Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

Приклад 12.3

Розрахуємо коефіцієнти когерентності для наведених у попе-

редньому прикладі даних.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

145,0145,00

145,0288,0143,0

0143,0143,0

K .

Отже, цілком відокремлених підмножин у цьому випадку не-

має, але найбільша подібність до інших підмножин сукупності спосте-

рігається для другої підмножини.

Розрахуємо узагальнений коефіцієнт когерентності:

k = 0,144.

Таке значення свідчить про досить непогану характеристику розбиття

вихідної сукупності даних на підмножини.

12.2. Частково відокремлені підмножини

1. Метод транспозиції. Оцінювання параметрів автономних

функцій псевдорегресії на основі повної сукупності даних можливе,

коли виділені підмножини даних не є повністю відокремленими. У

такому випадку оцінювання для окремої підмножини проводиться за

даними всіх підмножин, однак спостереження з різних підмножин

зважуються:

min)

€

(

→⋅−=ψ

∑

ijij

ayy

, (12.10)

де – автономна функція псевдорегресії

j-ї підмножини;

€

– коефіцієнти подібності j-ї підмножини з іншими;

m – кількість спостережень.

Корекція спостережень, віддалених від даних підмножини, для

якої проводиться оцінка моделі, здійснюється за формулами:

isijis

iiji

xax

yay

, (12.11)

де

Y – пояснювана ознака;

–пояснюючі ознаки, s = 1, 2, …, n.

111

Величини

входять в – функцію псевдорегресії для j-ї

підмножини.

€

При використанні для корекції даних коефіцієнти простої ко-

герентності використовують формули:

isijis

iiji

xkx

yky

(12.12)

min)

€

(

→⋅−=ψ

∑

ijij

kyy

. (12.13)

2. Метод мультиплікації. Особливістю даного методу є те,

що в кожній з виділених підмножин у декілька раз збільшується кіль-

кість спостережень. Збільшення відбувається пропорційно значенням

коефіцієнта когерентності:

min)

€

()(

10 →−⋅=ψ

∑∑

sgsg

igj

yyk

, (12.14)

де

k – кількість однорідних підмножин даних;

m – кількість об’єктів підмножини з номером j;

h – деяка константа, що виражається натуральним числом. Во-

на визначає значення мультиплікатора 10

, який показує, у скільки раз

збільшується кількість об’єктів у підмножині.

Недолік методу пов’язаний із суб’єктивізмом у виборі значен-

ня величини

12.3. Повністю відокремлені підмножини

У тому випадку, коли не виконується одна з головних вимог

при оцінюванні параметрів економетричної моделі (кількість значень

повинна бути більшою кількості ознак), застосовуються методи з об-

меженою інформацією. Ці методи застосовуються також і у випадку

розбиття вихідної сукупності даних на повністю відокремлені підмножини.

Перша група методів, що використовуються в такій ситуації,

базується на наступному:

112

сукупність пояснюючих ознак поділяється на підгрупи,

щоб кількість спостережень в підмножині була більшою за кількість

ознак у підгрупі;

для кожної підгрупи оцінюється функція регресії;

одержані функції агрегуються в одну, яка буде містити всі

вихідні ознаки.

Оцінювання функції регресії здійснюється окремо для кожної

однорідної підмножини даних (тобто, кроки 1-3) повторюються для

кожної підмножини).

1. Метод блоків, що не перетинаються. Метод оснований на

виконанні наступних операцій.

А. Ознаки розташовуються в наступному порядку: на перше

місце ставиться ознака, що має найбільший за модулем коефіцієнт

кореляції з пояснюваною ознакою, на друге – ознака з другим за абсо-

лютною величиною коефіцієнтом кореляції і т.д. Далі вихідні ознаки

розбиваються на підгрупи. Впорядкування потрібне для того, щоб в

кожній з виділених підгруп ознак був приблизно однаковий об’єм ін-

формації: const,

n≈

∑

– кількість ознак у виділеній підгрупі.

Б. Оцінюється незалежно одна від одної функція регресії для

кожної підгрупи ознак:

111

...)(

€

nnji

XgXgXgXfY +++== . (12.14)

В. Обчислюються теоретичні значення .

€

Г. Оцінюються параметри рівняння:

YbYbYbY

€

...

€€€

2211

+++=

, (12.15)

де

k – кількість підмножин.

2. Метод блоків, що перетинаються

А. Вихідні ознаки впорядковуються аналогічно попередньому

методу.

Б. В першу підгрупу відбирається перших

ознак.

Кожна наступна підгрупа ознак одержуються шляхом відки-

дання першої ознаки і приєднання до неї наступної.

В. Для кожної групи ознак оцінюється функція регресії.

113

Г. Одержані функції регресії агрегується в одну. Оскільки в

сусідні входять однакові ознаки

€

, то проводиться їх групування і

зведення коефіцієнтів для одержання кінцевого виду рівняння.

Висновки.

При оцінюванні параметрів функції регресії в умо-

вах обмеженої інформації застосування різних методів дає взагалі ка-

жучи різні результати. Хоча оцінювані функції містять одні і ті ж по-

яснюючі ознаки і досить добре узгоджуються з емпіричними даними,

значення коефіцієнтів регресії досить часто значно відрізняються. Це

можна пояснити тим, що одну і ту ж економічну мету можна досягти

різними методами, які еквівалентні з точки зору моделювання, але різ-

ні з точки зору структури витрат. Саме в таких випадках доцільно за-

стосовувати методи оцінювання параметрів економетричної моделі в

умовах обмеженої інформації.

Питання для самоперевірки

1. У чому полягає сутність проблеми відокремлення підмно-

жин? Які є види відокремлення?

Які є характеристики якості розбиття даних на однорідні

підмножини? У чому полягають відмінності між ними?

Як здійснюється побудова функції регресії для частково ві-

докремлених підмножин?

Як здійснюється побудова функції регресії для повністю ві-

докремлених підмножин?

114

ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЛАСТІ

ВИЗНАЧЕННЯ МОДЕЛІ

13.1. Область та псевдообласть визначення моделі

Регресійні моделі найчастіше застосовуються для визначення

прогнозного значення результуючої ознаки при заданому наборі чин-

ників. Однак ці значення не можна обирати довільно, вони повинні

відноситись до певної області , яка визначається значеннями реалізацій

ознак. Ця область називається

областю визначення моделі. Довести,

що задана точка належить цій області є досить складним завданням. У

такому випадку не можна обмежитись перевіркою умов

≤

, (13.1)

де a = min x

j ij

, b

= max x

, оскільки така перевірка не є достат-

ньо точною.

Наприклад, для двовимірного простору (площини) система об-

межень (13.1) задасть прямокутну область (рис. 13.1), у той час як об-

ласть визначення моделі значно менша і являє собою еліпсоїдальну фігуру.

Рис. 13.1 – Область та псевдообласть визначення моделі

115

Прямокутний багатовимірний паралелепіпед, що одержується

внаслідок обмежень (13.1), називається

псевдообластю визначення

моделі.

Очевидно, що точно визначити область визначення моделі

важко і не завжди можливо. У громіздких моделях при великій кіль-

кості пояснюючих ознак обчислення прогнозних значень пов’язано з

помилками, оскільки вихідні дані для прогнозу можуть обиратись із

псевдообласті визначення моделі.

Для знаходження області визначення моделі необхідно знайти

межі реалізацій пояснюючих ознак. Для цієї мети скористаємось по-

няттям полюса та осі сукупності.

Як відомо, вісь сукупності являє собою пряму, що проходить

через верхній

(xB

, x

, …, x

) та нижній полюси P

, x

, …, x

Тоді параметричне рівняння осі сукупності має такий вигляд:

x = x

i i*

+ a

⋅

t, (13.2)

де

⋅

= x – x

i i*

Для знаходження області визначення моделі потрібно знати

проекції точок

на вісь сукупності, причому проекції повинні бути

перпендикулярними одній з осей координат, які утворюють пояснюючі

ознаки. Ознака, що визначає цю вісь, обирається на основі змістовного

аналізу. Ця ознака буде характеризуватись тим, що вона приймає до-

вільні значення на всьому інтервалі варіації. Тому в ролі такої ознаки

обирається та, для якої з економічної точки зору це найбільш природ-

но. Цю ознаку називають

вільною. Значення решти ознак одержують

значення в залежності від заданого значення вільної ознаки.

Якщо змістовний аналіз не дозволяє однозначно обрати вільну

ознаку, то використовують методи статистичного аналізу. У такому

випадку вільною обирають ознаку з найбільшим значенням коефіцієн-

та варіації

= .

Позначимо вільну ознаку через

. Наступним кроком після її

визначення є побудова прямокутної проекції осі сукупності з простору

в простір R

, який задається системами координат OX X

. Ці проек-

ції виражаються рівняннями:

.)(

,)(

1*11

txxxz

kkkk

−+=

. (13.3)

116

Далі через точки

′

= (x

, x

), які являють собою проекції

точок

P = (x

s s1

, x , … , x

s2 sn

) на відповідні площини OX

проводять-

ся прямі, перпендикулярні

. Рівняння цих прямих мають вигляд z

= x

Перетин цих прямих з прямими, що задаються рівняннями

(13.3) дають точки, які і є шуканими проекціями емпіричних точок на

вісь сукупності. Тоді виконується умова

z = x

s11

, яка дозволяє знайти

параметр

t з першого рівняння системи (13.3):

*11

−

. (13.4)

Підставивши значення

t в друге рівняння системи (13.3), одер-

жимо другу координату точки

′

*11

)(

xxxw

kkksk

−

−+=

. (13.5)

Таким чином одержують проекції

′

точок P

′

на вісь сукуп-

ності. Позначивши

w = x

s1 s1

, запишемо координати проекцій цих то-

чок:

′

= (w

, w

Викладена процедура знаходження проекцій проілюстрована

на рис. 13.2. Червоним кольором відмічені точки-полюси, яких на-

справді у вихідній сукупності даних немає.

Рис. 13.2 – Побудова проекцій точок на проекцію осі сукупності

117

У пропонованій методиці проекції будуються двічі. Перший

раз – коли будуються проекції вихідних точок

і осі сукупності на

площини

. Другий раз – коли знаходяться проекції точок P

′

на

проекції осі сукупності; ці дії вже проводяться у двовимірному прос-

торі (що і зображено на малюнку).

13.2. Межі умовних інтервалів варіації пояснюючих ознак

Знайдені точки P

′

та W

′

дозволяють обчислити різниці між

координатами пояснюючих ознак моделі та, відповідно, визначити

розмах варіації цих ознак при довільних значеннях вільної ознаки. Різ-

ниці

знаходяться за формулою:

sksksk

wxd −= . (13.6)

Ці різниці характеризують ступінь розсіювання точок P

навколо осі сукупності, причому вимірювання величин різниць здійснюєть-

ся паралельно осі

. .Якщо знайти максимальні значення таких різниць:

dd max

, (13.7)

то інтервали, довжина яких становить

, будуть містити всі точки-

спостереження

. Використовуючи одержані величини, можна переві-

ряти приналежність довільної точки до області визначення моделі.

Процедура перевірки точки

P = (x

a a1

, x

, … , x

) укладається у ви-

конання наступних кроків:

1. Знайти проекцію точки

′

= (x

, 0, … , 0) на вісь сукупнос-

ті. Одержимо точку

= (w

, w

, … , w

). Перша координата зна-

ходиться з рівності

= x

, інші – за формулою (13.5):

*11

)(

xxxw

kkkak

−

−+=

, k = 2, 3, … n.

При цьому повинна виконуватись умова:

111

maxmin

sas

xxx

≤

2. Опираючись на вираз (13.7), знайти допустимі межі умовних

інтервалів варіації пояснюючих ознак:

118

'''

kakk

cxc

dwc

≤≤

−=

(13.8)

Крім того, повинна виконуватись умова:

.max,min

'''

ksk

xcxc ≤≥

(13.9)

Очевидно, що в залежності від вибору вільної ознаки кожен

раз буде побудована нова область визначення моделі. Всі одержані

таким чином розв’язки будуть рівнозначними з тієї точки зору, що ме-

жі інтервалів варіації ознак у різних варіантах не суперечать один од-

ному. Це означає, що коли деяка точка

P не належить області визна-

чення моделі в одному якомусь варіанті, то вона не буде їй належати і

в інших варіантах. І навпаки, якщо така точка входить в область виз-

начення моделі в одному варіанті, то вона увійде до неї і в інших варі-

антах також.

На рис. 13.3 наведений приклад побудови фрагмента області

визначення моделі в одній з площин. Як випливає з рисунка, вона дійсно

має еліпсоїдальну форму. Помітимо, що якби в ролі вільної ознаки був

би обраний чинник

, то ми би одержали таку саму фігуру.

Рис. 13.3 – Побудова області визначення моделі

119

В загальному випадку область визначення моделі геометрично

буде однаковою для кожного варіанта її побудови, і умовні інтервали

варіації ознак будуть несуперечливими.

Приклад 13.1

Для аналізу залежності продуктивності праці (Y) від наступних

чинників:

– вартості сировини та матеріалів (млн грн);

– заробітної плати (тис. грн);

– основних промислово-виробничих фондів ( млн грн);

– відрахувань на соціальне страхування (тис. грн)

побудована економетрична модель:

Y = 15,031 + 0,883 X

+ 2,876 X – 0,006 X

2 3

– 0,076X

Дані для побудови моделі наведені у таблиці 13.1. Потрібно

визначити, чи можна використати цю модель для обчислення прогноз-

них значень продуктивності праці при заданих значеннях чинників, які

наведені у таблицю 13.2.

Таблиця 13.1

Номер

X X X X Y

об’єкта

1 2 3 4

1 0,865 0,651 2,627 54 10,6

2 9,571 1,287 9,105 105 19,7

3 1,334 1,046 3,045 85 17,7

4 6,944 0,944 2,554 79 17,5

5 4,662 1,26 6,417 105 14,4

6 2,1 1,212 4,845 101 9,4

7 1,215 0,254 0,923 19 11,9

8 5,191 1,795 9,602 150 13,9

9 4,965 2,851 12,542 240 8,9

10 2,067 1,156 6,718 96 14,5

Таблиця 13.2

X X X XНомер об’єкта

1 2 3 4

1 15,280 6,175 14,009 405

2 1,020 0,766 4,257 90

3 13,324 1,099 6,021 145

120