Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
541
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+=
→
−=−
+=+
→
вв
вв
вв
вв
DXa
DXb
DXa
DXb
3*
3*
3222)(
3222)(
.
6.5.4. Випадкова величина Х підлягає Гамма-розподілу.
Знайти методом моментів точкові оцінки параметрів
α
і
β
даного розподілу.
Розв’язок.
Використовуємо розв’язок задачі 4.10.1а. Складаємо
систему рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+==
+==
)2()1()(
)1()1()(
2
αβ
αβ
xDD
xMX
в
в
Ділимо рівняння (2) на (1). Отримуємо:
в
в
X
D
=
+
+
)1(
)1(
2
αβ
αβ
,
або
в
в
X
D
=*
β
. Підставимо
β
в рівняння (1): )1( +=
α
в
в
в
X
D
X
,
звідки
1
)(
*
2
−=
в
в
D
X
α
. Отже, 1
)(
*
2
−=
в
в
D
X
α
;
в
в
X
D
=*
β
.
6.5.5. Випадкова величина Х підлягає логнормальному за-
кону розподілу. Обчислити методом моментів точкові оцінки
параметрів
α
і
β
даного розподілу.
Розв’язок.
Використаємо розв’язок задачі 4.10.1б. Складемо сис-
тему рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−==
==
+
+
)1()(
)(
22
2
2
2
ββα
β
α
eeXDD
eXMX
в
в
або
542
)2(
)1(
)1(
22
2
2
2
2
2
2
2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
+
+
ββα
βα
β
α
eeD
eeX
в
в
.
Розділимо рівняння (2) на (1). Отримаємо:
1
)1(
2
2
22
2
2
2
−=
−
=
+
+
β
βα
ββα
e
e
ee
X
D
в
в
, звідси
1
2
2
+=
в
в
X
D
e
β
. Проло-
гарифмувавши ліву і праву частину рівняння, отримаємо:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= 1ln
2
2
в
в
X
D
β
. Отже,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= 1ln
2
в
в
X
D
β
.
Прологарифмувавши рівняння (1), отримаємо:
=
в
Xln
2
2
β
α
+= . Отже,
2
ln
2
β
α
−=
в
X . Підставивши сюди значен-
ня
2
β
, отримаємо:
=+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−= 1lnln1ln
2
1
ln
22
в
в
в
в
в
в
Х
D
X
Х
D
X
α
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
−=
2
2
2
2
lnlnln
вв
в
в
вв
в
ХD
X
Х
ХD
X
.
Отже,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
2
2
ln
вв
в
ХD
X
α
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= 1ln
2
в
в
X
D
β
.
6.6. Метод найбільшої правдоподібності
Метод найбільшої правдоподібності точкової оцінки неві-
домих параметрів заданого розподілу полягає у знаходженні
543
максимуму функції одного або декількох шуканих пара-
метрів.
а) Дискретні випадкові величини. Нехай Х – дискретна
випадкова величина, яка в результаті n дослідів набула зна-
чення x
1
, x
2
, ….x
n
. Нехай шукається параметр
θ
. Функцію
правдоподібності дискретної випадкової величини Х нази-
вають добуток ймовірностей
);(
θ
i
xp того, що випадкова ве-
личина набуде значення x
1
, x
2
, …х
і
...x
n
., причому значення х
і
зустрічається m
i
раз.
);()...;();();,...,(
2121
21
θθθθ
kpxpxpxxxL
k
m
mm
n
⋅=
(6.6.1).
Оцінкою найбільшої правдоподібності параметра
θ
нази-
вають таке значення
*
θ
, при якому функція правдо-
подібності досягає максимуму.
*
θ
знаходять з розв’язку рівняння:
0
);,...,,(
21
=
∂
∂
θ
θ
n
xxxL
, (6.6.2) або системи рівнянь
0
),...,,;,...,,(
2121
=
∂
∂
j
rn
xxxL
θ
θ
θ
θ
(6.6.3), rj ,1= , якщо необ-
хідно оцінити r невідомих параметрів.
Так як точки максимума функцій
);,...,(
21
θ
n
xxxL і
);,...,(ln
21
θ
n
xxxL співпадають, іноді зручніше замість рів-
нянь (6.6.2) і (6.6.3) розв’язати рівняння:
0
);,...,(
2
1
);,...,(ln
2121
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
θ
θ
θ
θ
nn
xxxLxxxL
(6.6.4) або
систему рівнянь:
0
),...,,;,...,,(
2
1
),...,,;,...,,(ln
21212121
=
∂
∂
⋅=
∂
∂
j
rn
j
rn
xxxLxxxL
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
,
rj ,1= (6.6.5).
544
Знаходять другу похідну
2
2
ln
θ
∂
∂ L
і якщо при *
θ
θ
=
вона
від’ємна, то
*
θ
- точка максимуму і її приймають за оцінку
параметра
θ
.
б) Неперервні випадкові величини. Нехай неперервна
випадкова величина Х в результаті n випробувань прийняла
значення x
1
, x
2
, ….x
n
. Якщо вид функції щільності f(x) за-
даний, але невідомі параметри
r
θ
θ
θ
,...,,
21
якими визна-
чається ця функція, то задають функцію правдоподібності
неперервної випадкової величини Х:
),...,,()...,...,,(),...,,(
21212211 rnrr
xfxfxfL
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
(6.6.6).
Потім знаходять логарифмічну функцію правдоподібності
і для знаходження її максимуму складають систему рівнянь:
0
),...,,;,...,,(ln
2121
=
∂
∂
j
rn
xxxL
θ
θ
θ
θ
; rj ,1= (6.6.7)
Задачі
6.6.1. Знайти методом найбільшої правдоподібності за ви-
біркою x
1
, x
2
, ….x
n
точкову оцінку параметра р геометричного
розподілу:
ppxXP
i
x
i
1
)1()(
−
−==
, де
i
x – число випробувань, про-
ведених до появи події, р – імовірність появи події в одному
випробуванні.
Розв’язок.
Складемо функцію правдоподібності:
);(...);();(
21
pxPpxPpxPL
n
⋅
⋅
⋅= , врахувавши, що
p=
θ
і
×⋅−⋅−=−==
−−
−
ppppLppxXP
xx
x
i
i
11
1
21
)1()1(:)1()(
nxxxx
n
x
nin
pppp
−+++++−
−=−⋅×
......1
21
)1()1(... .
Прологарифмуєм L:
)1ln(lnln
1
pnxpnL
n
i
i
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
∑
=
.
545
Знайдемо першу похідну:
p
nx
p
n
p
L
n
i
i
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
∂
∂
∑
=
1
11ln
1
.
Прирівнявши вираз до нуля знайдем критичну точку:
∑
−=⋅− )()1( nxpnp
i
, звідки
в
i
i
X
n
x
x
n
p
11
* ===
∑
∑
.
Знайдем другу похідну по р:
*
)1(
1ln
2
1
22
2
=
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−=
∂
∂
∑
=
p
nx
p
n
p
L
n
i
i
Підставим сюди
∑
=
i
x
n
p*
()
(
)
(
)
(
)
(
)
()
2
22
22
2
1
*
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
−
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+−=
nx
xnx
n
x
x
n
nx
n
xn
i
iii
i
ii
.
Оскільки
nx
n
i
i
<
∑
=1
, то
(
)
0
2
<
−
∑
∑
i
i
xn
x
при
в
X
p
1
* =
. Отже ця
точка є точкою її максимуму і за р слід прийняти вираз
в
X
p
1
* =
.
6.6.2. Обчислити методом найбільшої правдоподібності за
вибіркою параметр h розподілу Максвела (див. задачу
4.10.1в).
Розв’язок.
Складем функцію найбільшої правдоподібності:
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅= ),(...),(...),(),(
21
θ
θ
θ
θ
ni
xfxfxfxfL
546
=⋅⋅⋅⋅⋅=
−−
−−
2222
2
2
22
1
2
2
3
2
3
2
2
3
2
1
3
4
...
4
...
44
ni
vh
n
vh
i
vhvh
ev
h
ev
h
ev
h
ev
h
ππππ
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+++++− ).....(
222
2
2
1
3
222
2
2
1
2
......
4
ni
vvvvh
ni
n
evvvv
h
π
∑
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
n
i
i
vh
ni
n
evvvv
h
1
22
2
21
3
)......(
4
π
.
Знайдем логарифмічну функцію правдоподібності:
=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
n
i
ini
vhvvvv
h
nL
1
22
21
3
)......ln(2
4
lnln
π
∑
=
⋅−⋅⋅⋅⋅⋅++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
ini
vhvvvvhnn
1
22
21
)......ln(2ln3
4
ln
π
.
Знайдемо першу похідну і прирівняємо її до 0:
02
1
3
ln
1
2
=−⋅=
∂
∂
∑
=
n
i
i
vh
h
n
h
L
. Звідси,
2
2
2
2
3
2
3
*
v
v
n
h
i
==
∑
;
Отже,
2
2
2
3
2
3
*
v
v
n
h
i
==
∑
.
Знайдемо другу похідну по h:
02
1
3
ln
1
2
22
2
<−⋅−=
∂
∂
∑
=
n
i
i
v
h
n
h
h
. Отже
2
2
3
*
v
h =
є точ-
кою максимуму.
6.6.3. Знайти методом найбільшої правдоподібності за
вибіркою x
1
, x
2
, ….x
n
точкову оцінку параметра
β
Гамма-
розподілу (параметр
α
відомий).
Розв’язок.
(Див. задачу 4.10.1а).
Складемо функцію найбільшої правдоподібності:
547
×⋅
+
⋅
+
=
−
+
−
+
...
)1(
1
)1(
1
21
2
1
1
1
β
α
α
β
α
α
αβαβ
xx
ex
Г
ex
Г
L
×⋅⋅⋅
+
=
+
×
+
−
+
α
α
β
α
α
αβαβ
)...(
))1(()(
1
)1(
1
21
11
n
nn
x
n
xxx
Г
ex
Г
n
[]
β
αα
β
αβ
∑
⋅⋅⋅+=×
=
−
−
+−
+++++
−
n
i
i
ni
x
n
n
n
xxxx
exxxГe
121
)...()1(
21
)1(
......
.
Прологарифмуєм її:
β
ααβα
∑
=
−⋅⋅⋅++−+−=
n
i
i
n
x
xxxГnnL
1
21
)...ln()1(lnln)1(ln
.
Знайдемо похідну по
β
і прирівняєм її до 0.
0
1
)1(
ln
2
1
=+⋅+−=
∂
∂
∑
=
ββ
α
β
n
i
i
x
n
L
;
Отже,
∑
=+
i
xn )1(
αβ
, звідки
1)1(
*
+
=
+
=
∑
αα
β
в
i
X
n
x
.
Знайдемо другу похідну
322
2
2
1
)1(
ln
ββ
α
β
∑
−+=
∂
∂
i
x
n
L
.
Підставимо сюди
1
*
+
=
α
β
в
X
, отримаємо
*)1(
2
)1)(1(ln
3
32
2
2
2
=+−
++
=
∂
∂
∑
α
αα
β
в
i
в
X
x
X
nL
∑
=
вi
Xnx
0
)1()1(2)1(
*
2
3
3
3
2
3
<
+
−=
+
−
+
=
вв
в
в
X
n
X
Xn
X
n
ααα
.
Отже, в точці
1
*
+
=
α
β
в
X
функція L досягає максимуму і
*
β
є оцінкою
β
.
548
6.6.4. Знайти методом найбільшої правдоподібності за
вибіркою x
1
, x
2
, ….x
n
точкові оцінки параметрів а і
σ
нормального розподілу.
Розв’язок.
Функція найбільшої правдоподібності має вигляд:
=
⋅
⋅
⋅
= ),,(...),,(),,(
21212211
θ
θ
θ
θ
θ
θ
n
xfxfxfL
×⋅⋅⋅=
−−
−−−−
22
22
2
22
1
2/)(
2/)(2/)(
2
1
...
2
1
2
1
σ
σσ
πσπσπσ
ax
axax
i
eee
=
∑
=⋅×
=
−
−
−−
2
1
2
22
2
)(
2/)(
)2(
1
2
1
...
σ
σ
πσπσ
n
i
i
n
ax
nn
ax
ee
2
1
2
2
)(
2
)2(
σ
πσ
∑
=
=
−
−
−
−
n
i
i
ax
n
n
e
.
Прологарифмуєм її:
2
1
2
2
)(
)2ln(
2
lnln
σ
πσ
∑
=
−
−−−=
n
i
i
ax
n
nL
.
Продиференціюєм її по параметрах а і
σ
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
×=
−
→
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
∂
∂
=
−
+−=
∂
∂
∑
∑
∑
∑
)2(0)(
)1(
)(
0
)(
ln
0
)(
1ln
3
3
2
2
3
2
ax
n
n
ax
ax
a
L
ax
n
L
i
i
i
i
σ
σσ
σ
σσσ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=
−
∑
∑
0
)(
2
2
nax
n
ax
i
i
σ
. Але
2
2
)(
в
i
n
ax
σ
=
−
∑
;
в
i
X
n
x
=
∑
,
тому
в
Xa = ,
в
σσ
= .
Обчислимо другі похідні по
а і
σ
:
0
ln
22
2
<−=
∂
∂
σ
n
a
L
;
4
2
22
2
)(3
ln
σσσ
∑
−
−=
∂
∂
ax
nL
i
.
549
Підставивши сюди
n
ax
i
в
∑
−
==
2
22
)(
σσ
, отримаємо
0
)(
2
)(
3
)(
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
<
−
−=
−
−
−
=
∂
∂
∑
∑
∑
ax
n
ax
n
ax
nL
iii
σ
.
Отже, функція L при даних значеннях а і
σ
досягає
максимуму і а* і
*
σ
є точковими оцінками а і
σ
.
6.6.5. Обчислити за вибіркою x
1
, x
2
, ….x
n
методом най-
більшої правдоподібності параметри
α
і
β
логнормального
закону.
Розв’язок.
(Див. задачу 4.10.1б).
Функція найбільшої правдоподібності має вигляд:
2
1
2
2
)(ln
2
1
21
)2()......(
β
α
πβ
∑
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=
−
−
−
−−
n
i
i
x
n
n
ni
exxxxL .
Логарифмічна функція має вигляд:
2
1
2
21
2
)(ln
)2ln(
2
ln)......ln(ln
β
α
πβ
∑
−
−−−⋅⋅⋅⋅⋅−=
=
n
i
i
ni
x
n
nxxxxL
.
Продиференціювавши її по параметрах
α
і
β
і
прирівнявши до 0, отримуємо систему:
→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
→
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
+⋅−=
∂
∂
−
=
∂
∂
∑
∑
∑
∑
22
3
2
2
)(ln
0)(ln
)(ln
1ln
)(ln
ln
βα
α
β
α
ββ
β
α
α
nx
x
x
n
L
x
L
i
i
i
i
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
=
→
∑
∑
.
)(ln
*
*
ln
2
2
n
x
n
x
i
i
α
β
α
550
6.7. Інтервальні оцінки параметрів розподілу
Точкова оцінка визначається одним числом. Середня
вибіркова
в
х і вибіркова дисперсія
в
D – точкові оцінки. Але
при малих об’ємах вибірки точкові оцінки приводять до
значних відхилень від оцінюваного параметру. Тому при
малих вибірках використовують інтервальні оцінки, які
визначаються випадковими кінцями інтервалу, тобто двома
числами. Виберем яке завгодно мале наперед задане число
0>
δ
, що характеризує точність оцінки. Імовірність
α
γ
−=1 (де
α
– імовірність помилки) виконання нерівності
δθθ
<−
~
називають надійністю або довірчою імовірністю.
Оскільки імовірність помилки
α
наперед задають малою, то
надійність
γ
близька до одиниці: 0,95; 0,99; 0,999. Інтервал
(
)
δθδθ
+−
~
,
~
, який покриває невідомий параметр
θ
з зада-
ною надійністю
γ
називається довірчим.
а) Нехай з генеральної сукупності, розподіленої за довіль-
ним законом з математичним сподіванням а і дисперсією
2
σ
,
взята вибірка
1
x
,
2
x
, …
n
x . Тоді, згідно центральної гра-
ничної теореми (теоретичний вибірковий розподіл середніх
X
при великому n може бути добре апроксимовано
відповідним нормальним розподілом з параметрами
)()( XMXM = і
nXX /)()(
σσ
=
і більшість числових
характеристик вибірки має нормальний чи близький до
нормального вибірковий розподіл) у формі Ліндеберга-Леві
)(2 tФt
n
aXP =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<−
σ
(6.7.1),
де
)(tФ – функція Лапласа.
Отже, при достатньо великому n з надійністю
γ
можна
стверджувати, що довірчий інтервал
)/,/( ntXntX
σσ
+−
покриває невідомий параметр а: