Конспект лекцій - Економетричне моделювання

Подождите немного. Документ загружается.

наявності в кожному рівнянні системи тих властивостей, які були

описані при розгляді методу. Параметри моделі можуть бути оцінені

одночасно для всіх рівнянь системи за вже відомою нам формулою:

][][

YXXXA

TT −

= , (4.5)

де

A – матриця параметрів моделі розмірністю (n + 1) × k;

X – матриця екзогенних величин розмірністю m × (n + 1);

Y – матриця ендогенних змінних розмірністю m × k.

В деяких випадках система (4.2) може приймати такий вигляд:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++++++++=

++++++=

+++++=

++++=

−−

.......

........,................................................................................

,...

1101,12211

33131302321313

22121201212

11111101

knknkkkkkkkk

eXaXaaYbYbYbY

eXaXaaYbYbY

eXaXaaYbY

eXaXaaY

.(4.6)

Така форма моделі називається рекурсивною моделлю. Її особли-

вістю є те, що кожне наступне рівняння містить в правій частині лише ті

ендогенні змінні, які визначені попередніми рівняннями. Оцінка парамет-

рів моделі здійснюється для кожного рівняння окремо. Спочатку знахо-

дяться оцінки параметрів першої моделі. Для цього можна застосувати

МНК. Після цього обчислюються розрахункові значення

. Далі вони

використовуються як пояснюючі змінні для другого рівняння, з якого за

МНК оцінюються параметри. Цей метод в такому випадку можна засто-

сувати, оскільки всі змінні є незалежними від помилки

. Продовжуючи

цей процес, знаходяться оцінки всіх параметрів моделі.

Недоліком такого методу є те, що на кожному кроці розмір-

ність матриць, які приймають участь в обчисленнях, зростає. Однак,

враховуючи сучасні можливості засобів обчислювальної техніки, цей

недолік не є істотним.

4.2. Методи оцінки параметрів симультативних моделей

1. Проблема ототожнення симультативної моделі. Як уже

зазначалось, МНК для оцінки параметрів симультативної моделі в за-

гальному випадку застосовувати не можна. Тому в такому випадку

використовуються інші методи.

Нехай система одночасних регресій задана у матричному ви-

гляді (4.3). Припустимо, що

det(B)

≠

0. Тоді цю систему можна пере-

писати у вигляді:

=++

−−

LBAXBY

, (4.7)

або

UCXY

, (4.8)

де . (4.9)

LBUABC

−−

−=−=

Матрицю

C можна записати в розгорнутому виді:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

mnmmm

cccc

...

...............

...

210

3323130

2222120

1121110

. (4.10)

Система вигляду (4.8) називається зведеною або прогнозною

формою моделі. Її особливістю є те, що ендогенні величини виража-

ються лише через екзогенні змінні. Оскільки помилки

є комбінація-

ми помилок

, то вони статистично незалежні з екзогенними змінни-

ми. Отже, параметри матриці

С можна оцінити з системи (4.8) за до-

помогою МНК. Однак далі для оцінки параметрів матриць

A та B

потрібно розв’язати матричне рівняння:

ABC

1−

−=

, (4.11)

або

BCA

. (4.12)

Проблема полягає в тому, що кількість параметрів, які потрібно

оцінити

(k × (k – 1) + m × (n + 1)) більша за кількість рівнянь (m × (n + 1)).

Ця проблема одержала назву проблеми ототожнення (ідентифікації)

симультативної моделі.

Модель називається

ототожненою (ідентифікованою), якщо

за значеннями матриці

С зведеної форми моделі можна знайти матриці

А та В структурної форми.

Ототожнена модель може бути як

точно ототожненою, так і

переототожненою. У першому випадку можна одержати однозначну

оцінку її параметрів (матриці

А та В). У другому випадку для деяких

параметрів існує можливість отримати більше, ніж одне кількісне зна-

чення.

Крім того, модель може бути

неототожненою (не ідентифі-

кованою)

– коли оцінка параметрів структурної форми за значеннями

параметрів зведеної форми неможлива.

Введемо наступні позначення:

k – кількість ендогенних величин в i-му рівнянні;

–кількість екзогенних величин в i-му рівнянні.

Тоді

i-те рівняння ототожнене, якщо виконується умова:

n – n

≥ k – 1, (4.13)

або

n – 1

≥ k + n . (4.14)

i i

Тобто, загальна кількість невідомих ненульових коефіцієнтів

і-го

рядка матриць

А та В не повинна перевищувати кількість коефіцієнтів

і-го рядка матриці С. Якщо в умовах (4.13 – 4.14) має місце рівність то

рівняння точно ототожнене, інакше – переототожнене.

Система буде точно ототожненою, якщо ототожнене кожне її

рівняння.

2. Непрямий метод найменших квадратів. Якщо система

ототожнена, то для оцінки параметрів її структурної форми можна за-

стосувати непрямий метод найменших квадратів (НМНК). Сутність

його полягає у виконанні наступних кроків.

Крок 1. Система зводиться до зведеної форми і за допомогою

МНК оцінюються її параметри.

Крок 2. Записується система рівнянь (4.11) або (4.12). Слід за-

уважити, що форма (4.12) є більш зручною, оскільки містить коефіцієн-

ти матриці

В, у той час як (4.11) містить коефіцієнти матриці В

-1

, і для

знаходження матриці

В потрібні будуть додаткові перетворення.

Крок 3. Одержана система рівнянь розв’язується. Враховуючи

ототожненість кожного рівняння, невідомі коефіцієнти будуть одно-

значно обчислені.

Для одержання прогнозу зручніше використовувати зведену

форму моделі, оскільки вона виражає залежність ендогенних величин

лише від екзогенних.

Приклад 4.1

Розглянемо застосування НМНК для ототожненої системи, яка міс-

тить дві ендогенні та дві екзогенні змінні. Тоді система має такий вигляд.

⎩

⎨

⎧

+++=

2222201212

1111102121

exaayby

ttt

. (4.15)

Розв’язування

Очевидно, що умова ототожнення виконується. У матричному

вигляді ця система прийме вигляд:

BY + AX + L = 0, (4.16)

де

(4.17)

2220

1110

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Припустимо, що det(B) ≠ 0. Тоді систему можна подати у

вигляді:

Y = CX + U, (4.18)

де (4.19)

222120

121110

LBU

ccc

ABC

−−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Для системи (4.18) за МНК можна обчислимо параметри мат-

риці

C: C = [X

-1

·[X

Y].

Після цього можна знайти розв’язок початкової системи (4.15).

Система рівнянь, що пов’язує матриці

A, B та C має такий вигляд:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=+−

=+−

−=+−

=+−

−=+−

22122122

112121

20102120

221212

11211211

10201210

acbc

cbc

acbc

cbc

acbc

. (4.20)

Розв’язок цієї системи має вигляд:

12212211

10212011

12212211

12202210

cccc

−

(4.21)

Отже, для випадку двох ендогенних та двох екзогенних змін-

них і залежності між ними виду (4.15) формули для обчислення пара-

метрів моделі мають досить простий вигляд і не складні з обчислювальної

точки зору.

3. Двокроковий метод найменших квадратів. Як зазначалось

раніше, НМНК може застосовуватись лише при виконанні досить жор-

сткої умови – точного ототожнення кожного рівняння системи. Оче-

видно, що на практиці така умова виконується далеко не завжди. У

таких випадках потрібно застосувати інші методи, одним з яких є дво-

кроковий метод найменших квадратів (2МНК).

Нехай маємо систему одночасних регресій, задану у вигляді

(4.2). Ідея методу полягає у тому, що величини

потрібно замінити

новими змінними

Y’

які близькі до перших, але не корельовані з по-

милкою моделі. Далі, підставивши нові змінні в систему рівнянь в пра-

ву її частину, залишивши в лівій частині початкові ендогенні змінні

знаходимо оцінку параметрів моделі.

Застосування методу на практиці укладається у виконання нас-

тупних кроків.

Крок 1. Система перетворюється до зведеної форми, і за допо-

могою МНК оцінюються її параметри. Після цього обчислюються роз-

рахункові значення ендогенних змінних

, Ŷ

, ..., Ŷ

Крок 2. Вважаючи значення Y

, Y

, …, Y

, що знаходяться у

правій частині системи (4.2)

передвизначеними, після заміни їх на

значення

, Ŷ

, ..., Ŷ

за МНК знаходимо оцінки параметрів для кож-

ного рівняння окремо. Враховуючи властивість мультиколінеарності,

яка притаманна кожній такій регресії, для розв’язання системи норма-

льних рівнянь слід застосувати не метод оберненої матриці, а метод

Жордана-Гауса.

Приклад 4.2

Нехай задана система одночасних регресій, яка містить дві ен-

догенні та дві екзогенні змінні.

