Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород
Подождите немного. Документ загружается.
51
Широко используемые в настоящее время критерии
разрушения материала были разработаны в начале XX века.
Критерий Мизеса
По Мизесу пластическое течение начинается в том случае,
когда интенсивность касательных напряжений достигает
предельного значения
s
σ
.
Напомним, что интенсивностью касательных напряжений
называется величина:
()()()
2
13
2
32
2
21
3
1
σσσσσστ
−+−+−=
окт
,
соответствующая уровню касательных напряжений на
октаэдрической площадке – плоскости равнонаклоненной к осям
главных напряжений
321
,,
σ
σ
σ
.
т.е. условие Мизеса :
()
(
)
(
)
2
2
13
2
32
2
21
9
s
σσσσσσσ
=−+−+− (1.52)
Критерий Треска (критерий максимальной сдвиговой
прочности).
Согласно этому критерию разрушение наступает при
достижении касательными напряжениями некоторого
максимального значения
крит
τ
:
крит
τ
σ
σ
τ
=
−
=
2
31
max
. (1.53)
Критерий Кулона-Мора
Согласно этому, наиболее приемлемому для горных пород,
критерию прочности разрушение наступает тогда, когда значение
сдвиговых напряжений достигает критического значения, которое
определяется в соответствии с некоторой зависимостью:
)(
σ
τ
Φ=
.
Вид функции )(
σ
Φ
может быть определен экспериментально,
однако чаще всего ее принимают в соответствии с уравнением
Кулона:
ϕ
σ
τ
tgC
⋅
+
= , (1.54)
52
или
nn
tg
σ
ϕ
τ
σ
μ
τ
τ
⋅
+
=
⋅
+
=
00
(1.54а)
где τ
0
называют сцеплением, а φ – углом внутреннего трения
породы; μ=tg φ –
σ
1
σ
3
σ
n
τ
θ
Рис.1.32 Напряжения на площадке
коэффициент внутреннего трения. Обратим внимание, что в отличие
от трения поверхностей, коэффициент внутреннего трения в
кулоновском критерии разрушения сплошных тел не может быть
соотнесен ни с каким реальным коэффициентом трения, т.к. в
момент достижения предельных напряжений поверхность разрыва
еще не существует. Критерий Кулона является чисто эмпирическим.
С помощью соотношения (1.54) может быть установлено
будет ли достигнут предел прочности на какой либо площадке в
условии сложного напряженного состояния.
Для этого выпишем связь между главными напряжениями и
напряжениями на произвольно ориентированной площадке
(рис.1.32).
53
θσστ
θσσσσσ
2sin)(
2
1
2cos)(
2
1
)(
2
1
31
3131
−=
−++=
n
, (1.55)
где θ – угол между нормалью к площадке и направлением
максимального главного напряжения.
σ
n
τ
σ
3
σ
1
(
σ
1
+σ
3
)/2
2
θ
C
0
τ
=
C
0
+
σ
n
tg
φ
φ
σ
n
τ
σ
3
σ
1
(
σ
1
+σ
3
)/2
C
0
τ
=
C
0
+
σ
n
tg
φ
φ
Разрушение
σ
n
τ
σ
3
σ
1
(
σ
1
+σ
3
)/2
C
0
τ
=
C
0
+
σ
n
tg
φ
φ
нет разрушения
Рис.1.33 Графическое изображение критерия Кулона Мора
В координатах (τ, σ
n
) соотношения (1.55) выглядят в виде
полукруга диаметром (σ
1
- σ
3
) с центром в точке (
2
31
σ
σ
+
, 0)
(рис.1.33). Такое построение называется кругом Мора. Круг Мора
позволяет определить напряженное состояние (σ и τ) на произвольно
ориентированной площадке. Если все точки круга Мора лежат ниже
прямой линии, соответствующей критерию (1.54), то разрушения не
происходит. Из совместного графика Круга Мора и критерия (1.54)
(прямая линия на рис.1.33) легко видеть, что разрушение происходит
на двух сопряженных площадках, ориентированных под углом:
54
24
ϕ
π
θ
−=
(1.56)
к направлению действия максимального напряжения σ
1
(рис.1.34).
Рис.1.34 Разрушение по сопряженным площадкам
В осях главных напряжений (σ
3
,σ
1
) условие (1.54) выглядит:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+⋅+=−
θσσσσμτθσσ
2cos)(
2
1
)(
2
1
2sin)(
2
1
3131031
.
Т.к.
ϕ
π
θ
−=
2
2
, то
,
1
sin2cos,
1
1
1
1
cos2sin
222
μ
μ
ϕθ
μϕ
ϕθ
+
==
+
=
+
==
tg
а
[
]
[
]
0
2
3
2
1
211
τμμσμμσ
=++−−+ . (1.57)
Таким образом, на полупространстве (σ
3
,σ
1
) критерий Кулона
также выглядит в виде прямой, пересекающей ось σ
1
в точке
[
]
μμτ
++= 12
2
00
C
. (1.58)
Кулоновский критерий разрушения определен лишь в том случае,
когда напряжения, нормальные к рассматриваемой площадке,
являются сжимающими (для удобства примем σ>0). Можно
скомбинировать его с условием прочности на растяжение (1.51). Из
(1.51), (1.57) и (1.58) получаем:
55
[
]
[
]
[]
()
[]
[][]
[][]
2
0
2
0
00
2
2
0
2
0
22
22
00
1
0
2
0
2
1
4
112
11
112
211
τ
μμμμτ
μμμμ
μμμμτ
σ
τμμμμσ
C
TCT
T
T
−=++−++⋅=
=
++⋅−+
++⋅++⋅−
=
=+++−+
Таким образом, вид огибающей Кулона:
[
]
[
]
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−<−=
−>
=++−−+
)
4
1(
)
4
1(
,211
2
0
00
0103
2
0
00
01
0
2
3
2
1
τ
σσ
τ
σ
τμμσμμσ
TC
CприT
TC
Cпри
(1.59)
Эта зависимость показана на рисунке 1.35 сплошной линией.
Гриффитс (1924), на основе рассмотрений условий развития
двумерных эллиптических трещин, получил критерий
возникновения разрушения в виде:
()
3103
31310
2
31
3
30)(8
σσσ
σσσσσσ
−<−=
−>=+−−
приT
приT
(1.60)
Можно показать, что этому критерию соответствует
огибающая Мора в виде параболы:
)(4
00
2
TT
n
+=
στ
McClintock & Walsh (1962) учли, что в условиях сжатия
микротрещины закрываются при некотором нормальном
напряжении σ
с
, после чего возникает фрикционное сопротивление на
стенках трещин и разработали модифицированный критерий
Гриффитса:
56
σ
3
σ
1
C
,
M
G
G, MG
T
0
C
0
G
σ
τ
C
,
M
G
G, MG
T
0
τ
0
G
а
б
Рис.1.35 Критерии разрушения на плоскости σ
1
- σ
3
(а) и σ- τ (б) С –
критерий Кулона; G – критерий Гриффитса; MG –
модифицированный критерий Гриффитса
(
)
)(2)/1(4])1[(
3
2/1
0031
2/12
cc
TT
σσμσσσμμ
−++=−−+ ,
которому соответствует огибающая Мора:
)(2)/1(2
3/1
00 cnc
TT
σσμστ
−++=
При σ
3
<0 используется обычный критерий Гриффитса (1.60). Этот
критерий, как и критерий Кулона предсказывает линейную связь
между напряжениями. Если предположить, что σ
с
мало, то
57
(
)
3031
2/12
24])1[(
μσσσμμ
+=−−+ T
, а
n
T
μ
σ
τ
+
=
0
2
, что
идентично критерию Кулона c
00
2T
=
τ
.
Рассмотренные критерии, в отличие от эмпирического
критерия Кулона, уже основаны на микроскопическом механизме
разрушения – распространении трещин Гриффитса. Это позволяет
предположить, что физический смысл критерия Кулона, возможно,
заключается в трении микротрещин.
Для определения прочности образцов горных пород
применяются различные виды лабораторных испытаний образцов.
Наибольшее распространение получили характеристики прочности
на одноосное сжатие σ
сж
, на растяжение σ
р
и на сдвиг (срез) σ
с
.
Прочность на одноосное сжатие обычно определяют на
цилиндрических или призматических образцах. Для оценки
прочности на растяжение применяют, так называемый, бразильский
метод – раскалывание цилиндрического образца при его боковом
сжатии между пуансонами пресса. В этом случае образец
раскалывается вдоль диаметра, параллельно своей оси. Определение
прочности на срез проводят в прочных матрицах с различными
углами среза.
Большинство горных пород существенно упрочняются при
обжатии. Поэтому наиболее информативными являются трехосные
испытания образцов. Схема проведения опытов может быть
различной, но в целом, методика испытаний была предложена еще в
1911г. фон Карманом. Наибольшее главное напряжение σ
3
прикладывается вдоль оси цилиндрического образца, а наименьшие
напряжения σ
2
= σ
1
передаются на боковую поверхность путем
гидростатического давления внутри металлической или резиновой
оболочки (рис.1.36). Эти эксперименты проводятся на специальных
управляемых прессах.
Характер разрушения образца сильно зависит от системы
нагружения. Определяющим параметром здесь является, так
называемая, жесткость испытательной машины.
58
1
2
3
4
5
6
7
Рис.1.36 Схема камеры для проведения трехосных испытаний.
1- сферическая опора; 2- зазор; 3- корпус камеры; испытуемый образец;
5 – впускное отверстие для масла: 6 – датчики деформации; 7 - втулка
Если при нагружении в абсолютно жесткой конструкции
(
образцамашины
k
dl
dP
k >>= ) в момент начала разрушения
прекратить увеличивать нагрузку, то усилие, прикладываемое к
образцу, мгновенно снизится и разрушение прекратится. На мягкой
машине (
образцамашины
k
dl
dP
k <=
) энергия деформации,
аккумулированная в прессе, пойдет на работу по разрушению
образца и даже если в момент начала разрушения увеличения
нагрузки не происходит, наблюдается «взрывное», неуправляемое
разрушение образца. Пример абсолютно мягкой машины – груз,
лежащий на образце.
59
Деформация
Усилие
Резкое разрушение
в «мягкой» машине
Запредельный
участок кривой
Рис.1.37 Схема, поясняющая процесс нагружения образцов в
испытательных машинах
Таким образом, для проведения корректных испытаний
образцов на сжатие необходимо, чтобы жесткость машины была
больше жесткости образца. Поскольку достичь столь больших
жесткостей испытательных машин довольно трудно, то в настоящее
время применяются, так называемые, сервоуправляемые пресса с
обратной связью. Специальная система датчиков отслеживает
соответствие между скоростью нагружения и скоростью
деформации. В случае резкого увеличения скорости деформации
подается команда на клапан управления давлением пресса и
нагрузка снижается в течении нескольких миллисекунд. Таким
образом, сервоуправляемые установки, также как и жесткие
машины, дают возможность построить «запредельную ветвь
деформационной кривой, т.е. проследить весь процесс разрушения.
Мягкие машины позволяют лишь достичь предела прочности
(рис.1.37).
60
а б в
Рис.1.38 Три моды хрупкого разрушения, наблюдаемые в
лабораторном эксперименте (а) трещины растяжения, (б) –
разрушение в опытах на сжатие, (в) – расслаивание, наблюдаемое в
опытах при низких обжимающих давлениях
При хрупком разрушении обычно наблюдаются две основные
моды разрушения: Образование трещин растяжения (рис.1.38а)
ортогонально приложенному напряжению и трещин сдвига под
определенным углом (1.56) к нагрузке (рис.1.38б). Расслаивание
(рис.1.38в) наблюдается только при малых обжимающих давлениях.
Является ли это модой разрушения, либо это эффект влияния концов
образца – вопрос открытый.
Рассмотрим зависимость напряжение - деформация при
трехосном нагружении образца (рис.1.39). На стадии I
0;0
2
2
>
∂
>
∂
ε
σ
ε
σ
d
d
и объемное сжатие несколько больше, чем
следует из упругости. Эта особенность вызвана закрытием ранее
существовавших трещин, главным образом тех, что были
ориентированы под большими углами к приложенному
напряжению.