Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
511
рівні
n2
1
2
1
+
, тому до даної послідовності можна засто-
совувати теорему Чебишева.
5.25. Послідовності незалежних випадкових величин X
n
(n = 1, 2,…) задані своїми таблицями розподілів імовірностей:
X
n
– n
α
0
n
α
P(X
n
)
2
2
1
n
2
1
1
n
−
2
2
1
n
X
n
– n
α
0
n
α
P(X
n
)
4
1
2
1
4
1
X
n
n−
0
n
P(X
n
)
n
1
n2
1
1−
n
1
X
n
–
α
0
α
P(X
n
)
12 +n
n
12
1
+n
12 +n
n
X
n
– 5
n
5
n
P(X
n
)
1
2
1
2
X
n
a
– a
P(X
n
)
n/(2n + 1) (n + 1)/(2n + 1)
X
n
n + 1 – n
P(X
n
)
n/(2n + 1) (n + 1)/(2n + 1)
б)
в)
г)
а)
д)
е)
є)
512
X
n
–5n 0 5n
P(X
n
)
1
2
n
1 –
1
2
n–1
1
2
n
До яких з цих послідовностей можна застосувати теорему
Чебишева?
Розв’язок.
Оскільки випадкові величини незалежні, то тим більше
вони попарно незалежні, отже, перша умова для застосування
нерівності Чебишева виконується.
а)
+
+
⋅+
+
⋅−=⋅=
∑
12
1
0
12
)()(
nn
n
XPXXM
nnn
α
.0
12
=
+
⋅+
n
n
α
+
+
⋅−=−⋅=
∑
12
)()()()(
222
n
n
XMXPXXD
nnnn
α
;
12
2
0
1212
1
0
2
222
+
=−
+
⋅+
+
⋅+
n
n
n
n
n
α
α
.
2
1
2
1
2
1
lim2
12
lim2)(lim
2222
αααα
=⋅=
+
⋅=
+
⋅=
∞→∞→∞→
n
n
n
XD
nn
n
n
Математичні сподівання сталі і рівні 0, дисперсії рівно-
мірно обмежені числом
2
α
. Тому до даної послідовності
можна застосувати теорему Чебишева.
б)
;0
2
11
10
2
1
)(
222
=⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅−=
n
n
nn
nXM
n
αα
=−⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅−=
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
)(
1
10
2
1
)()(
n
n
nn
nXD
n
αα
.
2
2
2
2
22
α
α
==
n
n
Всі три умови для застосування нерівності Чебишева
виконуються.
ж)
513
в) ;0
4
1
2
1
0
4
1
)( =⋅+⋅+⋅−=
αα
nnXM
n
=−⋅+⋅+⋅−=
2222
0
4
1
)(
2
1
0
4
1
)()(
αα
nnXD
n
,
24
1
2
22
22
α
α
n
n =⋅=
.
2
lim)(lim
22
∞→=
∞→∞→
α
n
XD
n
n
n
Оскільки дисперсії D(Х
n
) не обмежені рівномірно, то тео-
рему Чебишева застосовувати не можна.
г)
;0
12
10
1
)( =⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅−=
n
n
nn
nXM
n
.2
2
0
1
)(
2
10
4
1
)()(
22
==−⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅−=
n
n
n
n
n
nXD
n
Всі три умови для застосування теореми Чебишева вико-
нуються.
д)
;0
2
1
5
2
1
5)( =⋅+⋅−=
nn
n
XM
() ()
,5
2
52
2
1
5
2
1
5)(
2
2
22
n
n
nn
n
XD =
⋅
=⋅+⋅−=
.5lim)(lim
2
∞→=
∞→∞→
n
n
n
n
XD
Дисперсії не обмежені рівномірно, тому теорему Чебише-
ва не можна застосовувати.
е)
;
1212
)1(
12
)(
+
−=
+
+
⋅−
+
⋅=
nn
n
n
n
XM
n
α
αα
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+⋅−
+
+
⋅=
2
2
2
1212
)1()(
12
)(
nn
n
n
n
XD
n
αα
α
;
1212
2
2
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
=
nn
n
ααα
514
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅−
+
+
=
∞→∞→∞→
2
22
12
lim
12
2
lim)(lim
nn
n
XD
nn
n
n
ααα
.0
1
2
2
lim
22
2
2
α
α
α
=−
+
+
⋅=
∞→
n
n
n
Дисперсії рівномірно обмежені числом
2
α
. Тому до даної
послідовності можна застосовувати теорему Чебишева.
є)
;0
12
0
12
1
12
)1()( =
+
=
+
+
⋅−
+
⋅+=
nn
n
n
n
n
nXM
n
,
12
32
0
12
)1()(
12
)1(
)(
23
2
22
+
++
=−
+
+⋅−
+
+
⋅+
=
n
nnn
n
nn
n
nn
XD
n
.0
11
2
11
32
lim
12
32
lim)(lim
32
2
23
∞→−
+⋅
++
=
+
++
⋅=
∞→∞→∞→
nn
nn
n
nnn
XD
nn
n
n
Дисперсії D(X
n
) не обмежені рівномірно, тому теорему
Чебишева застосовувати не можна.
ж)
;0
2
5
2
1
10
2
5
)(
1
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+−=
− nnn
n
nn
XM
() ()
=⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅−=
− n
n
nn
n
n
XD
2
1
5
2
1
10
2
1
5)(
2
1
2
2
,5
22
52
2
1
222
⋅=
⋅⋅
=
−nn
nn
=
−
==
∞→
−
∞→∞→
2ln)1(
2
lim5
2
lim5)(lim
2
1
2
2
n
nn
XD
n
n
n
n
n
.
2ln
521
1lim
2ln
52
22
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
∞→
n
n
515
Дисперсії обмежені рівномірно, отже, теорему Чебишева
застосовувати можна.
5.26. Обчислити імовірність відхилення випадкової вели-
чини Х від свого математичного сподівання М(Х) менш ніж на
три середньоквадратичні відхилення
)(X
σ
за нерівністю
Чебишева і порівняти з імовірностями
≤− )(( XMXP
)(3 X
σ
≤ обчисленими за умов, що Х має: а) нормальний
розподіл; б) показниковий розподіл; в) рівномірний розподіл
на відрізку
];[ ba ; г)
;
18
1
)1()1( ===−= xPxP
=
=
)0(xP
9
8
=
; д) розподіл Пуассона з М(Х) = 0,09 і М(Х) = 0,16.
Розв’язок.
Згідно нерівності Чебишева імовірність того, що випад-
кова величина, розподілена за будь-яким законом по модулю
відхиляється від свого математичного сподівання на величину
меншу за своє потроєне середньоквадратичне відхилення рів-
на:
=−=−≥<−
2
2
2
)3(
1
)(
1)3)((
σ
σ
ε
σ
XD
XMXP
.88889,0
9
8
9
1
1 =⋅−=
Для обчислення даної імовірності з врахуванням законів
розподілів використаємо формули для обчислення імовірності
попадання випадкової величини в заданий інтервал
[
]
β
α
; .
Якщо випадкова величина розподілена за:
а) нормальним законом, то
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
==≤≤
σ
α
σ
αβ
βα
a
ФФXP )(
, де а = М(Х).
Отже,
=≤−=≤− )3()3)((
σσ
aXPXMXP
516
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
=+≤≤−=
σ
σ
σ
σ
σσ
aa
Ф
aa
ФaXaP
33
)33(
;9973,049865,02)3(2)3()3(
=
⋅
=
=−−= ФФФ
9973,0)3)(( =≤−
σ
XMXP .
б) показниковим законом, то
βλαλ
βα
−−
−=≤≤ eeXP )( .
У цьому законі
λ
σ
1
)()( == XXM
, тому +)(XM
λ
λ
λ
σ
41
3
1
)(3 =+=+ X
.
За нижню межу
)()( XXM
σ
−
беремо 0, оскільки функ-
ція щільності цього закону існує лише для
.0≥Х Отже,
[
]
=+≤≤−=≤− )(3)()(3)()3)(( XXMXXXMPXMXP
σσσ
;98168,01
4
0
4
4
0
=−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤=
−
⋅−
⋅−
eeeXP
λ
β
α
λ
.98168,0)3)(( =≤−
σ
XMXP
в) рівномірним розподілом на відрізку [a;b], то
.)(
ab
XP
−
−
=≤≤
α
β
βα
У цьому законі ;
2
)(
ba
XM
+
=
32
)(
ab
X
−
=
σ
. Таким чином,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅+
+
≤≤
−
⋅−
+
32
3
2
32
3
2
abba
X
abba
P
.1
3
3
32
3
2
32
3
2
==
−
−
⋅+
+
−
−
⋅+
+
=
ab
abbaabba
517
Оскільки імовірність обмежена 1, то величина відношен-
ня
3
3
=
−
−
ab
α
β
вказує на те, що величина інтервалу
[
]
β
α
;
більша за відрізок [a;b] існування випадкової величини Х,
тому
1)3)(( =≤−
σ
XMXP .
г) Обчислимо математичне сподівання М(Х) і дисперсію
D(Х) випадкової величини Х:
0
18
1
1
9
8
0
18
1
1)(
1
=⋅+⋅+⋅−==
∑
=
ii
n
i
pxXM ;
+⋅+⋅−=−=
∑
=
9
8
0
18
1
)1()()(
222
2
1
XMpxXD
ii
n
i
9
1
0
18
1
1
22
=−⋅+ ;
3
1
)()( == XDX
σ
.
Нижня межа інтервалу рівна
×−
=
⋅
−
30)(3)( XXM
σ
,1
3
1
−=×
верхня межа рівна 1
3
1
30)(3)( =⋅+=⋅+ XXM
σ
.
.
Оскільки в заданий інтервал (межі не включаються)
попадає лише єдине значення х = 0, ймовірність появи якого
рівна
,
9
8
=p то .
9
8
)1()3)(( =≤=<− XPXMXP
σ
д) У розподілі Пуассона М(Х) = D(Х) =
λ
,
λσ
=)( X .
Якщо М(Х) = 0,09, то
)(Х
σ
= 0,3, і тоді верхня межа ін-
тервалу рівна
.99,03,0309,0)(3)(
=
⋅
+
=
+
XXM
σ
За ниж-
ню межу інтервалу приймемо 0, оскільки у цьому законі Х
і
–
число появи події
0≥ . Таким чином, єдиним значенням, що
попадає в заданий інтервал є х
1
= 0, імовірність якого
знайдемо за формулою:
518
,91393,0
!0
09,0
!
)0(
09,0
09,00
==
⋅
===
−
−−
e
e
x
e
xP
i
x
i
i
λ
λ
.91393,0)9,009,0( =<−xP
Якщо М(Х) = 0,16, то
)(Х
σ
= 0,4 і верхня межа інтервалу
рівна 0,16 + 1,2 = 1,36, за нижню межу приймемо 0. В заданий
інтервал попадають два значення: х
1
= 0, х
2
= 1, імовірності
яких рівні Р(х = 0) = 0,91393 і
=
⋅
==
−
!1
09,0
)1(
09,01
e
xP
.0822538,0= Оскільки події (х
1
= 0) і (х
2
= 1) є несумісними,
то імовірність знаходження даної випадкової величини в да-
ному інтервалі дорівнює сумі імовірностей:
.99618,008225,091393,0)316,0( =+=<−
σ
xP
519
Частина ІІІ
Елементи математичної статистики
§ 6. Задачі математичної статистики
Математична статистика розробляє методи отриман-
ня, математичного опису і обробки експериментальних даних,
які дають змогу за результатами випробувань робити
імовірнісні висновки про закономірності випадкових масових
явищ. Задачі математичної статистики в певній мірі є
зворотніми до задач теорії ймовірностей. Основні задачі
математичної статистики такі:
а) оцінка невідомої функції розподілу;
б) оцінка невідомих параметрів
розподілу;
в) статистична перевірка гіпотез;
г) довірчі інтервали.
Генеральною сукупністю називають всю сукупність
однорідних об’єктів, яку вивчають відносно деякої кількісної
або якісної ознаки, що характеризує ці об’єкти.
Вибірковою сукупністю або вибіркою називають сукуп-
ність випадково відібраних об’єктів з генеральної сукупності.
Повторною називають вибірку, при якій відібраний
об’єкт (перед вибором наступного) повертається в генеральну
сукупність.
Безповторною називають вибірку, при якій
відібраний об’єкт в генеральну сукупність не повертається.
Репрезентативною називають вибірку, яка вірно представ-
ляє пропорції генеральної сукупності. Значення ознаки x
k
у
окремих членів сукупності називають
варіантами, а числа,
які показують, скільки разів повторюється кожна варіантна –
частотами n
k
. Варіаційний ряд – сукупність елементів
вибірки, записаних в порядку неспадання, які позначають x
1
,
x
2
, …, x
n
і відповідних їм частот. Частоти n
i
або відносні
n
n
i
частоти варіант називають їх
вагами.
520
6.1. Графічне зображення вибірки
Функцію розподілу F(x) генеральної сукупності нази-
вають
теоретичною функцією розподілу. Вона визначає
імовірність події Х < х.
Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу
вибірки)
називають функцію F*(x), яка визначає для кожного
значення х відносну частоту події Х < х:
nnxF
x
/)(* = (6.1.1),
де n
x
– число тих х
і
, для яких х
і
< х; n – об’єм вибірки. При
великих n
)()(* xFxF
≈
або
[
]
1)(*)(lim =<−
∞→
ε
xFxFp
n
(6.1.2)
)0( >
ε
. Властивості емпіричної функції розподілу:
1) значення емпіричної функції належать проміжку [0; 1];
2) F*(x) – неспадна функція; 3) якщо
1
x і х
k
– відповідно
найменша і найбільша варіанти, то F*(x) = 0 при
1
xx
≤
і
F*(x) = 1 при
k
xx ≤ . Графік емпіричної функції – східчаста
лінія, яка має розриви (скачки) в точках
1
x
,
2
x
і т. д. (рис.
6.1.1).
Рис. 6.1.1.
При цьому виконуються такі рівності:
∑
=
=
s
k
k
nn
1
(6.1.3);
∑
=
=
s
k
k
W
1
1.(6.1.4)
F(x)
1
0 x
1
x
2
x
s-1
x
s
x