Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

481

⎢

⎣

⎡

−⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−=

−−

∫∫

183

2ln

xxx

dxdx

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥

⎦

⎤

⋅−

−−

)22(

2ln

812

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

1282

2ln

Отже,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅=

1281142

2ln

2ln),(

yxP

128

⋅

4.13.22. Задані норми прибутків акцій видів А і Б, й імо-

вірності станів економіки. Визначити кореляцію норм прибут-

ів цих акцій. Дані подано в таблиці :

Норма прибутку Стан економіки Імовірність Р

Аі

(А) R

(Б)

1. Значне піднесення 0,1 303 61

2. Незначне піднесення 0,3 97 65

3. Стагнація 0,3 69 68

4. Незначне падіння 0,2 66 95

5. Значне падіння 0,1 63 165

Коефіцієнт кореляції

між нормами прибутків акцій

двох видів визначається за формулою:

2111

))((

σσ

∑

−−

iii

mRmRp

де сподівані норми прибутків

m і

m визначаються за

формулами:

∑

Rpm

;

∑

Rpm

;

482

середні квадратичні відхилення

визначаються за фор-

мулами:

∑

−==

mRpD

1111

)(

;

∑

−==

mRpD

2222

)(

Визначимо всі необхідні величини для розглянутого

прикладу :

∑

= 303·0,1 + 97·0,3 + 69·0,3 + 66·0,2 + 63·0,1 =

= 30,3 + 29,1 + 20,7 + 13,2 + 6,3 = 99,6;

∑

Rp = 61·0,1 + 65·0,2 + 68·

0,3 + 95·

0,3 + 165·0,1 =

= 84,5 ;

= 303

·0,1 + 97

·0,3 + 60

·0,3 + 66

·0,2 + 63

·0,1 –

– (99,6)

= = 4779,84;

= 61

·0,1 + 65

·0,2 + 68

·0,3 + 95

·0,3 +165

·0,1 –

– (84,5)

= 894,05;

84,4779

== D

= 69,14;

05.894

== D

= 29,9 .

Підставивши числові дані визначимо коефіцієнт кореляції

між нормами прибутків акцій двох видів:

9,2914,69

)5,8468)(6,9969(3,0)5,8465)(6,9997(3,0)5,8461)(6,99303(1,0

⋅

−

−−

9,2914,69

)5,8468)(6,9969(3,0)5,8465)(6,9997(3,0)5,8461)(6,99303(1,0

⋅

−

−−

.3272,0

9,2914,69

5,676)5,84165)(6,9963(1,0)5,8495)(6,9966(2,0

−=

⋅

−

−−+

483

§5. Закон великих чисел

Послідовність випадкових величин Х

, Х

, ... збігається за

імовірністю

до випадкової величини Х, якщо для будь-якого

імовірність нерівності

<− XX

при

∞

→n прямує

до одиниці.

Лема Чебишева. Якщо випадкова величина Х набирає ли-

ше невід’ємні значення, тоді імовірність того, що при випро-

буванні вона набере значення, яке більше від додатнього

числа а, не переважає дробу, в чисельнику якого математичне

сподівання від Х, а знаменник – число а:

ХM

axP

)(

)( ≤>

(5.1).

Нерівність Чебишева. Імовірність того, що відхилення

випадкової величини Х від її математичного сподівання М(Х)

за абсолютною величиною не менше будь-якого додатнього

числа

, обмежена зверху величиною

/)(

ХD :

)(

)|)((|

ХD

ХMХP ≤≥−

(5.2).

Відхилення випадкової величини від математичного спо-

дівання М(Х) менше, ніж

, виражається в другій формі за-

пису нерівності Чебишева:

)(

1)|)((|

ХD

ХMХP −≥<−

(5.3).

Нерівність Чебишева корисна лише при відносно великих

, оскільки при малих

дає грубі оцінки або й тривіальний

результат.

Загальна теорема Чебишева (про стійкість середньо-

арифметичного).

Якщо х

, х

, ... х

– послідовність незалежних випадкових

величин з математичними сподіваннями М(х

), М(х

), ... М(х

)

і дисперсіями D(х

), D(х

), ... D(х

) обмеженими однією і тією

ж постійною

LxD

≤)(

, то для довільного 0>

і достатньо

484

великого числа n, практично достовірною можна вважати по-

дію, яка полягає в тому, що відхилення середнього арифме-

тичного випадкових величин від середнього арифметичного

їх математичних сподівань буде за абсолютною величиною як

завгодно малим:

)(...)()(...

lim

2121

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++

−

+++

∞→

xMxMxM

xxx

(5.4).

При доведенні цієї теореми з допомогою нерівності

Чебишева отримуємо оцінку:

1)(

−≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

∑∑

(5.5).

Частковим випадком теореми Чебишева є теореми Бер-

нуллі і Пуассона.

Теорема Бернуллі встановлює зв’язок між частотою події

і її імовірністю при постійних умовах випробувань. При не-

обмеженому зростанні числа незалежних випробувань часто-

та m/n деякої події А збігається за імовірністю до її імовір-

ності p = P(A):

1lim =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

∞→

(5.6),

де

– яке завгодно мале додатнє число.

При доведенні теореми Бернуллі отримуємо таку оцінку:

P −≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

(5.7),

яка має практичне застосування.

Теорема Пуассона (встановлює стійкість частоти при

змінних умовах випробувань). Якщо проводиться n незалеж-

них випробувань і імовірність появи події А в і-тому випробу-

ванні рівна р

, то при збільшенні n частота m/n події А збі-

гається по імовірності до середньоарифметичного імовірнос-

тей р

485

lim

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

∑

∞→

(5.8),

де

– яке завгодно мале додатнє число.

Задачі

5.1. Середньодобове споживання електроенергії в населе-

ному пункті дорівнює 12000 кВт·год.

Визначити ймовірність того, що споживання електро-

енергії в цьому населеному пункті протягом даної доби

перевищить 50000 кВт·год.

Розв’язок.

12000)( =XM кВт·год; 50000≥x кВт·год.

Використаємо теорему Маркова:

)(

xP ≤>

Підставивши числові дані, отримаємо:

24,0

50000

12000

)50000( =≤>XP

; 24,0)50000(

≤

>XP .

5.2. Відомо, що 3/4 всієї продукції, що виробляється заво-

дом – першого сорту.

Оцінити ймовірність того, що число виробів першого сор-

ту серед 200000 виготовлених буде відрізнятись від матема-

тичного сподівання цього числа не більше, ніж на 2000 шт.

Розв’язок.

75,0

==p – ймовірність того, що виріб І сорту; n =

= 200000; ε = 2000; q = 0,25. Використаємо нерівність

Чебишева:

()

)(

1)(

ХD

ХMХP −≥<−

Тут

15000075,0200000)(

⋅

npXM

;

=)(XD

3750025,075,0200000

⋅

⋅== npq .

486

Отже,

()

990625,0

)2000(

37500

12000150000

=−≥<−XP .

5.3. Користуючись нерівністю Чебишева, оцінити ймовір-

ність того, що при 1000 підкиданнях монети число випадань

герба буде знаходитись в межах між 450 і 550.

Розв’язок.

Обчислимо математичне сподівання М(Х) і дисперсію

D(Х) випадкової величини Х – числа μ випадань герба в n =

= 1000 випробуваннях:

⋅

== npqXDnpXM )(;5005,01000)(

2505,05,01000 =⋅⋅= .

Застосуємо нерівність Чебишева у вигляді:

()

)(

1)(

XMXP −≥≤−

Значення величини відхилення ε визначимо як різницю

між межами числа появи події і математичним сподівання: ε =

= 550 – 500 =

500450 − = 50.

Підставляючи необхідні дані у нерівність, отримаємо:

()

9,0

250

150500

=−≥≤−XP .

5.4. Ймовірність появи події в кожному випробуванні

рівна 1/4.

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовір-

ність того, що число Х появи події знаходиться в межах від

150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

Розв’язок.

Р = 1/4 = 0,25; n = 800; 150 < X < 250.

Р(150<Х<250) – ?

Нерівність Чебишева:

()

;

)(

1)(

XMXP −≥<−

487

;20080025,0)(

⋅

=⋅= pnXM

;50150200200250

−

−=

.15075,080025,0)(;50

⋅

== npqXD

Отже,

()

.04,006,01

5050

150

150200 =−=

⋅

−≥<−XP

5.5. Дискретна випадкова величина Х задана законом роз-

поділу:

0,1 0,4 0,6

0,2 0,3 0,5

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовір-

ність того, що

4,0)( <− ХMХ .

Розв’язок.

Обчислимо М(Х) і D(Х):

44,05,06,03,04,02,01,0)(

⋅

⋅=ХM ;

0364,0)44,0(23,0)(

=−=−= vvХD .

Підставивши дані в нерівність Чебишева

()

)(

1)(

XMXP −≥<−

, отримуємо:

()

909,0

4,0

0364,0

4,0

0364,0

14,044,0

=−=−≥<−XP

5.6. З 5000 виробів було обстежено 500 шт., відібраних

випадковим чином. Серед них виявилось 10 бракованих.

Прийнявши частку бракованих виробів серед відібраних

за ймовірність виготовлення бракованого виробу, оцінити

ймовірність того, що у всій партії виявиться бракованих виро-

бів не більше 3% і не менше 1%.

Розв’язок.

Ймовірність виготовлення бракованих виробів рівна

02,0

500

==p

, тоді q = 1 – p = 0,98; ε

= (1%) = 0,01 = p

;

488

= (3%) = 0,03 = p

. Звідси величина відхилення рівна:

01,002,003,002,001,0 =−=−=

Для обчислення шуканої імовірності скористуємося не-

рівністю Чебишева у формі:

P −≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

Підставивши числові дані у формулу, отримаємо:

9608,0

)01,0(5000

98,002,0

101,002,0

5000

⋅

−≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

P .

5.7. Ймовірність дозрівання кукурудзяного стебла з трьо-

ма струками дорівнює 3/4.

Оцінити ймовірність того, що серед 3000 стебел частка з

трьома струками буде за абсолютною величиною відрізнятись

від ймовірності дозрівання такого стебла не більше, ніж на

0,02.

Розв’язок.

;

=р n = 3000; 02,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

Обчислимо дану імовірність за формулою:

а) Бернуллі:

P −≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

;

=−=

⋅⋅⋅⋅

⋅

−≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

02,002,0300044

102,0

3000

;984,0

б) Лапласа:

489

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤−

443000

02,022 Ф

Фp

εε

.9886,04943,02)53,2(2

⋅== Ф

5.8.

Визначити необхідне число дослідів, які необхідно

провести, щоб відхилення частоти появи події А від ймо-

вірності її появи в окремому досліді, що дорівнює 0,75, не

перевищувало за абсолютною величиною 0,05 з ймовірністю

0,96.

Розв’язок.

Для обчислення кількості дослідів n можна використати

дві формули:

а) Використаємо нерівність Чебишева:

)

P −≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<−

, звідки

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≤−−⋅

≥

εε

Підставивши у формулу необхідні дані, отримаємо:

1875

04,00025,0

25,075,0

)96,01(05,0

25,075,0

⋅

−

⋅

≥n ,

отже

1875≥n .

б) Використаємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа

про ймовірність відхилення частоти події від її імовірності в

кожному випробуванні не більше, ніж на ε:

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=≤−

Фp

εε

2 .

У задачі р = 0,75, q = 1 – р = 0,25; ε = 0,05;

)

⎩

⎨

⎧

==≤− 96,005,075,0

490

Тоді 48,0

96,0

===

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, тобто 48,0)(

tФ .

Згідно таблиць інтегральної функції t = 2,054.

Отже,

, звідки

pqt

n =

Підставивши числові дані у формулу, отримаємо:

31642,316

)05,0(

25,075,0054,2

≈=

⋅⋅

=n .

5.9. При штампуванні 70% виробів виявляються першо-

сортними.

Скільки потрібно взяти виробів, щоб з ймовірністю, що

перевищує 0,9973, можна було стверджувати, що частка пер-

шосортних серед них буде відрізнятись за абсолютною вели-

чиною від ймовірності 0,7 не більше, ніж на 0,05?

Скільки виробів потрібно було би взяти, щоб результат

можна було б гарантувати з ймовірністю,

що перевищує 0,99

(тобто з меншою ймовірністю)?

В якому з цих двох випадків потрібно взяти більшу кіль-

кість виробів і чому?

Розв’язок.

Використаємо розв’язок задачі 5.8.

При

,9973,0≥P р = 0,70;

= 0,05, q = 0,3

31111

)9973,01()05,0(

3,07,0

)1(

−

⋅

−

≥

, отже,

31111≥n .

При

99,0≥P

8400

)99,01()05,0(

3,07,0

)1(

−

⋅

−

≥

Збільшення імовірності Р приводить до збільшення n.