Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
561
Величина D є випадковою величиною, яка в припущенні,
що гіпотеза вірна при
∞
→n
має граничний розподіл:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>−
=→<=<
∑
∞
−∞=
−
∞→
0,0
0,)1(
)()()(
22
2
λ
λ
λλλ
λ
k
kk
n
n
e
KnDPDP
(6.11.2).
за умови, що теоретична функція розподілу
)(xF
неперервна.
Функція
)(
λ
K названа функцією Колмогорова не зале-
жить від виду висунутого теоретичного розподілу.
Задаючи рівень значущості
α
, з співвідношення
αλλλ
α
λ
αα
=−−=≥=>
∑
∞
−∞=
−
k
k
k
enDPP
22
2
)1(1)()( (6.11.3).
можна знайти критичні значення розподілу Колмогорова за
таблицею 7.
Алгоритм застосування критерію згоди Колмогорова:
1. Знаходять значення
)(
~
xF емпіричної функції розпо-
ділу для правих кінців всіх інтервалів дослідного розподілу
неперервної випадкової величини. Якщо перший інтервал
замкнутий, вводять додатковий інтервал, включивши в нього
значення Х, що менші лівої границі першого інтервалу.
2. Для тих самих значень аргумента, що й в п. 1, обчис-
люють значення функції
)(xF висунутого закону розподілу
випадкової величини.
3. Вибирають найбільшу абсолютну величину різниці між
відповідними значеннями емпіричної і теоретичної функцій
розподілу:
)()(
~
max
*
xFxFD −=
.
4. Обчислюють величину
nD
спост
*
=
λ
.
Для знаходження критичних значень критерію розрахо-
вані різні таблиці.
5а. Використовуючи додаток 7 знаходять критичні зна-
чення функції
)(
αα
λ
λ
λ
≥ при заданому рівні значущості.
562
Якщо
α
λ
λ
≥
спост
, то нульова гіпотеза відхиляється. Якщо
α
λ
λ
<
спост
, то гіпотеза
0
H про даний вид закону приймається.
5б. В додатку 6 наведена таблиця значень функції
)(1)(
λ
λ
KP −= , якою користуються так. Знаходять критичне
значення
)(
спосткрит
P
λ
β
= . Якщо
α
λ
β
>
=
)(
спосткрит
P , то
робиться висновок про те, що розбіжність між емпіричним і
теоретичними розподілами може бути випадковою і дані
розподіли можна вважати узгодженими: нульова гіпотеза Н
0
приймається. Якщо
α
λ
β
≤
=
)(
спосткрит
P
, то розбіжність
невипадкова – нульова гіпотеза Н
0
відкидається.
5в. Розраховані критичні значення критерію
α
,n
K для да-
ного об’єму вибірки n і рівня значущості
α
(таблиця 8).
Якщо
<
*
D
α
,n
K< , то нульова гіпотеза Н
0
приймається,
якщо
α
,
*
n
KD ≥ , то нульова гіпотеза Н
0
відкидається.
Задачі
6.11.1. За останні 10 місяців деякою фірмою були
укладені угоди на суми
,
i
l які відбувались
i
n раз.
Перевірити з допомогою критерію Колмогорова гіпотезу
про те, що дана вибірка добута з генеральної сукупності, що
рівномірно розподілена в інтервалі [40,24-40,44].
Розв’язок.
Якщо статистичний розподіл інтервальний, то вибирають
односторонню критичну область.
Гіпотеза
0
H – статистичний розподіл є рівномірним.
Будуємо
)(
*
xF – емпіричну функцію розподілу
;)(
*
n
n
xF
х
=
.80
=
n
Теоретична функція рівномірного розподілу:
563
,)(
ab
ax
xF
−
−
= якщо х
∈
[a, b]
a = 40,24; b = 40,44.
;
24,4044,40
24,40
)(
−
−
=
x
xF
2,0
24,40
)(
−
=
x
xF – пряма.
При x = 40,24 маємо
,0)(
=
xF
а при x = 40,44
1
24,4044,40
24,4044,40
)( =
−
−
=xF .
х
x
n
)(
*
xF
)(xF
|)()(|
*
xFxF −
40,24 0 0 0 0
40,26 1
0125,0
80
1
=
0,1 0,0875
40,28 1 + 4 = 5
0625,0
80
5
=
0,2 0,1375
40,30 5 + 6 = 11
1375,0
80
11
=
0,3 0,1625
40,32 22 0,275 0,4 0,125
40,34 37 0,4625 0,5 0,0375
40,36 53 0,6625 0,6 0,0625
40,38 65 0,8125 0,7 0,1125
40,40 72 0,9 0,8 0,1
40,42 77 0,9625 0,9 0,0625
40,44 80 1 1 0
Побудуємо графіки )(
*
xF і )(xF (рис. 6.11.1).
