Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород

Подождите немного. Документ загружается.

величины прочности на сжатие σ

, растяжение σ

и сдвиг τ,

полученные из эксперимента.

Рис.1.2 Схема к выводу значения “теоретической” сдвиговой прочности

Таблица 1.1. Характерные значения упругих модулей и

прочности некоторых горных пород.

Материал Е, 10

МПа

G, 10

, МПа σ

МПа

τ , МПа

Песчаник 2-7 1.25-2.5 40-170 4-16 6-15

Известняк 2.25-7 0.68-1.8 50-200 5-11 8-45

Гранит 1.6-7 2.2 110-350 5-28 15-60

Легко видеть, что теоретическое значение прочности

2/E

≈ в 500-1000 раз выше реальных значений. Столь

разительное отличие определяется наличием дефектов в структуре

поликристаллических тел. Невозможность использования простой

экстраполяции для перехода от атомного строения материалов к

практическому определению их свойств и прочности явилось,

пожалуй, крупнейшим разочарованием в науке о поведении

материалов.

1.2 Дефекты кристаллических тел

Существуют несколько типов нарушений микроструктуры

твердого тела – трещины, дислокации, точечные дефекты

кристаллической. Все типы дефектов обладают способностью

перемещаться под действием приложенных нагрузок, обеспечивая,

тем самым неупругое деформирование материала. Это происходит

при нагрузках намного меньше теоретической прочности -

теоретический предел прочности достигается только локально - на

участках концентрации напряжений в окрестности дефектов.

Наличие дефектов определяют два совершенно разных типа

макроскопического поведения. Если свойства материала

определяются в первую очередь наличием трещин, разрушение

материала происходит путем разделения на части (часто

катастрофически). Это хрупкий тип поведения. Распространение

точечных и линейных дефектов определяет пластическое течение –

непрерывное деформирование без разрушения целостности

кристаллической решетки.

Чаще всего на разных этапах деформирования и при

различных P-T условиях поведение твердого кристаллического тела

описывается как чисто хрупкое или чисто пластическое, хотя

достаточно распространенным является и смешанный тип

поведения, так называемый «полухрупкий».

1.2.1 Трещины

Итак, из-за концентрации напряжений на дефектах материал

разрушается при много меньших нагрузках, чем теоретический

предел прочности. Например, рассмотрение простейшей задачи

теории упругости – растяжение пластинки с отверстием (рис.1.3),

показывает, что для кругового отверстия существуют зоны

концентрации напряжений (на вершине и в дне – зоны сжатия , а в

боках зоны растяжения с напряжением 3σ).

Закономерности концентрации определяются исключительно

геометрией и не зависят от размеров нарушения сплошности

материала.

Рис.1.3 Концентрация напряжений вокруг кругового (а) и

эллиптического (б) отверстий в пластине

Для эллиптического отверстия:

)/21( bc

≈

∞

(1.7)

для c>>b

2/12/1

)/(2))/(21(

ρσρσσ

∞∞

≈+≈

(1.7а)

где ρ – радиус кривизны.

Для длинной узкой трещины в кончике 0→

, т.е.

теоретическая прочность может быть достигнута при

∞

Поскольку концентрация напряжений растет по мере

удлинения трещины, рост трещины может стать динамически

неустойчивым. Гриффитс (1921, 1924) рассмотрел эту проблему в

форме энергетического баланса при распространения трещины.

Отличием его подхода является игнорирование особенностей

процесса разрушения в малой окрестности вершины трещины и

сосредоточение внимания на изменении энергии тела при

распространении трещины

Система, которую он исследовал, показана на рис.1.4.

