Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
11
б)
В
А
× і
В
А
× не утворюють повну групу подій;
в) сума подій F і E:
B
A
B
A
B
A
B
A
F
×
+
×
+
×
=
+
=
і
В
А
В
А
В
А
В
А
Е
×
+
×
+
×=+=
містить всю сукупність
несумісних подій, що утворює повну групу подій;
г) події
В
А
F
+
= і
В
А
B
A
F
×
=
+
=
є протилежними і
утворюють повну групу подій;
д) розпишемо суми подій:
AB
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
+
+
=
+
+=+ ;
B
AAB
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
+
+
=
+
+=+ .
Отже дані події утворюють повну групу подій.
1.1.4. Довести, що подія
×+×+×+ )()()( BАBАBA
)( BA +× – неможлива.
Розв’язок.
[
]
×+×+=+×+×+×+ )()()()()()( BABABABABABA
[
]
(
)
××+×+×+×=++× BBABBAAABABA ))((
××+×=×+×+×+×× )()( BABABBABBAAA
+×××+×××+×××=×+×× BAABBABABABABABA )(
B
AA
B
B
A
B
B
A
B
AA
B
AA
B
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
=×××+
– це сума неможливих подій і є подією неможливою.
1.1.5. Довести, що події
×+++×+ )()()( BABABA
)( BA +× і )()()()( BABABABA +++×+×+ – досто-
вірні.
Розв’язок.
Виконаємо відповідні дії над подіями:
+×+×=+×+++×+ )()()()()( BAAABABABABA
*)() =×+×+×+×+×+×+ BBABBAAABBAB
Оскільки
AA× і
B
B
×
– події неможливі, то
12
Ω
=
×
+
×
+
×
+×=
B
A
B
A
B
A
B
A* – повна група
подій, а, отже, подія достовірна, оскільки одна з подій повної
групи, обов’язково відбудеться.
+××+=+++×+×+ AABABABABABA ()()()()()(
*)()(
)()
=++=++××+××+
+××+××=++×+×+×+
BAABBABABBAB
BAABAABABBBABA
Але сума подій
.BABABABABABABA ×+×+×=×+×+×=+
Остаточно даний вираз буде
+
×
+
×
+
×
=
B
A
B
A
B
A*
Ω=×+
B
A
– повна група подій. Отже, дана подія – досто-
вірна.
1.1.6. Яка умова сумісності подій
,BA
+
,BA + ,CA +
CB + ?
Розв’язок.
Запишемо добуток подій:
[
]
×++=+×+×+×+ ))(()()()()( BABACBCABABA
[
]
(
)
()
.
)(
))((
))()(
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
CCBABACBACBABABCAB
CAABBAABBCBACABABABA
BCCABAABBACCBCCABA
BBABBAAACBCA
=
+
=Ω+=
=++=++=×+
+×+×+×+×+×=
=+++=+++×
×+++=+×+×
Умовою сумісності даних подій є сумісність подій
A і
B
.
1.1.7. Знайти випадкову подію Х з рівності:
BAXAXXAXA =+++++×+ )()( .
Розв’язок.
Виразимо через протилежні події суми подій:
13
,
_______
AXAX ×=+ A
X
A
X
A
X
×
=
×
=
+
і підставимо їх у
ліву частину рівняння:
.
)()()(
))((
BX
XAAXXAAXAAXXX
AXXAAAAXAXXAXA
==
=Ω=++++=+×+×+
+×+×+×=×+×+++
Отже,
B
X
= .
1.1.8. Довести, що для будь-яких подій А і В виконуються
такі рівності:
а)
B
A
B
A ×=+ ;
б)
B
A
B
A
+=×
.
Розв’язок.
а) Подія А+В полягає в появі хоч би однієї з подій А чи В,
тому протилежною подією до даної є непоява подій А і В,
отже
B
A
B
A =+
_______
.
Це можливо довести другим способом.
Згідно означення
AB
B
A
B
A
B
A
+
+
=
+
. Тоді проти-
лежною подією
_______
B
A
+
до даної є подія
B
A , яка доповнює
несумісні події
ABBABA ,, до повної групи подій.
б) Подія АВ полягає в одночасній появі подій А і В, отже
протилежною подією до даної є непоява хоч би однієї з подій
А і В, тобто сума подій
B
A
+
. Отже,
B
AAB
+
=
_____
.
Другий спосіб доведення. Події
ABBABABA ,,, утво-
рюють повну групу подій. Тоді протилежною подією до даної
АВ є
BABABA ,, :
B
A
B
A
B
A
B
AAB
+
=
+
+
=
____
.
14
1.2. Формула включень та виключень
N-множиною
Ω
називається множина, що містить N-
елементів.
Нехай А
1,
А
2, ...
А
n
– підмножини N-множини
Ω
. Позначи-
мо через
і
А доповнення множини А
і
:
іі
АА \Ω= і N(A) –
кількість елементів множини А. Має місце формула:
−+−=
∑∑
≤<≤=
)()()...(
11
21 j
nji
i
n
i
in
AANANNAAAN
)...()1(...)(
21
1
n
n
kj
nkji
i
AAANAAAN −++−
∑
≤≤<≤
(1.2.1).
Наслідок. Візьмемо у формулі
∪
n
i
i
A
1=
=Ω і врахуємо, що
)()(
1
∪
n
i
i
ANNN
=
=Ω= та ==⋅
=
∪
n
i
in
AAAA
1
21
... ∅. Отримаємо
формулу:
−+−=
∑∑∑
≤<<≤≤<≤=
=
)()()()(
111
1
kj
nkji
ij
nji
i
n
i
i
n
i
i
AAANAANANAN
∪
)...()1(...
21
1
n
n
AAAN ⋅⋅⋅−+−
−
(1.2.2).
Це формули включень та виключень, або формули
решета.
Задачі
1.2.1. Відомо, що
NBNAN
2
1
)()( == . Довести, що
)()( BANABN = .
Розв’язок.
Підставимо у формулу “решета” числові дані:
15
+−−=+−−= NNNABNBNANNBAN
2
1
2
1
)()()()(
).()( ABNABN =+
1.2.2. Відомо, що
,
3
1
)()()( NCNBNAN ===
)()( CBANABCN = .
Довести, що
)()()()(2 BCNACNABNABCN
+
+
=
.
Розв’язок.
Згідно формули “решета”:
++−=++ )()()()()( ANNCBANBCNACNABN
).(2
3
1
3)(2)()()(
ABCN
NNABCNABCNCNBN
=
=⋅+−=+++
1.2.3. Довести, що
+≥
+
+
)()()()( ANBCNACNABN
NCNBN −++ )()( .
Розв’язок:
Згідно формули “решета”:
+++−−−= )()()()()()( BCNABNCNBNANNCBAN
),()( ABCNACN −+
звідки: =+ )()( ABCNCBAN
)()()()()()( ACNBCNABNCNBNANN
+
+
+
−
−−=
.
Оскільки
0)(,0)( ≥≥ ABCNCBAN , то
+)( ABCN
0)( ≥+ CBAN . Отже,
+
+
−
−
−
)()()()( ABNCNBNANN
0)()( ≥++ ACNBCN , що рівнозначно нерівності
.)()()()()()( NCNBNANACNBCNABN
−
+
+
≥++
1.2.4. У звіті наведено числові дані як такі, що насправді
спостерігались: N = 1000, N(A) = 510, N(B) = 490, N(C) = 427,
16
N(AB) = 189, N(AC) = 140, N(BC) = 85. Показати, що в цих
даних є помилка.
Розв’язок.
За умовою
;0)(
=
ABCN 0)( =CBAN . Обчислимо
)( CBAN згідно формули “решета”:
+++−−−= )()()()()()( BCNABNCNBNANNCBAN
01385
1401894274905101000)()(
≠−=+
+
+
+
−
−
−
=
−+ ABCNACN
Отже, в даних є помилка.
1.2.5. Із 100 студентів англійську мову знають 28
студентів, німецьку – 30, французьку – 42, англійську і
німецьку – 8, англійську і французьку – 10, німецьку і
французьку – 5, всі 3 мови знають 3 студенти.
Скільки студентів не знають жодної з трьох мов?
Розв’язок.
Використаємо формулу включень та виключень або фор-
мулу решета:
),()()(
)()()()()(
ABCNBCNACN
ABNCNBNANNCBAN
−++
++−−−=
де
100=N – загальна кількість усіх студентів,
28)( =AN – кількість студентів, що знають англійську,
30)( =BN – німецьку,
42)( =CN – французьку,
8)( =ABN – англійську і німецьку,
10)( =ACN – англійську і французьку,
5)( =BCN – німецьку і французьку мови,
3)( =ABCN – всі три мови,
)( CBAN – не знають жодної мови.
Отже,
2035108423028100)( =−+++−−−=CBAN
.
17
1.2.6. У класі 35 учнів. З них 20 відвідують математичний
гурток, 11 – фізичний, а 10 учнів не відвідують жодного
гуртка.
Скільки учнів відвідують математичний та фізичний
гуртки?
Скільки учнів відвідують лише математичний гурток?
Розв’язок.
Позначимо А і В – множини учнів, що відвідують
відповідно математичний і фізичний гуртки, Ω – множина
всіх 35 учнів. Тоді N=35, N(A)=
20, N(B)=11, .10)( =BAN
Кількість учнів, що відвідують математичний та фізичний
гуртки N(AB), згідно формули “решета” рівна:
=)(ABN
635101120)()()( =−++=−++= NBANBNAN .
Тоді кількість учнів, що відвідують лише математичний
гурток
14620)( =−=BAN ; лише фізичний гурток:
5611)( =−=BAN .
1.2.7. У бібліотеці зарубіжної літератури працює певна
кількість фахівців, кожен з яких знає хоча б одну іноземну
мову. Шість з них знають англійську мову, шість – німецьку,
сім – французьку, чотири – англійську і німецьку, три –
німецьку і французьку, два – французьку і англійську, один
знає всі три мови. Скільки фахівців працює у відділенні
?
Скільки з них знає лише англійську, німецьку, французьку
мову?
Розв’язок.
Нехай А, В, С – множини всіх фахівців, що відповідно
знають англійську, німецьку і французьку мови. Тоді N(A) =
= 6, N(B) = 6, N(C) = 7, N(AB) = 4, N(BC) = 3, N(AC) = 2,
N(ABC) = 1,
0)( =CBAN . Для знаходження N використаємо
формулу “решета”:
+
−
−
−
+
+= )()()()()()( ACNBCNABNCNBNANN
.111234766)()( =+−−−++=++ CBANABCN
18
Для того, щоб відповісти на питання, скільки фахівців
володіє лише однією мовою, скористуємось діаграмами
Ейлера-Венна.
Зобразимо множину всіх фахівців у вигляді квадрата Ω, а
множини А, В, С у вигляді кругів, що лежать у цьому квад-
раті (рис. 1.2).
Переріз множин А, В, С дає N(ABC)=1 – кількість
фахівців, що знають
всі три мови.
Рис. 1.2.
Переріз множин А і В без С дає
−= )()( ABNCABN
314)(
=
−=− ABCN
– кількість фахівців, що знають дві
мови: англійську і німецьку. Переріз множин В і С без А дає
213)()()( =−=−= ABCNBCNBCAN – кількість фахів-
ців, що знають німецьку і французьку мови. Переріз множин
А і С без В дає
112)()()( =−=−= ABCNACNCBAN –
кількість фахівців, що знають англійську і французьку мови.
Тоді кількість фахівців, що знає лише англійську мову рівна
[
]
.1]113[6
)()()()()(
=++−=
=++−= ABCNACNABNANCBAN
В
6
А
6
С
7
1
1
3
2
19
Кількість фахівців, що знають лише німецьку мову рівна
;0)12
3(6)]()()([)()(
=++
+−=++−= ABCNBCNABNBNCBAN
кількість фахівців, що знає лише французьку мову рівна:
.3)12
1(7)]()()([)()(
=++
+−=++−= ABCNBCNACNCNCBAN
1.2.8. Задача-жарт.
У жорстокому бою не менше 70% бійців втратили одне
око, не менше 75% – одне вухо, не менше 80% – одну руку і
не менше 85% – одну ногу. Яка мінімальна кількість бійців,
які втратили одночасно око, вухо, руку й ногу?
Розв’язок.
Відкладемо на відрізку 100% з різних його кінців
значення найменшої кількості бійців
, що втратили око (75%) і
одне вухо (80%). Спільна частина відрізка дасть найменшу
кількість бійців, що одночасно втратили око і одне вухо:
(%).453075)70100(75
1
=
−
=
−
−=Δ
Знайдемо тепер найменшу кількість бійців, що втратили
одночасно око, вухо і руку. Для цього на 100% відрізку
відкладемо у протилежних напрямах найменше значення
бійців, що одночасно втратили око і вухо (45%) і одну руку
(80%). Спільна частина становить
=
−
−
=
Δ
)45100(80
2
(%)255580 =
−
= .
20
Аналогічно, для знаходження найменшої кількості бійців,
що втратили одночасно око, вухо, руку і ногу, на відрізку
довжиною 100% відкладемо у протилежних напрямах
відрізки Δ
2
=25% і 85%. Тоді спільна частина становить
%107585)25100(85
3
=
−
=
−
−=Δ .
Отже, наближена кількість бійців, що втратили одночасно
око, вухо, руку і ногу складає не менше 10%.
1.3. Елементи комбінаторики
Правило суми. Якщо деякий об’єкт а можна вибрати т
способами, а об’єкт b п способами, причому ніякий вибір а не
збігається з жодним з виборів b, то один з об’єктів а або b
можна вибрати т + п способами (1.3.1).
Правило добутку. Якщо об’єкт а можна вибрати
т
способами і при кожному виборі об’єкта а об’єкт b можна
вибрати п способами, то вибір пари (а, b) можна здійснити
nm ⋅
способами.
Узагальнене правило добутку. Якщо об’єкт а
1
можна
вибрати т
1
способами, об’єкт а
2
– т
2
способами ,…, об’єкт