Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
531
20
9
1
==
∑
=i
i
nn
.
;
n
n
i
;1,0
1
=
n
n
;2,0
2
=
n
n
;1,0
3
=
n
n
;1,0
4
=
n
n
;25,0
5
=
n
n
;05,0
6
=
n
n
;05,0
7
=
n
n
;05,0
8
=
n
n
.1,0
9
=
n
n
Емпірична функція розподілу:
,)(
*
n
n
xF
x
= де
x
n – чис-
ло варіантів, менших від х; n – об’єм вибірки; n = 20.
Для х = 9,
;0
20
0
)(
*
==xF
х = 12,
;1,0
20
2
)(
*
==xF
х = 13,
;3,0
20
6
20
42
)(
*
==
+
=xF
х = 14,
;4,0
20
242
)(
*
=
+
+
=xF
х = 15,
=)(
*
xF 0,5;
х = 16,
75,0
20
15
)(
*
==xF
х = 17,
;8,0
20
16
)(
*
==xF
х = 18,
;85,0
20
17
)(
*
==xF
х = 19,
;9,0
20
18
)(
*
==xF
i
x
9 12 13 14 15 16 17 18 19
i
n
2 4 2 2 5 1 1 1 2
532
При .1)(,19
*
=> xFx
Або:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
0,1
9,0
85,0
8,0
75,0
5,0
4,0
3,0
1,0
0
)(
*
xF
19
1918
1817
1716
1615
1514
1413
1312
129
9
>
≤<
≤<
≤<
≤<
≤<
≤<
≤<
≤<
≤
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x
F*(x)
Рис. 6.2.1.
2) Числові характеристики вибірки.
Вибіркове середнє
:
в
X
i
m
i
iв
nx
n
X
∑
=
=
1
1
(незміщена оцінка математичного споді-
вання генеральної сукупності):
при
при
при
при
при
при
при
при
при
при
533
++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 18171651521421341229(
20
1
в
X
=++++++++=⋅+ )381817167528264818(
20
1
)219
2,14
20
284
== .
Вибіркова дисперсія (зміщена оцінка дисперсії генераль-
ної сукупності):
2
1
2
)(
1
в
k
i
iiв
Xnx
n
D −⋅=
∑
−
.
++⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 2565225219621694144281(
20
1
в
D
+++++=−×+++ 1125392338576162(
20
1
2,14)2361324289
2
56,764,2012,20964,201)722324289256
=
−
=
−
+
+++
;
56,7=
в
D . Середнє квадратичне відхилення:
7495,256,7, ===
ввв
D
σσ
;
в
σ
– характеризує середню величину розсіювання зна-
чень
i
x навколо середньої вибіркової
.
в
X
Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить
“виправлена” вибіркова дисперсія
2
S :
96,756,7
19
20
1
2
≈⋅=
−
=
в
D
n
n
S ;
82,2
=
S
.
3) Полігон частот – ламана, ланки якої з’єднують точки
)...,(),,(
2211
nxnx (рис. 6.2.2). Полігон відносних частот –
ламана, яка з’єднує точки
),...1)(,(
11
kiwx
=
(рис. 6.2.3).
;1,0
1
1
==
n
n
W
;2,0
2
=
W ;1,0
3
=
W ;1,0
4
=
W ;25,0
5
=
W
;05,0
6
=W ;05,0
7
=W ;05,0
8
=
W 1,0
9
=
W .
534
0
1
2
3
4
5
6
012345678910111213141516171819
Рис. 6.2.2.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
012345678910111213141516171819
Рис. 6.2.3.
Розбиваємо інтервал на 4 підінтервали:
n
i
x
i
W
i
x
i
535
Інтервал
)1,(
+
ii
xx
[9; 11,5] [11,5; 14] [14; 16,5] [16,5; 19]
Сума частот
i
n
i
n
2 6 8 4
Побудуємо гістограму (східчасту діаграму) частот.
Рис. 6.2.4.
4) Модою
*
Mo
є варіанта, якій відповідає найбільша час-
тота.
.15
*
=Mo
Медіаною
називається число, яке ділить варіаційний ряд
на дві частини, рівні по числу варіант.
.5,142/)1514(
*
=+=Me
Розмах варіації
– це різниця між найбільшою та най-
меншою варіантами.
;
minmax
xxR −= .10919
=
−
=
R
Коефіцієнт варіації
: %100⋅=
в
в
X
V
σ
;
%36,19%100
2,14
7495,2
=×=V
.
n
i
8
6
4
2
0
9 11
,
5 14 16
,
5 19
x
i
536
6.3. Статистичне оцінювання
Вибіркова числова характеристика, що використовується
для отримання оцінки невідомого параметра генеральної су-
купності, називається точковою оцінкою. Для того, щоб точ-
кові оцінки були близькими до істинного значення числової
характеристики генеральної сукупності, вони повинні бути
незміщеними, спроможними і ефективними. Оцінка нази-
вається незміщеною, якщо її математичне сподівання як ви-
падкової величини
n
θ
~
дорівнює істинному значенню
θ
чис-
лової характеристики:
θθ
=)
~
(
n
M .
Оцінка називається спроможною, якщо вона збігається
по імовірності до істинного значення параметра, тобто для
будь-якого
0>
ε
{
}
1
~
→≤−
εθθ
n
P при
∞
→n (див. §5).
Оцінка називається ефективною, якщо вона має міні-
мальну дисперсію в певному класі оцінок. Середня вибіркова
в
X
є незміщеною, спроможною і ефективною оцінкою гене-
ральної сукупності. Статистична вибіркова дисперсія
в
D є
спроможною, але зміщеною оцінкою, оскільки
гв
D
n
n
DM
1
)(
−
=
(6.3.1).
Для отримання незміщеної оцінки помножимо статис-
тичну вибіркову дисперсію на
1
−
n
n
і отримаємо виправлену
статистичну дисперсію:
∑
−
−
=
−
=
22
)(
1
1
1
Xx
n
D
n
n
S
iв
(6.3.2).
6.4. Нерівноточні виміри
Визначення наближеного значення вимірюваної вели-
чини Х у випадку нерівноточних вимірів. Нехай є серія Х
1
,
537
Х
2
, …, Х
n
незалежних вимірів однієї і тієї ж величини Х, які
проводились в різних умовах, тому їх дисперсії відповідно
рівні
2
1
x
σ
,
2
2
x
σ
, ….,
2
n
x
σ
. Тоді оцінка
X
для математичного
сподівання М(Х) вимірюваної величини Х рівна:
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
g
Xg
X
1
1
(6.4.1),
де вага і-того виміру
2
1
i
x
i
g
σ
= (6.4.2),
а
1...
21
=+++
∑
∑∑
i
n
ii
g
g
g
g
g
g
(6.4.3).
Чим більша дисперсія
2
i
x
σ
, тим менша вага g
i
результату
виміру Х
і
.
Задачі
6.4.1. Проводились виміри температури певного середо-
вища по п’яти спектральних лініях. Результати виміру наве-
дені в наступній таблиці:
Температура в К
0
Порядковий №
виміру
Лінія
№1
Лінія
№2
Лінія
№3
Лінія
№4
1
2
2
4
5
500
600
470
700
530
650
730
550
600
580
800
500
600
700
900
500
600
700
750
∑
2800 3110 2600 3450
і
Х
560 622 650 690
2
і
σ
8450 4970 16666,7 23000
538
Обчислити середнє значення температури.
Розв’язок.
1. Обчислимо середні значення
i
X , 4,1=i , по кожній
лінії:
n
nx
X
m
k
kk
i
∑
=
=
1
.
2. Обчислимо дисперсії вимірів по кожній лінії за фор-
мулою
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
nXx
m
k
kik
i
σ
, оскільки число вимірів мале.
;8450
4
)560530()560700()560470()560600()560500(
22222
2
1
=
−+−+−+−+−
=
σ
9,91
1
≈
σ
.
;4970
4
)622580()622600()622550()622730()622650(
22222
2
2
=
−+−+−+−+−
=
σ
5,70
2
≈
σ
.
;7,16666
3
)650700()650600()650500()650800(
2222
2
3
=
−+−+−+−
=
σ
1,129
3
≈
σ
.
;23000
4
)690750()690700()690600()690500()690900(
22222
2
4
=
−+−+−+−+−
=
σ
1517
4
=
σ
.
Дані занесені в таблицю.
3. Обчислимо вагу g
i
кожного середнього значення
i
X :
2
1
i
i
g
σ
= ;
950001183431,0
8450
1
1
==g
;
430002012072,0
4970
1
2
==g
;
80000599998,0
7,16666
1
3
==g
;
090004347826,0
23000
1
4
==g
.
Їх сума рівна
∑
= 270008143329,0
i
g .
539
4. Середнє значення
X
згідно формули нерівноточних
вимірів рівне:
=+++==
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
4
4
3
3
2
2
1
1
4
1
X
g
g
X
g
g
X
g
g
X
g
g
g
Xg
X
iiiii
i
ii
+
⋅
+
⋅
+⋅= 6500736798,0622247082,05601453253,0
4,651690533913,0 ≈⋅+ .
Точкові оцінки параметрів розподілу.
Для знаходження точкових оцінок невідомих параметрів
розподілу використовують метод моментів і метод найбільшої
правдоподібності. Суть методів: маємо вибірку, розподіл якої
невідомий, але він залежить від невідомих параметрів, які
необхідно знайти.
6.5. Метод моментів
Метод моментів точкової оцінки невідомих параметрів
заданого розподілу полягає в прирівнюванні теоретичних мо-
ментів цього ж порядку. Якщо розподіл визначається одним
параметром, то для його визначення прирівнюють один тео-
ретичний момент одному емпіричному моменту. Наприклад,
початковий теоретичний момент першого порядку прирів-
нюють початковому емпіричному моменту першого порядку:
11
μ
=v
. Оскільки
)(
1
XMv
=
і
в
X=
1
μ
, то
в
XXM =)( , де
в
X обчислюєм з вибірки. Якщо розподіл визначається двома
параметрами, то крім рівності
11
μ
=
v , центральний теоре-
тичний момент другого порядку прирівнюють до централь-
ного емпіричного моменту другого порядку:
22
m
=
μ
. Але
)(
2
XD=
μ
,
в
Dm =
2
. Отримуєм систему рівнянь:
⎩
⎨
⎧
=
=
.)(
)(
в
в
DXD
XXM
540
Задачі
6.5.1. Випадкова величина v розподілена за законом
Максвела (див. 4.10.1в). Обчислити методом моментів по
вибірці x
1
, x
2
, … x
n
точкову оцінку невідомого параметра h, що
визначає цей розподіл.
Розв’язок.
а)
h
vMX
в
1284,1
)( ==
, отже
в
X
h
1284,1
* =
.
б)
2
22676,0
)(
h
vDD
в
==
, звідки
в
D
h
22676,0
* =
.
Розв’язок наведений в п. а) простіший.
6.5.2. Випадкова величина розподілена за законом Пуас-
сона
λ
λ
−
= e
x
xP
i
x
im
i
!
)(
, де m – число випробувань, проведених
в одному досліді; х
і
– число появи події в і-тому досліді.
Обчислити невідомий параметр
λ
.
Розв’язок.
Як показано в задачі 4.5.4
λ
=
)(XM
. Отже,
=)( XM
λ
==
в
X ,
в
X=*
λ
.
6.5.3. Випадкова величина підлягає рівномірному закону
розподілу з невідомими параметрами a і b. Оцінити їх мето-
дом моментів.
Розв’язок.
Використаємо розв’язок задачі 4.7.4. Складаємо систему
рівнянь:
→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=+
→
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
+
=
→
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
==
+
==
в
в
в
в
в
в
Dba
Xba
ab
D
ba
X
ab
XDD
ba
XMX
32
2
32
)(
2
12
)(
)(
2
)(
2
2