Коновалов Б.И., Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
∫
∆=
t
dttyI
0
1
)(
Интеграл
1
I
называ-
ется
линейной инте-
гральной оценкой
.
Процесс будет тем
лучше, чем меньше
число
1
I .
Однако такая оценка
не годится для коле-
бательного процесса,
т.к. площади, расположенные ниже и выше прямой
)(∞
y
, будут
иметь разные знаки. Поэтому по минимуму величины
1
I наилуч-
шим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями. В связи с
этим в общем случае принимают
квадратичную интегральную
оценку качества
в виде
[]
∫
∆=
t
dttyI
0
2
2
)( .
Целесообразность применения интегральных критериев заключа-
ется в том, что в литературе [4 – 8] имеются формулы, выражающие
2
I (или другие интегральные оценки) непосредственно через коэф-
фициенты дифференциального уравнения САУ.
Интегральные критерии качества используются для определения
оптимальных значений варьируемых параметров по минимуму зна-
чения соответствующей интегральной оценки.
6. КОРРЕКЦИЯ САУ
6.1. Понятие коррекции. Способы коррекции САУ
Для того чтобы добиться желаемых показателей качества процес-
сов управления, т.е. требуемой точности и качества переходных про-
цессов, есть два пути. Первый состоит в том, чтобы изменить задан-
ные параметры системы, поскольку при этом изменятся коэффициен-
)(
t
y
)(
ст
∞
=
yy
у
0
t
Рис. 5.11. Монотонная переходная
ха
р
акте
р
истик
а
ты характеристического уравнения и, следовательно, частотные и
временные характеристики. Если при таком подходе невозможно до-
биться желаемых результатов, то идут другим путем – САУ подвер-
гают коррекции, т.е. вводят в нее дополнительные звенья, которые
называют
корректирующими устройствами.
Различают несколько способов коррекции САУ:
-
последовательная коррекция;
-
параллельная коррекция;
-
комбинированная коррекция;
-
коррекция по внешнему воздействию.
При
последовательной коррекции корректирующее устройство с
передаточной функцией
)(
к
pW
либо вводят последовательно в кон-
тур регулирования, либо подключают параллельно одному из звеньев
нескорректированной САУ.
Оба варианта включения корректирующего устройства показа-
ны на рис. 6.1.. Нескорректированная система представлена звеньями
с передаточными функциями
)(
1
pW и )(
2
pW , которые охвачены от-
рицательной обратной связью с передаточной функцией
)(
oc
pW
. В
первом случае (рис. 6.1, а) звено
)(
к
pW включено сразу на выходе
сумматора, а во втором (рис. 6.1, б) подсоединено параллельно звену
с передаточной функцией
)(
1
pW
.
g
y
а
)(
к
pW )(
1
pW )(
2
pW
)(
oc
pW
g
y
б
)(
к
pW
)(
1
pW )(
2
pW
)(
oc
pW
Рис. 6.1. Варианты последовательной коррекции
7. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ САУ
Использование только непрерывных сигналов в системах автома-
тического управления зачастую оказывается нецелесообразным вви-
ду больших энергетических затрат, а иногда и технически невозмож-
ным. В этом случае сигнал подвергают дискретизации. Систему, со-
держащую по крайней мере один элемент, у которого выходной сиг-
нал является дискретным, называют дискретной САУ.
Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный на-
зывают квантованием сигнала. Различают три способа квантования:
квантование по уровню, квантование по времени и одновременное
квантование по уровню и времени.
Способы квантования показаны на рис. 7.1. При квантовании по
уровню (рис. 7.1, а) дискретный сигнал
)(
д
tx принимает значения
непрерывного сигнала
)(
н
tx , соответствующие заданным уровням.
Если непрерывный сигнал
)(
н
tx
квантуется по времени (рис.7.1,
б), то дискретный сигнал
)(
д
tx
принимает значения непрерывного в
определенные, равно отстоящие друг от друга моменты времени. Ве-
личина отрезка между двумя соседними моментами изменения
)(
д
tx
называется периодом квантования. Сигнал, квантованный по вре-
мени и уровню
)(
д
tx
(рис.7.1., в), принимает значения уровня не-
прерывного сигнала
)(
н
tx
в дискретные, равно отстоящие друг от
друга моменты времени.
Изменение сигналов, приведенных на рис. 7.1, показано в отно-
сительном времени
T
t
t =
, где
T
– период квантования.
В соответствии со способами квантования непрерывного сигнала
САУ дискретного действия делят на три типа: релейные, импульсные
и цифровые. В релейных системах осуществляется квантование по
уровню, в импульсных – квантование по времени, в цифровых при-
меняются оба способа квантования.
В релейных системах квантование по уровню производится ре-
лейным элементом. Выходная величина релейного элемента может
принимать конечное число фиксированных уровней, которое в наи-
более распространенном случае равно двум – трем. Такие САУ яв-
ляются простейшим классом нелинейных систем и применяются для
управления объектами, имеющими повышенную инерцию. Неотъем-
лемое свойство релейных САУ – присутствие в них устойчивых ав-
токолебаний.
В импульсных САУ процесс формирования непрерывного сигна-
ла в последовательность импульсов называется модуляцией. Им-
пульсная модуляция заключается в изменении одного из параметров
выходных импульсов (модулируемого параметра) в функции величи-
ны входного (модулирующего) сигнала.
Различают три типа импульсной модуляции: амплитудную, ши-
ротную и временную.
При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) амплитуда им-
пульсов
и
A изменяется в зависимости от величины квантуемого сиг-
нала, а их длительность
и
t – постоянная величина. Если при этом на
периоде квантования
T
const
и
=
A , то имеет место АИМ первого
x(t) )(
н
tx )(
д
tx
t
в
x(t) )(
н
tx )(
д
tx
t
а
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5 6
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
Рис.7.1. Квантование сигнала по уровню (а), времени (б), уровню и
времени (в)
)(
н
tx
)(
д
tx
x(t)
t
рода (АИМ-1, рис. 7.2, а), если форма импульса изменяется внутри
периода квантования, то это АИМ второго рода (АИМ-2).
x(t)
)(
н
tx )(
д
tx
и
A
t
γ
а
0
T
2T 3T
4T 5T 6T 7T
x(t)
)(
н
tx
)(
д
tx
и
A
t
γ
б
0
T
2T 3T
4T 5T 6T 7T
x(t)
)(
н
tx
)(
д
tx
и
A
t
γ
в
0
T
2T 3T
4T 5T 6T 7T
Рис.7.2. Амплитудная (а), широтная (б) и временная (в)
импульсная модуляция
При щиротно-импульсной модуляции (ШИМ) амплитуда им-
пульсов
и
A всегда постоянна, а их длительность
и
t изменяется в за-
висимости от величины модулируемого сигнала на периоде кванто-
вания. Один из вариантов ШИМ изображен на рис. 7.2, б, когда дли-
тельность импульса (ее обычно выражают в относительных единицах
T
t
и
=γ ) изменяется за счет смешения заднего фронта импульса. Воз-
можна ШИМ, когда происходит смещение переднего фронта или од-
новременно переднего и заднего фронтов.
При временной импульсной модуляции (ВИМ) значению моду-
лируемого сигнала в дискретные равнооотстоящие моменты времени
соответствует временной сдвиг импульса, фаза или частота повторе-
ния импульсов. При этом
const
и
=
A , cons
t
=
γ и различают фазо-
импульсную модуляцию (ФИМ, см. рис 7.2, в) и частотно-
импульсную модуляцию (ЧИМ). Из связи фазы и частоты можно ус-
тановить общие свойства и различия между ФИМ и ЧИМ.
При изменении полярности модулирующего сигнала, как это по-
казано на рис. 7.2, может изменяться полярность импульсов. Такая
модуляция называется двухтактной. Если же при изменении поляр-
ности модулируемого сигнала полярность импульсов не меняется, то
имеет место однотактная модуляция.
Импульсные системы бывают линейными и нелинейными. В ли-
нейных импульсных САУ линейными уравнениями описывается как
непрерывная часть, так и импульсный элемент. Линейность им-
пульсного элемента определяется линейностью его статической ха-
рактеристики – зависимости модулируемого параметра от входного
сигнала. Линейной является только статическая характеристика им-
пульсного элемента, с помощью которого реализуется АИМ-1. Таким
образом, линейными являются только системы с АИМ-1, , поэтому
только они будут предметом нашего дальнейшего пристального
изучения (их будем называть просто САУ с АИМ). Системы с
другими типами модуляции (АИМ-2, ШИМ, ФИМ, ЧИМ) –
нелинейные. Анализ нелинейных импульсных систем – сложная и до
сих пор окончательно не решенная задача, однако, при определенных
допущениях, они могут быть сведены к системах с АИМ-1, что
существенно упрощает их анализ.
В цифровых САУ квантование по уровню и времени осуществля-
ется импульсно-кодовым модулятором или цифровым вычислитель-
ным устройством. Квантование по уровню делает такие системы не-
линейными. При малых значениях квантуемого сигнала, когда кван-
тование по уровню существенно, цифровые САУ сводятся к релей-
ным. При больших значениях квантуемого сигнала, когда дискретно-
стью уровней при их большом количестве можно пренебречь, циф-
ровые системы сводятся к импульсным.
8. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОПИСАНИЯ САУ С АИМ
8.1. Понятие решетчатой функции. Разности решет-
чатых функций и разностные уравнения
Любая импульсная система реагирует на значения внешнего воз-
действия только в равнооотстоящие друг от друга дискретные мо-
менты времени. Поэтому внешнее воздействие всегда может быть
заменено так называемой решетчатой функцией, т.е. функцией,
значения которой в дискретные, равнооотстоящие друг от друга мо-
менты времени равны значениям какой-либо непрерывной функции
)(
t
f
, а между этими значениями значения решетчатой функции рав-
ны нулю (рис. 8.1, а). Решетчатую функцию обозначают символом
][nT
f
, где
T
– период квантования, т.е. положительная величина,
определяющая расстояние между соседними дискретными значения-
ми независимой переменной
t
, n – любое положительное число.
Любой непрерывной функции
)(
t
f
будет соответствовать един-
ственная решетчатая функция ][nT
f
. Так, например, если
t
etf
α
=)( , то
nT
n
T
t
t
n
T
t
eetfnTf
αα
===
=
=
||
)(][ .
f(t) ][n
T
f
t
а
0 T
2T 3T 4T
f(t) ],[
t
n
T
f
∆
t
t
∆
б
0T
2T 3T 4T
Рис.8.1. Несмещенная (а) и смещенная (б) решетчатые функции
f
(t)
f
(t)
Если в непрерывной функции )(
t
f
положить
t
n
T
t
∆+
=
, где
t
∆
– фиксированная величина в интервале
T
t
T
<
∆
<
−
, то функции
)(
t
t
f
∆+ будет соответствовать решетчатая функция ],[
t
n
T
f
∆ (рис.
8.1, б). Такие решетчатые функции называют смещенными (для от-
личия решетчатую функцию на рис. 8.1, а называют несмещенной).
Очевидно, что одной решетчатой функции может соответство-
вать множество непрерывных функций, т.е. функция
][nT
f
полно-
стью не отражает все свойства функции
)(
t
f
. Это же относится и к
смещенной решетчатой функции
],[
t
nT
f
∆
при фиксированном зна-
чении параметра
t
∆ . Если же параметр
t
∆
изменять непрерывно от 0
до
T
, то ],[
t
n
T
f
∆ становится тождественной )(
t
f
.
Расстояние между соседними значениями решетчатой функции
удобно принимать равным единице. Для этого вводят новую незави-
симую переменную
T
t
t =
так, что )()(
t
T
f
t
f
⋅
=
, и для простоты
эту функцию обозначают
)(
t
f
. Тогда непрерывной функции )(
t
f
будет соответствовать решетчатая функция
][n
f
. Аналогично можно
поступить и со смещенной решетчатой функцией, если ввести отно-
сительную величину смещения
T
t
∆
=ε . В этом случае непрерывной
функции
)(
t
t
f
∆
+
или )(
ε
+
t
f
будет соответствовать смещенная
решетчатая функция
],[
ε
n
f
. Такими обозначениями решетчатых
функций будем пользоваться при дальнейшем изучении материала.
Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее
первой разностью, которая является аналогом первой производной
для непрерывных функций. Эта разность равна
][]1[][ n
f
n
f
n
f
−+=∆ . (8.1)
Геометрически первая разность или разность первого порядка
представляет собой разность между последующей и предыдущей ор-
динатами решетчатой функции.
Аналогично можно определить вторую, третью и вообще
k
-тую
разности:
∆−+∆=∆
∆−+∆=∆
∆−+∆=∆
−−
].[]1[][
.......,........................................
],[]1[][
],[]1[][
)1()1(
223
2
nfnfnf
nfnfnf
nfnfnf
kkk
(8.2)
Пример 8.1.
Определить разности решетчатой функции
2
[[ annf =
(рис. 8.2, а), где а – постоянный коэффициент.
В соответствии с (8.1) и (8.2) первая и вторая разности будут рав-
ны
)12()12(])1[(][
2222
+⋅=−++⋅=−+⋅=∆ nannnannanf ,
annanf 2)]1(2)11(2[][
2
=+−++⋅=∆ .
Графики этих разностей показаны на рис. 8.2, б, в.
Третья и все последующие разности для этой функции будут рав-
ны нулю.
Пример 7.2.
Определить разности решетчатой функции
n
enf
⋅
=
α
][ , где
α
–
постоянный коэффициент.
По формуле (7.1) определим первую разность:
nnn
eeeenf
⋅
⋅
+
−=−=∆
α
α
α
α
)1(][
)1(
,
∆f [n]
n
б
01
2
3
45
f [n]
n
а
0
1
2
3
4
5
∆
2
f [n]
n
в
0
1
2
3
4
5
Рис. 8.2. Функция
2
][ annf = (а) и ее первая (б) и вторая (в)
р
азности
т.е. первая разность пропорциональна самой решетчатой функции.
Отсюда нетрудно получить выражение для второй разности
nnn
eeeeeenf
⋅
⋅
+
⋅
−=−−−=∆
α
α
α
α
α
α
2)1(2
)1()1()1(][ ,
и вообще для
k
-той разности
nkk
eenf
⋅
−=∆
α
α
)1(][
)(
.
Соотношение между решетчатой функцией
][n
f
и ее разностями
различных порядков определяет разностное уравнение. Если эти со-
отношения линейны, то такое разностное уравнение называется ли-
нейным, при постоянных коэффициентах
01
..., , , bbb
kk
−
линейное
разностное уравнение записывается в виде
][][][][][
01
)1(
1
)(
nfnybnybnybnyb
k
k
k
k
=+∆+⋅⋅⋅+∆+∆
−
−
.
Нетрудно заметить определенную общность между разностями
для решетчатых функций и производными для непрерывных функ-
ций. Поэтому в импульсных системах разностные уравнения выпол-
няют ту же роль, что и дифференциальные уравнения в непрерывных
САУ. Отдельные термины в теории разностных уравнений совпада-
ют с терминологией, распространенной в теории линейных диффе-
ренциальных уравнений , а классический метод решения линейных
разностных уравнений аналогичен классическому методу решения
дифференциальных уравнений.
8.2. Понятие дискретного преобразования Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа [2, 11] (иногда в литературе
встречается название «преобразование Лапласа – Цыпкина) является
функциональным преобразованием решетчатых функций
][n
f
и оп-
ределяется соотношением
∑
∞
=
−
=
0
][)(*
n
qn
enfqF , (8.3)
или для смещенных решетчатых функций