Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
501
()
2
)(
1)(
ε
ε
XD
XMXP −≥<−
, замінивши в якій Х на
S
300
отримаємо:
()
.
)(
1)(
2
300
300300
ε
ε
SD
SMSP −≥≤−
Підставивши необхідні дані, отримуємо:
,
1025
1097,0
2
10
ε
−
⋅
−≥
або ,003,0
1025
2
10
≥
⋅
−
ε
звідки
,1033,83
1025
8
2
10
2 −
−
⋅=
⋅
≤
ε
ε
отже
0009,0
≤
ε
.
Сумарна похибка згідно нерівності Чебишева знаходи-
ться в інтервалі
[
]
0009,0;0009,0
300
−
∈
S . Як видно з обчис-
лень, нерівність Чебишева дає більш широкий інтервал, ніж
формула для нормального закону.
5.19. Сумується 10
4
чисел, кожне з яких заокруглено з
точністю до 10
–m
.
Припускаючи, що похибки від заокруглення незалежні і
рівномірно розподілені в інтервалі
)10
2
1
;10
2
1
(
mm −−
××−
,
знайти межі, в яких з ймовірністю не меншою 0,99, зна-
ходиться сумарна похибка.
Знайти також оцінку цих меж, використовуючи нерів-
ність Чебишева. Порівняти ці результати.
Розв’язок.
Позначимо через Х
і
випадкову величину похибки заок-
руглення одного і-того числа, яких є n = 10
4
, )(
i
X
σ
– точ-
ність заокруглення або середнє квадратичне відхилення вели-
чини похибки заокруглення і-того числа,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−∈
− m
i
X 10
2
1
;10
2
1
2
.
502
Тоді
4
10
S – випадкова величина суми похибок 10
4
чисел,
99,0≥P .
Обчислимо математичне сподівання М(Х
і
) і дисперсію
D(Х
і
) похибки і-того числа, що розподілена за рівномірним
законом:
;0
2
10
2
1
10
2
1
2
)( =
+−
=
+
=
−− mm
i
ba
XM
.
12
10
12
10
2
1
10
2
1
12
)(
)(
2
2
2 m
mm
i
ab
XD
−
−−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
=
Математичне сподівання
)(
4
10
SM суми
4
10
S похибок 10
4
чисел рівне:
.0010)(10)()(
44
10
1
10
1
4
10
44
=⋅====
∑∑
==
ii
i
i
i
XMXMXMSM
Дисперсія
)(
4
10
SD суми похибок 10
4
чисел рівна:
∑∑
==
===
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
44
4
10
1
4
10
1
10
)(10)()(
i
ii
i
i
XDXDXDSD
12
10
12
1010
2424 mm −−
=
⋅
= .
Оскільки n = 10
4
дуже велике, то сума їх похибок
розподілена за нормальним законом і для обчислення ширини
інтервалу ε використаємо формулу:
()
99,0
)(
2)(
4
44
10
1010
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=≤−
S
ФSMSP
σ
ε
ε
. Отже,
495,099,0
)(
2
4
10
=≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
S
Ф
σ
ε
.
503
З таблиць інтегральної функції знаходимо t = 2,573 при
якому
495,0)( =Φ t . Враховуючи, що інтегральна функція
зростаюча, маємо
573,2
)(
4
10
≤
S
σ
ε
, звідки
573,2
32
10
573,2
12
1010
573,2)(
224
10
4
⋅=⋅
⋅
=⋅≤
−− mm
S
σε
.
Враховуючи, що
)(
4
10
SM = 0, знаходимо, що сумарна
похибка буде знаходитись в межах:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅−∈
−− mm
S
22
10
10
32
573,2
;10
32
573,2
4
.
Ширину інтервалу ε можна також обчислити з нерівності
Чебишева:
()
2
)(
1)(
ε
ε
XD
XMXP −≥<−
, замінивши в якій Х на
4
10
S отримаємо:
()
.
)(
1)(
2
10
1010
4
44
ε
ε
SD
SMSP −≥<−
Підставивши необхідні дані, отримаємо:
,
12
10
199,0
2
24
ε
⋅
−≥
− m
або ,01,0
12
10
2
24
≥
⋅
−
ε
m
звідки
,
12
10
1201,0
10
2624
2
mm −−
=
⋅
≤
ε
отже
32
10
12
10
326 mm −−
=≤
ε
.
Тому сумарна похибка з заданою ймовірністю 0,99 згідно
нерівності Чебишева знаходиться в інтервалі:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∈
−−
32
10
;
32
10
33
10
4
mm
S
.
Нерівність Чебишева дає більш широкий інтервал, ніж
формула для нормального розподілу.
504
5.20. Поїзд складається з 98 вагонів. Вага кожного вагона
– випадкова величина з математичним сподіванням, рівним 65
т, і середньоквадратичним відхиленням, рівним 9 т. Локо-
мотив може везти поїзд, якщо маса останнього не перевищує
6600 т. В протилежному випадку підчіплюють другий локо-
мотив. Яка ймовірність того, що цього робити не доведеться?
Розв’язок.
Вага поїзда,
що складається з 98 вагонів і є сумою їх ваг,
є випадковою величиною S
98
.
Математичне сподівання ваги всього поїзда рівне:
)т(63706598)(98)()(
98
1
98
=⋅=⋅==
∑
=
ii
i
XMXMSM ,
де
65)( =
i
XM – математичне сподівання ваги кожного ваго-
на. Дисперсія ваги всього поїзда рівна:
=⋅===
∑∑
==
)(98)()()(
22
98
1
98
1
98
ii
i
i
i
XXXDSD
σσ
)т(7938998
2
=⋅= , де 9)(
2
=
i
X
σ
– середньоквадратичне
відхилення ваги одного вагона.
Величина відхилення
ε
між верхньою межею ваги поїз-
да, який може везти один локомотив, і математичним
сподіванням ваги поїзда рівне:
ε = 6600 – 6370 = 230 (т).
Тоді ймовірність того, що не потрібно підчіплювати
другий локомотив рівна імовірності того, що величина
відхилення ε < 230. Ця імовірність рівна згідно:
а) нерівності Чебишева:
()()
2
98
9898
)(
1)()(
ε
εε
SD
SMSPXMXP −≥<−=<−
.
Підставивши у формулу необхідні дані отримуємо:
()
.85,0
230
7938
12306370
2
98
=−≥<−SP
б) згідно формули величини відхилення для нормального
закону розподілу, оскільки n = 98 досить велике:
505
() ()
=≤−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=≤−
ε
σ
ε
ε
)(або,2)(
9898
SMSPФXMXP
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)(
2
98
S
Ф
σ
ε
.
Підставивши у формулу необхідні дані отримуємо:
()
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=≤− )5815,2(2
7938
230
22306370
98
ФФSP
9902,04951,02 =⋅= .
5.21. Стрільба ведеться почергово з трьох гармат. Ймовір-
ність попадання в ціль при одному пострілі з кожної гармати
відповідно дорівнює 0,2; 0,4 і 0,6. Таким чином проведено 600
пострілів.
Визначити знизу ймовірність того, що при цьому частота
відрізняється від середньої ймовірності попадання за абсо-
лютною величиною не більше ніж на 0,05.
Розв’язок.
Скористуємось теоремою Пуассона.
,1
2
ε
ε
n
qp
p
n
m
P −≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
де
i
k
i
np
n
p
i
∑
=
=
1
1
– середня імовірність настання події в
кожному випробуванні,
nn
i
k
i
=
∑
=1
– загальна кількість ви-
пробувань,
n
nqpnqpnqp
qp
iii
...
222111
+
+
=
.
Підставивши необхідні дані задачі n
1
= n
2
= n
3
= 200; n =
= 600; ε = 0,05; р
1
= 0,2; р
2
= 0,4; р
3
= 0,6; q
1
= 0,8; q
2
= 0,6;
q
3
= 0,4, обчислимо середню імовірність попадання в ціль при
кожному з 600 вистрілів:
506
;4,0
600
2006,02004,02002,0
=
⋅
+
⋅
+⋅
=p
і
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
600
2004,06,02006,04,02008,02,0
qp
3
64,0
300
64
== .
Тоді шукана імовірність рівна:
=
⋅⋅
−>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
2
)05,0(6003
64,0
105,04,0
600
m
P
225
193
225
32
1 =−= .
Отже,
.
225
193
05,04,0
600
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
m
P
5.22. Проведено 500 незалежних випробувань; в 200 з них
ймовірність настання події А була рівна 0,4 в 180 – 0,5 і в 120
– 0,6.
Знайти нижню межу ймовірності того, що відхилення
частоти від середньої ймовірності не перевищує за абсолют-
ною величиною 0,05.
Розв’язок.
Використаємо теорему Пуассона з закону великих чисел:
2
1
ε
ε
n
qp
p
n
m
P
⋅
−≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
,
де
n
np
p
i
k
i
i
∑
=
=
1
– середня імовірність настання події А в
кожному випробуванні,
i
k
i
nn
∑
=
=
1
– загальна кількість
випробувань,
507
n
nqpnqpnqp
qp
iii
...
222111
+
+
=
.
Підставивши необхідні дані задачі: ε = 0,05; n = 500; n
1
=
= 200; n
2
= 180; n
3
= 120; р
1
= 0,7; q
1
= 0,6; р
2
= 0,5; q
2
= 0,5;
р
3
= 0,6; q
3
= 0,4, отримуємо середню імовірність настання
події А в кожному з 500 випробувань:
484,0
500
242
500
2006,02005,02004,0
==
⋅
+
⋅
+⋅
=p
і
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
500
2004,06,02005,05,02006,04,0
qp
500
8,121
= .
Остаточно:
.80512,0
)05,0(500500
8,121
105,0484,0
500
2
=
⋅⋅
−≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
m
P
5.23. З 5000 проведених випробувань в 2000 ймовірність
появи події А дорівнює 0,2; в 1400 – 0,5 і в 1600 – 0,6. Знайти
границі, в яких повинна знаходитись частота появи події А,
якщо це потрібно гарантувати з ймовірністю 0,95.