1625,0)()(*max
*
=−= xFxFD .
453,180
*
== D
спост
λ
.
а) За табл. 7 критичних значень розподілу Колмогорова
для заданої імовірності
05,0
=
α
знаходимо 358,1
05,0
=
λ
. Так
як
358,1453,1
05,0
=
>=
λ
λ
спост
, то нульова гіпотеза про
рівномірний розподіл генеральної сукупності відкидається.
б) За таблицею 5 знаходимо, що цьому значенню
відповідає імовірність
β
що рівна 0298,0)45,1(
≈
≥
λ
P .
564
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
40,22
40,24
40,26
40,28
40,3
40,32
40,34
40,36
40,38
40,4
40,42
40,44
Рис. 6.11.1.
Дана імовірність
β
є малою і оскільки <0298,0
05,0=<
α
; то розбіжність між емпіричним і теоретичним
розподілами не є випадковою. Тому генеральна сукупність не
розподілена за рівномірним законом.
в)
1625,0
*
=D ; з таблиці 8 15,0
,
=
α
n
K .
15,01625,0
,
*
=>=
α
n
KD . Отже, нульова гіпотеза
відкидається.
F*(x)
F(x)
F*(x)
x
i
minmax
565
Література
1. Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. – М.:
Высш. школа, 1986.
2. Бугір М. К. Практикум з теорії ймовірності та
математичної статистики: Навчальний посібник. – Тернопіль:
Т.О.В. “ЦМДС”, 1998.
3. Булдык Г. М. Теория вероятностей и математическая
статистика. – Минск: Вышэйшая школа, 1989.
4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Физматиз. – М.:
Наука, 1969.
5. Гмурман В.
Е. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учеб. пособие для вузов. – 8-е изд., стер. – М.:
Высш. шк., 2002.
6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. – 5-е изд., стер. –
М.: Высш. шк., 1999.
7. Гурский Б. И. Теория вероятностей с элементами
математической статистики. Учеб. пособие для втузов. – М.:
Высш
. шк., 1971.
8. Гурский Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и
математической статистике.
9. Єрьоменко В. О., Шинкарик М. І. Теорія імовірностей.
Навчальний посібник для студентів економічних
спеціальностей. – Тернопіль: Економічна думка, 2000.
10. Жалдак М. И., Квитко А. Н. Теория вероятностей с
элементами информатики: Практикум: Учеб. пособие / Под.
общ. ред. М. И. Ядренко
. – К.: Выща шк., 1989.
11. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Статистика, 1970.
12. Кармелюк Г. І. Рейтингові індивідуальні завдання з
дисципліни “Теорія ймовірностей та математична статистика”
для студентів всіх форм навчання. – Тернопіль: ТАНГ, 2005.
13. Коваленко И. Л., Гнеденко Б. В. Теория вероятностей:
Учебник. – К.: Выща шк., 1990.
566
14. Колемаев В. А., Староверова О. В., Турундаевский В.
Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.
пособие для экон. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1991.
15. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М.
Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1980.
16. Теорія ймовірностей: Зб. Задач / За ред. А. В.
Скорохода. – К.:
Вища шк. Гол. Вид-во, 1976.
17. Солодовников А. С. Теория вероятностей: Учебн.
пособие для студентов пед. ин-тов по матем. спец. – М.:
Просвещение, 1983.
18. Четыркин Б. М., Калихман И. Л. Вероятность и
статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982.
19. Черняк О. І., Обушна О. М., Ставицький А. В. Теорія
ймовірностей та математична статистика:
Збірник задач: навч.
посіб.. – К.: Т-во “Знання”, КОО, 2002.
20. Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей. – К.: Вища шк.,
1994.
567
Додатки
Додаток 1.
Таблиця значень функції
2/
2
2
1
)(
x
ex
−
=
π
ϕ
568
Продовження додатку 1.
Додаток 2.
Таблиця значень функції dxexФ
x
х
2/
0
2
2
1
)(
−
∫
=
π
569
Продовження додатку 2.
570
Додаток 3.
Таблиця значень
),( ntt
γ
γ
=
Додаток 4.
Таблиця значень ),( nqq
γ
=