Рассматривается неограниченная плоскость единичной толщины с

трещиной длиной 2C, растягиваемая равномерно приложенным на

бесконечности напряжением

. Модуль упругости материала равен

E. Напряжение действует перпендикулярно плоскости трещины.

Энергия

точка

равновесия

Рис.1.4. Модель Гриффитса для трещины, распространяющейся в

стержне (а) и энергетический баланс процесса (б)

При распространении в образце трещины необходимы затраты

энергии на разрушение ( пропорционально длине С). Эта энергия

может быть получена только за счет уменьшения упругой энергии

внутри системы - где-то внутри образца должно уменьшиться

напряжение. Такая ситуация возможна, поскольку берега трещины

под действием напряжения немного разойдутся, а это приведет к

уменьшению напряжения вблизи ее поверхности. Количество

высвобождающейся упругой энергии будет расти пропорционально

. Таким образом, суть принципа Гриффитса определяется тем, что,

в то время как затраты энергии растут линейно с длиной трещины

(прямая на рис.1.4б), количество высвобождающейся упругой

энергии растет пропорционально квадрату длины (пунктир на

рис.1.4б). Общий баланс энергии, являющийся суммой двух

упомянутых энергий, показан жирной линией. Трещина сможет

развиваться, если энергия системы уменьшается, т.е. очевидное

условие равновесия:

0=+=

, (1.8)

где

- потенциальная энергия упругой деформации тела с

трещиной,

- поверхностная энергия тела, связанная с

поверхностью трещины. До этой точки система в целом должна

поглощать энергию; после точки равновесия энергия начинает

выделяться из системы. Отсюда следует, что существует некоторая

критическая длина трещины С

. Трещины, длина которых меньше

., не представляют опасности, они не могут расти сами по себе.

Трещины же, имеющие длину больше С

., растут "сами по себе" и

поэтому весьма опасны. Такие трещины, чем дальше, тем быстрее

распространяются по материалу и неизбежно ведут к

динамическому разрушению.

Если в стержне сделана трещина длиной 2c , то можно

показать, что энергия деформации изменится на величину

Ec /

σπ

, т.е.

EcUU

πσ

−= . (1.9)

При этом поверхностная энергия составляет:

, (1.10)

(γ - удельная поверхностная энергия).

Соответственно из энергетического баланса (1.8), получаем, с

учетом (1.9) и (1.10):

=+−=

σπ

(1.11)

или выражение для критического напряжения, при котором трещина

находится в равновесии:

2/1

]/2[ cE

πγσ

. (1.12)

Таким образом, уравнение (1.12) определяет положение

неустойчивого равновесия (рис.1.4б). Когда это условие

выполняется, трещина распространяется неограниченно, вызывая

макроскопическое разрушение.

Формула (1.12) носит название формулы Гриффитса. В случае

плоской деформации среды с коэффициентом Пуассона ν, формула

Гриффитса может быть переписана в виде:

2/12

])1(/2[ cE

νπγσ

−=

. (1.12а)

Условие (1.12) следует понимать следующим образом. Если

локальные растягивающие напряжения у трещины с характерным

размером c больше чем σ

f ,

то трещина неустойчива, она растет и

«прорезает» материал, который разрушается. Если σ< σ

, то трещине

энергетически выгоднее захлопнуться (залечиться).

Рассматривая напряжения в кончике узкой «межатомной»

трещины мы выше получили соотношение (1.4). Такие напряжения

реализуются в кончике трещины длиной 2с когда макроскопически

приложенное напряжение равно

2/1

)/(2 ac

σσ

(концентрация у

кончика длинной трещины), т.е.

2/1

)4/( cE

γσ

, что очень близко

к условию Гриффитса. Близость этих соотношений демонстрирует

необходимость и достаточность условия Гриффитса для

распространения трещины.

Для типичной величины

≈ получаем оценку длины с:

мкмa

110)(

≈≈≈

σπ

(полагаем E/σ~500), т.е. результаты

измерений объясняются присутствием в твердом теле трещин с

характерным размером порядка микрона. Такие дефекты твердого

тела называют трещины Гриффитса.

Макроскопическая прочность материала связана с внутренней

прочностью материала через связи между приложенным

напряжением и напряжениями в кончике трещин. В линейной

упругой механике трещин, трещина идеализируется как плоская

узкая щель в линейно-упругой среде. При этом анализируются поля

напряжений вокруг трещины и формулируются критерии

трещинообразования, основанные на определенных критических

параметрах поля напряжений. Поскольку трещины рассматриваются

как мелкие дефекты, находящиеся в сплошной среде, детали

деформационных и трещинных процессов в кончике не

рассматриваются.

III

Рис.1.5 Моды деформирования трещин

При анализе процесса деформирования трещины, поля

смещений и напряжений обычно рассматриваются для трех

основных мод (рис.1.5). Мода I – растяжение или отрыв – мода в

которой движение стенок трещины нормально к плоскости

трещины. Существуют, также, две сдвиговых моды: мода II

(поперечный сдвиг) – перемещения лежат в плоскости трещины и

нормальны к кромке трещины и мода III (продольный сдвиг) -

перемещения лежат в плоскости трещины и параллельны кромке.

Если трещина плоская с резкой границей, без сцепления

между стенками, то поле напряжений и смещений может быть

выражено простыми аналитическими выражениями:

)()2/)(2/(

)()2(

2/1

θπ

θπσ

ini

ijnij

frEKu

frK

−

. (1.13)

где r- расстояние от кончика трещины, а θ – угол, измеряемый от

плоскости трещины (см. рис.1.6). K

называется - коэффициентом

интенсивности напряжений (КИН) и в зависимости от моды

обозначается K

, K

III

. КИН зависит от геометрии и интенсивности

приложенной нагрузки и определяет интенсивность напряжений в

окрестности кончика трещины. Функции f

– называются функциями

напряжений и описывают пространственное распределения поля

напряжений в окрестности носика.

Рис.1.6. Геометрия трещины в однородном поле напряжений

В простейшем случае однородного поля напряжений:

2/1

)(

zyIII

xyII

yyI

⋅=

πσ

(1.14)

Геометрия задачи, решение которой выражается

соотношениями (1.14), показано на рис.1.6. Выражение (1.14)

иногда называют основным соотношением линейно-упругой

механики разрушения, а параметр

−= - «интенсивностью

высвобождения упругой энергии» или «потоком упругой энергии в

вершину трещины». Эта величина была введена Ирвином.

Из условия равновесия (1.8) получаем выражение для

критической величины интенсивности: 0=+−

. Т.к.

2= , то

G . (1.15)

Величина G связана с коэффициентом интенсивности

напряжений следующими соотношениями.

Для мод I и II при плоском напряженном состоянии:

EKG /

, (1.16)

а в случае плоской деформации:

EKG /)1(

−= . (1.17)

Для моды III, выражения для плоского напряженного

состояния и плоской деформации совпадают:

EKG /)1(

+= (1.18)

Из (1.15) и (1.16)-(1.18) легко получить выражения для

критического значения КИН, например, для плоского напряженного

состояния (моды I и II)^

== EKG

(1.19)

Критическое значение КИН называют, также, трещинной

прочностью.

Для геометрии рис.1.6, получаем из (1.14) и (1.16) :

EcG

zyIII

xyII

yyI

/)(

⋅=

πσ

. (1.20)

Условие достижения критической величины интенсивности

напряжений K

для сампопроизвольного роста трещины называют

силовым критерием Ирвина в отличие от энергетического критерия

Гриффитса. Нетрудно убедится в эквивалентности этих условий –

для обоих критериев критические напряжения пропорциональны

Рис.1.7 Схемы проведения испытаний образцов, содержащих

трещины а - растяжение, б – изгиб

Оценка величины критической прочности трещины K

при

помощи соотношения (1.14) требует проведения экспериментов с

использованием образцов, которые содержат естественную или

искусственную трещину известной длины. При этом определяется

коэффициент интенсивности напряжений, как функция нагрузки,

геометрии образца и длины существующей трещины. Типичная

постановка подобных опытов показана на рис. 1.7.

Другой способ – измерение поверхностной энергии и

использование связи между G и K – выражений (1.15) и (1.18).

Рассмотрим полосу единичной толщины содержащую трещину

длиной 2L (рис.1.8).

Для такой геометрии коэффициент интенсивности напряжений:

,)1)(

2/3−

−−=

πσ

bF 2/