Розв’язок.
Середнє значення ймовірності появи події А в кожному з
5000 випробувань рівне:
n
npnpnp
p
332211
+
+
= , де n =
= 5000; n
1
= 2000; n
2
= 1400; n
3
= 1600; р
1
= 0,2; р
2
= 0,5; р
3
=
= 0,6.
Підставивши ці дані, отримаємо:
412,0
5000
16006,014005,020002,0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=p
.
Для знаходження меж, в яких буде знаходитись частота,
необхідно знати величину відхилення ε, яку можна обчислити
двома способами:
а) за теоремою Пуассона:
508
.95,01
2
=
⋅
−≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<−
ε
ε
n
qp
p
n
m
P
Для цього обчислимо
.
5000
1054
5000
16004,06,014005,05,020008,02,0
...
222111
=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
=
+
+
=
n
nqpnqpnqp
qp
iii
З формули Пуассона
05,0
2
=
ε
n
qp
, звідки =
⋅
⋅
=
05,0
2
n
qp
ε
.
05,0)5000(
1054
2
⋅
=
Отже .02904,0
=
ε
Розкривши нерівність
02904,0412,0
5000
<−
m
, отри-
муємо межі, в яких з заданою імовірністю 0,95 буде знахо-
дитись частота появи події А:
441,0383,0 <<
n
m
або
441,0
5000
383,0 <<
m
. Отже, 5000441,05000383,0
⋅
<
<
⋅
m ,
або
22051915 << m
.
б) з формули Бернуллі-Лапласа:
.95,02 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤−
qp
n
Фp
n
m
P
εε
Отже,
,475,0
2
95,0
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
qp
n
Ф
ε
або .475,0)(
=
xФ
З таблиць інтегральної функції знаходимо, що х = 1,96
або
.96,1
1054
50005000
=
⋅
ε
509
Звідси .012726,0
5000
105496,1
=
⋅
=
ε
Отже, ≤− 412,0
n
m
012726,0≤ , або ,4247,03993,0 ≤≤
n
m
або ≤
≤
m5,1996
;5,2123≤ заокругливши, отримаємо .21241997
≤
≤
m
5.24. Чи можна застосовувати теорему Чебишева до по-
слідовності незалежних випадкових величин Х
1
, Х
2
, ..., що
мають рівномірний розподіл на:
а)
];;[
β
α
б) ];0[ n ; в) ];0[ n ; г) ]
1
;1[
n
(де n=1,2,…)?
Розв’язок.
Для того, щоб до послідовності випадкових величин мож-
на було застосувати теорему Чебишева, достатньо, щоб ці ве-
личини: 1) були попарно незалежні; 2) мали кінцеві мате-
матичні сподівання; 3) мали рівномірно обмежені дисперсії.
Оскільки випадкові величини незалежні, то звідси випли-
ває їх попарна незалежність, тобто перша умова теореми Че-
бишева виконана.
а) Перевіримо, чи виконується умова кінцевості мате-
матичних сподівань і дисперсій.
;
2
)(
β
α
+
=
n
XM
12
)(
)(
2
αβ
−
=
n
XD для рівномірного закону.
Отже, кожна випадкова величина Х має кінцеве мате-
матичне сподівання і дисперсію, так що друга і третя умови
теореми виконуються, тобто всі умови виконуються. Таким
чином, до даної послідовності випадкових величин теорема
Чебишева може бути застосована.
б) Математичне сподівання випадкової величини Х
n
рів-
номірно розподіленої на відрізку [0;n] рівне:
;
22
0
)(
nn
XM
n
=
+
=
при
∞
→
∞
→ )(,
n
XMn .
510
Дисперсія випадкової величини ;
1212
)0(
)(
22
nn
XD
n
=
−
=
при
∞
→∞→ )(,
n
XDn , тобто теорема Чебишева про рів-
номірну обмеженість дисперсій не виконується. Отже,
теорема Чебишева до даної послідовності не може бути
застосована.
в) Математичне сподівання випадкової величини
22
0
)(
nn
XM
n
=
+
= і .
2
lim)(lim ∞→=
∞→∞→
n
XM
n
n
n
Дисперсія випадкової величини
()
1212
0
)(
2
nn
XD
n
=
−
= і .
12
lim)(lim ∞→=
∞→∞→
n
XD
n
n
n
Таким чином, друга і третя умови теореми Чебишева по-
рушуються і вона не може бути застосована до даної послі-
довності.
г) Математичне сподівання
=
+
==
+
=
∞→∞→
2
1
1
lim)(lim;
22
1
1
)(
n
XM
n
n
XM
n
n
n
n
.
2
1
0
2
1
2
1
lim
2
1
=+=+=
∞→
n
n
Дисперсія
;
12
1
1
)(
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
n
XD
n
.
12
1
1
1
lim
12
1
1
1
lim
12
1
)(lim
22
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∞→∞→∞→
nn
XD
nn
n
n
Дисперсії випадкових величин рівномірно обмежені вели-
чиною
12
1
, і оскільки математичні сподівання М(Х
n
) кінцеві і