Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Степень устойчивости называется колебательной, если она оп-
ределяется комплексным полюсом, и апериодической, если она оп-
ределяется вещественным полюсом. Характер степени устойчивости
определяет характер переходного процесса.
Другой косвенной оценкой ка-
чества переходного процесса яв-
ляется степень колебательно-
сти
и
µ
, определяемая отношени-
ем мнимой части ближайшего к
мнимой оси полюса передаточной
функции замкнутой системы к его
вещественной части (рис. 11.5),
т.е.
ψ=
η
ω
=µ tg
и
и
. (11.14)
Исследование степени колебательности может быть сведено к ис-
следованию устойчивости некоторой преобразованной системы с ха-
рактеристическим полиномом, полученным из
)(
*
з
qA заменой
и
и
µ
ω
−=η−= qqq , где
const
и
=
µ
. Здесь также применим любой из
известных аналогов критериев устойчивости.
Пусть передаточная функция САУ с АИМ
)(
),(
),(
*
з
*
з
*
з
qA
qB
qW
ε
=ε
содержит пару комплексных сопряженных полюсов
1и2,1
~
ω
±η−= jq ,
определяющих колебательную степень устойчивости или степень ко-
лебательности. Тогда можно получить приближенное выражение для
переходной характеристики
[
]
)(cos)(2),0(] ,[
111
*
з
εθ+ωε−ε≈ε
ξ
−
neMWny
n
, (11.15)
где
−ω±η−
εω±η−
=εθ
−ω±η−
εω±η−
=ε
ω±η−
ω±η−
.
)1)((
),(
arg)(
,
)1)((
),(
)(
1и
1и
1и
*
з
1и
*
з
1
1и
*
з
1и
*
з
1
j
j
ejQ
jP
ejQ
jP
M
(11.16)
qIm
2
q ω
1
q
ψ
0
qRe
3
q
и
η
Рис. 11.4. Определение степени
колебательности
q
Решетчатая функция ],[
ε
n
y
, рассчитанная по формулам (11.15),
(11.16) при
cons
t
=
ε , качественно изображена на рис. 11.5, а. Пунк-
тиром показана огибающая решетчатой функции при
10 <ε< .
Как уже было отмечено выше, основными показателями качества
переходного процесса являются перерегулирование
σ
и время пере-
ходного процесса
пп
n
(иногда его называют временем регулирова-
ния
р
n ). Время переходного процесса можно оценить соотношением
α
ε
η
≥
)(2
ln
1
1
и
пп
M
n
, (11.17)
где
05,0=α для общепромышленных систем. Перерегулирование
%100
уст
устmax
⋅
−
=σ
y
yy
(см. рис. 11.5, а).
Первая разность выходной величины
[][]
{}
. )(cos)(cos)(2
],[] ,1[] ,[
111111
ии
εθ+ω−εθ+ω+ωε−≈
≈
ε
−ε+=ε∆
η−η−
nneeM
n
y
n
y
n
y
n
Ее график изображен на рис. 11.5,
б. Очевидно время первого макси-
мума
11max
ε+= nn , где
1
n – целое число, а
1
ε
должно удовлетво-
рять неравенствам
.0] ,[ ,0] ,1[
1111
≤
ε
∆
≥
ε
−∆ nyny
Определив из этих неравенств
11max
ε
+
=
nn
и подставив его в
(11.15), можно рассчитать максимальное значение
{}
] ,[max
maxmax
ε= nyy и оценить перерегулирование в системе.
Косвенными оценками, учитывающими не только время пере-
ходного процесса, но и его отклонение в системах с АИМ могут слу-
жить
суммарные оценки, аналогичные интегральным оценкам в не-
прерывных системах:
{}
|
0
*
з
0
уст1
),(
)(
] ,[] ,[)(
=
∞
=
ε−=ε−ε=ε
∑
q
q
n
qW
ed
d
nynyJ ,
{}
∫
∑
π
∞
=
ω
ω
εω
π
=ε−ε=ε
0
2
*
з
*
з
0
2
уст2
)(
),(
1
] ,[] ,[)( d
jA
jB
nynyJ
n
.
Примеры применения суммарных оценок приведены в [11].
Пример 11.3. Оценить степень устойчивости, степень колеба-
тельности и время переходного процесса для САУ с АИМ, изобра-
женной на рис. 9.8, при
2,0
=
β
, 1
=
γ
и значениях коэффициента пе-
редачи
2
и
=k , 5
и
=k , 8
и
=
k , 9
и
=
k .
Характеристический полином САУ при
1
=
γ
имеет вид
)]1(1[)0,(
и
*
з
−−−=
β
β
−
ekeeqA
q
,
отсюда полюс ее передаточной функции
β−−−=
β
γ
)]1(1ln[
~
и1
ekq .
Тогда:
при
2
и
=k 785,02,0)]1(21ln[
~
2,0
11
−=−−−= eq ;
] ,[ εn
y
max
y
уст
y
ε ε+= n
t
max
n
пп
n
а
],[
ε
∆ ny
ε+= n
t
0
ε
б
Рис. 11.5. Переходная характеристика (а) и ее первая разность (б)
при 5
и
=k jeq 142,3435,22,0)]1(51ln[
~
2,0
12
+−=−−−= ;
при
8
и
=k jeq 142,346,02,0)]1(81ln[
~
2,0
13
+−=−−−= ;
при
9
и
=k jeq 142,3207,02,0)]1(91ln[
~
2,0
14
+−=−−−= ;
На рис. 11.6 приведены зависимости
)(
ии
kf
=
η
,
)(
ии
kf=µ
и
)(
ипп
kfn =
, рассчитанные по формулам (11.13), (11.14) и проинтер-
полированные в заданном диапазоне изменения
и
k . Зависимость
)(
ии
kf=η
имеет максимум при
5
и
≈
k
. Уменьшение степени устой-
чивости при
5
и
<k
обусловлено логарифмической зависимостью
при вычислении полюса
q
~
. Степень колебательности
и
µ резко воз-
растает с ростом
и
k , а время переходного процесса
пп
n имеет мини-
мум при
6
и
≈k .
ппии
, , nµη
и
k
Рис.11.6. Графики к примеру 11.3
2 3 4 5 6 7 8 9
0
3
6
9
12
15
пп
n
и
η
и
µ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Магазинников Л.И. Высшая математика III. Функции ком-
плексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.
Учебное пособие. - Томск:, Томск. гос. ун-т систем управления
и радиоэлектроники, 1999
- 205 с.
2. Математические основы теории автоматического регулирова-
ния./ Под ред. проф. Чемоданова Б.К. / Том 1, Том 2. - М:
Высшая школа, 1977.
3. Г. Деч. Руководство к практическому применению преобразо-
вания Лапласа и
Z
-преобразования. М.: ГИФМЛ, 1971. –
288 с.
4. Теория автоматического управления./ Под ред. Нетушила А.В./
Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и перераб. – М.: Высшая
школа, 1976. – 400 с.
5. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические сис-
темы (элементы теории, методы расчета и справочный матери-
ал). – Изд. 2-е, дол. и перераб. – М.: Машиностроение, 1982. –
504 с.
6. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регули-
рования и управления. – М.: Наука, 1989. – 304 с.
7. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория линейных
систем автоматического управления/ Н.А. Бабаков и др.; Под
ред. А.А. Воронова . - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.
8. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. - М.: Энер-
гия, 1975. – 416 с.
9. Лебедев Е. Д., Неймарк В. Е., Пистарк М. Я., Слежановский О.
В. Управление вентильными электроприводами постоянного
тока. - М.: Энергия, 1970. – 198 с.
10. Москаленко В. В. Теория электропривода. - М.: Высшая шко-
ла, 1991. – 392 с.
11. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. – М.:ГИФМЛ, 1958.
– 724 с.
12. Э. Джури. Импульсные системы автоматического регулирова-
ния. М,: ГИФМЛ, 1963. – 455 с.
13. Сигалов Г.Г., Мадорский Л.С. Основы теории дискретных
систем управления. – Минск,: «Вышэйш. школа», 1973. –
336 с.
14. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем авто-
матического управления. – М.: Наука, 1983. – 336 с.