Колпаков Б.А., Лебедев Б.О. Техническая физика. Часть 1 - Теплофизические основы судовой энергетики

41

политропы определяется из соотношения

)/v(v

)/p(p

n=

v

n

p

)

v

(

p

n

21

12

2

1

2

1

2

ln

lnln ®=®= ( 4.13)

Из последнего выражения следует, что в логарифмических коорди-

натах “давление - удельный объём” (ри-

сунок 4.1) политропа изображается пря-

мой линией, а показатель политропы n

численно равен тангенсу угла наклона

этой линии

n = tg

a

(4.14)

4.2 Частные политропные процессы

Термодинамический процесс, в котором объем рабочего тела оста-

ётся постоянным, называется изохорным. В диаграммах p-v и T-s этот

процесс показан на рисунке 4.2 . Здесь же показаны схемы трансформа-

ции энергии при изохорном нагреве (а) и изохорном охлаждении (б)

вещества. Показатель политропы в изохорном процессе

=

n

±¥.

Так как в этом процессе объём не изменяется, работа процесса равна

нулю ( 0

21

=

-

l ).

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

u>0

u<0

1

2

p

v = v

v

T

s

s s

2

1

1 2

p

1

2

q

1-2

а)

б)

lnp

lnv

2

1

2

1

2

НГАВТ - Стр 41 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

42

Уравнение первого закона термодинамики для изохорного процес-

са имеет вид:

1221

u= udu, qдq

-

-= (4.15)

Удельная теплота изохорного процесса

)(

1221

TTcq

v

-=

-

(4.16)

Соотношение между параметрами в изохорном процессе

1212

TTpp // = (4.17)

Изменение удельной энтропии в данном процессе

)/ln(

1212

TTcss

v

=- (4.18)

Если принять показатель n=0, уравнение политропы Constpv

n

=

превращается в характеристику процесса с постоянным давлением

p=Const. Такой процесс называется изобарным. Его изображение в диа-

граммах показано на рисунке 4.3. Здесь же представлены схемы транс-

формации энергии в процессах нагрева (а) и охлаждения (б) рабочего

тела.

При нагревании часть передаваемой рабочему телу теплоты идёт

на увеличение внутренней энергии, а часть - на совершение работы рас-

ширения. При охлаждении отведённая теплота численно равна сумме

уменьшения внутренней энергии и работе сжатия.

Соотношение между начальными и конечными изменяющимися

параметрами состояния в изобарном процессе

Рисунок 4.3

u>0

u<0

q

p

T

s

v v

1 2

1

2

s

l

q

1

2

1

2

1-2

а)

б)

v

НГАВТ - Стр 1 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

43

1212

TTvv // = (4.19)

Удельная теплота изобарного процесса

)(

1221

TTcq

p

-=

-

(4.20)

Удельная работа изобарного процесса определяется из выражения

(4.10) при n=0:

)(

1221

vvpl -=

-

, (4.21)

где р = р

1

= р

2

.

Изменение удельной внутренней энергии в данном процессе, как и

в любом политропном, определяется по формуле (4.11).

Уравнение первого закона термодинамики применительно к изо-

барному процессу имеет такой вид:

pdvdTcdTдl, cduq

vp

+=+=

d

(4.22)

При дифференцировании уравнения состояния

=RdT+TdR pdv+vdpd(RT) d(pv) ®=

ввиду постоянства p и R получается равенство pdv=RdT. С учётом

этого, выражение (4.22) имеет вид

RdTdTcdTс

vp

+= ,

а после сокращений:

Rcс

vp

=- (4.23)

Последнее выражение, отражающее взаимосвязь между теплоёмко-

стями и газовой постоянной, называют уравнением Майера. Оно свиде-

тельствует о том, что изобарная теплоёмкость идеального газа больше

изохорной теплоёмкости на величину газовой постоянной.

Для изобарного процесса справедливо равенство:

d

q=dh,

1221

hhq -=

-

, (4.24)

что гласит: в изобарном процессе теплота процесса численно равна

разности конечной и начальной энтальпий. Это следует из сопоставле-

ния уравнений первого закона термодинамики и энтальпийного выраже-

ния при условии dp=0:

du+pdvu+pdv+vdp=du+d(pv)=dpdv, dh=duдq +=

В термодинамическом процессе с показателем политропы n=1 ха-

рактеристическое уравнение имеет вид

pv = Const

НГАВТ - Стр 43 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

44

Для идеального газа pv = RT, поэтому в рассматриваемом процессе

температура постоянна. Процесс с постоянной температурой называется

изотермическим.

В изотермическом процессе 1-2, показанном на рисунке 4.4, внут-

ренняя энергия не изменяется, так как в идеальных газах её изменение

однозначно определяется изменением температуры. Соотношение меж-

ду начальными и конечными параметрами в этом процессе

21122211

/vv/p, pvpvp == (4.25)

Уравнение первого закона термодинамики для изотермического

процесса имеет вид

212-1

q ,l=q

-

= l

dd

(4.26)

Теплоёмкость изотермического процесса

¥=== 0// qTqс

ddd

,

поэтому использовать для определения теплоты формулу (1.7), вклю-

чающую теплоёмкость, в этом процессе нельзя. Так как в изотермиче-

ском процессе теплота численно равна работе, достаточно иметь рас-

чётную формулу работы.

Удельная работа изотермического процесса равна

ò

=®==

2

1

21

v

-

v

dv

RT ldv

v

RT

pdvдl

Окончательно при

21

TTT ==

Рисунок 4.4

u=0

q

l

p

v

T

s

1

2

1

2

v

p

q

l

s

2

1

2

1

2

1

1-2

а)

б)

НГАВТ - Стр 44 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

45

2

1

2

21

p

RT

v

RTl lnln ==

-

(4.27)

Изменение энтропии в изотермическом процессе

1

2

2112

v

R/Tqsдq/T, sds ln==-=

-

(4.28)

Политропный процесс, происходящий без теплообмена между ра-

бочим телом и окружающей средой, называется адиабатным. Показа-

тель политропы для этого процесса равен

k

c

cc

n

v

p

v

p

vn

pn

==

-

=

-

=

0

и называется показателем адиабаты.

Так как в соответствии с уравнением Майера (4.23) изобарная теп-

лоёмкость больше изохорной, показатель адиабаты всегда больше еди-

ницы. В расчётах с небольшой точностью обычно принимают следую-

щие значения:

для одноатомных газов k= 1,69;

для двухатомных газов k=1,41;

для многоатомных газов k=1,33.

Уравнение первого закона термодинамики применительно к адиа-

батному процессу имеет вид:

2121

0

-

=-+= luдl, (udu ) (4.29)

Рисунок 4.5

p

v

T

s

1

2

1

2

p

v

T

s = s

l

2

1

2

1

2

1

1-2

1

2

u>0

u<0

l

а)

б)

НГАВТ - Стр 45 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

46

Уравнения адиабатного процесса, связывающие переменные пара-

метры состояния, получаются из выражений (4.4 – 4.6) при замене n на

k:

ConstT/pConst, vConst, Tpv

/kk-r-k

===

11

(4.30)

Из уравнений (4.30) выводятся соотношения между параметрами:

/kkkk

)

p

(

T

, )

v

(

T

, )

v

(

p

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

--

=== (4.31)

Изменение удельной внутренней энергии в адиабатном процессе 1-

2 составляет:

)(

1212

TTcuu

v

-=- (4.32)

С учетом равенства (4.29) удельная работа адиабатного процесса

)(

2121

TTcl

v

-=

-

(4.33)

Удельная работа может быть определена также по формуле (4.10)

при замене n на k:

)()(

21221121

1

TT

k

R

vpvp

k

l -

-

=-

-

=

-

(4.34)

4.3 Круговые диаграммы политропных процессов

Ранее, в 4.2, выполнен анализ относительно отдельных политроп-

ных процессов: изобарного (n=0), изохорного(n=

±¥

), изотермического

Рисунок 4.6

n=

n=k

n=0

n=

p

n=1

n=k

n=

v

n=1

n=0

k

n=k

n=1n=1

n=0

n=

A

D

O

8

+

-

8

+

-

8

-

+

8

-

q>0

du>0

du<0

q<0

T

s

q<0

q>0

du>0du<0

НГАВТ - Стр 46 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

47

(n=1) и адиабатного (n=k). Все они представлены на диаграммах p - v и

T- s (рисунок 4.6).

Так как в идеальных газах увеличению температуры соответствует

рост внутренней энергии, а уменьшению температуры - снижение внут-

ренней энергии, в диаграмме T- s все процессы над изотермой (n=1),

включая адиабатное сжатие (n=k), изохорный нагрев (n=±

¥

) и изобар-

ное расширение (n=0) , происходят с увеличением внутренней энергии

(du>0). Процессы в противоположном секторе, включающем адиабатное

расширение (n=k), изохорное охлаждение (n=

¥

) и изобарное охлажде-

ние (n=0), протекают с уменьшением внутренней энергии (du<0).

Сектор диаграммы, в котором все процессы происходят с подводом

теплоты, определяется по положительному приращению энтропии ds>0,

а в противоположном секторе, где все процессы протекают с отводом

теплоты, энтропия рабочего тела уменьшается ds<0. Сектор с подводом

теплоты в процессах включает изохорный нагрев (n=

¥

), изобарное

расширение (n=0) и изотермическое расширение (n=1), а сектор, в кото-

ром процессы происходят с отводом теплоты, включает изохорное ох-

лаждение (n=

¥

), изобарное сжатие (n=0) и изотермическое сжатие газа

(n=1).

С помощью круговых диаграмм можно проводить качественный

анализ термодинамических политропных процессов. Например, для

политропного процесса сжатия 0-А по диаграммам можно определить,

не производя расчетов, следующее:

процесс происходит с отводом теплоты (

d

q<0) и увеличением

внутренней энергии du>0;

несмотря на отвод теплоты, температура газа возрастает;

учитывая взаимосвязь между теплотой, работой и изменением

внутренней энергии, определяемую уравнением первого закона термо-

динамики, схема трансформации энергии будет такой:

работа процесса больше теплоты, так как часть работы преобразу-

ется во внутреннюю энергию рабочего тела.

Ещё пример. В процессе расширения О-D с показателем политро-

пы n=-100 теплота подводится, внутренняя энергия газа увеличивается,

причём это увеличение равно разности теплоты и работы. Можно ска-

зать также, что в этом процессе расширения температура газа возраста-

ет.

НГАВТ - Стр 3 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

48

5 Процессы течения идеальных газов

5.1 Преобразование энергии в потоке газа

В технике много машин и двигателей, в которых происходят про-

цессы течения газа с трансформацией энергии потока. Течение газа

может происходить в цилиндрических трубах, через отверстия или в

специально спроектированных каналах.

Каналы, в которых происходит увеличение кинетической энергии и

снижение потенциальной энергии потока, называются соплами. В со-

пловых каналах давление газа или пара снижается, а скорость возраста-

ет.

Каналы, в которых кинетическая энергия газа уменьшается, а по-

тенциальная возрастает, называются диффузорами. В диффузорах дав-

ление увеличивается, а скорость потока уменьшается.

Уравнение первого закона термодинамики для потока (2.5), при от-

сутствии технической работы и нулевом изменении потенциальной

энергии в поле гравитационных сил, приобретает следующий вид:

)()/ pvddu ++2d(=q

2

wd

(5.1)

В соплах и диффузорах скорость движения газа достаточно велика,

а размеры этих каналов, как правило, небольшие, поэтому за то время,

когда газ течёт по каналу, он не успе-

вает передавать теплоту в окружаю-

щую среду. В связи с этим процессы

течения в дальнейшем будут рассмат-

риваться как адиабатные. Для них

dhpvddu -=+-= )]([)/ 2d(

2

w

(5.2)

Так

как vdppdvdupvddu ,)( ++=+ но

0=+= pdvduq

d

, поэтому

р

)/( lvdpd

dw

-=-=2

2

, (5.3)

где

p

l

d

- элементарная располагаемая

работа.

Термин “работа” здесь несколько условен, точнее - произведение

объёма на приращение давления есть изменение потенциальной энергии.

Рисунок 5.1

p

v

1

2

l

p

1

2

1-2

а

в

НГАВТ - Стр 22 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

49

Предполагается, что эта потенциальная энергия при течении газа по

соплу, в соответствии с выражением (5.3), превратится в кинетическую,

которая затем на лопатках турбины преобразуется в работу перемеще-

ния ротора турбины.

Процесс адиабатного расширения газа в потоке изображается на

диаграмме p - v (рисунок 5.1) линией 1-2. Площадь а-1-2-в по смыслу

выражения

ò

-=

2

1

p

vdpl (5.4)

представляет собой располагаемую работу процесса.

При известных начальных и конечных параметрах состояния рас-

полагаемая работа о

пределяется по следующей формуле

)(/

//

2211

11

P

1

l

1

2

vpvp

k

pdpConst

k

P

k

-

==

ò

(5.5)

При сравнении формул (5.5) и (4.34) видно, что располагаемая ра-

бота в к раз больше работы изменения объёма:

kll

P

= (5.6)

5.2 О форме сопел и диффузоров.

В формулировках сопел и диффузоров не оговаривается возможная

геометрия этих каналов. Это не случайно, так как их продольный про-

филь зависит от условий течения газа, о чём пойдёт речь ниже.

Одним из уравнений, определяющих физико-математическую мо-

дель процесса течения газа, является уравнение неразрывности (сплош-

ности):

Mv=

w

A, (5.7)

где М - массовый секундный расход газа,

n

- удельный объем газа,

w

- скорость потока, А - площадь поперечного сечения канала

Смысл уравнения сплошности заключается в том, что массовое ко-

личество газа, проходящего в единицу времени одинаково для любого

поперечного сечения канала; при переходе от одного сечения канала к

другому масса газа не может увеличиться или уменьшиться.

НГАВТ - Стр 41 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

50

В дифференциальном виде при М = Const (массовый расход газа

через любое поперечное сечение канала одинаков) уравнение (5.7) вы-

глядит так:

d(Mv)=d(

w

A) и Mdv=

w

dA+Ad

w

(5.8)

После деления (5.8) на (5.7) получается

w

d

v

dv

A

dA

,

A

щ

щdA

A

щ

Adщ

Mv

Mdv

-=+= (5.9)

Из дифференциального уравнения адиабаты

0=-

p

dp

v

dv

k следует

p

dp

kv

dv

×-=

1

, ( 5.10)

а из уравнения располагаемой работы (5.3) получается

2

w

ww

w

vdpd

vdpd vdpd -=®-=®-= (5.11)

После подстановки из уравнений (5.10) и (5.11) уравнение (5.8)

имеет вид

)

2

1

w

kp

kpv

dp(

A

dA

,

p

dp

k

vdp

A

dA -

=®×-= (5.12)

Из школьного курса физики известно, что скорость звука опреде-

ляется выражением

kpva = (5.13)

C учётом этого формула (5.12) записывается так:

)(

2

22

A

dA

w

kp

a

dp

-

= (5.14)

Приращение dA в формуле (5.14) может быть как положительным,

так и отрицательным. Это зависит от знака приращения dp и величины,

заключенной в скобках. Знак “минус” перед dA означает, что площадь

поперечного сечения должна уменьшаться, а положительному прираще-

нию dA должно соответствовать расширение канала.

В соответствии с формулировками, для сопла dp<0, а для диффу-

зора dp>0. Когда скорость потока меньше скорости звука, величина,

заключенная в скобках, всегда положительна, потому что скорость,

давление и показатель адиабаты не могут быть отрицательными; если же

поток движется со сверхзвуковой скоростью, то она отрицательна.

НГАВТ - Стр 52 из 239

Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта

Колпаков Б.А., Лебедев Б.О. Техническая физика. Часть 1 - Теплофизические основы судовой энергетики

Подождите немного. Документ загружается.