Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
61
імовірність того, що корені рівняння 0
2
=++
βα
xx – дійсні
числа.
Розв’язок.
Нехай
)(AP – імовірність шуканої події. Для того, щоб
рівняння
0
2
=++
βα
xx мало дійсні корені, необхідно, щоб
дискримінант рівняння був невід’ємним:
0≥D , тобто
04
2
≥−
βα
, звідки
βα
4
2
≥ , або
4
2
α
β
≤ .
В системі координат
β
α
,
побудуємо криву
4
2
α
β
= і
вершини квадрату (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) (рис. 1.5.4).
Допустимою областю, в яку може попасти точка
М(
β
α
,
) є весь квадрат.
Рис. 1.5.4.
Областю, в яку може попасти точка, що буде сприяти
настанню події А – заштрихована криволінійна фігура, що
задовольняє нерівності
4
2
α
β
≤ . Отже, згідно геометричного
означення імовірності P(A)=S
фігури
/S□=S
фігури
/1=1/12,
де S
фігури
=
12
1
344
1
0
32
1
0
=
⋅
==⋅
∫∫
α
α
α
αβ
dd
b
a
(кв. од.);
S□=1
.
1=1 (кв. од.).
α
β
(0;0) (1;0)
(0;1)
(1;1)
0,2
0,4
0,6
0,8
4
2
α
β
=
62
1.5.5. На колі радіуса R навмання взято три точки A, B, C.
Яка ймовірність того, що
ABC
Δ
гострокутний?
Розв’язок.
Вважаємо А – фіксованою точкою, О – центр кола. Тоді
α
=∠BOC ;
β
=
∠AOB ;
γ
=
∠
COA (рис. 1.5.5.);
{}
πβαππβπαβα
2)(20;20;20);( <+−<<<<<=Ω
(рис. 1.5.6). Оскільки
π
β
α
2
<
+
, то множина допустимих
значень
α
і
β
знаходиться в трикутнику і на рис. 1.5.6 вона
заштрихована.
D – подія, яка полягає в тому, що
АВС
Δ
– гострокутний.
Тоді
{}
π
β
α
π
π
β
π
α
β
α
<
+
−
<
<
<
<
<
= )(20;0;0|),(D
.
Площа області допустимих значень
2
)2(
2
1
)(
π
=ΩS .
Рис. 1.5. 5. Рис. 1.5.6.
А
В
С
О
β
α
γ
2
π
2
π
Ω
β
α
π
β
α
2
=
+
63
D:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<+
>+
<<
<<
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>+−
<+−
<<
<<
πβα
πβα
πβ
πα
βαπ
πβαπ
πβ
πα
2)(
)(
0
0
0)(2
)(2
0
0
(рис. 1.5.7).
Рис. 1.5.7.
Отже, площа області, де
ABC
Δ
гострокутний (затемне-
ний трикутник) рівна
2
2
1
)(
π
=DS .
Тоді ймовірність того, що
ABC
Δ
гострокутний, згідно
геометричного означення рівна
4
1
2
2
1
)(
)(
)(
2
2
==
Ω
=
π
π
S
DS
DP
.
β
π
2
π
π
π
2
α
64
§2 Теореми додавання та множення імовірностей та
наслідки з них
2.1. Теореми додавання для несумісних подій
Теорема 1. Імовірність появи однієї з двох несумісних по-
дій А і В, байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (2.1.1).
Наслідок. Імовірність появи однієї з декількох попарно
несумісних подій А
1,
А
2
...А
n
, дорівнює сумі імовірностей цих
подій: Р(А
1
+ А
2
+ ... + А
n
) = Р(А
1
) + Р(А
2
) + … + Р(А
n
) (2.1.2).
Теорема 2. Сума імовірностей подій А
1
, А
2
, ... А
n
, що утво-
рюють повну групу, дорівнює одиниці: Р(А
1
) + Р(А
2
) + ... +
+ Р(А
n
) = 1 (2.1.3).
Протилежними називають дві єдиноможливі події, що
утворюють повну групу. Якщо одну з протилежних подій по-
значити через А, то другу подію позначають як
A .
Теорема. Сума імовірностей протилежних подій дорів-
нює одиниці:
1)()( =+ АРАР
.
Теореми множення імовірностей. Якщо при обчисленні
імовірності певної події ніяких інших обмежень, крім сукуп-
ності умов S, при яких вона може відбутися чи не відбутися
не накладають, то таку імовірність називають
безумовною.
Якщо накладають і другі додаткові умови, то таку імовірність
події називають
умовною.
Умовною імовірністю Р
В
(А) називають імовірність події
А, обчислену за умови, що подія В уже наступила:
)(/)()( ВРВАРАР
B
⋅= (2.1.4).
Теорема. Імовірність сумісної появи двох подій рівна до-
бутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої
події, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбу-
лася:
)()()()()( АРВРВРАРАВР
ВА
⋅
=
⋅
= (2.1.5).
65
Наслідок 1. Імовірність сумісної появи декількох подій
рівна добутку імовірності однієї з них на умовні імовірності
всіх решти, причому імовірність кожної наступної події об-
числюється в припущенні, що всі попередні події відбулися:
)()...()()()...(
121211
...321321 nААААААn
АРАРАРАРААААР
n−
⋅⋅=⋅⋅
(2.1.6).
Дві події називаються
незалежними, якщо імовірність
появи однієї з них не впливає на імовірність настання чи не
настання іншої події, тобто умовні імовірності подій рівні їх
безумовним імовірностям:
);()( АРАР
В
=
)()( ВРВР
А
=
(2.1.7).
Наслідок 2. Якщо події А і В незалежні, то імовірність їх
сумісної появи рівна добутку їх імовірностей:
)()()( ВРАРАВР
⋅
= (2.1.8)
Дві події називаються
незалежними, якщо імовірність їх
добутку рівна добутку імовірностей цих подій; в протилеж-
ному випадку події називаються
залежними. Декілька подій
називають
попарно незалежними, якщо кожні дві з них неза-
лежні. Наприклад, події А, В, С, D попарно незалежні, якщо
незалежні події А і В, А і С, А і D, В і С, В і D, С і D.
Декілька подій називають
незалежними в сукупності
(або просто
незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і
незалежні кожна подія і всі можливі добутки решти. Наприк-
лад, якщо події А, В, С, D незалежні в сукупності, то незалеж-
ні події А і В, А і С, А і D, А і ВС, А і ВD, А і CD, А і
ВСD, В і
D, В і СD, В і АС, В і АD, В і АСD, С і D, C і АВ, С і АD, C і
ВD, C і АВD, D і АВ, D і АС, D і ВС, D і АВС.
Якщо декілька подій незалежні
попарно, то звідси ще не
випливає їх незалежність в сукупності. Але з умови неза-
лежності подій у сукупності випливає їх попарна незалеж-
ність. Тому умова незалежності подій у сукупності сильніша
вимоги їх попарної незалежності.
Наслідок 3. Імовірність сумісної появи декількох подій,
незалежних в сукупності, дорівнює добутку імовірностей цих
подій.
)()...()()...(
2121 nn
АРАРАРАААР
⋅
=
(2.1.9).
66
Теорема. Імовірність появи хоч би однієї з подій А
1
, А
2
,
..., А
n
незалежних в сукупності, дорівнює різниці між
одиницею і добутком імовірностей протилежних подій
n
ААА ,...,
21
:
nn
qqqAPAPAPAP ...1)()...()(1)(
2121
−=−= (2.1.10), де
nnnn
pAPAPqAPqAPq −=−==== 1)(1)(),...(),(
2211
.
Коли
,)(...)()(
21
pAPAPAP
n
=
=
= то
P(A) = 1 – q
n
(2.1.11).
Імовірність суми сумісних подій. Імовірність появи хоч
би однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей
цих подій без імовірності їх сумісної появи:
)()()()( ABPBPAPBAP
−
+
=+
(2.1.12).
Якщо події А і В незалежні, то формула імовірності суми
подій набере вигляду:
)()()()()( BPAPBPAPBAP
⋅
−
+
=+ (2.1.13),
якщо події А і В залежні, то формула має вигляд:
−
+
=
⋅
−
+
=+ )()()()()()()( BPAPBPAPBPAPBAP
A
)()( APBP
B
⋅− (2.1.14).
Для трьох сумісних подій А, B, C імовірність суми рівна:
))()()()()(
−
−
+
+
=++ ABPCPBPAPCBAP
)()()( ABCPBCPACP
+
−−
(2.1.15).
Імовірність суми довільного числа сумісних подій має
вигляд:
−
+
+
+
=
+
++ )(...)()()...(
2121 nn
APAPAPAAAP
+
+
−
−
−−
−
)()(...)()(
32113121
AAAPAAPAAPAAP
nn
)...()1(...)(...
2112 n
n
nnn
AAAPAAAP −+−++
−−
(2.1.16).
або в скороченому записі:
)...()1()(
1
1
...11
1
1
r
r
ii
nii
n
r
r
n
i
i
AAPAP
∑∑
≤<<≤=
−
=
−=
∪
(2.1.17).
Це формули включень і виключень.
67
Задачі
2.1.1. Дві однакові монети радіуса r розташовані всере-
дині кола радіуса R, в яке навмання кидається точка.
Визначити імовірність того, що ця точка впаде на одну з
монет, якщо монети не перекриваються.
Рис. 2.1.1.
Розв’язок.
Нехай А – подія, що розглядається; А
1
– подія, яка полягає
в тому, що “точка падає на першу монету”, А
2
– подія, яка
полягає в тому, що “точка падає на другу монету” (рис. 2.1.1).
Але А = А
1
+ А
2
, де А
1
і А
2
– несумісні події.
Тоді
)()()()(
2121
APAPAAPAP
+
=
+
= .
Згідно геометричного означення імовірностей:
2
2
21
)()(
R
r
APAP
π
π
==
, тому
2
2
2
2
2
2)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=
R
r
R
r
R
r
AP
π
π
π
π
.
2.1.2. Телефонний номер складається з шести цифр.
Знайти ймовірність того, що при випадковому наборі
номер буде закінчуватись на 1988?
Розв’язок.
Нехай А – шукана подія, що рівна добутку незалежних
подій: А
1
– перша цифра “1”; А
2
– друга цифра “9”; А
3
– третя
цифра “8”; А
4
– четверта цифра “8”.
Тобто
4321
AAAAA
⋅
⋅
⋅= . Імовірність події рівна:
R
r
r
68
)()()()()()(
43214321
APAPAPAPAAAAPAP
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅= і,
оскільки,
10
1
)()()()(
4321
==== APAPAPAP , то
4
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
)(
=⋅⋅⋅=AP
.
2.1.3. Обчислити імовірність неповернення позичальни-
ком кредиту банку (кредитний ризик щодо позичальника),
якщо фахівцями банку було встановлено, що: а) позичальник
погасить узяту позику після її пролонгації і в терміни пролон-
гації в повному обсязі з імовірністю 0,17; б) позика буде вине-
сена на прострочення після того, як вона була пролонгована з
імовірністю 0,06; в
) позика буде винесена на прострочення
відразу після закінчення терміну дії кредитного договору,
тобто без пролонгації з імовірністю 0,01.
Розв’язок
Позначимо через А подію, яка полягає в неповерненні
позичальником кредиту банку; А
1
– позичальник погасить узя-
ту позику після її пролонгації і в терміни пролонгації в повно-
му обсязі; А
2
– позика буде винесена на прострочення після
того, як вона була пролонгована; А
3
– позика буде винесена на
прострочення відразу після закінчення терміну дії кредитного
договору. Отже, А = А
1
+ А
2
+ А
3
. Оскільки події А
1
, А
2
, А
3
є
несумісними, то Р(А) = Р(А
1
+ А
2
+ А
3
) = Р(А
1
) + Р(А
2
) + Р(А
3
)
= 0,17 + 0,06 + 0,01 = 0,24.
Отже, кредитний ризик щодо позичальника становить
0,24.
2.1.4. Позичальник може не повернути кредит банку при
впливі хоч би одного з таких чинників ризику: галузевому
(переорієнтація економіки, зменшення попиту на продукцію
даної галузі); системному (зміни в економічній системі, які
можуть негативно вплинути на фінансовий стан позичаль-
ника, гаранта, страховика); форс-мажорному (землетруси, по-
вені, катастрофи, смерчі, страйки, військові дії
); суб’єктив-
69
ному (репутація позичальника, гаранта, страховика в ділово-
му світі, їх відповідальність і готовність виконати взяті зо-
бов’язання); юридичному (недоліки в складанні та оформлен-
ні кредитного договору, гарантійного листа, договору стра-
хування). Визначити імовірність неповернення кредиту банку,
якщо задані імовірності кожного з чинників ризику.
Розв’язок
Нехай подія А полягає у
неповерненні позичальником
кредиту банку. Кожний з чинників кредитного ризику можна
розглядати як подію. Ця подія А може відбутися при настанні
хоч би однієї з сумісних подій, що мають імовірності: Р(А
1
) –
імовірність галузевого, Р(А
2
) – системного, Р(А
3
) – форс-ма-
жорного, Р(А
4
) – суб’єктивного, Р(А
5
) – юридичного чинників.
Згідно формули імовірності настання хоч би однієї з подій
отримуємо:
Р(А) = 1 – [1 – Р(А
1
)][1 – Р(А
2
)][1 – Р(А
3
)][1 – Р(А
4
)][1 – Р(А
5
)].
2.1.5. Кинуті три різні гральні кості.
Знайти ймовірності наступних подій:
а) на кожній з граней, що випали, з’явиться одне очко;
б) на всіх випавших гранях з’явиться однакова кількість
очок;
в) на двох гранях з’явиться одне очко, а на третій грані –
інше число очок;
г) на двох гранях з’
явиться однакова кількість очок, а на
третій грані – інше число очок;
д) на всіх гранях з’явиться різне число очок.
Розв’язок.
Нехай А – шукана подія.
а) Шукана подія А рівна добутку незалежних подій: А
1
–
на грані першого грального кубика випало одне очко; А
2
– на
грані другого грального кубика випало одне очко; А
3
– на
грані третього грального кубика випало одне очко:
321
AAAA ⋅⋅= . Оскільки події А
1
, А
2
, А
3
незалежні і
імовірність випадання одного очка рівна
6
1
, то
70
.
216
1
6
1
6
1
6
1
6
1
)()()()()(
3
321321
==
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= APAPAPAAAPAP
б) Імовірність того, що на трьох гранях з’явиться певна
кількість очок рівна
3
6
1
, але таких чисел є 6, тому
36
1
6
1
6)(
3
=⋅=AP .
в) Шукана подія А рівна добутку незалежних подій
21
AAA ⋅= , де подія А
1
– на двох будь-яких гранях випаде
одне очко. Імовірність того, що на певних двох гранях випаде
одне очко, рівна
2
6
1
, але дві грані з трьох можна вибрати
2
3
C
способами, тому
2
2
31
6
1
)( ⋅= CAP
. Імовірність випадання
іншого числа очок (подія А
2
), тобто імовірність невипадання
одиниці рівна
.
6
5
6
1
1)(
2
=−=AP
Оскільки події А
1
і А
2
– незалежні, то
72
5
6
5
6
1
)()()(
2
2
321
=⋅⋅=⋅= CAPAPAP .
г) Шукана подія А рівна добутку незалежних подій А
1
і А
2
,
де подія А
1
полягає в тому, що на двох випавших гранях
з’явиться однакове число очок. Імовірність того, що на двох
будь-яких гранях з’явиться певне число рівна
2
2
3
6
1
⋅C
, а
таких чисел є 6, тому
6
6
1
)(
2
2
31
⋅⋅= CAP .