Кочарян Г.Г. Деформационные процессы в массивах горных пород

Подождите немного. Документ загружается.

)exp(

pVE

RTh

Здесь D

– коэффициент диффузии вдоль границ зерен, δ –

ширина границ зерен. Относительная роль двух механизмов

диффузии определяется величиной отношения:

δD

/hD .

При высоких давлениях и температурах возникновение

пластического течения определяется миграцией дислокаций, что

приводит к возникновению еще одного вида крипа – дислокационной

ползучести. Для описания дислокационного крипа предложено

много зависимостей. Для примера, соотношение между скоростью

деформации и напряжением аналогично диффузии можно записать:

σεε

yyxx

RTh

=−=

где размер зерна h заменен на среднее расстояние между

дислокациями h

Среднее расстояние между дислокациями можно выразить

следующим образом::

/bGh

, где b – вектор Бюргерса, а G – модуль сдвига.

Соответственно, получаем:

σεε

GRTb

yyxx

=−=

, (1.34)

т.е. скорость деформации пропорциональна напряжению в кубе.

В ряде других моделей

σε

, где n ~ 1.5÷5.

Таким образом, в отличие от диффузионного крипа,

дислокационная ползучесть описывается реологическим законом

неньютоновской жидкости.

1.4 Реологические модели

Поведение деформированного материала во времени

описывают при помощи идеализированных реологических моделей,

которые строятся, основываясь на сочетании простых механических

элементов – упругого, вязкого, пластического и т.д. Наиболее

простые модели включают в себя в различных сочетаниях линейно-

упругие (гуковское тело, рис.1.22а) и вязкие (ньютоновское тело,

рис.1.22б) элементы.

Рис.1.22 Линейно упругий (а) и вязкий (б) элементы реологических

моделей

Для упругого элемента выполняется закон Гука:

, а для

вязкого закон идеальной ньютоновской жидкости:

⋅

Рассмотрим модель, в которой эти элементы соединены

последовательно - модель Максвелла (рис.1.23). В результате

приложения нагрузки σ, напряжения в обоих элементах возникают

одинаковые напряжения, вызывая при этом деформации ε

и ε

Напряжение и деформация вязкого элемента связаны

соотношением:

ησ

(1.35)

Для упругого элемента справедливо:

. (1.36)

Время

Деформация

Напряжение

σ/Ε

Рис..1.25 Модель Кельвина –

Фойгта

Рис.1.26 Зависимость деформации от

времени в модели Кельвина - Фойгта

Время

Деформация

Напряжение

σ/Ε

Рис.1.23 Модель

Максвелла

Рис.1.24 Зависимость деформации от времени

в модели Максвелла. Пунктиром показано

приложенное напряжение

Обозначая полную деформацию элемента среды:

исключая ε

и ε

, получаем:

σεη

+=⋅

(1.37)

Коэффициент

имеет размерность времени и

называется – постоянная времени среды.

При постоянном приложенном напряжении σ=const, получаем

из (1.37)

, откуда:

)1(

εε

+=⋅+=

, (1.38)

где

- деформация упругого элемента в начальный момент.

При снятии нагрузки модель получает обратную деформацию,

равную начальной упругой, в то время как вязкая часть деформации

необратима. Вид зависимости деформации от времени для модели

Максвелла показан сплошной линией на рис.1.24.

Таким образом, если время действия силы мало по

сравнению с τ, то материал

ведет себя как упругое тело. Если же это

время велико, то материал ведет себя как вязкая жидкость с

коэффициентом вязкости E τ.

При постоянной деформации из (1.37) получаем:

)exp(

σσ

−=

, (1.39)

где σ

– напряжение в начальный момент времени.

Из (1.39) следует, что если в среде Максвелла поддерживать

постоянный уровень деформаций, то напряжения будут снижаться

по экспоненциальному закону. В этом случае говорят о релаксации

напряжений.

Параллельное соединение упругого и вязкого элементов

(модель Кельвина-Фойгта, рис.1.25) дает иной вид зависимости

деформации от времени. После приложения напряжения σ в упругом

элементе возникают напряжения:

⋅

, (1.40)

а в вязком:

⋅

. (1.41)

При этом,

ву

. (1.42)

Из (1.40)-(1.42) получаем:

⋅

(1.43)

В этой модели приложенная нагрузка уже не может вызвать

мгновенную упругую деформацию.

Решая (1.43), получаем:

))exp(1())exp(1(

−−=−−= , (1.44)

где

= – постоянная времени.

Вид решения (1.44) показан на рис.1.26. Деформация по

экспоненциальному закону асимптотически приближается к

величине σ/E. При t<< τ деформация определяется только

вязкостью, а при t>> τ – только упругостью.

Величину E можно считать модулем упругости при

бесконечно длительном действии нагрузки.

При снятии нагрузки деформация возвращается к нулю по

тому же экспоненциальному

закону.

Если в уравнении (1.44) положить ε=const, то напряжение тоже

остается постоянным, т.е. в модели Фойгта релаксации нет.

Для более адекватного описания свойств реальных сред

применяются более сложные реологические модели, состоящие из

различных комбинаций упругих и вязких элементов, а также

элементов описывающих свойства пластичности, кулоновского

трения и т.д.

На рис.1.27 показана обобщенная вязкоупругая модель (тело

Пойтинга-Томаса). Если в момент времени t=0, быстро

прикладывается нагрузка F или сдвиговое напряжение σ

, то в

элементе мгновенно возникает деформация:

== ,

где E

– модуль пружины 1 или «динамический» сдвиговый

модуль.

В начальный момент времени пружина 2 не деформируется. С

ростом t пружина 2 также начинает деформироваться. Принимая,

что сопротивление вязкого элемента пропорционально скорости

деформации

с коэффициентом пропорциональности η

(коэффициент вязкости), получаем:

222

⋅

, где E

–

модуль упругости второй пружины.

Общая деформация элемента

, т.е. в каждый

момент времени:

εεε

221

−+=+=

&&&

, откуда получаем уравнение,

определяющее закон деформирования вязкоупругой среды:

Время

Деформация

Напряжение

σ/Ε

Рис.1.27 Обобщенная

вязкоупругая модель

Рис.1.28 Зависимость деформации от

времени для обобщенной вязкоупругой

модели

σμεε

+=+

(1.45)

В (1.45)

- «статический» модуль контакта»,

μη

)(

−

- параметр вязкости среды.

Решение (1.45) при граничном условии

)0(

= определяет закон

деформирования:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

⋅− t

, (1.46)

⋅−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

μσ

. (1.46а)

При мгновенном приложении или снятии нагрузки среда

деформируется в соответствии с динамическим модулем E

(рис.1.28). При длительном же действии нагрузки деформация среды

соответствует величине статического модуля E

Приведем, без подробного рассмотрения, еще несколько примеров

реологических моделей. На рис.1.29 приведена модель Бюргерса,

которая неплохо описывает закономерности деформирования

горных пород. По сравнению с обобщенной вязкоупругой моделью,

здесь добавлен еще один вязкий элемент. Это приводит к тому, что

закономерности деформирования такой модели описывается

дифференциальным уравнением второго порядка:

εμεη

122 +⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++=⋅+⋅

&&&

(1.47)

Для описания перехода к пластичности, в реологических

моделях используется, так называемый, кулоновский элемент

(показан в правой части схемы на рис.1.30), перемещения которого

запрещены вплоть до того момента, пока нагрузка не превысит

некоторый «критический» уровень.

Рис. 1.29 Реологическая модель Бюргерса

На рис.1.30 показана, так называемая, модель Сен-Венана –

модель среды, демонстрирующей упруго-пластическое поведение.

Если уровень напряжений меньше определенного предела – тело

деформируется упруго; при превышении приложенной нагрузкой

/dt

Рис.1.30 Модель Сен-Венана Рис.1.31 Модель Бингама

уровня σ

– предела пластичности – поведение среды описывается

соотношениями идеальной пластичности.

На рис.1.31 показана одна из моделей вязко-пластической

среды – модель Бингама. В этом случае при превышении предела

пластичности скорость деформации пропорциональна разности (σ-

) :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥+

<⋅

σσ

σσε

. (1.48)

Такую среду иногда называют бингамовской жидкостью.

1.5 Прочность горных пород и критерии

разрушения

Как отмечалось в разделе 1, теоретическое значение

прочности материала, рассчитанное при помощи теории

межатомного взаимодействия, оказывается примерно на три порядка

выше реальных значений, что связано с наличием разнообразных

дефектов в структуре поликристаллических тел. К сожалению так и

не удалось разработать модель, на основании которой были бы

созданы универсальные критерии потери материалом сплошности

Так, например, теория Гриффитса рассматривает условия, при

которых распространяется единичная трещина в упругой среде. Она

отчасти может предсказать макроскопическое поведение тела лишь

в частном случае образования трещин растяжения в однородном

материале. Невозможность использования простых моделей для

практических расчетов прочности материалов определило то

обстоятельство, что большая часть критериев трещинообразования в

условиях

сложного напряженного состояния носит эмпирический

или полуэмпирический характер.

Опыт показывает, что один и тот же материал может

разрушаться при различном уровне напряжений в зависимости от

вида напряженно-деформированного состояния. Именно поэтому

один из самых ранних критериев прочности – критерий наибольших

нагрузок – оказался несостоятельным. Согласно этому критерию,

предложенному Галилеем, материал разрушается при достижении

наибольшей нагрузкой некоторого, определяемого

экспериментально, критического значения.

В терминах напряжений, критерий наибольших нагрузок

формулируется следующим образом:

[

]

≤

, (1.49)

где

- наибольшая из нормальных компонент напряжений, а

[]

- критическая величина нагрузки для рассматриваемого

материала (предел упругости для хрупких материалов или предел

текучести для пластичных).

В отличие от этой первой теории прочности, согласно теории

наибольших деформаций (Мариотт, 1682г.) «..разрушение наступает

тогда, когда удлинение превосходит некоторое предельное

значение».

В случае объемного напряженного состояния это условие

записывается, как:

)(

21333

31222

32111

σσνσεσ

+−==

′

+−==

′

−

′

. (1.50)

Наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение

′

(максимальное растягивающее напряжение соответствующее

предельному удлинению), выбирается в качестве предела прочности.

Таким образом, в отличие от (1.49) с предельным

напряжением сравнивается уже совокупность нормальных

компонент тензора напряжений. Соотношение (1.50) широко

применялось во второй половине XIX века.

Одна из модификаций условия (1.50) называется критерий

максимальных растягивающих напряжений :

T−=

, (1.51)

- разрушение наступает при достижении минимальной

компонентой главного напряжения предела прочности на

растяжение.