Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород
Подождите немного. Документ загружается.
331
Движение среды при r>b можно описать с помощью потенциала
упругих смещений
f. Для смещения и и скорости смещения среды v
справедливы следующие выражения:
2
2
),(
),(
r
c
br
tf
rc
c
br
tf
trv
r
c
br
tf
rc
c
br
tf
tru
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
′
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
′′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
′
=
(9.6)
где штрихами обозначена операция дифференцирования функции
f
по ее аргументу.
Потенциал упругих смещений f можно определить, если
известна зависимость смещения (или скорости смещения) от
времени на границе упругой зоны, т. е. при r = b.
Из результатов наблюдений при взрывах в горных породах
известно, что зависимость скорости смещения среды от времени при
r=b имеет следующий характер. В течение некоторого времени
величина скорости монотонно растет и после достижения
максимума уменьшается до нуля. Соответственно смещение
границы упругой зоны плавно увеличивается от нуля до некоторой
максимальной величины. Затем иногда
наблюдается небольшое
возвратное движение.
Будем считать, что динамическое воздействие взрыва на
упругую внешнюю зону сводится к смещению, плавно
меняющемуся во времени до некоторого постоянного значения и
0
на
неподвижной поверхности r=b. Максимальное смещение u
m
на
внешней границе упругой зоны несколько больше остаточного и
0
, и
достигается здесь в момент времени t
M
. Будем отождествлять время
t
M
со временем окончания расширения камуфлетной полости (9.4).
Если, к примеру, задаться потенциалом вида :
332
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
)(
);0(
2
sin
2
2
)(
2
0
2
0
Tbu
T
TT
bu
f
ξ
ξ
πξπξ
π
ξ
(9.7)
показанным на рис.9.2а, то смещение определяется
выражением:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−+−
≤
=
)(
)0()
2
sin
2
(
2
)
2
cos1(
)0(0
),(
0
2
2
0
2
0
Tu
T
TT
r
bu
TcTr
bu
ru
ξ
ξ
πξπξ
π
πξ
ξ
ξ
, (9.8)
где
c
br
t
−
−=
ξ
.
Вид функции (9.8) на границе зоны неупругих деформаций
r=b
показан на рис.9.2. Величину
и
0
будем считать совпадающей с
максимумом смещения на границе зоны неупругих деформаций
(9.5). Если теперь по формулам (9.8) найти момент времени
t
M
достижения максимума u(b, t) на границе и приравнять t
M
к времени
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ
/T
0
0.4
0.8
1.2
f
/u
0
b
2
a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ
/T
0
0.4
0.8
1.2
u
/
u
0
б
r=b
Рис.9.2 Потенциал упругих смещений (а) и смещение на границе
излучателя (б)
333
расширения полости (9.4), то в интервале реальных значений
характеристик горных пород оказывается:
cbT /)43(
÷
≈
. (9.9)
Соотношения (9.4) – (9.9) полностью определяют
сейсмический сигнал.
Проанализируем особенности изменения амплитуды волны с
расстоянием.
На близких расстояниях
brb )108(
÷
≤
≤
в выражении (9.6)
играют роль оба члена, поэтому закон изменения максимальных
смещений
и
т
в упругой волне с расстоянием можно представить
приближенной зависимостью
и
т
~ (b/r)
N
, где N= 1.4÷1.5.
На больших расстояниях (на порядок больше радиуса b)
второй член в выражении (9.6) для смещения становится малым, по
сравнению с первым, и это выражение принимает вид:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−
≤
=
)(0
)0()
2
cos1(
)0(0
),(
2
0
T
T
TcTr
bu
ru
ξ
ξ
πξ
ξ
ξ
. (9.10)
Соответственно скорость смещения:
T
crT
bu
rv
πξ
πξ
2
sin2),(
2
2
0
= . (9.11)
Отсюда видно, что максимальное смещение и
т
в упругой волне
на больших расстояниях меняется по закону u
m
~l/r.
Используя полученные выражения, легко показать, что при
взрывах зарядов различного веса в одной и той же среде параметры
излучаемых волн будут подчиняться геометрическому подобию.
Преобразовывая (9.11) с учетом (9.3) – (9.5) и (9.9) получаем:
)
ˆ
ˆ
(2sin
/
ˆ
)(2sin
br
bb
~
T
sin22)(
3/13/13/1
2
2
2
2
0
χηβπ
α
χηβπα
ξ
ππ
−−=
=−−
⋅
⋅
⋅=
q
r
q
t
qr
b
r
b
t
rTC
bu
rv
p
(9.12)
334
В последнем выражении для краткости параметры, не
зависящие от мощности взрыва, объединены в коэффициенты α, β, η,
χ.
Из (9.12) следует, что для двух зарядов Q
1
и Q
2
на одинаковых
приведенных расстояниях
3/1
2
2
3/1
1
1
Q
r
Q
r
=
и в одинаковые приведенные
моменты времени
3/1
2
2
3/1
1
1
Q
t
Q
t
=
будет справедливо соотношение:
),(),(
222111
trvtrv
=
. . (9.13)
Аналогично, для смещений:
3/1
2
222
3/1
1
111
),(),(
Q
tru
Q
tru
=
. (9.14)
Соответственно, для максимальных значений скоростей и
перемещений имеем:
)(
)(
3/1
2
3/1
3/1
1
Q
r
Q
u
Q
r
v
m
Φ=
Φ=
, (9.15)
т.е. одном и том же приведенном расстоянии максимальная скорость
смещения грунта от разных взрывах одинакова, а максимальное
смещение и период пропорциональны корню кубическому из
энергии (веса заряда).
Экспериментальные зависимости максимальной скорости
смещения грунта от расстояния представляют в виде
n
m
QRAv )/(
3/1
= , (9.16)
где показатель степени обычно n~1.5÷2.
Как видно из (9.16), при n=1.5 амплитуда скорости смещения
пропорциональна
Q
.
Исследуя полученные зависимости можно показать, что
максимальная скорость смещения слабо зависит от свойств грунта, а
335
смещение и период колебаний примерно обратно пропорциональны
прочности грунта.
Таким образом, на одинаковом приведенном расстоянии
максимальная амплитуда скорости смещения грунта не зависит от
веса заряда.
9.1.3 Распространение сейсмического сигнала в
среде с поглощением
Учет процесса поглощения колебаний в горных породах
представляет довольно сложную проблему. Обычно, для
характеристики затухания волн используют добротность Q или
логарифмический декремент поглощения δ:
QE
E
π
δ
2
2 ==
Δ
. (9.17)
В предположении отсутствия дисперсии в
распространяющихся колебаниях и пропорциональности
коэффициента затухания волн частоте колебаний, величина Q (или
δ) является константой. При этом амплитуда каждой гармонической
компоненты спектра ослабляется на величину )exp(
c
R
ν
δ
− , где R –
расстояние до источника, а ν – частота соответствующей гармоники.
Типичные величины декрементов затухания продольных δ
p
и
поперечных δ
s
волн в горных породах приведены в таблице 9.1.
Таблица 9.1.Типичные значения декремента затухания
колебаний в горных породах
Декремент Гранит Известняк Песчаник
δ
p
0.03÷0.2 0.02÷0.03 0.04
δ
s
0.02÷0.16 0.01÷0.02 0.03
Как показывают расчеты, для оценки амплитудных и
временных характеристик импульса формы типичной для
336
подземного взрыва, распространяющегося в среде с поглощением,
можно использовать приближенные соотношения:
[
]
[]
xxTT
xxRvv
mm
55.07.01
4.01)(
0
2
0
−+=
−+=
−
(9.18)
где v
m0
(R) – максимальная скорость колебаний в упругой среде, T
0
–
основной период излучаемой волны, а
0
TV
R
x
p
δ
=
.
На рис.9.3 приведены расчеты зависимости величины
максимальной скорости смещения грунта от расстояния в упругой
среде и в средах с различными декрементами поглощения. Как
видно из результатов расчетов, на близких расстояниях в упругой
среде максимальная амплитуда убывает с расстоянием
пропорционально R
-(1.2÷1.4)
. На больших расстояниях амплитуда
затухает пропорционально расстоянию до источника. В среде с
поглощением степень затухания постепенно возрастает и в пределе
убывает пропорционально кубу расстояния. Это означает, что на
большом расстоянии в среде с поглощением амплитуда сигнала
пропорциональна энергии взрыва.
Обычно, при описании экспериментальных данных диапазоне
расстояний до нескольких десятков радиуса излучателя, закон
изменения максимальной скорости смещения грунта с расстоянием
представляют в виде:
n
m
q
R
vv
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
3/1
0
, (9.19)
где q – вес заряда, а n~1.4÷2.5.
Так при n=1.5, получается простое соотношение
qv
m
~
.
Квазистатическая схема развития взрыва позволяет оценить и
спектр излучаемых взрывом колебаний. Как показывают расчеты, на
больших расстояниях спектр скорости колебаний может быть
описан зависимостью:
337
[]
)12()2(
)1(
1)(
ˆ
222
6
*
2
*
−+−
+
=
ωωωω
ω
ρ
σ
ω
i
R
b
c
v
, (9.20)
где
c
b
а
b
R
R
*
*
,
ω
ω
==
1 10 100 1000
R/b
*
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
4V
m
/c(
σ
*
/
ρ
c
2
)
δ
0
0.03
0.1
0.5
Рис.9.3 Зависимость максимальной массовой скорости от расстояния в
средах с различным значением декремента поглощения δ
Заметим, что при таком способе описания значительно
искажается высокочастотная область спектра (
)43
÷
>
ω
, однако
эти различия существенны лишь до расстояний 7÷10b
*
(что в
прочной породе соответствует расстояниям 5-10м/кг
1/3
).
Вид модуля функции (9.20) показан на рис.9.4. Максимум
спектра соответствует величине
1
*
==
c
b
ω
ω
, т.е. основной период колебаний:
c
b
T
*
0
2
π
≈ . (9.21)
338
Рис.9.4 Амплитудный спектр скорости смещения упругой среды на
большом расстоянии от источника.
В области низких частот спектральная амплитуда скорости
смещения грунта убывает пропорционально частоте гармоники.
На рис.9.5 показаны результаты расчета модуля амплитудного
спектра колебаний на различных расстояниях от источника в средах
с поглощением. Как видно из приведенных графиков, основной тон
колебаний с увеличением расстояния смещается в область низких
частот.
В таблице 9.2 для справки
приведены значения радиуса
полости (a
m
), зоны неупругих деформаций (b
*
) и основного периода
колебаний (T
0
), рассчитанные по зависимостям (9.1), (9.2) и (9.14)
для взрыва зарядов разного веса в прочной породе.
339
0.001 0.01 0.1 1 10
ω
b
*
/c
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
δ
0
0.03
0.05
0.1
R/b
*
=20
0.001 0.01 0.1 1 10
ω
b
*
/c
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
0.01
δ
0
0.03
0.05
0.1
R/b
*
=100
0.001 0.01 0.1 1 10
ω
b
*
/c
1E-011
1E-010
1E-009
1E-008
1E-007
1E-006
1E-005
0.0001
0.001
δ
0
0.03
0.05
0.1
R/b
*
=1000
Рис.9.5 Амплитудные спектры скорости смещения грунта на различном
расстоянии от источника в средах с разным значением декремента
поглощения δ
0.001 0.01 0.1 1 10
ω
b
*
/c
1E-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
δ
0
0.03
0.05
0.1
R/b
*
=50
340
10 100 1000
Расстояние, м
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
Ма
к
симальная с
к
орость смещения, мм/с
q=1кг в граните
q=100г в граните
0.1 1 10 100 1000
Расстояние, м
0.01
0.1
1
10
100
Видимый период, мс
q= 1г,гранит
q= 1кг,гранит
q= 0.8кг,гранит
q= 52 кг, уголь
q= 104 кг, уголь
q= 256 кг, уголь
Рис.9.6 Зависимость максимальной массовой скорости и основного периода
колебаний от расстояния для подземных взрывов небольшого масштаба