Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
521
Дискретний варіаційний ряд або ряд розподілу частот
може бути записаний у вигляді таблиць (табл. 6.1.1).
Таблиця 6.1.1.
x
i
x
1
x
2
…
x
k
…
x
s
n
i
n
1
n
2
…
n
k
…
n
s
x
i
x
1
x
2
…
x
k
…
x
s
n
n
W
i
i
=
W
1
W
2
…
W
k
…
W
s
Коли варіанти є неперервною випадковою величиною або
при великій кількості різних варіант, коли дискретний
розподіл є малозручним, застосовують
інтервальне групу-
вання
, суть якого полягає в наступному. Весь розмах зміни
ознаки від найменшої (x
min
) до найбільшої (x
max
) розбивають
на певне число інтервалів (
21
, xx
), (
32
, xx ), ... (
ss
xx ,
1−
) або
розрядів і підраховують частоти варіант, що відповідно рівні
1
n ,
2
n , …
s
n .
Інтервальний варіаційний ряд, або інтервальний статис-
тичний ряд розподілу записують у вигляді таблиці (табл..
6.1.2).
Таблиця 6.1.2.
Інтервал
[x
1
–x
2
] [x
2
–x
3
] … [x
k-1
–x
k
] … [x
s-1
–x
s
]
∑
n
i
n
1
n
2
…
n
k
…
n
s
n
n
n
W
i
i
=
W
1
W
2
…
W
k
…
W
s
1
Інтервальний ряд може бути умовно перебудований в
дискретний шляхом заміни кожного інтервалу його середи-
ною. На практиці найчастіше розглядають інтервали одна-
кової довжини (звичайно k = 6-20). Кількість інтервалів на-
ближено можна визначити з співвідношення
nk lg5
≤
(6.1.5),
де n – об’єм вибірки або за формулою Стерджеса:
nn lg322,31+= (6.1.6).
522
Для графічного зображення статистичних розподілів ви-
бірки будують полігон і гістограму.
Якщо на площині нанести точки (x
1
, n
1
), (x
2
, n
2
), … (x
s
, n
s
)
і з’єднати сусідні точки відрізками прямих ліній, то отримана
ламана лінія називається
полігоном частот або частотним
багатокутником (рис. 6.1.2). Якщо на площині нанести
точки
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
n
x
1
1
, ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
n
x
2
2
, , ...
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
n
x
s
s
, і з’єднати сусідні точ-
ки відрізками прямих ліній, отримаємо
полігон відносних
частот
. Для побудови полігонів частот (відносних частот) на
осі абсцис відкладають варіанти, а на осі ординат – відповідні
їм частоти чи відносні частоти.
Рис. 6.1.2.
Інтервальний статистичний ряд розподілу зображений
графічно, називається
гістограмою частот, яка будується
наступним чином. Для кожного частотного інтервалу
довжиною h знаходять суму частот варіант n
i
, що попадають в
і-тий інтервал. По осі абсцис відкладають інтервали [x
i
, x
i+1
] і
на кожному з них будується прямокутник площею n
i
, тобто
висотою
h
n
l
i
= (рис. 6.1.3). Площа гістограми частот рівна
сумі всіх частот, тобто об’єму вибірки n.
Для побудови гістограми відносних частот на осі абсцис
відкладають часткові інтервали [x
i
, x
i+1
] і на кожному з них
будується прямокутник висотою
h
W
hn
n
l
ii
i
=
⋅
= . Площа
n
i
n
s-1
n
s
n
2
n
1
x
1
x
2
x
s
-1
x
s
x
i
523
гістограми відносних частот рівна сумі всіх відносних частот,
тобто одиниці.
Рис. 6.1.3.
6.2. Основні характеристики вибірки
Значення ознаки (варіанти), яка розділяє ранжований ва-
ріаційний ряд на дві рівні за кількістю варіант частини
називається
медіаною Ме*.
Якщо число варіант парне, тобто n = 2k, то
=*Me
2
)(
1+
+
=
kk
xx
(6.2.1а), при непарному n = 2k + 1 =*Me
1+
=
k
x (6.2.1б).
З означення емпіричної інтегральної функції випливає
рівність
5,0*)(*
=
MeF .
Для інтервального ряду виходячи з умови
5,0)(*
1
≤
−k
xF і 5,0)(* ≥
k
xF знаходять медіанний інтервал
(x
k-1
, x
k
). Тоді, використовуючи лінійну інтерполяцію, зна-
чення медіани на цьому інтервалі обчислюють згідно фор-
мули:
h
n
i
7
6
5
4
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
x
524
)(
)(*)(*
)(*5,0
*
1
1
1
1 −
−
−
−
−⋅
−
−
+=
kk
kk
k
k
xx
xFxF
xF
xMe (6.2.2).
Для знаходження медіани можна використати іншу
формулу:
)(
2
1
1
1 −
−
−
−⋅
−
+=
∑
kk
Me
Me
k
xx
m
S
m
xMe (6.2.3),
де
nm =
∑
– сума всіх частот;
1−Me
S – сума частот до медіанного інтервалу;
Me
m – частота медіанного інтервалу.
Для того, щоб знайти медіанний інтервал, послідовно зна-
ходять нагромаджені частоти
S
. Першій нагромадженій
частоті
Me
S , яка більша за
∑
m
2
1
, відповідає медіанний
інтервал (у випадку дискретного ряду
Me
S відповідає самій
медіані).
Модою Мо* дискретного статистичного розподілу нази-
вається варіанта, що має найбільшу частоту. Для інтер-
вального розподілу визначається модальний інтервал (x
k-1
, x
k
),
якому відповідає найбільша щільність відносної частоти
i
i
h
n
,
де n
i
– число варіант з і-того інтервалу. Тоді згідно лінійної
інтерполяції значення Мо* всередині модального інтервалу
рівне:
=−⋅
−+−
−
+=
−
+−
−
−
)(
)()(
1
11
1
1
*
kk
MoMoMoMo
MoMo
k
xx
mmmm
mm
xMo
)(
)()(
)(
1
11
1
1 −
+−
−
−
−⋅
+
+=
kk
kk
k
k
xx
xfxf
xf
x (6.2.4),
де
1−k
x – початок модального інтервалу, тобто інтервалу,
в якому міститься мода;
525
1−Mo
m – частота інтервалу попереднього перед Мо (що
передує модальному);
Mo
m – частота модального інтервалу;
1+Mo
m – частота інтервалу наступного за модальним.
Приклад. Заданий інтервальний статистичний розподіл
вибірки. Обчислити медіану та моду.
Інтервали
[x
i
; x
i+1
]
Частоти
m
Нагромаджені частоти
S
6,5-6,9
6,9-7,3
7,3-7,7
7,7-8,1
8,1-8,5
8,5-8,9
8,9-9,3
3
10
20
32
16
12
7
3
3 + 10 = 13
13 + 20 = 33
33 + 22 = 55
Розв’язок.
Використаємо формулу (6.2.3). Доповнимо таблицю да-
них стовпчиком нагромаджених частот S. В даній задачі ме-
діанним є інтервал [7,7-8,1], оскільки в ньому
.50
2
55 =>=
∑
m
S
Отже, 7,7
1
=
−k
x ; 1,8
=
k
x ;
50
2
100
2
==
∑
m
;
32=
Me
m ; 20
1
=
−Me
S ;
1,84,07,74,0
32
2050
7,7 =+=⋅
−
+=Me
.
Використаємо формулу (6.2.2). Інтервал в якому вико-
нуються умови
5,0)(
1
*
≤
−k
xF і 5,0)(
*
≥
k
xF є [7,7-8,1].
33,0
100
33
)7,7()(
*
1
*
===
−
FxF
k
;
55,0
100
55
)1,8()(
**
=== FxF
k
.
Отже,
0,84,07,74,0
33,055,0
33,05,0
7,7 =+=⋅
−
−
+=Me .
Обидва способи дають близьке значення медіани.
526
Обчислимо моду. В даній задачі модальним є інтервал
[7,7-8,1]. Отже,
7,7
1
=
−k
x ; 1,8
=
k
x ; 20
1
=
−Mo
m ; 32
=
Mo
m ;
16
1
=
+Mo
m ;
+=−
−+−
−
+= 7,7)7,71,8(
)1632()2032(
2032
7,7Mo
87,7171,07,74,0
1612
12
=+=⋅
+
+ .
Розмахом варіації R називають різницю між найбільшою і
найменшою варіантами:
minmax
xxR −= (6.2.5).
Аналогічно до поняття медіани для довільного
[]
1,0
∈
p
вводять квантиль розподілу порядку р.
Квантиллю рівня р
або
р-квантиллю випадкової величини з неперервною функ-
цією розподілу F(x) називається таке число d
p
, що імовірність
{
}
p
dXP < дорівнює заданій величині р, тобто d
p
– розв’язок
рівняння
pdF
p
=)( , медіана – квантиль порядку ½.
Якщо для розподілу відомі квантилі для кількох значень
р, то вони дають певне уявлення про характер розподілу.
Квантилі для р = 0,1; 0,2; ...; 0,9 називають
децилями.
Квантилі, що розділяють сукупність на чотири рівні частини:
перший Q
1
, другий Q
2
, третій Q
3
і знаходяться з рівнянь
25,0)(
1
=QF ; 5,0)(
2
=
QF ; 75,0)(
3
=
QF називають квар-
тилями
.
Середнім вибірковим (арифметичним) варіаційного ря-
ду називається дріб, в чисельнику якого міститься сума добут-
ків варіант
i
x ряду на відповідні їм ваги n
i
, а в знаменнику –
сума ваг, тобто об’єм вибірки n:
n
nx
n
nxnxnxnx
xXХ
m
i
ii
mmii
вв
∑
=
=
+++++
===
12211
......
(6.2.6).
527
За середню арифметичну неперервного варіаційного ряду
приймають середню арифметичну дискретного розподілу, що
відповідає даному неперервному. Це означає, що частоти не-
перервного розподілу відносять до середин відповідних інтер-
валів, які тепер стають варіантами.
Властивості середньої арифметичної.
1. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне і те ж
число k разів, то середня
арифметична збільшиться (зменши-
ться) в стільки ж разів:
xkxk ⋅=⋅ (6.2.7).
2. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те ж
число с, то середня арифметична збільшиться (зменшиться)
на те ж число с:
cX
n
ncx
m
i
ii
−=
−
∑
=1
)(
(6.2.8).
3. Сума добутків відхилень варіант від середньої ариф-
метичної на відповідні їм ваги рівна нулю:
0
)(
1
=−=
−
∑
=
XX
n
nXx
m
i
ii
(6.2.9).
4. При збільшенні і зменшенні ваг в одне і те ж число k
разів середня арифметична не змінюється:
X
kn
knx
m
i
i
m
i
ii
=
∑
∑
=
=
1
1
(6.2.10).
5. Якщо кожне значення ознаки z є сумою (різницею)
значень ознак x і y, то середня арифметична ознаки z рівна
сумі (різниці) середніх арифметичних x і y:
y
x
z ±= .
Наведені властивості приводять до спрощеної формули:
528
ck
n
k
cx
x
m
i
i
в
+
−
=
∑
=1
(6.2.11).
Дисперсією
2
вв
D
σ
= варіаційного ряду називається се-
редня арифметична квадратів відхилень варіант від їх серед-
ньої:
n
nXx
D
m
i
ii
в
∑
=
−
=
1
2
)(
(6.2.12).
Середнім квадратичним відхиленням називається ариф-
метичне значення кореня квадратного з дисперсії:
вв
D=
σ
(6.2.13).
Властивості дисперсії.
1. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в k разів, то
дисперсія збільшиться (зменшиться) в k
2
разів, а середнє
квадратичне значення – в
k разів.
2. Якщо варіанти збільшити чи зменшити на одну і ту ж
постійну величину, то дисперсія не зміниться.
3. Якщо ваги збільшити чи зменшити в одне і те ж число
разів, то дисперсія не зміниться.
4. Дисперсія відносно середньої арифметичної дорівнює
дисперсії відносно довільної постійної без квадрату різниці
між середньою арифметичною і
цією постійною:
2
1
2
)(
)(
cX
n
ncx
D
m
i
ii
в
−−
−
=
∑
=
(6.2.14).
5. Дисперсія дорівнює середній арифметичній квадратів
варіант без квадрату середньої арифметичної:
2
1
2
)(X
n
nx
D
m
i
ii
в
−=
∑
=
(6.2.15).
Наведені властивості приводять до спрощеної формули:
529
22
1
2
2
)( cXk
n
k
cx
D
m
i
i
вв
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
==
∑
=
σ
(6.2.16).
Коефіцієнтом варіації називається відношення серед-
нього квадратичного відхилення
в
σ
до середнього
в
X вира-
жене у відсотках (або частці одиниці):
%100⋅=
в
в
Х
V
σ
(6.2.17).
Статистичні моменти розподілу.
1. Початкові статистичні моменти k-го порядку:
∑
=
=
1i
i
k
ik
n
m
xM
, nm
i
i
=
∑
=1
(6.2.18).
Тоді при:
k = 0
1
1
0
0
==
∑
=
n
m
xM
i
i
i
;
k = 1
X
n
m
xM
i
i
i
==
∑
=1
1
– середня арифметична;
k = 2
2
1
2
2
X
n
m
xM
i
i
i
==
∑
=
– середнє квадратичне;
k = 3
3
1
3
3
X
n
m
xM
i
i
i
==
∑
=
.
2. Центральні статистичні моменту k-го порядку:
n
m
Xx
i
i
k
ik
∑
−= )(
μ
,
∑
=
i
i
nm (6.2.19).
Тоді при:
k = 0
1)(
0
0
=−=
∑
n
m
Xx
i
i
i
μ
;
k = 1
0)(
1
=−=
∑
n
m
Xx
i
i
i
μ
;
530
k = 2
22
2
)(
в
i
i
i
n
m
Xx
σμ
=−=
∑
– статистична диспер-
сія;
k = 3
n
m
Xx
i
i
i
∑
−=
3
3
)(
μ
;
k = 4
n
m
Xx
i
i
i
∑
−=
4
4
)(
μ
.
Асиметрія вибіркового розподілу обчислюється за
формулою
3
3
в
As
σ
μ
= (6.2.20). Якщо розподіл симетричний, то
0=As . Ексцесс вибіркового розподілу визначається за фор-
мулою
3
4
4
−=
σ
μ
Ek (6.2.21).
Задачі
6.2.1. Задана генеральна сукупність з 20 елементів.
Виконати такі вправи:
1) побудувати статистичний розподіл вибірки та його ем-
піричну функцію розподілу;
2) обчислити числові характеристики вибірки: середнє,
дисперсію і середнє квадратичне відхилення та зробити з їх
допомогою висновок про генеральну сукупність;
3) побудувати полігони частот і відносних частот та
гістограму, розбивши інтервал на 4 рівних
підінтервали;
4) знайти моду, медіану, розмах і коефіцієнт варіації.
Розв’язок.
У нашому випадку задано таку генеральну сукупність: 15,
19, 13, 12, 9, 14, 15, 19, 12, 17, 13, 9, 15, 12, 15, 14, 18, 16, 15,
12.
1) Статистичний розподіл вибірки: