Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
451
а) двомірна щільність імовірності рівна добутку щільно-
стей складових:
)25(25
21
1025)()(),(
yxyx
eeeyfxfyxf
+−−−
=⋅=⋅= .
б) інтегральна функція розподілу системи рівна добутку
функцій розподілу складових:
)()(),( yFxFyxF
⋅
=
, де
)(xF і )( yF обчислимо згідно формул:
=−=−−===
−−−
∫∫∫
x
x
x
xx
xx
exdedxedxxfxF
0
5
0
55
00
1
)5(5)()(
;1
5
0
5 x
x
x
ee
−−
−==
=−=−−===
−−−
∫∫∫
y
y
y
yy
yy
eydedyedyyfyF
0
2
0
22
00
2
)2(2)()(
;1
2
0
2 y
y
y
ee
−−
−==
тому
(
)
(
)
yx
eeyxF
25
11),(
−−
−⋅−= .
Отже,
а)
⎩
⎨
⎧
=
+− )25(
10
0
),(
yx
e
yxf
б)
⎩
⎨
⎧
−⋅−
=
)1()1(
0
),(
25 yx
ee
yxF
4.13.4. Задана щільність сумісного розподілу неперервної
випадкової двомірної величини (X, Y): f(x, y) = 2cosxcosy в
квадраті
4
0
π
≤≤ x ,
4
0
π
≤≤ y ; за межами квадрату f(x, y) =
= 0.
Знайти дисперсію складових.
Розв’язок.
Обчислимо дисперсію складової Х:
при
0
≤
x
або 0
≤
y ;
при
0>x і 0>y .
при
0
≤
x
або 0
≤
y ;
при
0≥x і 0≥y ;
452
)()()(
2
1
2
XMdxxfxXD −=
∫
∞
∞−
.
=⋅=⋅=
∫∫
dv
xdxxxdxxXM cos2cos2)(
4
0
2
4
0
22
ππ
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
==
=
==
=
∫
∫
xdxxxx
xxdxv
xdxdv
xdxduux
sin2sin2
;sincos
;cos
;2;
4
0
4
0
2
2
π
π
=
−==
=
==
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫
∫
;cossin
;sin
;;
sin2
4
sin
4
2
4
0
2
xdxxv
dvxdx
dudxux
xdxx
dv
π
ππ
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅−−=
∫
dxxxx
4
0
4
0
2
coscos2
2
2
16
2
π
π
π
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
4
0
2
sin
4
cos
4
2
32
2
2
π
πππ
x
=−
⋅
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−⋅+= 2
4
2
32
2
2
22
2
2
232
2
2
22
ππππ
16
328
2
−+
=
ππ
.
Отже,
2
2
4
244
16
328
)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
−+
=
πππ
XD . Очевид-
но, що
)()( XDYD = внаслідок симетричності.
453
4.13.5. Задано розподіл ймовірностей дискретної двомір-
ної випадкової величини:
Y X
26 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21
Знайти закон розподілу складників X і Y.
Розв’язок.
Склавши імовірності “по стовпчиках”, отримаємо імовір-
ності можливих значень Х: Р(26) = 0,14; Р(30) = 0,42; Р(41) =
= 0,19; Р(50) = 0,25.
Напишемо закон розподілу складової Х:
Х
26 30 41 50
Р
0,14 0,42 0,19 0,25
Контроль: 0,14 + 0,42 + 0,19 + 0,25 = 1,00. Склавши імо-
вірності “по лінійках”, знайдемо розподіл складової Y:
Контроль: 0,29 + 0,71 = 1,00.
4.13.6. Знайти ймовірність попадання випадкової точки
(X, Y) в прямокутник, обмежений прямими x = 1, x = 2, y = 3,
y = 5, якщо відома функція розподілу:
0
2+221
)(
⎩
⎨
⎧
−−
=
−−−− yxyx
xF
Розв’язок.
Використаємо формулу:
[
]
−
−
=
≤
≤
≤≤ ),(),(),(
21222121
yxFyxFyYyxXxP
[]
*),(),(
1112
=
−− yxFyxF
Покладемо в
2221),( +−−=
−− yx
yxF , значення ,1
1
=x
;2
2
=x ,3
1
=y .5
2
=
y
Отримаємо
Y
2,3 2,7
Р
0,29 0,71
при х ≥ 0, y ≥ 0;
при х < 0 або y < 0.
454
[
]
−+−−−+−−=
−−−−−−−−
)2221()2221(*
51515252
[
]
+−−=+−−−+−−−
−−−−−−−−−− 5231313232
221)2221()2221(
=
+
−
−
+
−
+
+
−
−++−+
−−−−−−−−−− 4315326517
2221222122212
=
+−−
=+−−=+−−=
−−−−
7
23
7654
7654
2
1222
2
1
2
1
2
1
2
1
2222
.
128
3
2
3
2
1248
77
==
+−−
=
4.13.7. Щільність імовірності системи двох випадкових
величин (ζ, η) має вигляд
.),(
22
964 yxyx
aeyxf
−−−
=
Визначити:
а) постійну а; б) коефіцієнт кореляції випадкових ζ і η;
в) умовні закони розподілу
)(),( xyfyxf
ης
; г) математичні
сподівання складових.
Розв’язок.
а) Для знаходження параметра а використаємо влас-
тивість:
1),( =
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dxdyyxf . Отже,
=⋅=⋅
−
∞
∞−
+−
∞
∞−
∞
∞−
−−−
∞
∞−
∫∫∫∫
dxdyeeadxdyea
yyx
yxyx
22
22
4
27
)
2
3
2(
964
*
22
)
2
3
2(
4
27
=⋅⋅=
∫∫
∞
∞−
+−
∞
∞−
−
dxedyea
yxy
=++−=−−− )964(964
2222
yxyxyxyx
=
⎥
⎦
⎤
+−
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅+−=
222
9
4
9
4
9
2
3
222 yyyyxx
.
4
27
2
3
2
4
27
2
3
2
2
2
2
2
yyxyyx −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
455
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
∞
∞−
−
∞
∞−
∫∫
yxdeydea
yx
y
2
3
2
4
27
27
4
2
1
*
2
2
2
3
2
4
27
.1
332727
22
==⋅⋅=⋅=
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
π
ππ
aa
dtedue
a
tu
Тут враховано, що
ππ
==
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
dtedue
tu
22
;
– ін-
теграли Пуассона.
Отже,
π
33 ⋅
=a
.
б) Щільності розподілу імовірностей складових ζ та η
знаходимо згідно формул:
*
3333
)(
2222
3)3(964
1
===
−
∞
∞−
−−
∞
∞−
−−−
∫∫
dyeedyexf
xxyyxyx
ππ
[
+−=++−=−−−
22222
)3()469(964 yxxyyyxyx
]
[
]
.3)3(3)3(432
2222222
xxyxxyxxxxy −+−=++−=+−+⋅⋅+
==+⋅=
∫∫
∞
∞−
−
−
∞
∞−
+−
−
due
e
xyde
e
u
x
xy
x
2
2
2
2
3
)3(
3
3
)3(
3
33
*
ππ
;
33
22
33
π
π
π
xx
ee
−−
==
*
3333
)(
2
2
22
4
27
2
3
2
964
2
===
−
∞
∞−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
∞
∞−
−−−
∫∫
dxeedxeyf
y
yx
yxyx
ππ
.
4
27
2
3
2964
2
2
22
yyxyxyx −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=−−−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅⋅=
∫
∞
∞−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−
yxdee
yx
y
2
3
2
2
133
*
2
2
2
3
2
4
27
π
456
.
2
33
2
33
2
33
22
2
2
4
27
4
27
4
27
π
π
ππ
yy
t
y
ee
dtee
−−
∞
∞−
−
−
=⋅==
∫
в) умовні щільності розподілу імовірностей складових ζ
та η неперервної двомірної випадкової величини (ζ, η) обчис-
лимо згідно формул:
;
2
33
233
)(
),(
)(
2
2
22
2
3
2
4
27
964
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−
−−−
=
⋅
⋅⋅
==
yx
y
yxyx
e
e
e
yf
yxf
yxf
π
π
π
ς
()
.
2
2
22
3
3
964
1
3
3
33
)(
),(
)(
yx
x
yxyx
e
e
e
xf
yxf
xyf
+−
−
−−−
=
⋅
⋅⋅
==
π
π
π
η
г) Математичні сподівання складових ζ і η обчислимо
згідно формул:
,0
3
)()(
2
3
1
=⋅=⋅==
−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
dxexdxxfxXMM
x
π
ς
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==−=−⋅−=
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∫
0
6
3
6
3
)3(
6
13
222
3323 xxx
eexde
πππ
як інтеграл від непарної функції з симетричними межами.
=⋅=⋅==
−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
dyeydyyfyyMM
y
2
4
27
2
2
33
)()(
π
η
0
2
33
2
4
27
==
−
∞
∞−
∫
dye
y
π
– як інтеграл від непарної функції з
симетричними межами.
4.13.8. Система двох випадкових величин
),( YХ
підлягає
закону розподілу з щільністю імовірності
222
)(1
),(
yx
a
yxf
++
=
.
а) Знайти коефіцієнт а;
457
б) знайти радіус кола з центром в початку координат,
ймовірність попадання в який рівна 0,5.
Розв’язок.
а) Для знаходження параметра а використаємо власти-
вість:
1
)(1
222
=
++
⋅
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
yx
dxdy
a
.
Для обчислення інтегралу використаємо полярні коор-
динати:
;cos
ϕ
ρ
=
x
;sin
ϕ
ρ
=
y
ρ
ϕ
ρ
dddxdy
=
; ;0 ∞≤
≤
ρ
π
ϕ
20 ≤≤ .
Отже,
=
+
⋅=
++
∫∫∫∫
∞∞
0
22
2
2
00
22222
2
0
)(1
)(
2
1
)sincos(1
ρ
ρ
ϕ
ϕρϕρ
ϕρρ
ππ
d
da
dd
a
,1
22
)(2
2
2
0
2
==⋅=⋅⋅=
∞
ππ
πρπ
а
aarctg
a
звідки .
2
2
π
=a
б) Для знаходження радіуса кола
ρ
з центром в початку
координат, імовірність попадання в який рівна 0,5, скорис-
туємось рівністю:
,0(
ρ
≤≤ XP 5,0)20
=
≤
≤
π
ϕ
, або використавши вираз
щільності отримаємо:
2
1
2
2
12
)(1
)(
2
1
2
2
0
22
2
2
0
=⋅⋅⋅=
+
⋅
∫∫
ρπ
πρ
ρ
ϕ
ρ
π
arctg
d
da
.
Отже,
;1
4
2
=⋅
ρ
π
arctg
,
4
2
π
ρ
=arctg
звідки 1
2
=
ρ
або
1=
ρ
.
4.13.9. Система випадкових величин ),(
η
ζ
має щільність
імовірності
2222
1
),(
yxyx
a
yxf
+++
=
. Необхідно знайти:
а) коефіцієнт а;
458
б) імовірність попадання в прямокутник ,10 ≤
≤
X
11 ≤≤−
Y
;
в) функцію розподілу системи
),(
η
ζ
;
г) закони розподілу одномірних величин
ς
і
η
;
д) з’ясувати, чи є ці величини залежними.
Розв’язок.
а) Використаємо властивість функції щільності:
,1),( =
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
dxdyyxf або
=
++
=
+++
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
)1)(1(1
222222
yx
dxdy
a
yxyx
dxdy
a
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅=⋅⋅=
++
=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
22)1()1(
22
ππ
aarctgyarctgxa
y
dy
x
dx
a
.
22
2
π
ππ
a=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−×
Отже,
;1
2
=
π
a звідки
2
1
π
=a і щільність розподілу
22222
1
11
),(
yxyx
yxf
+++
⋅=
π
.
б)
=
+++
=≤≤−≤≤
∫∫
−
1
1
1
0
22222
1
1
)11,10(
yxyx
dxdy
YXP
π
=⋅⋅==
++
=
−
−
∫∫
1
0
1
1
2
1
0
2
1
1
22
1
11
1
arctgxarctgy
x
dx
y
dy
ππ
.
8
1
42
1
0
444
1
22
=⋅⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
ππ
π
πππ
π
в)
∫∫
∞−∞−
=
+++
⋅=
y
x
yxyx
dxdy
yxF
22222
1
1
),(
π
459
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
++
=
∫∫
∞−∞−
22
1
11
1
2222
ππ
ππ
arctgxarctgy
x
dx
y
dy
x
y
)()(
2
1
2
1
21
yFxF
arctgyarctgx
⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ππ
, де
2
1
)(
1
+=
π
arctgx
xF
;
2
1
)(
2
+=
π
arctgy
yF
.
Оскільки інтегральна функція системи F(x, y) дорівнює
добутку інтегральних функцій її складових, то випадкові ве-
личини незалежні.
г) щільності розподілу складових Х і Y такі:
×
+
=
++
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
)1(
1
)1()1(
1
),()(
22222
1
xyx
dy
dyyxfxf
ππ
;
)1(
1
)1(
1
)1(
1
1
222222
xx
arctgy
xy
dy
+
=⋅
+
=
+
=
+
×
∞
∞−
∞
∞−
∫
π
π
ππ
=
++
==
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
)1()1(
1
),()(
222
2
yx
dx
dxyxfyf
π
.
)1(
1
)1(
1
222
yy +
=⋅
+
=
π
π
π
Отже,
=
++
=
+++
=
)1)(1(
1
)1(
1
),(
22222222
yxyxyx
yxf
ππ
)()(
21
yfxf ⋅= .
Для того, щоб встановити, чи величини є залежними,
обчислимо умовні щільності імовірностей складових:
=
+++
==
)1(
1
:
)1)(1(
1
)(
),(
)|(
2222
2
yyxyf
yxf
yxf
ππ
ξ
)(
)1(
1
1
2
xf
x
=
+
=
π
.
460
)(
)1(
1
)(
),(
)|(
2
2
1
yf
yxf
yxf
xyf =
+
==
π
η
.
Отже, випадкові величини незалежні.
д) кореляційний момент обчислюється згідно формули:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−−= dxdyyxfyMyxMx
xy
),())())(((
μ
, де
=
+
⋅===
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
)1(
)(),()(
2
1
x
dx
xdxxfxdxdyyxfxXM
π
[
−+=+=
+
+
⋅=
∞→
∞
∞−
∞
∞−
∫
)1ln(lim
2
1
)1ln(
2
1
1
)1(
2
11
22
2
2
xx
x
xd
x
πππ
]
.01ln
2
1
1
1
limln
2
1
)1ln(lim
2
2
2
==
+
+
⋅=+−
±∞→−∞→
π
π
x
x
x
xx
Аналогічно, М(Y) = 0 внаслідок симетричності
),( yxf
відносно х і у.
Отже,
=
++
=
++
=
∫∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
222222
11
1
)1)(1(
1
y
ydy
x
xdx
yx
dxdy
yx
xy
ππ
μ
000
4
1
)1ln(
2
1
)1ln(
2
11
2
22
2
=⋅⋅=+⋅+⋅=
∞
∞−
∞
∞−
ππ
yx .
Нема кореляції між випадковими величинами Х і У, тобто
вони незалежні.
4.13.10. Система двох випадкових величин
),(
η
ζ
підля-
гає нормальному закону з щільністю імовірності:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−⋅=
4
)2(
8
)1(
exp),(
22
yx
ayxf
.
Знайти коефіцієнт а. Визначити імовірність сумісного ви-
конання двох нерівностей:
,11
<
<
−
ζ
20
<
<
η
.