⎩

⎨

⎧

++++=

2222121201212

1212111102121

exaxaayby

tttt

. (4.22)

Оцінити параметри цієї моделі. Вихідні дані задані в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

X 36,0 44,0 62,0 65,0 69,0 72,0 76,0 80,0 86,0 88,0

X 3,9 4,7 5,6 6,9 6,6 6,3 6,9 7,7 8,9 8,5

Y 44,1 62,2 72,0 84,5 96 107,9 114,4 127,3 132,7 148,4

Y 60,9 67,3 69,2 70,4 72,5 70,7 74,3 73,8 77,4 75,5

Розв’язування

Очевидно, що умова ототожнення не виконується. Тому для

оцінки параметрів моделі скористаємось 2МНК.

На першому кроці оцінимо параметри зведеної форми моделі

та обчислимо розрахункові значення ендогенних величин. Результати

занесемо до таблиць 4.2 – 4.5.

Таблиця 4.2

Матриця Х Матриця Y

36,0 3,9 44,1 60,9 1

44,0 4,7 62,2 67,3 1

62,0 5,6 72,0 69,2 1

65,0 6,9 84,5 70,4 1

69,0 6,6 96,0 72,5 1

72,0 6,3 107,9 70,7 1

76,0 6,9 114,4 74,3 1

80,0 7,7 127,3 73,8 1

86,0 8,9 132,7 77,4 1

88,0 8,5 148,4 75,5 1

Таблиця 4.3

X [X

-1

10 678,0 66,0 2,06 0,00 –0,33

678,0 48562 4705,7 0,00 0,00 –0,05

66,0 4705,7 457,9 –0,33 –0,05 0,58

Таблиця 4.4

Y А = [X

-1

989,50 712,00 –31,99 52,54

72023,50 48964,10 1,60 0,17

6975,95 4762,55 3,40 1,09

Таблиця 4.5

Матриця Ŷ

38,9 62,9

54,4 65,1

86,3 69,1

95,5 71,1

100,9 71,4

104,6 71,6

113,1 72,9

122,2 74,5

135,9 76,8

137,7 76,7

На другому кроці оцінимо параметри моделі для кожного рів-

няння окремо. Так, для першого рівняння матриця

та век-

тор

]

€

YXZ =

записані у таблиці 4.6, а матриці [Z Z]

-1

та [Z Y

] – у таблиці 4.7.

Таблиця 4.6

Матриця

]

€

YXZ =

Вектор Y

1 36,0 3,9 62,9 44,1

1 44,0 4,7 65,1 62,2

1 62,0 5,6 69,1 72,0

1 65,0 6,9 71,1 84,5

1 69,0 6,6 71,4 96,0

1 72,0 6,3 71,6 107,9

1 76,0 6,9 72,9 114,4

1 80,0 7,7 74,5 127,3

1 86,0 8,9 76,8 132,7

1 88,0 8,5 76,7 148,4

Таблиця 4.7

-1

]

10 678 66 712 989,5

678 48562 4705,7 48964,1 72023,5

66 4705,7 457,9 4762,6 6975,95

712 48964,1 4762,6 50880,3 71772,8

У результаті перше рівняння структурної форми матиме такий

вигляд:

= 15,18 + 0,90Y

+ 1,75X

+4,38X

Аналогічно оцінюються параметри другого рівняння, яке в ре-

зультаті буде мати вигляд:

= 103,9 + 2,67Y

– 0,83X

+28,68X

Відзначимо особливості 2МНК:

− метод можна застосовувати для окремих рівнянь системи

без урахування інших;

− для переототожнених рівнянь метод дає єдину оцінку пара-

метрів, у той час як НМНК дає декілька оцінок;

− для застосування методу потрібно знати лише загальну кіль-

кість екзогенних або попередньо визначених змінних в системі;

− для точно ототожнених рівнянь цей метод і НМНК дають

ідентичні оцінки.

4. Трикроковий метод найменших квадратів. Як відзнача-

лось раніше, наявність кореляційних зв’язків між помилками різних

регресійних рівнянь, що складають взаємозалежну систему, призво-

дить до втрати властивості ефективності оцінок їх коефіцієнтів. У та-

кому випадку рекомендується використовувати трикроковий метод

найменших квадратів (3МНК). Його перевагою є те, що він дозволяє

оцінити коефіцієнти структурної форми для всіх рівнянь одночасно.

Нехай є система одночасних регресій, подана у вигляді (4.2).

Процедура оцінки коефіцієнтів структурної форми моделі містить на-

ступні кроки.

Крок 1. Як і в попередніх розглянутих методах, система регре-

сій перетворюється до зведеної форми, і за допомогою МНК оціню-

ються її параметри. Після цього обчислюються розрахункові значення

ендогенних змінних

Ŷ , Ŷ , ..., Ŷ

1 2

Крок 2. Як і в 2МНК, далі оцінюються параметри для кожного

рівняння окремо. При цьому значення

, Ŷ

, ..., Ŷ

замінюють в правій

частині системи ендогенні змінні

, Y , …, Y

k 1

. Додатково при цьому

обчислюються значення помилки для кожного рівняння. На основі їх

значень будується коваріаційна матриця

Ω, елементи якої обчислю-

ються за формулою:

∑

=σ

jsisij

. (4.23)

Крок 3. За допомогою УМНК визначаються кінцеві оцінки ко-

ефіцієнтів структурної форми моделі:

][][

111

YZZZD

TT −−−

ΩΩ= , (4.24)

де Z = [Y|X] – матриця, сформована з вихідних значень ендо-

генних та екзогенних змінних.

Теоретично вони будуть більш ефективними порівняно з тими,

що одержані за допомогою 2МНК.

У тому випадку, коли взаємо кореляція між помилками струк-

турної форми моделі відсутня, розглянутий метод не має переваг перед

2МНК. Крім того застосування 3МНК має певні обмеження, що зни-

жують його універсальність. Одне з них полягає в тому, що метод за-

стосовується лише для ототожнених та переототожнених рівнянь систем.

Питання для самоперевірки

1. Що собою являє система одночасних регресій? Охаракте-

ризуйте передумови її використання.

Які є різновиди систем одночасних регресій?

Які є форми запису систем одночасних регресій? У чому

між ними відмінність?

У чому сутність проблеми ототожнення системи одночас-

них регресій?

Якими методами можна проводити оцінку параметрів сис-

теми одночасних регресій?

У чому сутність НМНК?

У чому сутність 2МНК?

У чому сутність 3МНК?

ВИЗНАЧЕННЯ ОДНОРІДНОСТІ

ПІДМНОЖИН ОБ’ЄКТІВ

5.1. Види однорідних підмножин

Реалізації багатовимірних величин є об’єктами таксономічних

досліджень, тому їх розглядають, як вектори або точки, які розташова-

ні в багатовимірному просторі. Ці об’єкті розрізняються як за рівнем,

так і за структурою даних.

Рівень значень визначає довжину вектора, а структура – кут між

векторами. Чим більші значення ознак, тим далі від початку координат

розташована точка-об’єкт, а отже і тим більша довжина вектора. З іншо-

го боку, структура показує для кожного об’єкта частку значень кожної

ознаки в їх загальній сумі. Отже, однакові структури будуть спостеріга-

тись для колінеарних векторів, в яких пропорції значень однакові.

Вибір однорідності за рівнем, структурою чи обома цими ха-

рактеристиками, визначається дослідником, виходячи з сутності зав-

дання, що розв’язується, і цілей дослідження. Відповідно, розрізняють

такі види однорідності:

− ізотропність – за рівнем та структурою одночасно;

− ізотонічність – за рівнем значень;

− ізоморфічність – за структурою.

Інформація про розташування точок у багатовимірному прос-

торі дозволяє прийняти гіпотезу про форму моделі. Якщо точки роз-

ташовані у формі еліпсоїда, а розподіл багатовимірної випадкової ве-

личини відповідає нормальному, то модель має лінійний вигляд.

Однорідність даних потрібна для того, щоб правильно відібрати

об’єкти для побудови моделі. Однак різні ознаки мають різні одиниці ви-

міру, тому в основі всіх методів лежить узгодження даних. Наприклад,

вартість основних фондів підприємства вимірюється у тис. грн, серед-

ньомісячна заробітна плата на одного працюючого – у сотнях грн, а

собівартість одиниці продукції – у грн, або й у копійках. Очевидно, що

дисперсії таких ознак, близькі за значеннями, мають різний смисл.

Конкретні способи узгодження даних будуть розглянуті пізніше.

1. Ізотропні підмножини. Найчастіше використовуються та-

кі таксономічні методи, за допомогою яких виділяються підмножини,

однорідні в змісті ізотропності (об’єкти, що належать тій самій під-

множині, мало відрізняються один від одного за рівнем і структурою

значень ознак). Справа в тому, що, як правило, позбутися від одиниць

виміру ознак можна шляхом так званої стандартизації: