Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород

Подождите немного. Документ загружается.

Перемещение

Усилие

~2b

Рис.1.8. Постановка задачи о растяжении полосы, содержащей трещину

(слева) и соответствующая зависимость усилие – перемещение

При нагружении образца приложенное усилие линейно

возрастает вплоть до точки А на рис.1.8, где начинается рост

трещины. В ходе распространения трещины нагрузка снижается.

Если в какой-то момент образец разгрузить, то остаточных

перемещений не будет. В этом состоит фундаментальное отличие

хрупкого поведения от упруго-пластического. Изменение наклона

прямой напряжение-деформация происходит не из-за изменения

свойств материала, а из-за роста длины трещины. Измеряя величину

, получаем оценку трещинной прочности K

2/3

)1)(

−

−−=

, а площадь OAB соответствует

энергии, которая диссипирует при распространении трещины от 2L

до 2L+2ΔL.

Скорость выделения энергии:

, где dW – площадь под кривой.

Применяя аналогичный подход, в случае, когда трещина выходит на

поверхность образца, получаем, полагая, что L<<b:

. (1.21)

Используя соотношение (1.16) можно из (1.21) оценить

коэффициент интенсивности напряжений. В этом случае нет

необходимости измерять начальную длину трещины.

Анализ решения (1.13) показывает, что в кончике трещины

имеется особая точка. На самом деле, поскольку материал не может

выдержать бесконечные напряжения, вблизи кончика имеется зона

нелинейных деформаций, которая сглаживает эту сингулярность.

Оценим характерный размер зоны сингулярности напряжений

у вершины трещины. Рассмотрим ту же постановку, что и на

рис.1.4а – пластина растягивается напряжением σ, приложенным на

бесконечности перпендикулярно плоскости трещины.

Будем полагать, что нормальные напряжения перед вершиной

трещины на линии ее продолжения 0(

т.е

см.рис.1.6мода I) могут быть аппроксимированы зависимостью

содержащей сингулярную и регулярную составляющие поля

напряжений:

Для такой геометрии коэффициент интенсивности напряжений

равен:

,lK

πσ

= т.е. выражение для напряжений принимает вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+= 1

σσ

В зоне сингулярности выполняется условие 1

или

rl >> . Принимая для определенности

, получаем

lr 01.0< , т.е. для трещины длиной 10мм характерный размер зоны

сингулярности составляет всего лишь ~100мкм.

Более точным будет сказать, что вблизи вершины трещины

материал переходит в пластическое состояние. Пластическое

течение приводит к ограничению уровня напряжений пределом

текучести σ

. Из (1.13) имеем соотношение:

, которое

определяет характерный размер зоны текучести:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≈

σπ

. (1.22)

1.2.2 Дислокации

Наличие трещин обуславливает хрупкое поведение твердых

поликристаллических тел. Способность же к медленным неупругим

деформациям обусловлена существованием в них точечных и

линейных дефектов кристаллической структуры — вакансий и

дислокаций. Эти дефекты всегда присутствуют в реальных

кристаллах. Они возникают при росте кристаллов после их

образования и при пластической деформации.

Что же такое дислокация?

Рис.1.9. Модель положительной краевой дислокации

В результате различных процессов (деформация, нагревание

и т.д.) в кристаллической решетке возникают участки

несовместности атомных плоскостей.

На рис. 1.9 показана модель простой кубической решетки,

содержащей один линейный дефект – в верхнюю половину

кристалла «вставлена» одна лишняя полуплоскость, называемая

экстраплоскостью. Граница экстраплоскости - линия CD- является

краевой дислокацией. Особенно сильные нарушения периодической

структуры кристалла появляются в зоне вдоль линии встречи

лишней плоскости с плоской границей нижней части кристалла.

Этот участок называется ядром дислокации.

Если экстраплоскость расположена сверху дислокации, то

дислокацию называют положительной. Дислокация является

отрицательной, если экстраплоскость расположена под ней.

Рис.1.10. Модель краевой дислокации

Дислокации бывают краевые, винтовые и смешанные. В

краевой дислокации вектор сдвига перпендикулярен к линии

дислокации (рис.1.10). Винтовая дислокация образуется при

смещении части кристалла (рис.1.11), разделенного плоскостью

ABCD, относительно другой в направлении АВ. Линия DC есть

винтовая дислокация. В зависимости от направления движения

дислокации бывают правого и левого вращения. Винтовая

дислокация с правой закруткой – правосторонняя, с левой –

левосторонняя. У винтовой дислокации вектор сдвига параллелен

линии дислокации

Рис.1.11 Модель винтовой дислокации

Рис.1.12 Контур Бюргерса и вектор Бюргерса.

1- вектор Бюргерса, 2 – винтовая дислокация, 3 – краевая дислокация

В отличие от краевой, у винтовой дислокации плоскостью

скольжения является любая кристаллографическая плоскость,

проходящая через линию СD. Кристалл с винтовой дислокацией уже

не состоит из параллельных атомных плоскостей. Скорее его можно

считать состоящим из одной атомной плоскости, закрученной в виде

винтовой лестницы

Дислокации, у которых вектор сдвига и дислокационная линия

образуют некоторый угол, содержат как краевую, так и винтовую

компоненты. Такие дефекты называются смешанными

дислокациями.

В идеальном кристалле можно провести замкнутый контур,

соединяя последовательно атомы решетки – контур Бюргерса

(рис.1.12). Если начертить контур такой же формы в кристалле с

дефектами, то он оказывается незамкнутым. Конечную и начальную

точку разомкнутого контура можно соединить вектором – вектор

Бюргерса

При действии на кристалл поля напряжений дислокации

смещаются - на них действуют эффективные силы.

Пусть элемент дислокации длиной dS с вектором Бюргерса b

перемещается на dl.: Если дислокация пройдет весь кристалл

площадью A, то амплитуда макросдвига равна вектору Бюргерса или

одному межатомному расстоянию. При меньших смещениях

амплитуда пропорциональна площади сдвига: γ= b

dSdl

Если к кристаллу приложена сила Aτ, то при перемещении

дислокационного элемента совершается работа

FdSdlbdSdlb

dSdl

A ==

ττ

)(

, где F – сила, действующая на

единицу длины дислокации. Откуда:

⋅

. (1.23)

Сила всегда направлена нормально к линии дислокации и

может не совпадать с направлением внешних напряжений.

Вблизи ядра дислокации порядок атомов нарушается, т.е.

появляется сопутствующее дислокации поле напряжений. Если

исключить из рассмотрения само ядро, то это поле можно считать

упругим.

Для краевой дислокации, решая упругую задачу можно

получить:

)1(2

;0;

)(

;

)(

;

)(

)3(

222

νπ

τττ

σσνσ

σσ

−

===

−

−=

yxx

yxy

xzyzxy

yyxxzz

yyxx

(1.24 )

В этих выражениях система координат соответствует рис.1.10.

Для винтовой дислокации

(1.25 )

Поле напряжений у винтовой дислокации содержит только

касательную компоненту – вдоль оси винта. Поле деформаций

вокруг винтовой дислокации уменьшается пропорционально 1/r.

Поскольку вокруг дислокации образуется поле напряжений, то

при наличии нескольких дислокаций поля, взаимодействуя,

вызывают силы притяжения и отталкивания. Для двух краевых

дислокаций несложно получить из формул (1.24) для поля

напряжений:

)/(

2sin

)1(2

xyarctg

−

νπ

. (1.26 )

В этих соотношениях верхний знак соответствует

дислокациям разного знака, а + - притяжению.

Таким образом, две краевые дислокации разного знака,

расположенные в одной плоскости скольжения (y=0),

отталкиваются, а одного знака – притягиваются. Если дислокации

расположены в разных плоскостях, то сила их взаимодействия не

центральная (см. рис.1.13).

Плоскость скольжения

Рис.1.13 Схема взаимодействия краевых дислокаций

Сила взаимодействия дислокации с поверхностью равна силе

взаимодействия с воображаемой, зеркально расположенной

дислокацией противоположного знака.

При взаимодействии двух винтовых дислокаций:

;

±=

. (1.27)

Винтовые дислокации противоположного знака –

притягиваются, одного знака –отталкиваются.

Существуют два типа перемещений дислокаций –

перемещение скольжением и перемещение переползанием. Краевая

дислокация может скользить только в одной плоскости,

определяемой линией дислокации и вектором Бюргерса. Если мы

приложим силы к верхней и нижней частям кристалла, с тем, чтобы

сдвинуть их друг относительно друга по их граничной плоскости –

плоскости скольжения, то обнаружим, что наличие дислокации

заметно облегчает скольжение верхней половины кристалла по

нижней. При сдвиге ядро дислокации последовательно проходит

положения а, б, в и г на рис.1.14 и затем выходит на поверхность. В

результате кристалл освобождается от линейного дефекта, а верхняя

половина кристалла смещается относительно нижней на одну

постоянную решетки. Образно можно сказать, что прохождение

одной краевой дислокации в своей плоскости скольжения через весь

кристалл смещает обе половины кристалла на один

пространственный «квант» — постоянную решетки.

а б в г д

Рис.1.14 Схема перемещения дислокаций

Таким образом, в результате скольжения одной дислокации

через кристалл, происходит пластический сдвиг на одно межатомное

расстояние b. При перемещении в плоскости скольжения в каждый

данный момент разрываются и пересоединяются связи не между

всеми атомами на плоскости скольжения (рис 1.14), а только между

теми атомами, которые находятся у оси дислокации. Поэтому

скольжение дислокаций происходит при сравнительно малых

внешних напряжениях. Эти напряжения на несколько порядков

ниже, чем напряжение, при котором может пластически

деформироваться совершенный кристалл без дислокаций, для сдвига

которого требуется одновременное пересоединение всех

межатомных связей (теоретическая прочность).

Винтовая дислокация не связана с определенной плоскостью

скольжения.

Рис.1.15 Притяжение (а), отталкивание (б) и аннигиляция (в,г) дислокаций

При сближении двух дислокаций с одинаковыми векторами

сдвига (рис.1.16а) увеличивается сжатие кристалла по одну сторону

от плоскости скольжения и растяжение — по другую сторону. При

сближении дислокаций с противоположными векторами сдвига

сжатие и растяжение по обе стороны от плоскости скольжения

взаимно компенсируются (рис.1.15 б,в,г) - дислокации уничтожают

друг друга или аннигилируют.

Рис.1.16 Переползание дислокаций

Вторым важным процессом, связанным с пластическим

течением кристаллов (или поликристаллов), является так

называемое переползание дислокации из одной плоскости

скольжения в другую (рис.1.16). Под этим эффектом понимают

наращивание или уменьшение лишней кристаллической

полуплоскости в кристалле, т.е. перемещение дислокационной

линии в направлении ортогональном к плоскости скольжения.

Скорость процессов переползания дислокаций определяется

скоростью подвода или отвода материала, которая контролируется

диффузией точечных дефектов. Т. к. скорость диффузии резко

снижается с температурой, переползание происходит с заметной

скоростью только при достаточно высоких температурах. Если

кристалл находится под нагрузкой, то потоки атомов и вакансий

направлены так, чтобы упругие напряжения уменьшились. В

результате происходит пластическая деформация кристалла за счёт

переползания.

Под действием внешних сил, атомы решетки вблизи ядра

дислокации смещаются, занимая промежуточные положения. Для

перемещения дислокации атомы должны преодолеть потенциальный

барьер. Напряжение сдвига, необходимое для перемещения

дислокации в плоскости скольжения на один период, описывается

функцией Пайерлса-Набарро: