Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
551
αγσσ
−===+<<− 1)(2)//( tФntXantXP
(6.7.2).
Точність оцінки
nt /
σδ
= (6.7.3).
Число t визначають з рівності
2/)(
γ
=
tФ за таблицями
функції Лапласа, що рівне
2/
γ
.
б) Але, як правило величина
σ
генеральної сукупності є
невідомою. Тому на практиці її замінюють “виправленим”
середнім квадратичним відхиленням S.
Якщо задана надійність
γ
, то має місце така рівність:
γ
γ
γ
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
<
−
∫
t
dtntSt
nS
aX
P
0
),(
~
2
/
(6.7.4),
де щільність розподілу Стьюдента
2/
2
1
1),(
~
n
n
n
t
BntS
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+=
(6.7.5)
залежить лише від об’єму вибірки n і не залежить від
невідомих параметрів а і
σ
. Отже,
γ
γγ
=+<<− )//( nStXanStXP (6.7.6).
Для заданого об’єму вибірки n (числа ступенів вільності)
і надійності
γ
значення
γ
t протабульовані (табл. 3). Для
n > 30 розподіл Стьюдента практично співпадає з нормаль-
ним, тому різницею в довірчих інтервалах можна знехтувати.
Для малих вибірок n < 30 заміна розподілу нормальним при-
водить до звуження довірчого інтервалу, тобто до підвищення
точності оцінки. При малих вибірках для отримання з неї на-
дійних оцінок параметрів їх довірчі інтервали
суттєво розши-
рюють.
в) Якщо кількісна ознака генеральної сукупності розпо-
ділена нормально і за вибіркою обчислене “виправлене” се-
реднє квадратичне відхилення S, то довірчий інтервал, що по-
криває середнє квадратичне відхилення
σ
генеральної сукуп-
ності з заданою надійністю
γ
знаходиться згідно формули:
)1()1( qSqS +<<−
σ
при 1
<
q (6.7.7),
)1(0 qS
+
<
<
σ
при
552
1>q
(6.7.8), де параметр ),( nq
γ
знаходиться з таблиць 4,
обчислених для
2
χ
– розподілу для заданого рівня надійності
γ
і об’єму вибірки n.
Задачі
6.7.1. За даними 16 незалежних рівноточних вимірів
деякої фізичної величини знайдено середньоарифметичне ре-
зультатів вимірів
8,42=
в
X
і “виправлене” середнє квадра-
тичне відхилення
.8
=
S
а) Визначити істинне значення вимірюваної величини з
надійністю
.999,0=
γ
б) Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне
середнє квадратичне відхилення
σ
з надійністю .999,0
=
γ
Розв’язок.
;8,42=
в
X ;8=S ;999,0
=
γ
.16
=
n
а) Істинне значення вимірюваної величини рівне її ма-
тематичному сподіванню а.
За допомогою довірчого інтервалу знайдемо оцінку а:
n
S
tХa
n
S
tX
γγ
+<<−
З таблиць 3 при
;999,0
=
γ
16
=
n знаходимо
07,4
=
γ
t
.
Отже,
16
8
07,48,42
16
8
07,48,42 +<<− a
або
.94,5066,34 << a
б) За таблицею 4 для
999,0
=
γ
, 16
=
n знаходимо
07,1)16;999,0( =q
. Так як
1>q
, то підставивши 8=S ,
07,1=q в співвідношення (6.7.8), отримаємо шуканий
довірчий інтервал
56,160)07,11(80
<
<
→
+
<
<
σ
σ
.
553
6.7.2. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з
надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання
нормально розподіленої генеральної сукупності за вибір-
ковою середньою рівна 2, якщо відоме середнє квадратичне
відхилення генеральної сукупності
16
=
σ
.
Розв’язок.
Точність оцінки математичного сподівання генеральної
сукупності при відомому середньому квадратичному відхи-
ленні
σ
генеральної сукупності визначається формулою:
nt /
σδ
= . Отже,
222
/
δσ
tn = . Згідно умови 95,0
=
γ
,
звідси з таблиці 2 з умови
475,02/95,0)(
=
=
tФ знаходимо
96,1=t
. Підставивши
96,1
=
t
; 16
=
σ
; 2
=
δ
, отримаємо
шуканий об’єм вибірки
246
2
1696,1
2
22
≈
⋅
=n .
6.8. Статистична перевірка гіпотез
Статистичною
гіпотезою H, називається будь-яке при-
пущення відносно виду або параметрів розподілу випадкової
величини Х, яке може бути перевірене за результатами ви-
бірки.
Простою називають гіпотезу, що містить лише одне
припущення. Якщо гіпотеза складається з скінченного або
нескінченного числа простих гіпотез, то вона називається
складною. При цьому одне з припущень вибирається за
основне і називається нульовою (основною) гіпотезою H
0
.
Інші гіпотези (припущення або можливості), що суперечать
нульовій, називають
альтернативними або конкуруючими
гіпотезами H
1
, H
2
, … Сформульовані гіпотези перевіряють з
допомогою статистичних критеріїв, тобто правил, які встанов-
люють, коли отримане розходження між припущеним теоре-
тичним і дослідним (вибіркою) розподілами слід прийняти
несуттєвим, випадковим і слід прийняти висунуту гіпотезу H
0
,
а коли – суттєвим, невипадковим і нульову гіпотезу слід
відкинути.
554
Статистичним критерієм називають випадкову вели-
чину K(X), яка служить для перевірки нульової гіпотези.
Емпіричним (спостережним) значенням К
спост
називають
значення критерію, що обчислене за даними вибірки.
Критичною областю називають множину
0
Ω
значень
критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають,. Якщо спо-
стережне значення критерію не належить критичній області,
то H
0
приймається. Вірний висновок може бути прийнятий
двома способами: коли гіпотеза H
0
приймається, тому що
вона вірна, і коли гіпотеза H
0
відкидається, тому що вона
хибна. При цьому можливі два типи помилок. Коли від-
кидається гіпотеза H
0
, коли вона вірна, а приймається гіпотеза
H
1
, то має місце помилка першого роду. Її імовірність нази-
вають
рівнем значущості і позначають через
α
. Допустима
імовірність похибки першого роду близька до нуля і найбільш
вживані такі її значення: 0,05; 0,01; 0,001.
Помилка другого роду полягає в прийнятті гіпотези H
0
,
коли вона невірна, а вірна насправді гіпотеза H
1
. Імовірність
похибки другого роду позначають через
β
. Імовірність попа-
дання критерію в критичну область, коли вірна конкуруюча
гіпотеза або імовірність того, що гіпотеза H
0
буде відкинута,
коли вірна конкуруюча гіпотеза, називається потужністю
критерію
.
Отже, потужність критерію
β
δ
−
=
1 – імовірність не-
здійснення помилки другого роду. Чим більша потужність
критерію, тим менша імовірність прийняття невірної гіпотези.
Критичними точками (границями) К
кр
називають точки,
які відділяють критичну область від області прийняття
гіпотези.
6.9. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл
генеральної сукупності. Критерій згоди Пірсона
555
Емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності
рівновіддалених варіант і відповідних їм частот:
Варіанти
x
i
x
1
x
2
…
x
N
Емпіричні
частоти
n
i
n
1
n
2
…
n
N
Для того, щоб при заданому рівні значущості
α
пере-
вірити нульову гіпотезу H
0
: “генеральна сукупність розпо-
ділена нормально”, необхідно спочатку обчислити теоретичні
частоти
i
n
′
, а потім спостережне значення критерію:
∑
′
′
−
=
i
ii
спост
n
nn
2
2
)(
χ
(6.9.1),
де
i
n – емпірична частота і за таблицею 6 критичних то-
чок розподілу
2
χ
(хі-квадрат), за заданим рівнем значущості
α
і числу ступенів вільності k = s – 1 – r, де s – число груп
(часткових інтервалів) вибірки, r – число параметрів роз-
поділу знайти критичну точку
);(
2
k
кр
αχ
.
Оскільки у нормальному законі розподілу два параметри
а і
σ
, то r = 2 і k = s – 3 .
Якщо
22
крспост
χχ
< – нема підстав відкидати нульову гіпо-
тезу. Якщо
22
кр
χχ
≥ – нульову гіпотезу відкидають.
Об’єм вибірки повинен бути не меншим 50. Кожна група
повинна містити не менше 5-8 варіант, малочисельні групи
(
5<
i
n ) слід об’єднати в одну сумарну частоту: в цьому ви-
падку слід також просумувати і відповідні їм теоретичні
частоти. За s прийняти число груп після об’єднання.
Оскільки теоретичні частоти
ii
nPn
=
′
, (6.9.2) де n – об’єм
вибірки, P
i
– імовірність попадання в і-тий інтервал, то для
обчислення P
i
можна використати дві формули:
а) Нехай різниця між двома сусідніми варіантами стала й
рівна
ii
xxh −=
+1
. Тоді
556
∫
+
=−≈=<<
++
1
))(()()(
11
i
i
x
x
iiiii
xxxfdxxfxXxP
2
2
)(
2
)(
2
2
2
2
2
2
i
в
вi
i
u
в
xx
в
ax
в
e
h
e
h
e
h
−
−
−
−
−
===
σσ
πσ
σ
σ
, де
в
вi
i
xx
u
σ
−
=
(6.9.3).
б) Емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності
інтервалів однакової довжини і відповідних їм частот.
Розбивають весь інтервал спостережних значень Х на s
частотних інтервалів
(
)
1
;
+ii
xx однакової довжини h так, що
середина інтервалу рівна
2
1
*
+
+
=
ii
i
xx
x
.
Підраховують число варіант n
i
, які попали в і-й інтервал
(
)
∑
= nn
i
. Отриманий варіаційний ряд, аналогічний в п а),
*
i
x
),(
21
*
1
xxx
),(
32
*
2
xxx
…
),(
1
*
+sss
xxx
i
n
1
n
2
n
….
s
n
Теоретичні імовірності
i
P попадання Х в інтервали (х
і
;
х
і+1
) знаходять з рівності:
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=<<=
+
+
σσ
ах
Ф
ах
ФxXxPP
іі
iii
1
1
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
*
*
*
*
1
в
ві
в
ві
хх
Ф
хх
Ф
σσ
(6.9.4), де середня вибіркова
n
nx
х
s
і
ii
в
∑
=
=
1
*
*
; середнє квадратичне відхилення ==
**
вв
D
σ
n
nxx
s
i
iвi
∑
=
−
=
1
2**
)(
, Ф( ) – інтегральні функції Лапласа, значен-
ня яких знаходять з таблиць 2. При цьому найменше
557
значення, тобто
*
*
1
в
в
xx
σ
−
покладають рівним
∞
−
, а найбіль-
ше, тобто
*
*
1
в
вs
xx
σ
−
+
покладають рівним
∞
.
Оскільки в основу критерію згоди Пірсона покладений
вибір міри розходження між теоретичним і емпіричним
розподілами, він може бути застосований до встановлення чи
вибірковий розподіл належить певному розподілу
(нормальному, біномному, показниковому, рівномірному,
Пуассона).
Задачі
6.9.1. Задана генеральна сукупність. За допомогою кри-
терію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний закон
розподілу при рівні значущості
α
= 0,05.
98,06
101,25
101,25
96,25
100,85
101,25
98,85
99,25
100,55
100,45
100,02
99,2
99,4
98,2
98,2
97,2
94,2
100,6
98,2
96,2
97,9
103,9
105,9
100,9
99,9
101,9
101,81
99,9
103,3
101,9
96,32
102,72
100,72
100,72
101,72
96,42
96,42
98,72
100,22
101,72
99,97
103,97
98,97
99,97
96,27
96,97
98,97
100,97
98,97
100,97
Розв’язок.
Найменше значення 94,2, а найбільше 105,9.
Розмах варіації R = 105,9 – 94,2 = 11,7.
Поділимо діапазон зміни даної ознаки на 6 частинних
інтервалів довжиною h = 2.
1) [94; 96): 94,2;
2) [96; 98): 96,25; 97,2; 96,2; 97,9; 96,32; 96,42; 96,42;
96,27; 96,27;
558
3) [98; 100): 98,06; 98,85; 99,25; 99,2; 99,4; 98,2; 98,2; 98,2;
99,9; 99,9; 98,72; 99,97; 98,97; 99,97; 98,97; 98,97;
4) [100; 102): 101,25; 101,25; 100,85; 101,25; 100,55;
100,45; 100,02; 100,6; 100,9; 101,9; 101,81; 101,9; 100,72;
100,72; 101,72; 100,22; 101,72; 100,97; 100,97;
5) [102; 104): 103,9; 103,3; 103,97; 102,72;
6) [104; 106]: 105,9.
Інтервальний ряд
[x
i
; x
i+1
) [94; 96) [96; 98) [98; 100) [100; 102) [102; 104) [104; 106)
Середина х*
і
95 97 99 101 103 105
Частота n
i
1 9 16 19 4 1
Знайдемо середню вибіркову, дисперсію та середнє квад-
ратичне відхилення:
=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
∑
50
11054103191011699997195
*
n
nx
X
ii
в
76,99
50
412191915841073
=
+
++
=
.
=−=
∑
2
2*
)(
)(
в
ii
в
Х
n
nx
D
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+⋅+⋅
=
50
11102541060919102011698019940919025
=−
+
+
+
=−
22
76,99
50
42436193819156816104731
)76,99(
9624,30576,995204,9956
=
−= .
996,19824,3 ===
вв
D
σ
.
Об’єднаємо І і ІІ та V і VI інтервали.
За таблицею 6 критичних точок розподілу
2
кр
χ
при
05,0=
α
і 134
=
−
=k (4 – число інтервалів вибірки)
знайдемо критичну точку
2*
кр
χ
(0,05; 1) = 3,8.
Значення критерію
2
спост
χ
обчислюємо за формулою:
∑
′
−
=
i
ii
спост
n
nn
2
2
)(
χ
, де
ii
nPn
=
′
– теоретичні частоти.
559
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
*
*
*
*
1
в
ві
в
ві
i
хх
Ф
хх
ФP
σσ
;
Ф(х) – функція Лапласа.
Результати допоміжних розрахунків в процесі
знаходження теоретичних частот
ii
nPn
=
′
розташуємо в
нижченаведеній таблиці, де
76,99=
в
X ; 996,1
=
в
σ
.
Інтервал
);(
1+ii
xx
)98;(−∞
[98; 100) [100; 102)
);102[
∞
Всього
i
n
10 16 19 5 50
вi
Xx −
+1
– 1, 76 0,24 2,24
∞
вi
Xx −
∞−
– 1,76 0,24 2,24
в
вi
Xx
σ
−
+1
– 0,8817 0,12 1,12
∞
в
вi
Xx
σ
−
∞−
– 0,88 0,12 1,1222
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
*
*
1
в
вi
Xx
Ф
σ
– 0,3111 0,04776 0,36864 0,5
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
*
*
в
вi
Xx
Ф
σ
– 0,5 – 0,31057 0,04776 0,369
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
*
*
*
*
1
в
вi
в
вi
Xx
Ф
Xx
Ф
σ
σ
0,1889 0,35833 0,32088 0,131
іii
PnPn 50==
′
9,445 17,9165 16,044 6,55 50
≈
′
i
n
9,5 17,9 16,0 - 50
Для обчислення
2
спост
χ
складаємо таку таблицю
i n
i
i
n
′
i
ii
n
nn
′
′
−
2
)(
1 10 9,445 0,03261
2 16 17,9 0,2017
3 19 16,0 0,5625
4 5 6,55 0,3668
∑
50 50
1,1636 =
2
спост
χ
560
Оскільки
22
8,31636,1
крспост
χχ
=<= , то гіпотеза про
нормальний закон розподілу приймається.
6.10. Метод Романовського перевірки гіпотези про
нормальний розподіл генеральної сукупності
Обчислюють відношення
vvR 2/)(
2
−=
χ
(6.10.1), де
1−−= rsv – число ступенів вільності;
2
χ
– значення отри-
мане за таблицею 6 критичних точок розподілу для даного
рівня значущості
α
. Якщо R < 3, то розбіжність між емпі-
ричним і теоретичним розподілами можна вважати несуттє-
вими, і емпіричний розподіл повністю характеризується нор-
мальним розподілом; якщо ж це R > 3, то розбіжність суттєва.
Використаємо приклад 6.9.1. Тут
1124
=
−
−
=
ν
,
8,3)1;05,0(
2
=
χ
.
Отже,
32
14142,1
8,2
2
8,2
12
18,3
<≈==
⋅
−
=R і розбіжність між
емпіричними і теоретичними розподілами несуттєва. Тому
можна вважати на рівні значущості
05,0
=
α
, що генеральна
сукупність підлягає нормальному закону.
6.11. Метод Колмогорова
Метод Колмогорова для перевірки гіпотези про вид
емпіричного розподілу
використовує критерій, що ґрун-
тується на мірі
λ
відхилення емпіричної функції розподілу
)(
~
xF
вибірки від гіпотетичної функції розподілу
)(xF
випадкової величини Х:
n
D
n
xFxF
x
=
−
=
)()(
~
max
λ
(6.11.1).