211

, (9.3)

де

– j-те значення i-ї ознаки;

– факторне навантаження s-го фактора;

– j-те значення s-го фактора;

w – факторне навантаження характерності i-ї ознаки;

u – j-те значення характерності i-ї ознаки;

i = 1..n, j = 1..m, s = 1..k.

Слід зауважити, що одержані фактори будуються таким чином,

щоб вони були взаємно некорельовані між собою та характерностями.

Як правило, кількість відібраних факторів менша за кількість

вихідних ознак. Таким чином, за допомогою методів факторного аналізу

фактично розв’язується два завдання: зменшення кількості ознак та ви-

явлення латентних (скритих, неявних) ознак, які описують досліджуване

явище. Латентні ознаки напряму не піддаються вимірюванню, тому їх

кількісна оцінка за допомогою таких методів є досить важливою. З ін-

шого боку, постає проблема економічної інтерпретації одержаних ознак.

9.2. Обчислення факторів

Якщо характерності U відсутні, то фактори F

i j

називаються го-

ловними компонентами. Для зручності викладення сутності методів

факторного аналізу розглянемо саме випадок побудови головних ком-

понент. Тоді система (9.2) в матричній формі матиме вигляд:

T T

= WF (9.4)

Оскільки головною метою є пояснення кореляції вихідних

ознак, то головну роль у факторному аналізі при розрахунку фактор-

них навантажень відіграє кореляційна матриця

R, побудована за зна-

ченнями вихідних ознак. Її елементи обчислюються за формулою:

∑

sjsiij

. (9.5)

Виразимо

через факторні навантаження. Для цього скорис-

таємось виразом (9.1), який відображає залежність між вихідними

ознаками та факторами:

=++++

)]...)(...[(

22112211 kjkjjkikii

jiij

FwFwFwFwFwFw

(9.6)

.)...(

2211

∑

=++=

jsisjkikjiji

wwwwwwwwm

Тут врахований той факт, що F

F = 0, F

j i

= m (внаслідок ор-

тогональності факторів)

Отже, R = W

⋅

Обчислимо коефіцієнт кореляції між

та F

)...(

2211

ijij

jstkiktiti

jkikiiFZ

wmw

ffwfwfw

FFwFwFw

==+++

=++=

∑∑

(9.7)

Отже, факторне навантаження дійсно виражає кореляцію між

фактором та ознакою.

Виразимо фактори через вихідні ознаки:

F = ZB. (9.8)

Оскільки для факторів передбачається рівність дисперсій, то:

T T

D(F) = D(ZB) = B D(Z)B = B SB, (9.9)

де

S – коваріаційна матриця. Тут врахована та властивість, що

матриця коефіцієнтів

В є сталою величиною, і тому виноситься за знак

дисперсії у квадраті. Припустимо, що матриця

В ортогональна, тобто:

B = E. (9.10)

Оскільки метою факторного аналізу є максимальне пояснення

дисперсії, максимізуємо (9.9), враховуючи обмеження (9.10). Для цьо-

го скористаємось методом множників Лагранжа:

f = B

SB – λ(B

B – E), (9.11)

022 =λ−=

∂

BSB

. (9.12)

Звідки остаточно маємо:

−

BSB

. (9.13)

Отже,

λ є власним значенням матриці S.

Оскільки за припущенням ці ознаки стандартизовані, то кова-

ріаційна матриця збігається з кореляційною матрицею, тобто,

S = R.

З припущення (9.10) випливає, що (9.8) можна переписати у

вигляді:

Z = F B , (9.14)

або, виконавши операцію транспонування до обох частин рівняння:

= BF

. (9.15)

Останнє рівняння збігається з (9.4). Отже, факторні наванта-

ження є власними векторами коваріаційної матриці вихідних ознак,

тобто,

W = B.

Дисперсія матриці

F буде дорівнювати діагональній матриці Λ,

яка складається з усіх власних значень. Тобто:

∑∑

λ=λ=

ijjj

, (9.16)

де

V – матриця нормованих власних векторів.

Звідси одержимо, що факторні навантаження можна обчислити

за формулою:

ijjij

vw λ= . (9.17)

Оскільки матриця

R дійсна, симетрична і додатно визначена,

то всі її власні значення додатні. З (9.17) випливає, що:

W= V

⋅

1/2

. (9.18)

Матриця значень факторів обчислюється за формулою:

F = ZW Λ

-1

. (9.19)

Таким чином, алгоритм обчислень за методом головних ком-

понент укладається в послідовність таких кроків:

обчислення кореляційної матриці R стандартизованих

ознак

;

обчислення матриці V нормованих власних векторів мат-

риці

3) обчислення матриці

W факторних навантажень за форму-

лою (9.17);

4) обчислення матриці

F значень нових факторів за формулою

(9.19) та їх економічна інтерпретація.

Виходячи з аналізу алгоритму обчислення головних компонент

можна зробити висновок, що їх кількість буде дорівнювати кількості

вихідних ознак, оскільки матриця розмірності (

n × n) має n різних влас-

них векторів і власних значень. Але на практиці відбираються не всі

головні компоненти, а лише ті, що пояснюють найбільшу частку дис-

персії. Для визначення таких компонент власні значення впорядкову-

ють, і відповідні їм власні вектори відбирають до тих пір, поки частка

суми власних значень не сягне заданої величини

δ:

δ≥

∑

. (9.20)

Величина

δ показує ступінь пояснення дисперсії вихідних ознак

головними компонентами. Як правило, її обирають не меншою 80 %.

Приклад 9.1. (Умова завдання 7.1)

Нехай маємо дані для 8 ознак:

– трудомісткість одиниці продукції;

– питома вага робітників у складі ППП;

– питома вага придбаних виробів;

– коефіцієнт змінності обладнання;

– премії та заохочення одного робітника;

– питома вага втрат від браку;

– фондовіддача;

– середньорічна чисельність ППП.

Значення ознак наведені в таблиці 9.1. Потрібно побудувати

фактори за методом головних компонент та визначити ті, що поясню-

ють не менше 80 % дисперсії вихідних ознак.

Таблиця 9.1

X X X X X X X X№

1 2 3 4 5 6 7 8

1 13,26 0,23 0,78 0,40 1,37 1,23 0,23 1,45

2 10,16 0,24 0,75 0,26 1,49 1,04 0,39 1,30

3 13,72 0,19 0,68 0,40 1,44 1,80 0,43 1,37

4 12,85 0,17 0,70 0,50 1,42 0,43 0,18 1,65

5 10,63 0,23 0,62 0,40 1,35 0,88 0,15 1,91

6 9,12 0,42 0,76 0,19 1,39 0,57 0,34 0,17

7 25,83 0,31 0,73 0,25 1,16 1,82 0,38 1,94

8 23,39 0,26 0,71 0,44 1,27 1,70 0,09 1,89

9 14,68 0,49 0,69 0,17 1,16 0,84 0,14 1,94

10 10,05 0,36 0,73 0,39 1,25 0,60 0,21 2,06

Розв’язування

Стандартизуємо ознаки. Результат занесемо до таблиці 9.2.

Таблиця 9.2

Z Z Z Z Z Z Z

№ Z

1 2 3 4 5 6 7 8

1 –0,19 –0,58 1,41 0,53 0,35 0,26 –0,20 –0,21

2 –0,74 –0,48 0,76 –0,71 1,39 –0,10 1,13 –0,48

3 –0,11 –0,96 –0,76 0,53 0,96 1,35 1,46 –0,35

4 –0,27 –1,15 –0,33 1,42 0,78 –1,26 –0,61 0,15

5 –0,65 –0,58 –2,06 0,53 0,17 –0,40 –0,86 0,61

6 –0,92 1,25 0,98 –1,33 0,52 –0,99 0,71 –2,50

7 2,00 0,19 0,33 –0,80 –1,48 1,39 1,04 0,66

8 1,58 –0,29 –0,11 0,89 –0,52 1,16 –1,36 0,57

9 0,05 1,92 –0,54 –1,51 –1,48 –0,48 –0,94 0,66

10 –0,75 0,67 0,33 0,44 –0,70 –0,93 –0,36 0,88

Обчислимо кореляційну матрицю. Результат запишемо до таб-

лиці 9.3

Таблиця 9.3

1 –0,0402 –0,0003 0,0263 –0,5927 0,73995 –0,0789 0,43247

–0,0402 1 0,17894 –0,7876 –0,6206 –0,2863 –0,1336 –0,1248

–0,0003 0,17894 1 –0,2716 0,09653 –0,0195 0,33574 –0,4512

0,0263 –0,7876 –0,2716 1 0,3163 0,05262 –0,3525 0,36169

–0,5927 –0,6206 0,09653 0,3163 1 –0,1803 0,38268 –0,5583

0,73995 –0,2863 –0,0195 0,05262 –0,1803 1 0,31985 0,22334

–0,0789 –0,1336 0,33574 –0,3525 0,38268 0,31985 1 –0,4926

0,43247 –0,1248 –0,4512 0,36169 –0,5583 0,22334 –0,4926 1

За даними цієї матриці обчислимо власні вектори та власні

значення. Для обчислень скористаємось методом обертань. Результат

запишемо до таблиці 9.4.

Таблиця 9.4

Власні значення

λ λ λ λ λ λ λ λ

1 2 3 4 5 6 7 8

2,6081 2,2582 1,7833 0,7417 0,3418 0,1400 0,1086 0,0183

Власні вектори

V V V V V V V V

1 2 3 4 5 6 7 8

0,4552 0,1326 0,4188 0,1747 –0,3252 0,4865 0,3365 0,3371

–0,035 0,6235 –0,2252 –0,0568 –0,0769 –0,167 –0,3533 0,6305

–0,287 0,2161 0,2755 0,83663 0,2564 –0,1597 0,0459 –0,0411

0,1920 –0,5797 –0,0872 0,332 –0,0201 0,1746 –0,637 0,2696

–0,4331 –0,4507 0,0710 –0,0635 –0,1294 –0,2817 0,4092 0,5802

0,2827 –0,0309 0,6244 –0,1548 –0,1849 –0,6334 –0,2531 –0,0767

–0,3333 0,0298 0,5267 –0,3576 0,5079 0,3861 –0,2375 0,1391

0,5419 –0,077 –0,1346 –0,0149 0,7165 –0,2231 0,2575 0,2294

У ній перший рядок являє собою власні вектори, а відповідні

стовпці значень, починаючи з другого рядка – нормовані власні векто-

ри. Для зручності власні значення розташовані у порядку спадання їх

значень. Зміна частки поясненої дисперсії вихідних ознак при вклю-

ченні чергового власного значення наведена у таблиці 9.5.